精品解析：甘肃天水市逸夫实验中学2026-2027学年度九年级上学期数学第一次学情自测卷

天水市逸夫实验中学2026-2027学年度第一学期九年级第一阶段检测 数学 注意事项． 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义形如的式子叫做二次根式，逐一判断选项是否满足二次根式的条件即可． 【详解】解：选项A：是带二次根号的形式，且被开方数，符合二次根式的定义； 选项B：是分数，不满足的形式，不是二次根式； 选项C：的被开方数，二次根式无意义，不是二次根式； 选项D：是整数，不满足的条件，不是二次根式． 2. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可先利用二次根式的非负性排除选项A，再结合二次根式的运算法则和性质判断其余选项． 【详解】解：A选项：，运算错误， B选项：与不是同类二次根式，无法合并，运算错误， C选项：，运算错误， D选项：，运算正确． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【解析】 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 5. 若，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 6. 中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键是理解互赠的含义． 计算总赠出书签的数量，从而列出方程． 【详解】解：∵八（1）班共有名学生，同学之间互赠书签，即每名同学需要向除自己以外的其他同学各赠送1张书签， ∴每名同学送出张书签，名同学送出书签的总张数为， 又已知共赠主题书签2450张， ∴可列方程． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 8. 如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据题意，当运动时间为t秒时，，， 则 ∵四边形的面积为 ∴ 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A 9. 若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（ ） A. 2或3 B. 3或4 C. 6或3 D. 7或4 【答案】B 【解析】 【分析】等腰三角形边长为3的边未明确是腰还是底，需分类讨论，结合一元二次方程根的性质与三角形三边关系求解． 【详解】解：当腰长为3时，将代入，得： ， 解得， 此时方程为，即， 解得，， 三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 当底边长为3时，方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 此时方程为，即， 解得， 三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 综上，的值为或． 10. 如图，在平行四边形中， E为上一点，，连接交对角线 于点F，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，由可得，利用相似三角形的判定与性质求出与的相似比，进而得出面积比及线段比，最后利用等高三角形面积比等于底边比求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 二、填空题（每小题4分，共计24分） 11. 线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，，，是成比例线段， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， 解得． 12. 若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴ ． 13. 如图，已知，则的度数为_________． 【答案】40° 【解析】 【分析】由可判定△ABC∽△ADE，得到∠BAC=∠DAE，再根据，，可得出∠DAC的度数. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：40°. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据判定出△ABC∽△ADE. 14. 如图，、分别为△ABC的边、延长线上的点，且DE∥BC．如果，CE=16，那么AE的长为_______ 【答案】6 【解析】 【分析】根据DE∥BC，得到，再代入AC=16-AE，则可求AE长． 【详解】∵DE∥BC， ∴． ∵，CE=16， ∴，解得AE=6． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，正确写出比例式是解题的关键． 15. 已知且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由已知比例关系可得，，，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴． 16. 如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边上，若满足，则的长为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点K， ∵， ∴可以设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：36． 三、解答题（共计96分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 直接开平方得， 移项得， 解得； 【小问2详解】 解：， 其中， ∴， 代入求根公式得， 因此． 19. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，即可求解； （2）先展开整理为一元二次方程的标准形式，再因式分解求解． 【小问1详解】 解： ，  ，  ，  ，  或 ，  ，． 【小问2详解】 解：，  ，  ，  ，  或 ，  ，． 20. 如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入数据计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【小问1详解】 ∵， ， ，，， ， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ，即， 解得：． 21. 如图，在中，是边上一点，且．求证：． 【答案】 证明：， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明即可得出． 【详解】略 22. 设方程的两根为、，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系求出与，根据异分母相加的法则化简，最后代入求值即可； （2）利用完全平方公式变形进行求值即可． 【小问1详解】 解：， 由一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∴； 【小问2详解】 解：． 23. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料． （1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2； （2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？ 【答案】（1）15m； （2）不能围成，理由： 由题意得：则（40﹣x）x＝210， 化简得：x2﹣40x+420＝0， △ ＝1600﹣4×420＜0， 故不能围成矩形花园面积为210m2． 