精品解析：黑龙江哈尔滨市萧红中学校2025-2026学年九年级下学期数学学科 阶梯作业

萧红中学九学年（下）数学学科・阶梯作业 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 （★同学们，请将所有试题答案完整书写在“答题卡”上，否则无效．★） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查倒数：乘积是1的两数互为倒数．直接根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：D． 2. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 3. 2025年11月9日，第十五届全国运动会在广东奥林匹克中心开幕，本届运动会共有14000余名运动员参加竞技比赛项目．将14000用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左边看，即可画出左视图． 【详解】解：该几何体的左视图是： 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘以，解方程，检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得 ，解得 ． 检验，当时，， 故是原方程的解． 故选：A． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了顶点式，顶点坐标是，对称轴是． 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为． 故答案为：D． 7. 将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2024个图形中“H”的个数是（ ）个． A. 4048 B. 4050 C. 4052 D. 4054 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化规律问题， 先根据前三个图形得出变化特点，推导出规律，再根据规律解答． 【详解】解：第1个图中“H”的个数为； 第2个图中“H”的个数为； 第3个图中“H”的个数为， ∴第n个图中“H”的个数为， ∴第2024个图中“H”的个数为． 故选：B． 8. 如图，，且，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵ ，，， ， 故选：C． 9. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识．根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解． 【详解】解：根据题意可得：平分，即， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，，P为对角线上的动点，交折线于点Q，设，的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题函数图象，熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形的性质，二次函数图象和性质，分类讨论，是解题关键． 因为点Q运动轨迹是折线，故分两种情况讨论：当点Q在上或当点Q在上，分别计算其面积，再结合二次函数图象的基本性质解题即可． 【详解】解：∵在正方形, ，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当点Q在上时，， ∴， ∵， ∴, ∴； 当点Q在上时，， ∴, ∵， ∴ ∴； ∴该函数图象前半部分是开口向上的抛物线，后半部分为开口向下的抛物线， 即 故选：B. 二、填空题 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不为零，即 ，运算求解即可． 【详解】由题意，分母 ， 解得 ， 故答案为：． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是关键． 先提取公因式，再运用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 小明抛一枚质地均匀的硬币次，有7次正面朝上，当他抛第次时，正面朝上的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，解题关键是掌握概率公式． 直接根据概率公式求解． 【详解】解：∵抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为， ∴当他抛第次时，正面朝上的概率为， 故答案为：． 14. 不等式组的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可． 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴． 15. 一个扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式即可得到一个关于的方程，解方程即可求解，正确理解公式是解题的关键． 【详解】解：设扇形的圆心角是， 根据扇形的面积公式得：， 解得， 故答案是：． 16. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流（单位：A）与电阻（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出，即可得到答案． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为． 把代入中，得， 解得， 故答案为：36． 17. 定义一种新运算：新定义运算，则结果是______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据新定义的运算法则计算即可求值． 【详解】解：． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了新定义的运算，理解新定义的运算法则是解题关键． 18. 中，，，点D在直线上，连接，若，则的度数为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，分点D在直线上，点D在延长线上两种情况讨论即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 如图，当点D在直线上时， ∵， ∴， ∴； 如图，当点D在延长线上时， ∵，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 19. 如图，∠ACB=60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O 在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm． 【答案】 【解析】 【详解】如图：连接OF，OE，OC， ∵AC与BC都是⊙O的切线， ∴∠1=∠2= ∠ACB= ×60°=30°，OE⊥BC， ∴在Rt△OCE中，tan∠1=tan30°=OE：CE = ， ∵OE=1cm， ∴CE= cm． 故答案为： 20. 如图，中，，，平分，于E，交延长线于F，则下列结论： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 其中正确的结论有_________(横线上填写序号)． 【答案】（1）（2）（4） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先证，可证，可判断（1）；证明，得出，结合，可判断（2）；由得出，可判断（3）；结合，得出，可判断（4）；过D作于Q，由角平分线的性质定理得出，可判断（5）． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴由三角形内角和定理得：， 在和中， ， ∴，故（1）正确； ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， ∴，故（3）错误； ∵， ∴，故（4）正确； 如图，过D作于Q， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴，故（5）错误； 综上可知，正确的有（1）（2）（4）． 故答案为：（1）（2）（4）． 三、解答题 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的运算对代数式进行化简，再根据特殊角的三角函数值求得a，代入求解即可． 【详解】解： ， 将a代入得， 原式 【点睛】此题考查了分式的混合运算，特殊角的三角函数值以及二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； （2）在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示： ； 【小问2详解】 解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 为了了解同学们线上听课时所用的电子设备类型，时代中学开展了一项调查活动，围绕“电脑、平板、学习机、手机四种电子产品中，你使用的是哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）时代中学共有1500名学生，请你估计该中学不使用电脑上课的学生有多少名？ 【答案】（1）40 （2）见解析 （3）975 【解析】 【分析】（1）根据条形图中使用手机的数量，扇形图中使用手机的百分比，即可求解； （2）根据（1）的样本容量，即可求出使用学习机的人数，由此即可求解； （3）根据样本百分比估算总体的方法即可求解． 【小问1详解】 （名） 即在这次调查中，一共抽取了40名学生； 【小问2详解】 使用学习机的学生有： （名） 补全的条形统计图如图所示： 【小问3详解】 （名） 即估计该中学不使用电脑上课的学生有975名． 【点睛】本题主要考查调查与统计的相关概念和计算，理解条形图和扇形图的综合信息，掌握总量的计算方法，用样本估算总体的方法是解题的关键． 24. 定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直四边形”． （1）如图1，在正方形中，点分别在上，，分别连接和交于点．求证：四边形是“等直四边形”； （2）如图2，过点作的平行线交于点，连接，若正方形的面积为面积的8倍，在不添加任何辅助线的情况下，找出图中所有的等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】证明，得到即可得证； （2）根据正方形的面积为面积的8倍，得到，进而得到为的中点，平行线分线段成比例，结合斜边上的中线，进行判断即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“等直四边形”； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴的面积， ∵正方形的面积为面积的8倍， ∴， ∴， ∴为的中点，为的中点， ∴， ∴为等腰三角形， 设，则， ，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴均为等腰三角形． 25. 某商店购进甲、乙两种商品，若购进甲种商品3件和乙种商品4件需270元；若购进甲种商品6件和乙种商品5件需450元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别为元？ （2）该商店购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品以每件70元出售，乙种商品以每件40元出售，甲、乙两种商品全部销售完，该商店所获利润不少于1300元，求至少购甲种商品多少件？ 【答案】（1）甲商品进价为50元，乙商品进价为40元 （2）至少购甲种商品50件 【解析】 【分析】（1）等量关系式：购进甲种商品3件的费用购进乙种商品4件的费用元；购进甲种商品6件的费用购进乙种商品5件的费用元；据此列方程组，即可求解； （2）不等关系式：出售甲种商品所获利润出售乙种商品所获利润元；据此列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件进价为元，由题意得 ， 解得， 答：甲商品进价为50元，乙商品进价为40元； 【小问2详解】 解：购甲种商品件，由题意得 ， 解得， 答：至少购甲种商品50件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 26. 内接于，于点D，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，于点，交于点，交于点，点为中点，延长交于点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）延长交于点T，连接，可证明，，根据直角三角形两锐角互余和，可证明，即； （2）延长交于点T，连接，证明，得到；解直角三角形得到，设，则，则，据此可得答案； （3）延长交于点K，连接，解直角三角形得到，设，则；可证明，得到，则可推出，；解得到；解，得到，则；求出，则可得到；过点O作于点L，则，，由勾股定理得，则，证明，推出，则；由勾股定理得，则，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：如图1所示，延长交于点T，连接， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：如图2所示，延长交于点T，连接， 由（1）可知，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 【小问3详解】 解：延长交于点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴； 在中，， 由（2）可得， ∴； 如图3所示，过点O作于点L，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，两组角对应相等的两个三角形相似，直角三角形中一个锐角的正切值等于这个锐角所对的直角边的长与另一条直角边的长的比值，涉及锐角三角函数时一般要构造直角三角形求解． 27. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点坐标，点坐标． （1）求、的值； （2）如图1，点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点为抛物线顶点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴于点，过点作于点，连接交于点，延长交直线与点，过点作的垂线交于，交的延长线于点，连接，，若，求点的坐标，并判断直线与抛物线的位置关系． 【答案】（1）， （2） （3），直线与抛物线相交 【解析】 【分析】（1）将，代入抛物线的解析式，解方程求出与的值； （2）先求出点和点的坐标，根据三角形的面积公式和点到坐标轴的距离进行计算即可； （3）先用待定系数法求出直线的解析式，用的代数式表示出点、的坐标，进而求出直线的解析式，为定直线．分别过点、作轴的垂线，垂足为、，设，容易证明，从而计算出点的坐标为，则，．由直线相交求出点的坐标，利用勾股定理求出，从而证明，则．利用，求出点的坐标为，将代入直线的解析式求出的值，从而得到点的坐标．求出直线的解析式，与抛物线联立，根据交点的个数判断位置关系． 【小问1详解】 解：将，代入，得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得，抛物线的解析式为，其对称轴为直线， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， ∵点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，且点的横坐标为， ∴点的坐标为，其中， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在中，顶点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∴， 如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，设点， ∵，， ∴，， 在直角中，， ∵轴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为，，， 在直角中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 将代入直线的解析式为，得， ， 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴直线与抛物线有两个公共点，即直线与抛物线的位置关系为相交． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，利用一次函数的性质求出直线为定直线，并运用数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萧红中学九学年（下）数学学科・阶梯作业 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 （★同学们，请将所有试题答案完整书写在“答题卡”上，否则无效．★） 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年11月9日，第十五届全国运动会在广东奥林匹克中心开幕，本届运动会共有14000余名运动员参加竞技比赛项目．将14000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 将字母“C”“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第2024个图形中“H”的个数是（ ）个． A. 4048 B. 4050 C. 4052 D. 4054 8. 如图，，且，，则的值是（ ）． A B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 10. 如图，在正方形中，，P为对角线上的动点，交折线于点Q，设，的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 12 因式分解：_____． 13. 小明抛一枚质地均匀的硬币次，有7次正面朝上，当他抛第次时，正面朝上的概率为______． 14. 不等式组的解集是_____． 15. 一个扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的度数为_____． 16. 已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压________． 17. 定义一种新运算：新定义运算，则的结果是______． 18. 中，，，点D在直线上，连接，若，则的度数为_______． 19. 如图，∠ACB=60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O 在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm． 20 如图，中，，，平分，于E，交延长线于F，则下列结论： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 其中正确的结论有_________(横线上填写序号)． 三、解答题 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； （2）在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 23. 为了了解同学们线上听课时所用的电子设备类型，时代中学开展了一项调查活动，围绕“电脑、平板、学习机、手机四种电子产品中，你使用的是哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）时代中学共有1500名学生，请你估计该中学不使用电脑上课的学生有多少名？ 24. 定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直四边形”． （1）如图1，在正方形中，点分别在上，，分别连接和交于点．求证：四边形是“等直四边形”； （2）如图2，过点作的平行线交于点，连接，若正方形的面积为面积的8倍，在不添加任何辅助线的情况下，找出图中所有的等腰三角形． 25 某商店购进甲、乙两种商品，若购进甲种商品3件和乙种商品4件需270元；若购进甲种商品6件和乙种商品5件需450元． （1）求甲、乙两种商品每件的进价分别为元？ （2）该商店购进甲、乙两种商品共80件，其中甲种商品以每件70元出售，乙种商品以每件40元出售，甲、乙两种商品全部销售完，该商店所获利润不少于1300元，求至少购甲种商品多少件？ 26 内接于，于点D，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，于点，交于点，交于点，点为中点，延长交于点，连接，若，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点坐标，点坐标． （1）求、的值； （2）如图1，点在第一象限对称轴右侧的抛物线上，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点为抛物线顶点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴于点，过点作于点，连接交于点，延长交直线与点，过点作的垂线交于，交的延长线于点，连接，，若，求点的坐标，并判断直线与抛物线的位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $