重难点 菱形的性质与判定的9类题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

重难点 菱形的性质与判定的9类题型 目录 题型一、利用菱形的性质求角度 1 题型二、利用菱形的性质求线段长 6 题型三、利用菱形的性质求面积 15 题型四、利用菱形的性质证明 22 题型五、添一个条件使四边形是菱形 34 题型六、证明四边形是菱形 40 题型七、根据菱形的性质与判定求角度 50 题型八、根据菱形的性质与判定求线段长 56 题型九、根据菱形的性质与判定求面积 65 题型一、利用菱形的性质求角度 例1 如图，菱形中，，点是边上一动点，点是对角线上一动点，当最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求角度、根据成轴对称图形的特征进行求解、垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了菱形的性质、轴对称的性质、垂线段最短、直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先说明点Q关于的对称点在上，如图：作点Q关于的对称点，连接，则，即；再根据垂线段最短可知且于时，最小，有最小值；然后再根据直角三角形两锐角互余以及轴对称图形的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵菱形， ∴点Q关于的对称点在上， 如图：作点Q关于的对称点，连接，则， ∴， ∴且于时，最小，有最小值， ∵，， ∴， ∵，点Q关于的对称点， ∴， ∴， ∴当最小时，的度数为． 故选A． 【变式1-2】如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为______． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度、折叠问题 【分析】本题考查了菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质． 根据翻折变换的性质可得，然后根据等腰三角形两底角相等求出，可得，根据，求出，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案． 【详解】解：菱形沿折叠，落在边上的点处， ，，， ， 在菱形中，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）在菱形中，，则___________度． 【答案】56 【知识点】利用菱形的性质求角度、等边对等角 【分析】本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：56． 【变式1-4】如图，在菱形中，，分别以，为圆心，以大于长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交边于点，连接，，则的度数为__________． 【答案】/33度 【知识点】利用菱形的性质求角度、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】由菱形的性质得到，推出，而，即可求出，由线段垂直平分线的性质得到，推出，于是得到． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 由题意得：在的垂直平分线上， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由菱形的性质得到，由线段垂直平分线分的性质得到． 【变式1-5】如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、利用平行四边形性质和判定证明、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再由即可推出四边形是菱形； （2）由菱形性质可得，，利用直角三角形中角所对边是斜边的一半求出，利用矩形性质推出，即可得出最后结果． 【详解】（1）证明： 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形为平行四边形， 在矩形中，对角线、相交于点， ， 四边形为菱形； （2）由（1）可知四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，利用三角形全等推出四边形为平行四边形是解答本题的关键． 题型二、利用菱形的性质求线段长 例2（上海宝山期末）已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是（    ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】考查了菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 根据菱形的性质可得是等边三角形，求得，再利用勾股定理即可求出菱形的高，进而即可求解． 【详解】解：连接，过点A作交于点E，如图， ∵菱形的边长是8，一个内角是， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴菱形的面积是． 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级下·上海·月考）菱形的一个锐角为，边长为20厘米，则此菱形较长的对角线的长等于__________厘米． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】此题重点考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地画出图形是解题的关键．设菱形的边长为20厘米，，连接交于点E，则是等边三角形，所以厘米，则厘米，因为，所以厘米，则厘米，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，菱形的边长为20厘米，，连接交于点E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴厘米， ∴厘米， ∵， ∴， ∴（厘米）， ∴厘米， ∴此菱形较长的对角线的长等于厘米， 故答案为：． 【变式2-2】（跨章节-平面直角坐标系）（24-25八年级下·上海·期中）如图：菱形的顶点坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点，则的值为________． 【答案】216 【知识点】反比例函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用、菱形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先根据菱形的性质可得，再求出，代入反比例函数的解析式即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵顶点在轴的正半轴上， ∴，即， ∵反比例函数的图像经过顶点， ∴， 故答案为：216． 【变式2-3】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为___________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，即可得出，再由菱形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】（跨章节-平面直角坐标系）（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点．以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，分两种情况：①点在原点的右侧；②点在原点的左侧，并结合平移的性质即可得解．解题的关键是掌握菱形的性质及勾股定理． 【详解】解：∵点，轴， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ①点在原点的右侧，如图， ∵，点在轴上， ∴， ∵，，，， 则线段向下平移3个单位再向右平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴； ②点在原点的左侧，如图， ∵，点在轴上， ∴， ∵，，，， 则线段向下平移3个单位再向左平移个单位与线段重合，其中点是点的对应点，点是点的对应点， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 【变式2-5】（跨章节-平面直角坐标系、一次函数）（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知直线的解析式为与x轴交于点A与y轴交于点B，直线过点A且与垂直交y轴于点C． (1)求出直线的解析式． (2)点D在直线上，平面内是否存在点E使四边形是菱形，若存在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式 (2)存在， 【知识点】求一次函数解析式、利用菱形的性质求线段长、一次函数与几何综合 【分析】题目主要考查一次函数的相关性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据一次函数的解析式得出，确定，得出，，再由含30度角的直角三角形的性质确定，得出，设直线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据菱形的性质得出垂直平分，确定点D、E在直线上，然后代入，确定，再由菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解： 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线过点A且与垂直交y轴于点C， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线的解析式， 将点A、C代入得：， 解得：， ∴直线的解析式； （2）由（1）得，， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴点D、E在线段的垂直平分线上，即点D、E在直线上， 将代入得：， ∴， ∵点D、E关于对称， ∴ ． 【变式2-6】（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知菱形的边长为，，将菱形绕点按逆时针旋转，得到菱形，其中、、的对应点分别是、、． (1)填空：当旋转角为时，则点、的距离是______； (2)连接，当在的延长线上时，求的大小． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和旋转的性质得到，，根据勾股定理计算即可； （2）分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，旋转角为， ∴旋转后D与重合． 如图，连接， ∵菱形的边长为， ∴，， ∴ ∵将菱形绕点按逆时针旋转，得到菱形， ∴， ∴ 故答案为：； （2）解：当在D上方时， 如图，连接，，， ∵菱形， ∴垂直平分， 即在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴ ∴是等边三角形， 即， ∵， ∴， ∴； 当在B下方时， 同理可得； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型三、利用菱形的性质求面积 例3 如图，在菱形中，对角线相交于点，．若，且四边形的面积为18，则的值是___________． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，可判断出四边形是矩形；由菱形的面积和勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形的面积为18， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及完全平方式等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键． 【变式3-1】（24-25八年级下·上海·期中）菱形的边长为，两条对角线之比为，则菱形一边上的高的长度为_____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，如图，令，则，先利用菱形的性质及勾股定理求出，，设菱形一边上的高的长度为，再根据菱形的面积公式和平行四边形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图：菱形中，， 令，则， ∴，， ∵为菱形，边长为， ∴，， ∴在中，， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴，， 设菱形一边上的高的长度为， ∴菱形的面积， ∴， 解得， 即菱形一边上的高的长度为， 故答案为：． 【变式3-2】如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则_____，四边形的面积是_____． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积公式，垂直平分线的判定及性质，熟悉掌握辅助线的作法是解题的关键． 利用菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可求出的长；连接交于点，证出，利用勾股定求出的长，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵折叠， ∴， ∴； 连接交于点，如图所示： ∵折叠， ∴，，， ∴垂直平分， 在中，， ∴， ∴； 故答案为;；． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为________． 【答案】5 【知识点】折叠问题、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解题的关键是确定折叠后点落在射线上． 由菱形得到，，，然后根据折叠的性质确定点落在射线上，，在由三角形公式即可求解． 【详解】解：如图 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵折叠，点C的对应点为E，且点E落在线段上， ∴，折痕平分，即平分， ∴在射线上， ∴， ∴的面积为， 故答案为：5． 【变式3-4】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，菱形的面积为36，点、分别在边、上，，如果的面积为6，那么的面积为___________． 【答案】15 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的面积，连接，根据中点得到进而得到，求出，根据计算解题． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 又∵的面积为6， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-5】（24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 【答案】(1)四边形是菱形（特殊位置时为正方形），见解析 (2)， 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，勾勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，过点A分别作，，垂足分别是点E、F，证明，得出，即可得出结论；（特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，设菱形 的边长为，根据勾股定理得出，最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长 为底的四边形即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形（特殊位置时为正方形）． 证明：两张完全相同的长方形纸条， ，， 四边形是平行四边形 过点A分别作，，垂足分别是点E、F， ，， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）解：当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，正方形边长等于长方形纸条的宽，即， 所以最小面积为； 设菱形 的边长为，在由长方形长的剩余部分与宽构成的直角三角形中，一条直角边为长方形的宽 5cm，另一条直角边为，斜边为菱形边长， 根据勾股定理， 解得： 最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长为底的四边形，最大面积为 ． 【变式3-6】（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知线段AC． (1)请用无刻度直尺和圆规作出菱形ABCD，使得（不写作法和结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，如果，则菱形ABCD的面积为______，高为____． 【答案】(1)见解析 (2)4； 【知识点】利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作垂直平分线，菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于点，然后截取，得到四边形即可； （2）先根据菱形的面积等于对角线成绩的一半求出菱形的面积，然后根据勾股定理求出长，根据菱形的面积等于底乘高求出高解题即可； 【详解】（1）解：菱形即为所作； （2）解：∵， ∴菱形的面积为， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴菱形的高为， 故答案为：，． 题型四、利用菱形的性质证明 例4 菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质；连接，由菱形性质得是等边三角形，则可证明，有，则得是等边三角形，则可对各选项作出判断． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确； ∵， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D错误； 故选：D．    【变式4-1】如图，在菱形中，，点分别在边上，．若，，点在边上，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】根据等边三角形的判定与性质及菱形的性质得到边相等和角相等，再利用全等三角形的性质及勾股定理算出的长． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵在菱形中， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，，是等边三角形， ∴， ∴，， ∴在中，， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据已知条件画出辅助线是解题的关键． 【变式4-2】如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则________，______． 【答案】 /30度 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明、含30度角的直角三角形、折叠问题 【分析】根据菱形的性质得到，结合折叠得到，，，根据三角函数得到，，结合角度关系得到，进而可求出的度数，证明．在中，求出，得出，在中，求出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∵菱形沿折叠，点A、B分别落在、处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形性质，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【变式4-3】如图，已知菱形ABCD中，，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是__________． 【答案】cm/厘米 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质证明 【分析】由菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角可得△ABO是30°直角三角形，由勾股定理求得AO，再由直角三角形AEC斜边中线等于斜边一半即可解答； 【详解】解：∵ABCD是菱形，点O为BD的中点， ∴AC、BD互相垂直平分，BD平分∠ABC， ∴OB=OD，OA=OC，∠AOB=90°， ∵∠ABC=120°， ∴∠ABO=60°， ∴∠BAO=30°， ∴AB=2OB=BD=6cm， ∴AO=cm， ∵EO是Rt△AEC斜边中线， ∴OE=AC=OA=cm， 故答案为：cm； 【点睛】本题考查了菱形的性质，30°直角三角形，直角三角形斜边中线，勾股定理等知识；掌握菱形的性质是解题关键． 【变式4-4】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明出四边形是平行四边形，如图所示，连接，由菱形得到，然后证明出，即可得到平行四边形是矩形． 【详解】（1）∵在中， ∴， ∵E、F分别为边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）矩形，理由如下： ∵在中， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 如图所示，连接 ∵E为边的中点 ∴点E在上 ∵四边形是菱形 ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 【变式4-5】（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由； (3)填空：联结，如，，则的长为_______．（直接给出结果） 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，四边形是等腰梯形，理由见解析 (3) 【知识点】二次根式的乘法、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰梯形的判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）可证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质可得，则可证明平行四边形是菱形； （2）由菱形和矩形的性质分别得到，，则可证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，则四边形是等腰梯形； （3）过点E作交延长线于H，由矩形的性质可得，，证明是等边三角形，得到，则，由勾股定理可得；证明是等边三角形，得到，则，可得，，求出，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：四边形是等腰梯形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵与不平行， ∴四边形是等腰梯形； （3）解：如图所示，过点E作交延长线于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-6】（挑战压轴题-几何与函数综合）（24-25八年级下·上海嘉定·期末）定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线． 如图，在凸四边形中，如果，那么四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线． (1)下列图形中，一定是对等四边形的是________（填写你认为正确的序号） 等腰梯形；平行四边形；矩形；菱形． (2)在研究图的对等四边形的性质过程中，乐乐经过测量发现与的长度相邻，于是他猜想，你认为他的猜想正确吗?如果正确，请完成证明；如果错误，请说明理由． (3)如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点在线段上．且，如果点在线段上，且四边形为对等四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)正确，证明见解析； (3)，． 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、利用矩形的性质证明、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“对等四边形”概念即可求解； （）过作于，过作于，由四边形是对等四边形，则，从而可得，然后证明即可； （）求出直线解析式为，然后分若为对等对角线，则，若为对等对角线，则，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：根据定义可知，一定是对等四边形的是平行四边形，矩形，菱形， 故选：； （2）解：正确，理由， 过作于，过作于， ∴， ∵四边形是对等四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， ∴，解得 ∴直线解析式为， 若为对等对角线，则， 设 ∴ 解得：， 此时； 若为对等对角线，则， 设， ∴， 解得：， 此时， 综上：，． 题型五、添一个条件使四边形是菱形 例5 （24-25八年级下·上海黄浦·期末）已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了证明四边形是菱形、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，证明，得出，从而可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合各选项逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， A、∵， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； C、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； D、添加不能说明四边形是菱形，故符合题意； 故选：D． 【变式5-1】在四边形中，，添加下列条件不能推得四边形为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】A选项：若AB=CD，∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AB=AD可判定四边形ABCD是菱形； B选项：当AD∥BC时，又AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AB=AD可判定四边形ABCD是菱形； C选项：当BC=CD时，△ABD≌△BCD（SSS）， ∴∠A=∠C， ∵AB∥CD， ∴∠C+∠ABC=180°， ∴∠A+∠ABC=180°， ∴AD∥BC， 又AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AB=AD可判定四边形ABCD是菱形； D选项只能说明四边形的三条边相等，所以不能判定是菱形． 故选D． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义． 【变式5-2】如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 【答案】 (答案不唯一) 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，熟悉掌握菱形的判定方法是解题的关键． 先判定出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴只需要添加一组邻边相等或对角线垂直即可证明是菱形， 故答案为：(答案不唯一) ． 【变式5-3】已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-4】如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA． (1)求证：四边形OFGE是平行四边形． (2)猜想：当______°时四边形OFGE是菱形，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)30，证明见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、利用矩形的性质证明、添一个条件使四边形是菱形 【分析】（1）通过“点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA”得到、分别为、的中位线，再由中位线的性质可以证明且，即可证明四边形OFGE是平行四边形． （2）根据“邻边相等的平行四边形是菱形”得到时四边形OFGE是菱形，从而得到为等边三角形，推出． 【详解】（1）证明：∵矩形ABCD的对角线交于点O， ∴， 又∵点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA， ∴OE为的中位线，FG为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形OFGE是平行四边形． （2）解：由（1）知，四边形OFGE是平行四边形 当四边形OFGE是菱形时，则 ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，四边形OFGE是菱形． 故答案为：30 【点睛】本题考查了三角形的中位线、矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质，掌握矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质与判定是解题关键． 【变式5-5】（中点四边形）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 【答案】(1)平行四边形．证明见解析 (2)； (3)矩形的中点四边形是菱形． 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、中点四边形 【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形； （2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形； （3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形． 【详解】（1）四边形的形状是平行四边形．理由如下： 如图，连接． 、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下： 如图，连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，， ， ， 又四边形是平行四边形 平行四边形是菱形； 故答案为：； （3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下： 连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，，，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键． 题型六、证明四边形是菱形 例6（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、证明四边形是菱形、根据正方形的性质求线段长、折叠问题 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得，易证得四边形是菱形；⑤由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 故选：C． 【点睛】此题考查的是折叠的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海青浦·期末）在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、等腰梯形的判定定理 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形为矩形，故A正确，不符合题意； B、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴四边形为等腰梯形或矩形，故B错误，符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故C正确，不符合题意； D、如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式6-2】如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 【答案】①②③ 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图所示： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示： 故④错误； 综上所述，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 【变式6-3】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是菱形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】利用平行四边形性质证明，结合全等三角形性质推出四边形是平行四边形，再利用角平分线定义和等腰三角形性质推出，即可证明四边形为菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形性质和判定，角平分线定义，等腰三角形性质，菱形的判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【变式6-4】（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明得出，即可得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义，以及平行线的性质得出，进而可得，即可得证； （2）根据（1）的结论得出，结合已知条件得出，则四边形是平行四边形，根据菱形的性质得出，即，根据已知，等量代换得出，即，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 【变式6-5】（24-25八年级下·上海·月考）已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是菱形、根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，菱形的判定是解决问题的关键．连接交于点，先依据“”判定和全等得，进而依据“”判定和全等得，由此得，然后再根据，即可判定四边形是菱形． 【详解】证明：连接交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，，，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又，， 四边形是菱形． 【变式6-6】（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形为矩形，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）由矩形的性质可，进而得出，结合O为对角线的中点得出，即，即可得出四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （2）根据勾股定理求出，然后根据菱形的性质和勾股定理求出，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七、根据菱形的性质与判定求角度 例7 按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-2】如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则________． 【答案】66 【知识点】作线段(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式7-3】如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． 【答案】/度 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-4】如图1，在同一平面内有三条等距的平行线，，，点A在直线上，点B，D在直线上． (1)在直线上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形为平行四边形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，如图2所示，连接交直线于点O，在直线上截取，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是矩形、根据菱形的性质与判定求角度、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，尺规作图—复杂作图，菱形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，以点D为圆心，的长为半径作圆弧交于点C，连接点A，B，C，D即可； （2）先证明四边形为平行四边形，四边形为菱形，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 作，则， 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． 由（1）可知四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． ∴， ∴． ∴四边形为矩形． 【变式7-5】如图所示，为等边三角形，在外部作，且，连接．分别以点C，点F为圆心，线段长为半径画弧，两弧交于点M，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求阴影部分的面积．（面积记为S）． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求角度、证明四边形是正方形 【分析】本题考查等边三角形的性质，正方形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）由是等边三角形，推导出，，则可证明四边形为菱形，，即可证明四边形为正方形．                （2）过点B分别作于点D，于点E，由是等边三角形，求出 ．在，中，可求出，，根据，即可解答． 【详解】（1）证明：由题意可知，， 是等边三角形， ，且． ， ， ∴， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形． （2）过点B分别作于点D，于点E，如图 ∴， 是等边三角形，，且， ． 中，， ∴， 中，， ．                    ， ． 即阴影部分的面积为． 题型八、根据菱形的性质与判定求线段长 例8 （24-25八年级下·上海闵行·月考）已知平行四边形中，，，且，则平行四边形的周长为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据题意推出四边形是菱形，由勾股定理即可求得的长，继而求得菱形的周长． 【详解】解：如图，、交于点， 平行四边形中，， ，四边形是菱形， ， 菱形的周长， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，平行四边形中，，，，点E、F分别是边、边的中点，点M是与的交点，点N是与的交点，则四边形的周长是_____． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，点E、F分别是边、边的中点，可知，可证四边形为菱形，根据菱形的性质可知，且与互相平分，，为等边三角形，，，由勾股定理求，根据菱形的性质可证四边形为矩形，再求四边形的周长． 【详解】解：连接， ∵点E、F分别是边、边的中点，，， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴，且与互相平分， 同理可得：四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵四边形为菱形，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 【变式8-2】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】/ 【知识点】含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据菱形的性质与判定求线段长、线段问题(轴对称综合题) 【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可． 【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=3，∠BAO=30°， ∴OB==， ∴OA=， ∴点O关于AB的对称点F， ∴OF⊥AB，OG=FG， ∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°， ∵CE⊥AH于E，OA=OC， ∴OE=OC=OA=， ∴∠AEC=∠CAE， ∵AH平分∠BAC， ∴∠CAE=15°， ∴∠AEO=∠CAE=15°， ∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°， ∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°， ∴∠FOE=90°， ∴由勾股定理，得EF=, ∴PO+PE最小值=． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF的长是解题的关键． 【变式8-3】（跨章节-平面直角坐标系、函数）（24-25八年级下·上海青浦·期中）已知直线与x轴、y轴分别相交于、两点，点在线段上，过点作轴，交轴于点，再过作，交轴于点， (1)求直线的解析式； (2)已知点的横坐标为4，求四边形的面积； (3)联结、，当点C在线段上移动时，问与是否有可能互相垂直？如有可能，试求出点的坐标；如不可能，请简要说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)当点的坐标为时，与互相垂直 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、求一次函数解析式、公式法解一元二次方程 【分析】（1）将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）当时，，可知点的坐标为，由题意可知四边形为平行四边形，且，再根据平行四边形的面积公式即可求解； （3）由题意可知，设点的坐标为，其中，由（2）可知四边形为平行四边形，得，，，当时，四边形为菱形，此时与互相垂直，在中，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将、代入， 得，解得：， ∴； （2）当时，， ∴点的坐标为， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形，且， 则四边形的面积为； （3）当点的坐标为时，与互相垂直，理由如下： ∵， ∴， 设点的坐标为，其中， 由（2）可知四边形为平行四边形， ∴，，， 当时，四边形为菱形，此时与互相垂直， 在中，，即， 解得：（舍去）， 则， 此时点的坐标为， 综上，当点的坐标为时，与互相垂直． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等知识点，理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【变式8-4】（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据菱形的性质与判定求线段长、等腰梯形的性质定理、等腰梯形的判定定理 【分析】本题考查的是梯形的性质、菱形的判定和性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得到，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）连接，根据等腰梯形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，证明结论． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形； （2）如图，连接， 在梯形中，， 则梯形等腰梯形， ， 由（1）可知：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ． 【变式8-5】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵，菱形的面积是30， ∴ ∴ ∴． 题型九、根据菱形的性质与判定求面积 例9已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为_____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图所示： 四边形是菱形，周长是40，， ，，， ， ， 菱形的面积， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的面积公式． 【变式9-1】（跨章节-菱形与反比例函数）如图，在平面直角坐标 系中，菱形的面积为20，点在轴上，点在反比函数的图像上，则的值为________．    【答案】-10 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】连接AC交OB于点D，根据菱形的性质可得出SOCD＝×20＝5，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k值，由点C在第二象限，即可确定k的值． 【详解】连接AC交OB于点D，如图所示． ∵四边形OABC为菱形， ∴AC⊥OB， ∵菱形OABC的面积为20， ∴SOCD＝×20＝5． ∵点C在反比例函数的图象上，CD⊥y轴， ∴SOCD＝|k|＝5， 解得：k＝±10． ∵点C在第二象限， ∴k＝−10． 故答案为：-10．    【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何以及菱形的性质，根据菱形的性质找出SOCD＝×20＝5是解题的关键． 【变式9-2】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AB＝5，OA＝4，则菱形ABCD的面积_____． 【答案】24 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】根据菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直可计算出该菱形的面积. 【详解】解：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD． 在Rt△AOB中，利用勾股定理求得BO＝3． ∴BD＝6，AC＝8． ∴菱形ABCD面积为×AC×BD＝24． 故答案为24． 【点睛】本题考查了菱形的性质的灵活运用，熟练运行菱形的性质来求其面积是解决此题的关键. 【变式9-3】如图，矩形的对角线相交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)求证：； (3)若，则菱形的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、利用矩形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用矩形的性质得出，即可得出答案； （2）由（1）可得，再根据矩形的性质可证，进而得到，结合，可证，即可得出结论； （3）连接交于点F，利用矩形的性质结合勾股定理求出，，再根据四边形是菱形，证明是的中位线，求出，进而求出，最后由菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线相交于点O， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：由（1）知四边形是菱形； ∴， ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：连接交于点F， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形； ∴垂直平分，即点F是的中点， ∵四边形是矩形， ∴，即点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形中位线，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定方法是解题关键． 【变式9-4】如图，在中，，为的中点，，，交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积是 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． （1）利用直角三角形斜边中线的性质求得，证明四边形、是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质求得，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形的面积是． 【变式9-5】（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，已知，点分别在边上，且四边形是菱形． (1)请使用直尺与圆规确定点E的具体位置，再画出菱形（不用写作法、结论，保留画图痕迹）； (2)如果点M（不与点D重合）在边上，且满足，那么四边形的形状是________； (3)在（2）的条件下，如果，那么四边形的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)等腰梯形 (3) 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、等边三角形的判定和性质、作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）作的角平分线交于点E，作的垂直平分线交于点D，F； （2）结合菱形的性质和题意可得出，，即说明四边形为等腰梯形； （3）由题可证，，都为等边三角形，且边长都为4，再根据等边三角形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所作； （2）解：如图，． 由（1）可知四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴四边形为等腰梯形． 故答案为：等腰梯形； （3）解：∵四边形为菱形，四边形为等腰梯形， ∴． ∵， ∴，，都为等边三角形，且边长都为4． 如图，过点A作于点H． ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—角平分线，作图—线段垂直平分线，菱形的性质，等腰梯形的判定，等边三角形的判定和性质．利用数形结合的思想是解题关键． 2 / 72 1 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 菱形的性质与判定的9类题型 目录 题型一、利用菱形的性质求角度 1 题型二、利用菱形的性质求线段长 6 题型三、利用菱形的性质求面积 15 题型四、利用菱形的性质证明 22 题型五、添一个条件使四边形是菱形 34 题型六、证明四边形是菱形 40 题型七、根据菱形的性质与判定求角度 50 题型八、根据菱形的性质与判定求线段长 56 题型九、根据菱形的性质与判定求面积 65 题型一、利用菱形的性质求角度 例1 如图，菱形中，，点是边上一动点，点是对角线上一动点，当最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为______． 【变式1-3】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）在菱形中，，则___________度． 【变式1-4】如图，在菱形中，，分别以，为圆心，以大于长为半径，作弧交于两点，过此两点的直线交边于点，连接，，则的度数为__________． 【变式1-5】如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求的长． 题型二、利用菱形的性质求线段长 例2（上海宝山期末）已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是（    ） A．64 B．32 C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·上海·月考）菱形的一个锐角为，边长为20厘米，则此菱形较长的对角线的长等于__________厘米． 【变式2-2】（跨章节-平面直角坐标系）（24-25八年级下·上海·期中）如图：菱形的顶点坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点，则的值为________． 【变式2-3】（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为___________． 【变式2-4】（跨章节-平面直角坐标系）（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点．以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为______． 【变式2-5】（跨章节-平面直角坐标系、一次函数）（24-25八年级下·上海闵行·月考）已知直线的解析式为与x轴交于点A与y轴交于点B，直线过点A且与垂直交y轴于点C． (1)求出直线的解析式． (2)点D在直线上，平面内是否存在点E使四边形是菱形，若存在求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2-6】（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知菱形的边长为，，将菱形绕点按逆时针旋转，得到菱形，其中、、的对应点分别是、、． (1)填空：当旋转角为时，则点、的距离是______； (2)连接，当在的延长线上时，求的大小． 题型三、利用菱形的性质求面积 例3 如图，在菱形中，对角线相交于点，．若，且四边形的面积为18，则的值是___________． 【变式3-1】（24-25八年级下·上海·期中）菱形的边长为，两条对角线之比为，则菱形一边上的高的长度为_____． 【变式3-2】如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则_____，四边形的面积是_____． 【变式3-3】（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为________． 【变式3-4】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，菱形的面积为36，点、分别在边、上，，如果的面积为6，那么的面积为___________． 【变式3-5】（24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 【变式3-6】（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知线段AC． (1)请用无刻度直尺和圆规作出菱形ABCD，使得（不写作法和结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，如果，则菱形ABCD的面积为______，高为____． 题型四、利用菱形的性质证明 例4 菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在菱形中，，点分别在边上，．若，，点在边上，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则________，______． 【变式4-3】如图，已知菱形ABCD中，，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是__________． 【变式4-4】（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【变式4-5】（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由； (3)填空：联结，如，，则的长为_______．（直接给出结果） 【变式4-6】（挑战压轴题-几何与函数综合）（24-25八年级下·上海嘉定·期末）定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线． 如图，在凸四边形中，如果，那么四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线． (1)下列图形中，一定是对等四边形的是________（填写你认为正确的序号） 等腰梯形；平行四边形；矩形；菱形． (2)在研究图的对等四边形的性质过程中，乐乐经过测量发现与的长度相邻，于是他猜想，你认为他的猜想正确吗?如果正确，请完成证明；如果错误，请说明理由． (3)如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点在线段上．且，如果点在线段上，且四边形为对等四边形，请直接写出点的坐标． 题型五、添一个条件使四边形是菱形 例5 （24-25八年级下·上海黄浦·期末）已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】在四边形中，，添加下列条件不能推得四边形为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图， 在四边形中， 对角线， 相交于点， 过点作交于点．已知，若再添加一个条件可使四边形是菱形，则这个条件可以是__________． 【变式5-3】已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 【变式5-4】如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA． (1)求证：四边形OFGE是平行四边形． (2)猜想：当______°时四边形OFGE是菱形，并证明． 【变式5-5】（中点四边形）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 题型六、证明四边形是菱形 例6（24-25八年级下·上海·期中）如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中正确结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】（24-25八年级下·上海青浦·期末）在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【变式6-2】如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 【变式6-3】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，平行四边形中，点E在边上，点F在线段延长线上，且，平分，求证：四边形为菱形． 【变式6-4】（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 【变式6-5】（24-25八年级下·上海·月考）已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 【变式6-6】（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． (1)求证：四边形为菱形； (2)如果四边形为矩形，，，求的长． 题型七、根据菱形的性质与判定求角度 例7 按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则________． 【变式7-3】如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为______． 【变式7-4】如图1，在同一平面内有三条等距的平行线，，，点A在直线上，点B，D在直线上． (1)在直线上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形为平行四边形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，如图2所示，连接交直线于点O，在直线上截取，连接，求证：四边形是矩形． 【变式7-5】如图所示，为等边三角形，在外部作，且，连接．分别以点C，点F为圆心，线段长为半径画弧，两弧交于点M，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求阴影部分的面积．（面积记为S）． 题型八、根据菱形的性质与判定求线段长 例8 （24-25八年级下·上海闵行·月考）已知平行四边形中，，，且，则平行四边形的周长为______． 【变式8-1】（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，平行四边形中，，，，点E、F分别是边、边的中点，点M是与的交点，点N是与的交点，则四边形的周长是_____． 【变式8-2】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________． 【变式8-3】（跨章节-平面直角坐标系、函数）（24-25八年级下·上海青浦·期中）已知直线与x轴、y轴分别相交于、两点，点在线段上，过点作轴，交轴于点，再过作，交轴于点， (1)求直线的解析式； (2)已知点的横坐标为4，求四边形的面积； (3)联结、，当点C在线段上移动时，问与是否有可能互相垂直？如有可能，试求出点的坐标；如不可能，请简要说明理由． 【变式8-4】（23-24八年级下·上海崇明·期末）已知：如图，在梯形中，的平分线交延长线于点E，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)交点G，如果，求证：． 【变式8-5】（23-24八年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，是斜边上的中线，点E是的中点，过A作交的延长线于点F，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 题型九、根据菱形的性质与判定求面积 例9已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为_____． 【变式9-1】（跨章节-菱形与反比例函数）如图，在平面直角坐标 系中，菱形的面积为20，点在轴上，点在反比函数的图像上，则的值为________．    【变式9-2】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AB＝5，OA＝4，则菱形ABCD的面积_____． 【变式9-3】如图，矩形的对角线相交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)求证：； (3)若，则菱形的面积为_________． 【变式9-4】如图，在中，，为的中点，，，交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积是 ． 【变式9-5】（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，已知，点分别在边上，且四边形是菱形． (1)请使用直尺与圆规确定点E的具体位置，再画出菱形（不用写作法、结论，保留画图痕迹）； (2)如果点M（不与点D重合）在边上，且满足，那么四边形的形状是________； (3)在（2）的条件下，如果，那么四边形的面积是________． 2 / 72 1 / 72 学科网（北京）股份有限公司 $