【解析】 【分析】（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25，则（40﹣x）x＝150，解得：x＝10或30（舍去30），即可求解； （2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，即可求解． 【详解】（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25， 则（40﹣x）x＝150， 解得：x＝10或30（舍去30）， 故x＝10（m）； ∴AB＝15（m）． 答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2； （2）略． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 24. 甘肃省庆阳市正宁县以“陇蜜”苹果著称，某水果批发店销售这种苹果的成本价是6元/千克，在销售中发现，当这种苹果定价为10元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种苹果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克，设这种苹果上涨了元． （1）请用含的代数式表示：每千克苹果的利润__________元，每天的销售量是__________千克． （2）若该水果店一天销售这种苹果所获得的利润是700元，为了让利于顾客，单价应定为多少元？ 【答案】（1）， （2）为了让利于顾客，单价应定为元 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由（1）及题意可得：，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：每千克苹果的利润元，每天的销售量是千克； 【小问2详解】 解：由（1）及题意可得：， 解得：， ∵让利于顾客， ∴， ∴单价为元， 答：为了让利于顾客，单价应定为元． 25. 直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：① ② ③ ④． （1）已知：在中，，是斜边上的高，求证：． （2）直接运用：射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，，求的长． 【答案】（1）证明：在中，，是斜边上的高， ． （公共角）， ， （两角分别相等的两个三角形相似）． 根据相似三角形对应边成比例，可得：， 交叉相乘得：． （2） 【解析】 【分析】（1）利用公共角和两个直角，证明与相似，根据相似三角形对应边成比例，交叉相乘证得． （2）设，结合，，，使用射影定理列出方程，求出，再用射影定理，代入数字算出． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设， 根据（1）问已证的射影定理结论． 已知，，且斜边，代入得： ， 整理为一元二次方程： 因式分解得： 解得，． 由于线段长度为正，舍去负根，得． 再根据射影定理结论，代入，： ， ， ． 26. 学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 【答案】（1）的最小值是1 （2）的最大值为5 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可． 【小问1详解】 ． ， ， 的最小值是1． 【小问2详解】 ． ， 的最大值为5． 27. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 【答案】（1） （2）证明：过点作于点，过点作于点，且交于点． ∵四边形是矩形， ， ． 同理，， ， ∵， ∴， ∵， ． ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明，由相似比即可求解； （2）构造出两个相似三角形，利用相似比及矩形对边相等的性质证明； （3）作平行线构造相似三角形，结合勾股定理解出线段长度，再由相似比即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，延长交于点． 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴ 又， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水市逸夫实验中学2026-2027学年度第一学期九年级第一阶段检测 数学 注意事项． 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 5. 若，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 8. 如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（ ） A. B. C. 或 D. 9. 若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（ ） A. 2或3 B. 3或4 C. 6或3 D. 7或4 10. 如图，在平行四边形中， E为上一点，，连接交对角线 于点F，则 等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共计24分） 11. 线段a，b，c，d是成比例线段，其中，则线段d的长为_______． 12. 若，把化简成最简二次根式为______． 13. 如图，已知，则的度数为_________． 14. 如图，、分别为△ABC的边、延长线上的点，且DE∥BC．如果，CE=16，那么AE的长为_______ 15. 已知且，则________． 16. 如图，有一块三角形余料，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边上，若满足，则的长为______． 三、解答题（共计96分） 17. 计算： 18. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 19. 解方程． （1）； （2）． 20. 如图，直线，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 21. 如图，在中，是边上一点，且．求证：． 22. 设方程的两根为、，求下列各式的值： （1）； （2）． 23. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料． （1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2； （2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？ 24. 甘肃省庆阳市正宁县以“陇蜜”苹果著称，某水果批发店销售这种苹果的成本价是6元/千克，在销售中发现，当这种苹果定价为10元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种苹果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克，设这种苹果上涨了元． （1）请用含的代数式表示：每千克苹果的利润__________元，每天的销售量是__________千克． （2）若该水果店一天销售这种苹果所获得的利润是700元，为了让利于顾客，单价应定为多少元？ 25. 直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：① ② ③ ④． （1）已知：在中，，是斜边上的高，求证：． （2）直接运用：射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，，求的长． 26. 学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 27. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $