精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州2026届高三下学期教学质量检测数学试题

延边州2026年高三教学质量检测 数学 本试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 中，“为锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知数列中，，，则（   ） A. 1 B. C. D. 4. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 5. 设函数，若存在实数使得恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 6. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. （） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 7. 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 8. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； 9. 如图，在三棱锥中，，，平面，，，分别为棱，上的动点，且. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成角为，求的值. 10. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响. （1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 . （i）求测试结果为语音识别成功的概率； （ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率； （2）已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案? 11. 已知分别为椭圆的左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以为直径的圆过焦点． （1）求椭圆E的方程； （2）P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设交直线于点交椭圆E于点Q． ①证明：为定值； ②求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边州2026年高三教学质量检测 数学 本试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 中，“为锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的几何性质和任意角的三角函数的定义结合充分性和必要性进行辨析即可. 【详解】在中，由“为锐角”，易得“”， ∴“为锐角”是“”的充分条件； 在中，由“”，不能得出“为锐角”（如，为直角，实际上，当时，恒成立）， ∴“为锐角”不是“”的必要条件； 综上所述，“为锐角”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 2. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及差角的余弦公式化简即得. 【详解】由，得，则， 两边平方得，所以. 故选：D 3. 已知数列中，，，则（   ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出数列的前几项，根据规律总结数列是以3为周期的周期数列，即可根据周期求出答案． 【详解】，， 则， ， ， ， 即，， 故数列是以3为周期的周期数列， 则， 故选：A． 4. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可. 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，    排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故选：A 5. 设函数，若存在实数使得恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由存在实数使得恒成立，转化为恒成立，得到，构造新函数，利用导数求得函数的最值，得出关于的不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 要使得存在实数使得恒成立，即恒成立， 只需恒成立，即恒成立， 即 设，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为，即， 设，则 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，即， 所以只需，解得，即实数的取值范围是， 故选D. 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中把存在实数使得恒成立，转化为恒成立，进而得得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 6. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. （） 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，对条件，求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断． 【详解】因为， 所以，即， 令，得，故A正确； 因为， 当时，， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，假设成立， 求导得， 即，又， 所以，所以与矛盾，故C错误； 对于D，因为，， 所以，，，， 所以有， 所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列， 数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列， 又，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是，的应用，D选项关键是推出是以为首项，为公差的等差数列. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 7. 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】据题意对实数进行讨论，分，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当时，函数，对称轴为， 因此函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或， 即或， 由图可知有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意； 当，时，函数，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增，函数图象如下： 令函数，则由，结合图象可得或或， 即或或， 由图可知，有2个解，有3个解， 又有6个零点，则需使有1个解， 即需使，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 8. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程组，即可求解； （2）利用裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，且， 解得， 所以； 【小问2详解】 ， 所以. 9. 如图，在三棱锥中，，，平面，，，分别为棱，上的动点，且. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成角为，求的值. 【答案】（1）证明：平面，平面， 又，，平面，平面 平面． 又，平面，又平面 平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，从而得到平面，再由，得到平面，即可得证； （2）法一：建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得到方程，求出即可；法二：依题意平面，设为平面与平面的交线，则即可证明，，从而得到为平面与平面所成角，再由面积比计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一（坐标法）：如图，以为原点，、、过点且垂直于平面的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则． 设平面的法向量为，则可取， 取平面的法向量为． 设平面与平面所成角为则， 两边平方经整理可得解得或（舍去）， 当平面与平面所成角为时， 法二（几何法）：如图，由，平面，平面， 所以平面，设为平面与平面的交线，则 由（1）可得平面，，平面，所以， 而，，又， 为平面与平面所成角， ，所以是的角平分线， 在中，设点到的距离为，则由 可得， 10. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响. （1）已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6. 某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7 . （i）求测试结果为语音识别成功的概率； （ii）已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率； （2）已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试. 为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案? 【答案】（1）（i）；（ii） （2）方案一 【解析】 【分析】（1）（i）设出基本事件利用条件概率以及全概率公式计算可得结果；（ii）由概率的乘法公式计算即可； （2）求得两方案对应的期望值，取期望值较小的即可. 【小问1详解】 记事件=“某天进行测试时处于安静环境”，=“某天进行测试时处丁嘈杂环境”，事件=“测试结果语音识别成功”. 根据题意得 （i）由全概率公式得 （ii）“已知测试结果语音识别成功，当天处于安静环境的概率”，就是在事件发生的条件下发生的概率， 即 【小问2详解】 方案一的测试次数的数学期望为4. 用表示“方案二测试的次数”，由题意得的可能取值为3，5. 则 所以方案二测试次数的数学期望为. 又因为， 所以以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择方案一. 11. 已知分别为椭圆的左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以为直径的圆过焦点． （1）求椭圆E的方程； （2）P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设交直线于点交椭圆E于点Q． ①证明：为定值； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2） ①由题意设， 又，所以， 直线的方程为， 当时，，即 此时，， 因，则， 代入上式可得，，即为定值． ②. 【解析】 【分析】（1）先由圆对的方程求得，结合条件求出，利用椭圆的定义求得的值，即得椭圆方程； （2）①设，列出直线的方程，求得 ，计算并消去，利用点在椭圆上消去，化简即得定值；②设直线的方程为，与椭圆方程联立，求出韦达定理，利用求得，推出直线经过定点，从而表示出面积，借助于换元和双勾函数的单调性即可求得面积最大值. 【小问1详解】 在圆C的方程中，令，得，解得，即得 又 ，则， 于是，解得， 因，故 因此椭圆E的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②设直线的方程为， 联立，得， 所以， 则， ， 由 ， 化简得，解得或（此时直线过点，不合题意，舍去）， 即直线的方程为，经过定点， 所以 ， 令，则，则， 因在上单调递增， 故时，即时，取得最小值为4，取得最大值为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $