2026年中考数学一轮复习 第02讲 整式与因式分解（三大考点14大题型） 全国通用

第02讲 整式与因式分解【练习】 1．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 2．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 3．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽池州·期末）苯是一种石油化工基本原料，其产量和生产的技术水平是一个国家石油化工发展水平的标志之一，如图，小明用9根相同的木棒搭建的第1个图形就是类似于苯的结构简式，他继续用相同的木棒搭建与苯有关联的各个图形，按此规律，用含的式子表示搭建第（为正整数）个图形所需木棒的根数_____． 【答案】 【分析】本题考查了规律型—图形类规律与探究，根据前3个图形总结规律，即可得到第n个图形所需木棒的根数． 【详解】解：∵第1个图形有：9根， 第2个图形有：17根， 第3个图形有：25根， ……， ∴第n个图形有：根． 故答案为：． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，是无人机按照一定规律摆出的图案，图1由6架无人机组成，图2由10架无人机组成，图3由14架无人机组成，，按照这种规律继续摆下去，图7由__________架无人机组成． 【答案】 【分析】此题考查的是图形探索规律题，探索第n个图案中的无人机数量为，然后代入计算即可． 【详解】解：图中无人机的数量为； 图中无人机的数量为； 图中无人机的数量为； ； 图中无人机的数量为； 当时，无人机的数量为； 故答案为：． 6．（18-19七年级上·江苏南京·月考）单项式的系数和次数分别是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【分析】本题考查单项式的有关概念，根据单项式的系数和次数的定义，系数是数字因数，包括符号，次数是所有字母的指数之和，即可求解． 【详解】解：∵单项式的数字因数是， ∴系数为； 又∵的指数是，的指数是， ∴次数为． 故选：B． 7．（2025·安徽·模拟预测）探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是______（填正数或负数）；第2025个数对应排在______位置（从A，B，C，D中选择填写）． 【答案】 正数 B 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，确定循环规律是解题的关键． 通过观察发现，每4个数为一组循环，并且是正数负数交替出现，再结合所给的A的位置可确定此处是正数，由于，可确定2025在B处． 【详解】解：∵A的位置与4、8、12......对应， ∴A处是正数；每4个数为一组循环， ∵， ∴2025排在对应的B处， 故答案为：正数，B． 8．（2025·云南红河·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．单项式的系数为 B．单项式的次数为 C．多项式的常数项是 D．多项式是三次三项式 【答案】D 【分析】本题考查了多项式，单项式，根据单项式的系数和次数、多项式的常数项和次数的定义逐一判断各选项，熟练掌握多项式和单项式的有关定义是解题的关键． 【详解】解：、单项式的系数为，该选项说法错误，不符合题意； 、单项式的次数为，该选项说法错误，不符合题意； 、多项式的常数项是，该选项说法错误，不符合题意； 、∵多项式中 有三项，且最高次项 的次数为， ∴该多项式是三次三项式，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法、负整数指数幂、绝对值，再计算加减法即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【点睛】本题主要考查了分解因式，二次根式的混合计算，负整数指数幂，绝对值的性质，求特殊角三角函数值，熟练掌握因式分解的方法，负整数指数幂、二次根式、绝对值以及特殊角的三角函数值等考点的运算是解本题的关键． 10．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 11．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2025·山东东营·中考真题）分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（2025·吉林·中考真题）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 用提公因式的方法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（2025·山东烟台·中考真题）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解； 先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（2013·云南昭通·中考真题）因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】考点：因式分解． 16．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．将函数化简为 ，并设 ，则 ．根据给定条件建立方程组，解出 和 ，再代入 求值． 【详解】解：∵ ， 设 ，则 ， 当 时，，， ∴ ①； 当 时，，， ∴ ②． ② － ① 得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 代入①：， ∴ ． 当 时，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 计算： ． ∴ ， 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 整式与因式分解（举一反三复习讲义） 【3大考点14大题型】 【中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势）】 1 【考点一 代数式】 3 【题型1 代数式的概念及意义】 3 【题型2 代数式求值】 4 【题型3 与代数式有关的规律探究】 4 【考点二 整式及其运算】 5 【题型4 整式的相关概念】 7 【题型5 整式的加减及应用】 8 【题型6 整式的乘除】 8 【题型7 幂的混合运算】 9 【题型8 乘法公式】 9 【题型9 规律探索问题】 11 【题型10 完全平方公式在图形当中的应用】 12 【考点三 因式分解】 14 【题型11 提公因式法分解因式】 14 【题型12 公式法分解因式】 15 【题型13 十字相乘法分解因式】 15 【题型14 因式分解的应用】 16 【特色专项练】 16 【新考向：新趋势】 16 【新考向：新情境】 17 【新考向：跨学科】 17 【中考真题练】 19 【中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势）】 整式与因式分解是中考数学的基础核心模块，贯穿整个初中数学知识体系，是后续分式、方程、函数、几何代数综合等内容的铺垫，近4年中考命题严格遵循“素养立意”导向，整体难度适中、侧重基础，具体考情总结如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，整式与因式分解部分分值稳定在3～6分，占中考数学总分的4%～8%，属于基础送分模块，是学生必拿分的重点内容，主要分布在选择题、填空题，部分地区会在解答题第一题（化简求值）中考查，为后续答题奠定基础。 （二）考查题型 基础题型（占比75%）：选择题、填空题，主要考查单项式与多项式的概念、同类项判断、合并同类项、幂的基础运算，以及因式分解的基础方法（提公因式法、公式法），难度极低，侧重基础知识的识记与简单应用，属于“零失误”必拿分题型； 中档题型（占比20%）：选择题、填空题、解答题（基础问），主要考查整式混合运算、乘法公式的逆用与变形、提公因式法与公式法的综合因式分解，以及利用因式分解进行代数式化简求值，侧重运算能力和推理能力的考查； 创新题型（占比5%）：偶尔出现于填空题、解答题，结合实际情境（如代数推理、简单几何边长计算）、跨模块融合（与分式、方程结合）命题，难度稍高，但核心考点仍围绕整式运算与因式分解的核心知识，侧重考查学生的应用能力和发散思维。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心基础考点：单项式、多项式的次数与系数判断、同类项的概念与合并，幂的基础运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方），因式分解的定义与基本步骤，重点区分易混概念（如幂的运算法则辨析）； 必考考点：乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的正用、逆用与变形，提公因式法与公式法的综合因式分解，整式加减乘除混合运算，其中完全平方公式的应用、因式分解的彻底性是高频易错点； 高频综合考点：整式运算与分式化简的结合、因式分解与代数式求值的结合，幂的运算与零指数幂、负整数指数幂的综合应用，偶尔结合简单方程求解考查因式分解的工具性作用。 （四）命题趋势（2026年中考预测） 整体导向：保持“基础为主、素养立意”，难度稳定，不会出现偏题、怪题，重点考查学生的基础知识掌握程度和运算规范性，强化“基础得分”意识，契合中考“75%基础题”的命题分布规律； 题型变化：情境化命题有所增多，整式运算、因式分解会结合简单实际场景（如数值计算、代数推理）设计题目，增强数学与实际生活的联系；整式与分式、方程的综合考查频率上升，偶尔会结合几何图形的边长、面积计算，体现代数与几何的融合； 易错导向：重点考查学生对易混概念和运算细节的辨析能力，如幂的运算法则混淆、完全平方公式漏中间项、因式分解不彻底、去括号符号错误等，贴合学生日常复习中的易错点设计题目，引导教学强化规范训练和细节把控。 （五）复习建议 1. 夯实基础：熟练掌握整式与因式分解的核心概念、性质和运算法则，牢记乘法公式、幂的运算性质，准确区分易混概念（如幂的乘方与同底数幂相乘、平方差公式与完全平方公式），确保基础题型不丢分； 2. 强化运算：规范整式混合运算、因式分解的步骤，重点训练乘法公式的逆用与变形、提公因式法与公式法的综合运用，杜绝运算顺序、符号、因式分解不彻底等常见错误； 3. 聚焦高频：重点突破乘法公式应用、因式分解综合运算、整式与分式结合等高频考点，结合2023-2025年中考真题专项训练，总结解题方法（如因式分解“一看二提三套四查”技巧、乘法公式变形规律）； 4. 关注易错：针对性突破复习中的易错点，建立错题本，明确错误原因（如符号错误、公式混淆），避免重复犯错，同时适应情境化、综合化的命题趋势，提升知识应用能力和运算准确率。 【考点一 代数式】 1. 代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 【题型1 代数式的概念及意义】 【例1】（2024·四川广安·中考真题）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【变式1-1】．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第二天售出吉祥物的数量 B．第二天比第一天多售出吉祥物的数量 C．两天共售出吉祥物的数量 D．第二天比第一天少售出吉祥物的数量 【变式1-2】．（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【变式1-3】．（2025·河南新乡·三模）给赋一个实际意义：___________（答案不唯一） 【题型2 代数式求值】 【例2】．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【变式2-1】．（2025·四川·中考真题）若，则______． 【变式2-2】．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 【变式2-3】．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【题型3 与代数式有关的规律探究】 【例3】．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）． 【变式3-2】．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______． 【变式3-3】．（2025·青海·模拟预测）如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子，那么，第8个图中的棋子数是_________.    【考点二 整式及其运算】 1.单项式 用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式 2.多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式与多项式统称整式。 3.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 4.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 5.整式的运算 (1)整式的加减 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 (2)整式的乘除运算 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 ⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 ⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 ⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【题型4 整式的相关概念】 【例4】．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【变式4-2】．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【变式4-3】．（2025·重庆·模拟预测）已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型5 整式的加减及应用】 【例5】．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【变式5-2】．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【变式5-3】．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则________． 【题型6 整式的乘除】 【例6】 ．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【变式6-1】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____． 【变式6-2】．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】．（2025·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型7 幂的混合运算】 【例7】．（2025·青海·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】．（2025·山东·中考真题）已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】．（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【题型8 乘法公式】 【例8】．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 【变式8-1】．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【变式8-2】．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【变式8-3】．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 【题型9 规律探索问题】 【例9】．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 【变式9-1】．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【变式9-2】．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 【变式9-3】．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形． 【题型10 完全平方公式在图形当中的应用】 【例10】．（2025·陕西咸阳·二模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则______． 【变式10-1】．（2025·河北邯郸·三模）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 【变式10-2】．（2025·河北邯郸·三模）如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1)求的值（用含的式子表示）． (2)若，求的值． 【变式10-3】．（24-25七年级下·陕西西安·期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_______，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想_______． A．数形结合　B．分类讨论　C．类比推理　D．转化 利用上述公式解决问题： (2)根据上面得到的公式，若，则_______． (3)如图②，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、，若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【考点三 因式分解】 1.因式分解的定义 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； ②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 ③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) ④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 2.因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解 【题型11 提公因式法分解因式】 【例11】．（2010·江苏苏州·中考真题）分解因式=____________． 【变式11-1】．（2022·黑龙江绥化·二模）因式分解：________． 【变式11-2】．（2025·安徽·二模）解方程：． 【变式11-3】．（2025·甘肃武威·模拟预测）因式分解：______． 【题型12 公式法分解因式】 【例12】．（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：． （2）分解因式：． 【变式12-1】．（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：． （2）因式分解：． 【变式12-2】．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）因式分解 (1) (2)； (3) (4)． 【变式12-3】．（2025·辽宁·一模）计算：． 【题型13 十字相乘法分解因式】 【例13】．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式：______． 【变式13-1】．（2025·陕西汉中·一模）因式分解：_____． 【变式13-2】．（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：． （2）分解因式：． 【变式13-3】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（1）计算：． （2）分解因式： 【题型14 因式分解的应用】 【例14】．（2025·四川雅安·一模）解方程 (1) (2) 【变式14-1】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）计算： (1)计算：； (2)分解因式：． 【变式14-2】．（2025·四川泸州·三模）化简：． 【变式14-3】．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）解方程组： 【特色专项练】 【新考向：新趋势】 1．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 2．（2025·全国·一模）已知a，b为实数，且满足，则点到原点的距离为___ 3．（2025·四川南充·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则_____________． 【新考向：新情境】 1．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”． (1)求三位数中最大的“幸运整数”； (2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”． 2．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 3．（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为． （1）若，则第_____次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么_____． 【新考向：跨学科】 1．（2025·重庆·模拟预测）对于一个正整数，若这个数的位数为，各数位数字中奇数的个数为，偶数的个数为，记，称为一次“归位变换”．例如，则，，，，同理，可再对进行“归位变换”，称为二次“归位变换”，以此类推，则下列说法： 若，进行两次“归位变换”后，得到的数为； 对于一个正整数，若，则进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数； 对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某游乐场入口的大门是由规格相同的灰色等边三角形和白色正方形大理石搭建而成，如图所示，1个门洞共需要7块大理石，2个门洞共需要12块大理石，3个门洞共需要17块大理石，…，按此规律排列，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为_______块．（用含n的代数式表示） 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第⑦个图案中黑色棋子有（    ） A．16个 B．17个 C．18个 D．19个 4．（2025·湖北武汉·二模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养．给定一列式子，并规定：，，（正整数）则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 6．（2025·安徽淮北·三模）如图，某图案是由基本图形（由一个边长为的正方形和两个边长为的等边三角形组成）拼接而成的，每个图案外围部分（实线部分）用型材料围成，内部（虚线部分）用型材料焊接． (1)第5个图案中正三角形的个数为________；第个图案中正三角形的个数为________（用含的代数式表示）． (2)第5个图案中型材料的总长为________，型材料的总长为________． (3)当一个图案所用的型材料的总长比型材料的总长多时，求这是第几个图案． 【中考真题练】 1．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为________． ． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 5．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 6．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为_______．（结果保留π） 7．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 8．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是__________． 9．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 11．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 12．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 14．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 15．（2025·四川绵阳·中考真题）因式分解：__________． 16．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 整式与因式分解【练习】 1．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 4．（24-25七年级上·安徽池州·期末）苯是一种石油化工基本原料，其产量和生产的技术水平是一个国家石油化工发展水平的标志之一，如图，小明用9根相同的木棒搭建的第1个图形就是类似于苯的结构简式，他继续用相同的木棒搭建与苯有关联的各个图形，按此规律，用含的式子表示搭建第（为正整数）个图形所需木棒的根数_____． 5．（2025·陕西西安·一模）如图，是无人机按照一定规律摆出的图案，图1由6架无人机组成，图2由10架无人机组成，图3由14架无人机组成，，按照这种规律继续摆下去，图7由__________架无人机组成． 6．（18-19七年级上·江苏南京·月考）单项式的系数和次数分别是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 7．（2025·安徽·模拟预测）探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是______（填正数或负数）；第2025个数对应排在______位置（从A，B，C，D中选择填写）． 8．（2025·云南红河·模拟预测）下列说法中，正确的是（    ） A．单项式的系数为 B．单项式的次数为 C．多项式的常数项是 D．多项式是三次三项式 9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算： （2）分解因式： 10．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则______． 11．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 12．（2025·山东东营·中考真题）分解因式：_____． 13．（2025·吉林·中考真题）因式分解：______． 14．（2025·山东烟台·中考真题）因式分解：________． 15．（2013·云南昭通·中考真题）因式分解：=______． 16．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 整式与因式分解（举一反三复习讲义） 【3大考点14大题型】 【中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势）】 1 【考点一 代数式】 3 【题型1 代数式的概念及意义】 3 【题型2 代数式求值】 5 【题型3 与代数式有关的规律探究】 7 【考点二 整式及其运算】 9 【题型4 整式的相关概念】 11 【题型5 整式的加减及应用】 14 【题型6 整式的乘除】 18 【题型7 幂的混合运算】 20 【题型8 乘法公式】 22 【题型9 规律探索问题】 26 【题型10 完全平方公式在图形当中的应用】 30 【考点三 因式分解】 34 【题型11 提公因式法分解因式】 35 【题型12 公式法分解因式】 36 【题型13 十字相乘法分解因式】 39 【题型14 因式分解的应用】 42 【特色专项练】 45 【新考向：新趋势】 45 【新考向：新情境】 47 【新考向：跨学科】 50 【中考真题练】 56 【中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势）】 整式与因式分解是中考数学的基础核心模块，贯穿整个初中数学知识体系，是后续分式、方程、函数、几何代数综合等内容的铺垫，近4年中考命题严格遵循“素养立意”导向，整体难度适中、侧重基础，具体考情总结如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，整式与因式分解部分分值稳定在3～6分，占中考数学总分的4%～8%，属于基础送分模块，是学生必拿分的重点内容，主要分布在选择题、填空题，部分地区会在解答题第一题（化简求值）中考查，为后续答题奠定基础。 （二）考查题型 基础题型（占比75%）：选择题、填空题，主要考查单项式与多项式的概念、同类项判断、合并同类项、幂的基础运算，以及因式分解的基础方法（提公因式法、公式法），难度极低，侧重基础知识的识记与简单应用，属于“零失误”必拿分题型； 中档题型（占比20%）：选择题、填空题、解答题（基础问），主要考查整式混合运算、乘法公式的逆用与变形、提公因式法与公式法的综合因式分解，以及利用因式分解进行代数式化简求值，侧重运算能力和推理能力的考查； 创新题型（占比5%）：偶尔出现于填空题、解答题，结合实际情境（如代数推理、简单几何边长计算）、跨模块融合（与分式、方程结合）命题，难度稍高，但核心考点仍围绕整式运算与因式分解的核心知识，侧重考查学生的应用能力和发散思维。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心基础考点：单项式、多项式的次数与系数判断、同类项的概念与合并，幂的基础运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方），因式分解的定义与基本步骤，重点区分易混概念（如幂的运算法则辨析）； 必考考点：乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的正用、逆用与变形，提公因式法与公式法的综合因式分解，整式加减乘除混合运算，其中完全平方公式的应用、因式分解的彻底性是高频易错点； 高频综合考点：整式运算与分式化简的结合、因式分解与代数式求值的结合，幂的运算与零指数幂、负整数指数幂的综合应用，偶尔结合简单方程求解考查因式分解的工具性作用。 （四）命题趋势（2026年中考预测） 整体导向：保持“基础为主、素养立意”，难度稳定，不会出现偏题、怪题，重点考查学生的基础知识掌握程度和运算规范性，强化“基础得分”意识，契合中考“75%基础题”的命题分布规律； 题型变化：情境化命题有所增多，整式运算、因式分解会结合简单实际场景（如数值计算、代数推理）设计题目，增强数学与实际生活的联系；整式与分式、方程的综合考查频率上升，偶尔会结合几何图形的边长、面积计算，体现代数与几何的融合； 易错导向：重点考查学生对易混概念和运算细节的辨析能力，如幂的运算法则混淆、完全平方公式漏中间项、因式分解不彻底、去括号符号错误等，贴合学生日常复习中的易错点设计题目，引导教学强化规范训练和细节把控。 （五）复习建议 1. 夯实基础：熟练掌握整式与因式分解的核心概念、性质和运算法则，牢记乘法公式、幂的运算性质，准确区分易混概念（如幂的乘方与同底数幂相乘、平方差公式与完全平方公式），确保基础题型不丢分； 2. 强化运算：规范整式混合运算、因式分解的步骤，重点训练乘法公式的逆用与变形、提公因式法与公式法的综合运用，杜绝运算顺序、符号、因式分解不彻底等常见错误； 3. 聚焦高频：重点突破乘法公式应用、因式分解综合运算、整式与分式结合等高频考点，结合2023-2025年中考真题专项训练，总结解题方法（如因式分解“一看二提三套四查”技巧、乘法公式变形规律）； 4. 关注易错：针对性突破复习中的易错点，建立错题本，明确错误原因（如符号错误、公式混淆），避免重复犯错，同时适应情境化、综合化的命题趋势，提升知识应用能力和运算准确率。 【考点一 代数式】 1. 代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2. 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 【题型1 代数式的概念及意义】 【例1】（2024·四川广安·中考真题）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义．根据代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略． 【详解】解：代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．故A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 【变式1-1】．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第二天售出吉祥物的数量 B．第二天比第一天多售出吉祥物的数量 C．两天共售出吉祥物的数量 D．第二天比第一天少售出吉祥物的数量 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，根据题意，分别表示两天的销售量并求和，确定代数式“”的实际意义． 【详解】解： 第一天销售量为件．第二天销售量为件． 将两天的销售量相加，即 ∴因此，代数式“”表示两天共售出吉祥物的数量， 故选：C． 【变式1-2】．（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义．根据第一天网络预约游客a人，得到第二天网络预约游客人，从而确定答案，准确用代数式表示相关数量是解决问题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客人，第二天人数为第一天的2倍加100，即． A：第一天比第二天多的人数应为，与代数式不符． B：第二天比第一天多的人数为，符合代数式． C：两天总人数为，不符． D：第二天人数为，不符． 故选：B． 【变式1-3】．（2025·河南新乡·三模）给赋一个实际意义：___________（答案不唯一） 【答案】一支铅笔的价格是元，那么2支铅笔的价格是元（答案不唯一） 【分析】本题考查了代数式的实际意义，根据代数式写出实际意义即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：一支铅笔的价格是元，那么2支铅笔的价格是元（答案不唯一）， 故答案为：一支铅笔的价格是元，那么2支铅笔的价格是元（答案不唯一）． 【题型2 代数式求值】 【例2】．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 【变式2-1】．（2025·四川·中考真题）若，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式的整体代入求值，先分析待求式与已知式的结构，发现；再将已知条件代入该式，计算出的值；最后用计算结果减去9，得到最终答案． 【详解】解：∵，且已知， ∴将代入得：， 则． 故答案为：． 【变式2-2】．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．． （2）先化简，再求值．，其中． 【答案】（1）4；（2）； 【分析】本题考查了有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值（）、绝对值的性质、分式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练掌握乘方、三角函数、绝对值的基础计算规则，以及分式通分、因式分解、除法变乘法的化简方法，代入求值时准确计算． （1） 先计算乘方；再代入特殊角三角函数值，计算；接着化简绝对值；最后将各项结果进行加减运算． （2）先对括号内通分计算；再将除法转化为乘法（乘以倒数），对分子因式分解（完全平方公式）；然后约分简化分式；最后将代入化简后的式子计算． 【详解】（1） （2）解： 当时，原式 ∴化简结果为，代入求值结果为． 【变式2-3】．（2025·海南·中考真题）当时，代数式的值为（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，解题关键是掌握求代数式的值． 将字母代入代数式计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 所以代数式的值为1， 故选：A． 【题型3 与代数式有关的规律探究】 【例3】．（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 【变式3-1】．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 【变式3-2】．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______． 【答案】21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 【变式3-3】．（2025·青海·模拟预测）如图，用同样大小的棋子按以下规律摆放，第1个图有6颗棋子，第2个图有9颗棋子，那么，第8个图中的棋子数是_________.    【答案】27 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是观察图形，总结出变化的一般规律．根据图形，得出前面几个图形中棋子的个数，再总结出第n个图形的棋子个数为，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第一个：， 第二个：， 第三个：， 第四个：， …… 第n个：， ∴第8个图中的棋子数是， 故答案为：27． 【考点二 整式及其运算】 1.单项式 用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式 2.多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式与多项式统称整式。 3.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 4.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。 5.整式的运算 (1)整式的加减 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变： 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 (2)整式的乘除运算 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 ⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 ⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。 ⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 ⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 【题型4 整式的相关概念】 【例4】．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，正确找出规律是解题的关键． 先找出规律，再得出第15个单项式． 【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是， ∴第15个单项式是， 故选：B． 【变式4-1】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（   ）个小正方形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解． 【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形； 拼第二个正方形需要个小正方形； 拼第三个正方形需要个小正方形； ．．．．．． 按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形； 第六个正方形需要个小正方形， 故选：C． 【变式4-2】．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 【变式4-3】．（2025·重庆·模拟预测）已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查整式的相关定义，熟练理解题意，并分别列式讨论是解题的关键．先根据题意结合对时、时、时、时、时进行讨论，再判断各选项即可． 【详解】解：当时，， ∵ ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，，，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，； 当时， ∵为正整数， ∴，即不满足题意， 综上，满足题意得单项式有，，，，共4个，故①正确； 在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为当，对应的值为时，为（或当，对应的值为时），故②正确； 当时，满足条件的整式M 共有个，故③错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 【题型5 整式的加减及应用】 【例5】．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 【变式5-1】．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 【变式5-2】．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 【变式5-3】．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则________． 【答案】58 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可． 【详解】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵ ∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58． 【题型6 整式的乘除】 【例6】 ．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 【变式6-1】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 【变式6-2】．（2025·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据同底数幂的乘除法，积的乘方，负整数指数幂逐项计算即可． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式6-3】．（2025·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算相关知识，熟练掌握运算法则是解题的关键； 可根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则，对选项逐一分析： 【详解】A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意； B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意； C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意； D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【题型7 幂的混合运算】 【例7】．（2025·青海·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则逐一验证各选项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【分析】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意 故选：． 【变式7-1】 ．（2025·山东·中考真题）已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 【变式7-2】．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 【变式7-3】．（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法逐一排除即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不可以合并，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 【题型8 乘法公式】 【例8】．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式8-1】．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式8-2】．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 【答案】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型9 规律探索问题】 【例9】．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 【变式9-1】．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 【变式9-2】．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∵正方形的边长为2， ， ∴面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形边长为， 则， 面积标记为的正方形的边长为， 则， ……， ， 则的值为：， 故答案为：． 【变式9-3】．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形． 【答案】31 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可． 【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形， 第2个图形有个正方形， 第3个图形有个正方形， ∴第5个图形中共有个正方形， 故答案为：31． 【题型10 完全平方公式在图形当中的应用】 【例10】．（2025·陕西咸阳·二模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则______． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算．本题根据面积关系列式得到：，，然后得到，然后由，代入数据即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m、n， ∴大正方形的边长为， ∵大正方形的面积为34， ∴， ∵小正方形的面积为4， ∴小正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式10-1】．（2025·河北邯郸·三模）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 【答案】尝试：，应用：12，扩展：2 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，根据图形中面积的不同表示方法得到相关等式是解题的关键． 尝试：从整体上看，阴影部分的面积=边长为的正方形的面积；从组成上看，阴影部分的面积=边长为m的大正方形的面积个长为m、宽为n的小长方形的面积再加上边长为n的正方形的面积； 应用：设，得，求出，从而可求出阴影部分的面积； 拓展：进行整式的减法得，再进行配方可得结论． 【详解】解：尝试：， 故答案为：； 应用：设， 由题意，得． 又， ， ． 阴影部分的面积为． 拓展：， 的最小值为2． 【变式10-2】．（2025·河北邯郸·三模）如图，有两张边长分别为，的正方形纸片，其面积分别为，． (1)求的值（用含的式子表示）． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据正方形的面积列式求解即可； （2）根据列出关于a的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶ ， ， ， 或2， 又， ． 【变式10-3】．（24-25七年级下·陕西西安·期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_______，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想_______． A．数形结合　B．分类讨论　C．类比推理　D．转化 利用上述公式解决问题： (2)根据上面得到的公式，若，则_______． (3)如图②，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、，若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】(1)，A (2)21 (3)8 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景． （1）从“整体”和“部分”分别用代数式表示图形的面积即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：如图①大大正方形的边长为，因此面积为，拼成大正方形的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：，A； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：21； （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵阴影部分的面积和为11，的面积为7， ∴，， 即，， ∴， 即， ∴（取正值）， 即． 【考点三 因式分解】 1.因式分解的定义 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法： ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； ②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 ③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d) ④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q) 2.因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解 【题型11 提公因式法分解因式】 【例11】．（2010·江苏苏州·中考真题）分解因式=____________． 【答案】． 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【变式11-1】．（2022·黑龙江绥化·二模）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解；先提取公因式，再对二次项利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式11-2】．（2025·安徽·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． 先移项，再提公因式进行解方程即可． 【详解】解： 或， 解得，． 【变式11-3】．（2025·甘肃武威·模拟预测）因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，将原式提取后，再运用平方差公式进行因式分解即可，掌握提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型12 公式法分解因式】 【例12】．（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：． （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，因式分解等知识． （1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义化简，再算乘法，然后算加减即可； （2）整理后用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式12-1】．（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：． （2）因式分解：． 【答案】（1）2024； （2） 【分析】本题考查特殊三角函数值、二次根式运算、因式分解，熟练掌握特殊三角函数值、平方差公式是解题的关键． （1）先计算，去绝对值、算术平方根、负整数指数幂进行计算； （2）根据平方差公式进行化简，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-2】．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）因式分解 (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可； （2）根据平方差公式将原式化为，再根据平方差公式分解即可； （3）根据平方差公式分解因式，进而合并同类项即可； （4）将原式化为，分组分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式12-3】．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则、因式分解法是解题关键． 先将括号内的式子通分合并，进行因式分解后与后面的分式约分，最终化简得到结果． 【详解】解： ． 【题型13 十字相乘法分解因式】 【例13】．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式：______． 【答案】 【分析】观察到与互为相反数，将其统一为后提取公因式，再应用平方差公式分解． 本题考查了分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式13-1】．（2025·陕西汉中·一模）因式分解：_____． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解． 观察表达式，发现公因式x，提取公因式后得到平方差形式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 （应用平方差公式） 故答案为： 【变式13-2】．（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：． （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、负整数次幂、零次幂、因式分解等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据负整数次幂、特殊角的三角函数值、零次幂、立方根化简，然后再计算即可； （2）直接运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式13-3】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（1）计算：． （2）分解因式： 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、负整数指数幂、分解因式等知识点，掌握常见的运算法则和方法是解题的关键． （1）先根据算术平方根、特殊角的三角函数值、零次幂、负整数指数幂、绝对值化简，然后再计算即可； （2）先提取公因式，然后再运用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． 【题型14 因式分解的应用】 【例14】．（2025·四川雅安·一模）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，配方法，换元法和十字相乘法，解题的关键在于根据题目灵活的选择应用适当的解法，本题易错点在于配方不得当，漏项，换元法忘记还原，十字相乘法数字选择不当； （1）先将二次项系数化1，再将常数项移到等式右边，给二次项和一次项配一个常数项凑成完全平方公式，开方，求解即可； （2）利用换元法，令，再用十字相乘法进行计算，最后记得还原即可． 【详解】（1） 二次项系数化1得 移项，配方得 使用完全平方公式得 开方得 拆开式子得 解得 故原方程的解为． （2） 设， 则原式为 十字相乘法得 或 解得或． 当时，； 当时，； 解得，． 故原方程的解为，． 【变式14-1】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）计算： (1)计算：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂与负整数指数幂、因式分解等知识，熟练掌握各运算法则和因式分解的方法是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式14-2】．（2025·四川泸州·三模）化简：． 【答案】． 【分析】本题考查方式的化简及因式分解，熟练掌握平方差公式及十字相乘法分解因式是解题关键．先把分子展开，再利用平方差公式及十字相乘法分解因式，最后约分即可得答案． 【详解】解： ． 【变式14-3】．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查解因式分解、二元一次方程组，先由②得，或，再利用加减消元法解方程组或即可． 【详解】解：， 由②得，， ∴或， ∴或， 解得或， ∴原方程组的解是或． 【特色专项练】 【新考向：新趋势】 1．（2025·江苏南京·中考真题）已知，试比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减的应用，因式分解应用，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则．先求出，根据，得出，，，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵ ， ∵， ∴，，， ∴， ∴． 2．（2025·全国·一模）已知a，b为实数，且满足，则点到原点的距离为___ 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，非负性，点到原点的距离，利用完全平方公式法将等式左边进行因式分解，非负性求出的值，再利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴点到原点的距离为． 故答案为： 3．（2025·四川南充·模拟预测）设，，为整数，且对一切实数都有恒成立，则_____________． 【答案】20或28 【分析】本题主要考查多项式乘多项式和因式分解变形，有一定难度．此题若直接求a，b，c的值不易，需另辟蹊径，这种解题思想很常用，需要特别注意，等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式和；消去a，再因式分解得到，进而或，分别计算出a，b，c的值即可得出答案． 【详解】解：，，且恒成立， ，， 消去得，即， ,都是整数， ，或，， 解得或， 当时，； 当时，， 故或． 故答案为：20或28． 【新考向：新情境】 1．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）对于一个正整数，若能写成：（为正整数），且（其中为自然数），则称为“幸运整数”．例如：当时，，则，所以12是“幸运数”． (1)求三位数中最大的“幸运整数”； (2)如果两个“幸运整数”的差是72，求这两个“幸运整数”． 【答案】(1)903； (2)84和12． 【分析】本题考查的是整式乘法、因式分解的应用，熟练掌握其应用方法是解题的关键． （1）根据题意，先求得，计算知当时，，当时，，即可得出结果； （2）由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数），则当时得到两个“幸运整数”为3 ，由题意可知：，即，根据m， n为自然数，可得，将其代入计算即可． 【详解】（1）解：， ． 为自然数， 当时，， 当时，， 三位数中最大的“幸运整数”是903； （2）解：由（1）知：“幸运整数”可表示为（为自然数）， 则时得到两个“幸运整数”为：， 由题意：． ， ， ． 为自然数， ∴或， 解方程组得：或（舍去）， ． ． 这两个“幸运整数”分别为84和12． 2．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域； …… 如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是_______． 【答案】 【分析】本题考查规律问题，先得到n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域，根据题意可得，然后得到n的最小整数解即可． 【详解】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； 画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； …… 画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域； ∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块， ∴，即， 又∵，， ∴至少要画的直线条数是条， 故答案为：． 3．（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n次操作后的糖果数记为． （1）若，则第_____次操作后游戏结束； （2）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么_____． 【答案】 3 【分析】本题考查的是推理与论证，根据题意找出数字变化规律是解答此题的关键． （1）按照游戏规则，按照顺序操作得出结果即可； （2）利用同（1）的方法找出数字变化规律，进一步解决问题． 【详解】解：（1）∵， ∴第一次操作结果为，第二次操作结果为，第三次操作结果为， 所以经过3次操作后游戏结束； （2）因为， 所以， ， ， ， ， ， ， ， ……， 由此看出从开始3个一循环， ∵， 所以与相同，也就是． 故答案为：3； 【新考向：跨学科】 1．（2025·重庆·模拟预测）对于一个正整数，若这个数的位数为，各数位数字中奇数的个数为，偶数的个数为，记，称为一次“归位变换”．例如，则，，，，同理，可再对进行“归位变换”，称为二次“归位变换”，以此类推，则下列说法： 若，进行两次“归位变换”后，得到的数为； 对于一个正整数，若，则进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数； 对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，根据题中所给“归位变换”的定义，依次对所给说法进行判断即可，理解题中所给“归位变换”的定义及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由题知当时， ，，， ∴第一次“归位变换”后，得到的数字为， ∴，，， ∴第二次“归位变换”后，得到的数字为，故正确； 对于一个正整数，当时，且， ∴，，都是一位整数 ∴进行一次“归位变换”后，将得到一个三位数，故正确； 当为四位正整数时，有以下五种情况 第一种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 第二种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，， 由此可见，最后得到定值； 第三种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 第四种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，， 由此可见，最后得到定值； 第五种情况：，，， 则连续进行“归位变换”后所得数依次为：，，，，， 由此可见，最后得到定值； 所以对于任意一个四位正整数，连续进行“归位变换”后，一定会得到一个定值，且这个定值为，故正确； 综上可知：正确，共个， 故选：． 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某游乐场入口的大门是由规格相同的灰色等边三角形和白色正方形大理石搭建而成，如图所示，1个门洞共需要7块大理石，2个门洞共需要12块大理石，3个门洞共需要17块大理石，…，按此规律排列，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为_______块．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了图形的变化类问题，仔细观察图形的变化并找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：∵1个门洞共需要块大理石， 2个门洞共需要块大理石， 3个门洞共需要块大理石， …， 按此规律，则搭建n个门洞需要的等边三角形和正方形大理石的总块数为块， 故答案为：． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第⑦个图案中黑色棋子有（    ） A．16个 B．17个 C．18个 D．19个 【答案】D 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解题的关键是根据图形的变化找出规律． 根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，根据规律列出式子，即可求出答案． 【详解】解：图1有1个棋子； 图2有4个棋子，比图1多了3个； 图3有7个棋子，比图1多了个； 图4有10个棋子，比图1多了个； …… 则图7有个棋子； 故选：D． 4．（2025·湖北武汉·二模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养．给定一列式子，并规定：，，（正整数）则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是找到规律．通过递推公式计算前几项，观察数列是否呈现周期性，找到循环周期后，利用模运算定位目标项；将问题转化为二次函数的最小值问题，利用顶点公式求解． 【详解】解：根据递推公式计算前几项：， ， ， ， ， （周期开始重复） 由此可知，数列每5项为一个周期． 发现周期性：从开始，数列重复，，，，，周期为5． 余0，对应， 余1，对应 余2，对应， ∴， 转化为二次函数：，其最小值在顶点处取得．顶点横坐标为：， 代入得最小值：． 故选：D． 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 6．（2025·安徽淮北·三模）如图，某图案是由基本图形（由一个边长为的正方形和两个边长为的等边三角形组成）拼接而成的，每个图案外围部分（实线部分）用型材料围成，内部（虚线部分）用型材料焊接． (1)第5个图案中正三角形的个数为________；第个图案中正三角形的个数为________（用含的代数式表示）． (2)第5个图案中型材料的总长为________，型材料的总长为________． (3)当一个图案所用的型材料的总长比型材料的总长多时，求这是第几个图案． 【答案】(1)；． (2)， (3) 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加4是解题的关键． （1）根据图形找到规律，第个图案中正三角形的个数为个， （2）根据图形，分别求得前几个图案中型材料和型材料的总长，即可求解； （3）根据（2）的规律得出型材料的总长为，型材料的总长为，结合题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵第1个图案中正三角形的个数为2，其中， 第2个图案中正三角形的个数为6，其中， 第3个图案中正三角形的个数为10，其中， 第4个图案中正三角形的个数为14，其中， 第5个图案中正三角形的个数为18，其中， …… 第个图案中正三角形的个数为个， 故答案为：；． （2）解：第1个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第2个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第3个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第4个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第5个图案中型材料的总长为，其中，其中型材料的总长为，， 故答案为：，． （3）根据（2）可得第个图案中，型材料的总长为，型材料的总长为． 则， 解得． 【中考真题练】 1．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 2．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为________． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空；分别求得、5、7…对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案． 【详解】解：； 由题意， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 当时，， 又， ∴对于任意奇数k（），， 故答案为：；． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律． ［发现问题］ 黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． ［提出问题］ 小明思考：这样的正多面体有几个？ ［分析问题］ 一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据： 正多面体 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 （1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________； （2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12． 正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示） ［解决问题］ （3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数． （4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）个 【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为； （3）上述公式列方程即可解答； （4）由题意可得，代入可得，整理后，利用逐一判断即可． 【详解】解：（1）根据观察可得， 故答案为：； （2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为， 又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为， 故答案为：； ②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为， 又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为， 故答案为：； （3）由题意可得，， ， 根据（1）中公式可得， 可得， 解得， 则这个正多面体的面数为； （4）由题意可得，， 代入可得， ， ， ， 为正整数，且，， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，时，，故成立， 当时，时，，故不成立， 当时，无论取任何值，，故不成立， 综上，满足正多面体定义的几何体一共有个． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【分析】本题考查规律探索，多边形外角和，旋转的性质，掌握方法是解决问题的关键．根据图形旋转方式，可证明皆为等边三角形，可得，根据多边形外角和结论，图形每转动12次后与重合，依此规律解答即可． 【详解】解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且， 为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转， ∴， 为等边三角形，的中点为， ， ， 同理， 则， ∵， ∴每转到12次后与方向重合， ， ∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ， 此时点在点的正北方． 故选：D． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 6．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，四边形是正方形，．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点E，得到扇形；第二次操作以点B为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点F，得到扇形；第三次操作以点C为圆心，以为半径顺时针作弧交的延长线于点G，得到扇形，依此类推进行操作，其中，、、，…的圆心依次按A，B，C，D循环，所得曲线叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为_______．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积．先求得前三个扇形的面积，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：根据题意得： 第一个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第二个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 第三个扇形，圆心角为，半径为，面积为； 则第四个扇形，圆心角为，半径为，面积为； ∴经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为 ， 故答案为：． 7．（2025·四川乐山·中考真题）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 8．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是__________． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 9．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 10．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为______________． 【答案】 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 11．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则______． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 12．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 【答案】(1)小明的猜想不正确，反例： (2)见解析 (3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【分析】（1）举反例即可； （2）①当且时，可得，得，不合题意； ②当且时，可得，可得，得，即得． （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确． 反例：． （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 13．（2022·山东菏泽·中考真题）分解因式：______． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．（2025·山东青岛·中考真题）因式分解___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．（2025·四川绵阳·中考真题）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键． 使用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16．（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：当、时，二次函数可化为：， ∴此函数图象的对称轴为． （2）解：当时，二次函数可化为：， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵在时，y随的增大而减小； ∴， ∵在时，随的增大而增大； ∴， ∴． （3）解：∵若点，，均在该函数的图象上， ∴， ， ∴ ； ； ∵， ∴，整理得： ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴，解得：． 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $