第12讲 等差数列（知识清单+3题型讲解举三反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（沪教版选择性必修第一册）数学高二重难点讲义与测试

第12讲 等差数列 知识清单 知识点01：等差数列概念 知识点02：等差数列的通项公式及推导 知识点03：等差中项 知识点04：等差数列的常用性质 知识点05：等差数列的前n项和及推导过程 知识点06：等差数列前n项和的性质 知识点07：等差数列的前n项和公式与二次函数 题型讲解 （举三反三） 题型1：等差数列的性质 题型2：等差数列的通项公式 题型3：等差数列的前n项和 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 等差数列概念 概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示．即等差数列有递推公式：． 知识点02 等差数列的通项公式及推导 1.等差数列的通项公式为：． 2.等差数列的公式的推导：累加法 3.等差数列通项公式的推导：，将这个式子的等号两边分别相加得：，即．由等差数列的通项公式易知：． 知识点03 等差中项 定义：如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项，即 知识点04 等差数列的常用性质 1.在等差数列中，若，则， 若，则； 该性质推广到三项，即，，，，，,． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可． 2.若均为等差数列，且公差分别为，则数列也为等差数列，且公差分别为． 3.如果等差数列的公差为，则是递增数列；是递减数列； 是常数列． 4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，．．．．，为等差数列，公差为． 知识点05 等差数列的前n项和及推导过程 1.等差数列前项和公式：． 2.等差数列前项和公式的推导： 倒序相加 ， 把项的顺序反过来，可将写成： ， 将这两式相加得： ， 从而得到等差数列的前项和公式，又， 得． 知识点06 等差数列前n项和的性质 1.在等差数列的前项和也构成一个等差数列，即，，．．．为等列，公差为． 2.为等差数列 ①当项数为奇数时，由得，， ②当项数为偶数时，由得， . 3.通项公式是 是一次函数的形式；前项和公式 是不含常数项的二次函数的形式．（注：当时，，） 4.为等差数列，，则也成等差数列 5.等差数列的公差为，分别代表数列奇数项和、偶数项和，如果数列有 项，则 ；如果数列有项，则. 6.若，，此时二次函数开口向下，对称轴在轴的右侧，有最大值，可由不等式组来确定． 若，，此时二次函数开口向上，对称轴在轴的右侧，有最小值，可由不等式组来确定． 知识点07 等差数列的前n项和公式与二次函数 1.区别和联系 区别 联系 定义域为 图像是一系列的额孤立点 （1）解析式都是二次式；（2）图像是抛物线上的图像的一系列的点． 定义域为 图像是一条光滑的抛物线 2.观察可得：由和得； 3.特殊性：当，达到最大或最小．而当时，取与最近的正整数即可． 4.由二次函数的性质可得：当时，有最小值，：当时，有最大值． 题型1：等差数列的性质 【例1-1】（25-26高二下·上海·期末）已知等差数列，则 . 【例1-2】（24-25高二下·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则 ． 【例1-3】已知数列是等差数列，且，求． 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）已知等差数列满足，则 ． 【变式1-2】在等差数列中，已知，则 ． 【变式1-3】在等差数列中，，，求． 题型2：等差数列的通项公式 【例2-1】（24-25高二下·上海松江·月考）在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列满足，且，则首项 ． 【例2-3】（24-25高二下·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【变式2-1】（24-25高二下·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】（25-26高二下·上海普陀·月考）在等差数列中，若，求公差的值是 ． 【变式2-3】（24-25高二·上海·随堂练习）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是一个整数除以三余二，除以五余三、除以七余二，求这个整数.设这个整数为，当时，求符合条件的的个数. 题型3：等差数列的前n项和 【例3-1】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知等差数列的首项为正数，其前 项和 满足 ，则当 取到最大值时， （   ） A． B． 或 C． D． 或 【例3-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知数列中，，则其前项和 . 【例3-3】（2024高二下·上海·专题练习）已知为等差数列，为其前项和，若，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 【变式3-1】（24-25高二下·上海松江·月考）等差数列的前项和为，若为确定常数，下列各式也为确定常数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二下·上海·月考）等差数列的公差，其前项和为，若，则中不同的数值有 个. 【变式3-3】（24-25高二下·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 一、填空题 1．（25-26高二下·上海·期末）已知等差数列的前n项和为，，，则 ． 2．（25-26高二下·上海·期末）设等差数列的前n项和为，若，则 ． 3．（25-26高二下·上海·期末）设为等差数列，若，则 ． 4．（23-24高二下·上海·期中）已知等差数列，则 ． 5．（24-25高二下·上海·期末）已知等差数列中，，则公差 . 6．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知等差数列的公差，且，则 ． 7．（25-26高二下·上海·月考）已知等差数列前项和为，则 . 8．（25-26高二下·上海·开学考试）已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 9．（25-26高二下·上海宝山·期末）等差数列满足：，则 10．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列中，公差，且，则 ． 11．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ． 12．（24-25高二下·上海·期中）记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是 . 二、单选题 13．（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列满足，，则的值为（    ） A．1000 B．1013 C．1011 D．1012 14．已知等差数列的前项和，若当首项和公差变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二·上海·课堂例题）若等差数列满足，则有（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·上海·月考）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 三、解答题 17．（24-25高二下·上海·月考）已知数列的前n项和满足，n为正整数． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前200项和． 18．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 19．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知为等差数列． (1)若，求的值． (2)若，，求． 20．（22-23高二下·上海·期中）等差数列的前项和．求数列的前项的和． 21．（25-26高二下·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 等差数列 知识清单 知识点01：等差数列概念 知识点02：等差数列的通项公式及推导 知识点03：等差中项 知识点04：等差数列的常用性质 知识点05：等差数列的前n项和及推导过程 知识点06：等差数列前n项和的性质 知识点07：等差数列的前n项和公式与二次函数 题型讲解 （举三反三） 题型1：等差数列的性质 题型2：等差数列的通项公式 题型3：等差数列的前n项和 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 等差数列概念 概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母表示．即等差数列有递推公式：． 知识点02 等差数列的通项公式及推导 1.等差数列的通项公式为：． 2.等差数列的公式的推导：累加法 3.等差数列通项公式的推导：，将这个式子的等号两边分别相加得：，即．由等差数列的通项公式易知：． 知识点03 等差中项 定义：如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项，即 知识点04 等差数列的常用性质 1.在等差数列中，若，则， 若，则； 该性质推广到三项，即，，，，，,． 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等即可． 2.若均为等差数列，且公差分别为，则数列也为等差数列，且公差分别为． 3.如果等差数列的公差为，则是递增数列；是递减数列； 是常数列． 4.在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即，．．．．，为等差数列，公差为． 知识点05 等差数列的前n项和及推导过程 1.等差数列前项和公式：． 2.等差数列前项和公式的推导： 倒序相加 ， 把项的顺序反过来，可将写成： ， 将这两式相加得： ， 从而得到等差数列的前项和公式，又， 得． 知识点06 等差数列前n项和的性质 1.在等差数列的前项和也构成一个等差数列，即，，．．．为等列，公差为． 2.为等差数列 ①当项数为奇数时，由得，， ②当项数为偶数时，由得， . 3.通项公式是 是一次函数的形式；前项和公式 是不含常数项的二次函数的形式．（注：当时，，） 4.为等差数列，，则也成等差数列 5.等差数列的公差为，分别代表数列奇数项和、偶数项和，如果数列有 项，则 ；如果数列有项，则. 6.若，，此时二次函数开口向下，对称轴在轴的右侧，有最大值，可由不等式组来确定． 若，，此时二次函数开口向上，对称轴在轴的右侧，有最小值，可由不等式组来确定． 知识点07 等差数列的前n项和公式与二次函数 1.区别和联系 区别 联系 定义域为 图像是一系列的额孤立点 （1）解析式都是二次式；（2）图像是抛物线上的图像的一系列的点． 定义域为 图像是一条光滑的抛物线 2.观察可得：由和得； 3.特殊性：当，达到最大或最小．而当时，取与最近的正整数即可． 4.由二次函数的性质可得：当时，有最小值，：当时，有最大值． 题型1：等差数列的性质 【例1-1】（25-26高二下·上海·期末）已知等差数列，则 . 【答案】3 【分析】由等差数列的性质可得. 【详解】由题可知，. 故答案为:3. 【例1-2】（24-25高二下·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则 ． 【答案】4 【分析】根据等差数列的性质有，即可求出，又，进而求解. 【详解】由题意有，又，， 所以. 故答案为：4. 【例1-3】已知数列是等差数列，且，求． 【答案】 【分析】根据等差数列下标和性质，结合对数运算法则可求得结果. 【详解】由等差数列性质知：， ，. 【变式1-1】（24-25高二下·上海·期末）已知等差数列满足，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列性质结合题意可得答案. 【详解】，则. 故答案为：4 【变式1-2】在等差数列中，已知，则 ． 【答案】6 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知． 故答案为：6. 【变式1-3】在等差数列中，，，求． 【答案】 【分析】利用完全平方和公式，结合等差数列的下标性质进行求解即可. 【详解】，， 因为是等差数列， 所以． 题型2：等差数列的通项公式 【例2-1】（24-25高二下·上海松江·月考）在等差数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出等差数列的公差，即可求出的值. 【详解】由题意可知，等差数列的公差为，故. 故选：C. 【例2-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列满足，且，则首项 ． 【答案】 【分析】根据等差数列通项公式计算基本量即可. 【详解】由已知数列为等差数列， 所以， 解得， 故答案为：. 【例2-3】（24-25高二下·上海·课堂例题）已知等差数列和中，，，. (1)求和的通项公式； (2)证明：，，…，均是中的项，，，…，均不是中的项. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式解得答案； （2）根据（1）的通项公式，设是数列的第k（k为正整数）项，计算得k为正整数，同理设是数列的第m（m为正整数）项，计算的，m不是正整数，从而得证； 【详解】（1）设等差数列的公差为，等差数列的公差为， 由得解得 ∴，. （2）证明：由（1）知：，， 设是数列的第k（k为正整数）项， 则，解得，k为正整数， 则是数列的第项， ∴，，…，均是数列中的项； 设是数列的第m（m为正整数）项， 则，解得，所以m不是正整数，则不是数列中的项， ∴，，…，均不是数列中的项. 【变式2-1】（24-25高二下·上海·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由得，根据枚举法列出所有的情况，即可求解. 【详解】由，得. 设等差数列的公差为，由题意知①， 当时，由①，得或2，此时或； 当时，由①，得，此时； 当时，由①，得或1，此时或. 所以满足题意的等差数列共有5个. 故选：D 【变式2-2】（25-26高二下·上海普陀·月考）在等差数列中，若，求公差的值是 ． 【答案】1 【分析】利用等差数列的性质及通项公式，结合已知条件列式计算求解． 【详解】是等差数列，设首项是，公差为，， ，解得． 故答案为：1． 【变式2-3】（24-25高二·上海·随堂练习）《孙子算经》是我国南北朝时期的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是一个整数除以三余二，除以五余三、除以七余二，求这个整数.设这个整数为，当时，求符合条件的的个数. 【答案】10 【分析】根据“被除余、被除余、被除余”可构成等差数列，然后结合等差数列的通项公式即可求出结果. 【详解】因为的最小公倍数为， 又因为满足被除余、被除余、被除余的最小正整数为， 所以被除余、被除余、被除余的数构成首项为，公差为的等差数列，记为数列， 则， 由， 解得，， 所以， 所以符合条件的的个数为， 所以符合条件的的个数为. 题型3：等差数列的前n项和 【例3-1】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知等差数列的首项为正数，其前 项和 满足 ，则当 取到最大值时， （   ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】A 【分析】先推出，再利用的正负性得到答案. 【详解】由于，，故，即. 这意味着，得. 这表明当时，有，而当时，有. 所以对有，对有，这就意味着在时最大. 故选：A. 【例3-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知数列中，，则其前项和 . 【答案】 【分析】由等差数列求和公式即可求解. 【详解】所求为. 故答案为：. 【例3-3】（2024高二下·上海·专题练习）已知为等差数列，为其前项和，若，． (1)求数列的通项公式； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）先利用等差数列的通项公式求出公差，进而求出等差数列的通项公式； （2）利用等差数列的前项和公式求出，再利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 因此， 所以求数列的通项公式为． （2）由题意可知， 所以当或者时，的值最大， 此时最大值为． 【变式3-1】（24-25高二下·上海松江·月考）等差数列的前项和为，若为确定常数，下列各式也为确定常数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列前n项和公式及等差数列的性质知为确定常数，进而可判断各项是否为确定常数. 【详解】由题意，得，则为确定常数， 依据等差数列下标和的性质，易知为确定常数， 故选：C 【变式3-2】（24-25高二下·上海·月考）等差数列的公差，其前项和为，若，则中不同的数值有 个. 【答案】2016. 【分析】由等差数列求和公式得到，进而可求解. 【详解】已知等差数列的公差，其前n项和为， ， 即， 所以，即， ，即， ，即， 则对称轴为， ，，，，有九组数相同， 则中不同的数值有个， 故答案为：2016 【变式3-3】（24-25高二下·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可求，即可得通项公式； （2）根据通项公式分析数列的符号性，进而可得前项和的最小值. 【详解】（1）因为，即， 又因为，可得，即， 则，可得， 所以数列的通项公式. （2）令，解得， 可知当时，；当时，； 所以数列的前项和的最小值为. 一、填空题 1．（25-26高二下·上海·期末）已知等差数列的前n项和为，，，则 ． 【答案】 【分析】设出公差，结合题意建立方程求解出公差，最后利用求和公式求和即可. 【详解】设公差为，因为，， 所以，解得，则. 故答案为： 2．（25-26高二下·上海·期末）设等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】14 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出前7项和. 【详解】在等差数列中，，所以. 故答案为：14 3．（25-26高二上·上海·期末）设为等差数列，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据等差数列的性质即可求解． 【详解】根据等差数列的性质，有，解得， 又． 故答案为：4． 4．（23-24高二下·上海·期中）已知等差数列，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由等差数列的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为数列为等差数列，则，即. 故答案为： 5．（24-25高二下·上海·期末）已知等差数列中，，则公差 . 【答案】2 【分析】根据通项公式，表示出求出即可. 【详解】. 故答案为：2. 6．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知等差数列的公差，且，则 ． 【答案】 【分析】利用求出首项，在求和可得答案. 【详解】由公差，且， 得， 即，解得， 则. 故答案为：. 7．（25-26高二下·上海·月考）已知等差数列前项和为，则 . 【答案】 【分析】结合等差数列前项和的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 8．（25-26高二下·上海·开学考试）已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】. 故答案为：48. 9．（25-26高二下·上海宝山·期末）等差数列满足：，则 【答案】40 【分析】根据等差数列的性质，可得，代入前n项和公式，即可求得答案. 【详解】因为为等差数列，所以， 则. 故答案为：40 10．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列中，公差，且，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求得，进而得公差，即可求得. 【详解】由题意，在等差数列中，， 由，解得或， 因为公差，所以，则， 所以公差，所以. 故答案为：10. 11．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由的关系作差即可求解； 【详解】由， 可得：， 两式相减可得：， 当时，，不满足上式， 所以， 故答案为： 12．（24-25高二下·上海·期中）记为等差数列的前n项和，若，，则该等差数列的公差是 . 【答案】 【分析】由等差数列的通项公式及前n项和公式，联立组成方程组计算即可. 【详解】是等差数列，设首项为，公差为， 又，， ，即， 解得：， 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列满足，，则的值为（    ） A．1000 B．1013 C．1011 D．1012 【答案】D 【分析】由递推式变形知是等差数列，然后根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】由， 得， 所以是等差数列，首项，公差， 所以， 所以. 故选：D. 14．已知等差数列的前项和，若当首项和公差变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列的下标和性质可知为定值，再由等差数列的前项和对选项一一判断即可得出答案. 【详解】由等差数列的下标和性质可知， 因为是一个定值，所以为定值， 由，可知是个定值，故C正确； ，，，故ABD错误. 故选：C. 15．（24-25高二·上海·课堂例题）若等差数列满足，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的前项和公式，得到，再利用等差数列的性质，得，即可求出结果. 【详解】因为，得到，所以选项A错误， 又，所以选项B错误，选项C正确，选项D错误， 故选：C. 16．（24-25高二下·上海·月考）一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报后两个数字2、3，接下来报后三个数字4、5、6，然后轮到报后四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2000个数字为（    ） A．5957 B．5958 C．5959 D．5960 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出第n次报完后共报数的个数，解不等式求出的最小值，并求出对应的最大数即可得解. 【详解】依题意，A第n次报数的个数为：， 则A第n次报完数后共报的个数为：， 由，即，解得n的最小值为37，得， 而A第37次报时，3人总共报了次， 当A第109次报完数，3人总的报数个数为：， 因此A报出的第2035个数字为5995， 所以A报出的第2000个数字为：， 故选：D 【点睛】关键点点睛：利用等差数列前n项和公式求出A第n次报完数后A报的最大数是求解问题的关键. 三、解答题 17．（24-25高二下·上海·月考）已知数列的前n项和满足，n为正整数． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前200项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式， 所以. （2）由于， 所以数列前200项和为 . 18．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【答案】(1) (2)最小值； 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，再利用等差数列的通项公式即可； （2）根据的正负性可判断的最小值 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由题意可得，解得， 则， 故数列的通项公式为. （2）当时，；当时，， 则当时，取最小值，最小值为. 19．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知为等差数列． (1)若，求的值． (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列求和公式及等差数列的性质直接可得解； （2）根据等差数列的性质及等差数列通项公式直接计算即可. 【详解】（1）由已知数列为等差数列， 则， 解得； （2）由已知， 则， 又， 解得，， 所以. 20．（22-23高二下·上海·期中）等差数列的前项和．求数列的前项的和． 【答案】 【分析】先根据前n项和求出数列通项公式，即可讨论求出数列的前项的和. 【详解】∵等差数列的前项和． 当时，， 当时，，满足， 因为当时，，则， 当时，，则， 所以. 21．（25-26高二下·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算即可求解； （2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质即可求解； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $