拓展专题1.5 正方形4大几何模型和3种常考问题（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

拓展专题1.5 正方形4大几何模型和3种常考问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、正方形十字架模型 3 题型二、正方形对角互补模型 14 题型三、正方形手拉手模型 26 题型四、正方形半角模型 37 题型五、正方形单次折叠问题 47 题型六、正方形多次折叠问题 51 题型七、正方形面积问题 58 题型八、正方形动点最值问题 63 定义 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形 （☆） 1.定义判定 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形。 2.从边的角度判定 有一组邻边相等的矩形是正方形。 3.从角的角度判定 有一个角是直角的菱形是正方形。 4.从对角线的角度判定 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 判定一个四边形是正方形的三种方法 (1)先证它是矩形,再证有一组邻边相等或对角线互相垂直. (2)先证它是菱形,再证它有一个角是直角或对角线相等 (3)先证它是平行四边形，再证有一个角是直角且有一组邻边相等或对角线相等且互相垂直. （☆） 正方形是一种特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形，因此它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.总结如下: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是它的中心 是轴对称图形，有四条对称轴 边 对边平行 四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 （1）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （2）若正方形的边长为 ，则对角线长为 ，面积为 ． （☆） 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 题型一、正方形十字架模型 1．综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 2．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    4．数学活动：探究正方形中的十字架 （1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系： ． （2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗?如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由． （3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为 ． 5．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 题型二、正方形对角互补模型 6．背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题中出现特殊角度（如，，），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三角形的知识考查学生的学习情况． (1)如图1，，平分，过点P作，，得正方形．若，，则______； (2)如图2，，，平分，过点P作，，连接． ①是______三角形； ②若，，求的长． 7．将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（    ）. A．2 B．3 C．6 D．8 8．如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点O，E是线段上一动点（不与端点重合），连接．将沿射线平移得到，使点E的对应点F落在对角线上，连接，．①若，则线段的长为 ；② °． 9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为 ． 10．如图1，正方形中，是对角线，点在上，点在上，连接（与不垂直），点是线段的中点，过点作交线段于点． 　　　 （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）探索，，之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变，请直接写出，，之间的数量关系． 11．如图正方形对角线与相交于点O，E为上任意点（不与B，C重合），作交于点F． (1)在图1中解答下列问题： ①求证：． ②当正方形的面积为4时，小明发现以下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． (2)如图2，当点P为线段上任意点时（P不与O，C重合），E，F为分别为边，上两点，且．问：，，之间有何数量关系，并说明理由． 12．马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形的对角线、相交于点，正方形与正方形的边长相等．在正方形绕点旋转的过程中，与相交于点，与相交于点，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形的面积有什么关系． (1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的______”；请说明理由． (2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形中，，，连接．若，求四边形的面积．请你帮小颖解答这道题． 题型三、正方形手拉手模型 13．问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 14．综合与探究 问题情境：已知正方形和正方形有公共顶点C，点G在边的右侧，且，连结，． 猜想证明： (1)如图1，若点E在上，B，C，G三点在同一直线上，判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，将正方形绕着点C逆时针旋转，使得边，分别位于正方形的边的两侧，若点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将正方形绕着点C顺时针旋转，已知正方形的边长为2，正方形的边长为，当点E恰好落在线段上时，直接写出的面积． 15．已知，如图1，正方形和正方形，三点A、B、E在同一直线上，连接和， (1)判定线段和线段的数量有什么关系？请说明理由． (2)将正方形，绕点B顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． (3)若在图2中连接和，且，求正方形和正方形的面积之和为． 16．在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，连接，且P是线段的中点，连接． (1)如图1，与的关系为______； (2)如图2将条件“正方形和正方形”改为“矩形和矩形”其它条件不变，判断关系，并证明： (3)如图3，若将条件“正方形和正方形”改为“菱形和菱形”，点A、B、E在同一条直线上，连接．P是线段的中点，连接，且．求的值． 题型四、正方形半角模型 17．如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 18．如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N． (1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM； (2)求证：； (3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系． 20．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．    (1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由； (2)①当a=b时，求∠ECF的度数； ②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由． 21．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中， ，， ① ，，． 又 ② ， 在中，． ，， ③ ． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】 如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 题型五、正方形单次折叠问题 22．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（    ） A．1 B． C． D．2 23．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．4 24．如图，正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接，将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到，若点P恰好落在上，则此时折痕的长为 ． 题型六、正方形多次折叠问题 25．如图，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则 度． 26．操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接，延长交于点Q，连接．①根据以上操作，如图，当点M落在上时，则 ；②改变P在上的位置（点P不与点A、D重合），已知正方形纸片的边长为，当时，则的长为 ．    27．【实践与探究】 操作一：如图①，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与AM重合，折痕为，则______°． 操作二：如图②，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则______度． 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设与的交点为点P，求证：； （2）若，则线段的长为______． 28．实践与探究 操作一：如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为点，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，则 度． 操作二：如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点为点，我们发现，当点的位置不同时，点的位置也不同．当点在边的某一位置时，点恰好落在折痕上，则 度． 在图1中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设与的交点为点，求证； （2）若，则线段的长为 ． 题型七、正方形面积问题 29．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 30．四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是 ． 31．如图，E、F是正方形内的点，，，，，则正方形的面积为 ． 32．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为b，宽为a的长方形，并用A型卡片一张，B型卡片一张，C型卡片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2的面积关系，写出正确的等式________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要型卡片2张，型卡片________张，C型卡片________张； (3)正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中两个阴影三角形面积和． 33．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 题型八、正方形动点最值问题 34．如图所示，在正方形中，，、、分别为、、边上的动点，且，则的最小值为 ． 35．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连，的最小值为 ． 36．如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是 ．    37．如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有 ． 38．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为 ； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为 ． 1．如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（    ） A．7 B． C．9 D． 2．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为 ． 3．如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 ． 4．【问题提出】 已知正方形和正方形共顶点A，把正方形绕点A顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为5，正方形的边长为3．如图1，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为5，正方形的边长为6，如图2，将正方形由图1中的位置绕点A顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点A顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点O，当，时，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题1.5 正方形4大几何模型和3种常考问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、正方形十字架模型 3 题型二、正方形对角互补模型 14 题型三、正方形手拉手模型 26 题型四、正方形半角模型 37 题型五、正方形单次折叠问题 47 题型六、正方形多次折叠问题 51 题型七、正方形面积问题 58 题型八、正方形动点最值问题 63 定义 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形 （★★☆） 1.定义判定 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形。 2.从边的角度判定 有一组邻边相等的矩形是正方形。 3.从角的角度判定 有一个角是直角的菱形是正方形。 4.从对角线的角度判定 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 判定一个四边形是正方形的三种方法 (1)先证它是矩形,再证有一组邻边相等或对角线互相垂直. (2)先证它是菱形,再证它有一个角是直角或对角线相等 (3)先证它是平行四边形，再证有一个角是直角且有一组邻边相等或对角线相等且互相垂直. （★★☆） 正方形是一种特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形，因此它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.总结如下: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是它的中心 是轴对称图形，有四条对称轴 边 对边平行 四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 （1）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （2）若正方形的边长为 ，则对角线长为 ，面积为 ． （★★☆） 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 题型一、正方形十字架模型 1．综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明； （2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立； ②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解； （3）①当N、F在边上时，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，同理可证，求出，设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可求出的长．当N、F在的延长线上时，同理可求出的长 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）①作于点H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作于点L，    同理可证四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，    同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． ②当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 2．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∴∠APQ=∠PQM， ∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC， ∴PM=AD， ∵∠D=∠PMQ=90°， ∴△PQM≌△ADE， ∴PQ=AE， 在 中，，AD=12， 由勾股定理得： ， ∴PQ=13． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解题的关键． 3．如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    【答案】5 【分析】由正方形中“十字架”模型的解法可知，过点作于，可证()，可得，由勾股定理可求，再由“对角形互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半”，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，   ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， () ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，对角形互相垂直的四边形面积等，掌握正方形中“十字架”模型的解法是解题的关键． 4．数学活动：探究正方形中的十字架 （1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系： ． （2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗?如果相等请给出证明，如果不相等请说明理由． （3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边的中点E处，点B落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为 ． 【答案】（1）AE=BF；（2）HF=EG，证明见解析；（3） 【分析】（1）利用AAS证明△ABF≌△DAE，即可得到结论； （2）过点E作EM⊥CD，垂足为M，过点H作HN⊥BC，垂足为N，利用ASA证明△HFN≌△EGM，即可得到结论； （3）连接NE，作NP⊥AD交AD于点P，根据折叠的性质，利用勾股定理就可以列出方程，从而解出DM的长，在Rt△EFN和Rt△NEC中，得到EF2+FN2=CE2+CN2，求出FN，再利用勾股定理即可求出MN． 【详解】解：（1）AE=BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAF=∠ADE=90°， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∵BF⊥AE， ∴∠AFB+∠DAE=90°， ∴∠AED=∠AFB， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF=AE； （2）EG=HF，理由是： 如图，过点E作EM⊥CD，垂足为M，过点H作HN⊥BC，垂足为N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴EM=HN， ∵∠EPQ=90°， ∴∠PEQ+∠PQE=90°，又EM∥BC， ∴∠PQE=∠HFN， ∴∠PEQ+∠HFN=90°，又∠HFN+∠FHN=90°， ∴∠PEQ=∠FHN， 在△HFN和△EGM中， ， ∴△HFN≌△EGM（ASA）， ∴HF=EG； （3）如图，连接NE，作NP⊥AD交AD于点P， 由四边形ABCD是正方形及折叠知，FN=BN，EM=AM，EF=AB，∠EFN=∠B=90°， 在Rt△DEM中，DM2+DE2=EM2， ∵AB=BC=CD=DA=4，E为CD的中点， ∴DE=2， ∴DM2+22=（4-DM）2， 解得DM=， 在Rt△EFN中，EF2+FN2=EN2， 在Rt△NEC中，CE2+CN2=EN2， ∴EF2+FN2=CE2+CN2， ∴42+FN2=22+（4-FN）2， 解得，FN=， ∴BN=AP=， ∴MP=AD-DM-AP=4--=2， 在Rt△MPN中，MN==． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，翻折变换的问题，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 5．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， 理由如下：，N为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形． （3）解：延长交于点S， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 题型二、正方形对角互补模型 6．背景：“对角互补”是经典的四边形模型，常通过旋转构造全等三角形解决问题；若问题中出现特殊角度（如，，），则会结合等腰直角三角形或等边三角形等特殊的三角形的知识考查学生的学习情况． (1)如图1，，平分，过点P作，，得正方形．若，，则______； (2)如图2，，，平分，过点P作，，连接． ①是______三角形； ②若，，求的长． 【答案】(1) (2)①等边；② 【分析】（1）根据正方形，得到，，证，得到，由图形得，相加可得，故，根据勾股定理，即可求解． （2）①过点P作于点E，于点F，连接，根据角平分线的性质，得到，由得，故是等边三角形；②设，先证，得到，再结合，，，列方程，求得，再求出和的长度，运用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ． （2）①如图，过点P作于点E，于点F，连接， 平分， ， ， ， 是等边三角形； ②设， ， ， ， ，， ， ， ，，， ，解得， ， ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（    ）. A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】如图：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，易证≌，可得的面积是正方形的面积的，即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，即可解答. 【详解】解：如图， 连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点， 则，， ， ， ≌， 四边形AENF的面积等于的面积， 而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， 四边形AENF的面积为，三块阴影面积的和为． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，据此解题解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的． 8．如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点O，E是线段上一动点（不与端点重合），连接．将沿射线平移得到，使点E的对应点F落在对角线上，连接，．①若，则线段的长为 ；② °． 【答案】 45 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平移的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． ①根据题意以及正方形的性质证明为等腰直角三角形，求出，由勾股定理即可得到答案； ②由题意证明，根据全等三角形的性质和平移的性质得到为等腰直角三角形，即可求出答案． 【详解】解：①连接，如解图所示．由平移，可知，，则四边形为平行四边形． ，． 由正方形的性质，可知，． ． 为等腰直角三角形． ． 在中，由勾股定理， 可得． ②标记角，如解图． 由，，， ， ，． 由平移，得． ． ，， ．由平移，得． ． ． 为等腰直角三角形． ． 9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 如图，过作于，于，则四边形是正方形，证明，则，可求出的长度，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，于，则四边形是正方形 ∴ ∵ ∴，   在和中： ∴， ∴， ∴，即， 解得， (舍去)， ∴． 故答案为：． 10．如图1，正方形中，是对角线，点在上，点在上，连接（与不垂直），点是线段的中点，过点作交线段于点． 　　　 （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）探索，，之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）过作的垂线，分别交于，连接，利用正方形的性质及角平分线的性质，证明出，通过等量代换得出为等腰直角三角形即可得出结论； （2）由（1）中，得，从而得，通过等量代换计算可得，根据为等腰直角三角形即可得出结论； （3）过点作垂线，分别交于，连接，证明出，通过等量代换计算得，再根据为等腰直角三角形即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下； 过作的垂线，分别交于，连接， 为正方形， , , ， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 为等腰直角三角形， 为斜边的中点， ． （2），理由如下： 由（1）中， ， 由下图： ， 四边形为矩形， ， 在中，由正方形的性质知， ， ， 为等腰直角三角形， 又， 四边形为正方形， ， 同理四边形为矩形， ， ， ， 在中，由正方形的性质知， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． （3），理由如下： 过点作垂线，分别交于， 连接， ， ， ， 由（2）得， ， ， 由（2）可得： ， 为等腰直角三角形， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定及性质、等腰直角三角形、解题的关键是添加适当的辅助线，掌握相关的知识点，通过等量代换的思想进行求解． 11．课本再现：如图正方形对角线与相交于点O，E为上任意点（不与B，C重合），作交于点F． (1)在图1中解答下列问题： ①求证：． ②当正方形的面积为4时，小明发现以下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． (2)如图2，当点P为线段上任意点时（P不与O，C重合），E，F为分别为边，上两点，且．问：，，之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②：②③； (2)；理由见解析． 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质和构造全等三角形是解题的关键． （1）①根据正方形的性质得，则有，证明即可； ②根据正方形的面积求出边长，根据，得到，判断①，，推出，判断②；连接，利用勾股定理得和，即可判断③； （2）过点作，证明四边形为正方形，得到，证明，得到，进而得到，即可得出结论； 【详解】（1）证明：①∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵正方形的面积为4， ∴， ∵， ∴，， ∴；故①错误； ；故②正确； 连接，则在中，， ∵，， ∴， ∴；故③正确； 故答案为：②③； （2）解：；理由如下： 过点作，则： ∵正方形， ∴，平分， ∴，四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形的对角线、相交于点，正方形与正方形的边长相等．在正方形绕点旋转的过程中，与相交于点，与相交于点，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形的面积有什么关系． (1)小亮第一个举手回答“两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的______”；请说明理由． (2)马老师鼓励同学们编道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形中，，，连接．若，求四边形的面积．请你帮小颖解答这道题． 【答案】(1)，见解析 (2)18，见解析 【分析】（1）只需要证明△MOB≌△NOC得到，即可求解． （2）过作，交的延长线于，证明△EAD≌△CAB得到，AE=AC=6，则． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案为：； （2）过作，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，四边形内角和，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型三、正方形手拉手模型 13．问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 【答案】（1）等腰直角；；；（2）成立；证明见解析；（3）有，证明见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明为等腰直角三角形，根据，得出，； （2）延长交于点Q，连接，，证明，得出，，证明，得出，．根据等腰直角三角形的性质得出，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，证明，得出，证明，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，． 【详解】解：（1）延长交于点Q， ∵四边形，为正方形， ∴，，，，， ∵顶点G落在正方形的边的延长线上， ∴， ∴，， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，； （2）延长交于点Q，连接，，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵正方形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵正方形中，，，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵在正方形中，，，， ∴，， ∵在正方形中，，，四边形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 14．综合与探究 问题情境：已知正方形和正方形有公共顶点C，点G在边的右侧，且，连结，． 猜想证明： (1)如图1，若点E在上，B，C，G三点在同一直线上，判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，将正方形绕着点C逆时针旋转，使得边，分别位于正方形的边的两侧，若点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将正方形绕着点C顺时针旋转，已知正方形的边长为2，正方形的边长为，当点E恰好落在线段上时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质即可得． （2）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质可得，再根据边的关系即可得． （3）根据正方形的性质，结合边角边的证明方法可证明，再由全等三角形的性质可得，通过作辅助线，求解出和的边长即可求解面积． 【详解】（1）解：，． 理由：如图，延长BE交DG于点H． ∵四边形和都是正方形， ∴，，， ∴， ∴，． ∵，， ∴，∴，即． （2）解：． 理由：∵四边形和四边形是正方形， 点B，E，F在同一直线上，点D，F，G在同一直线上， ∴，，， 在和中， ，，， ∴， ∴． ∵，， ∴． （3）解：． ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴． 如图，连结CF交EG于点O，则有，，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与证明，三角形的面积公式．由边角边的证明方法可证明三角形全等，再结合全等三角形的性质可得边相等，角相等，再通过作辅助线，求解出和的边长的是解决本题的关键． 15．已知，如图1，正方形和正方形，三点A、B、E在同一直线上，连接和， (1)判定线段和线段的数量有什么关系？请说明理由． (2)将正方形，绕点B顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． (3)若在图2中连接和，且，求正方形和正方形的面积之和为． 【答案】(1)，见解析 (2)成立，见解析 (3)10 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）证明，由全等的性质即可得线段和线段的数量关系； （2）仍然成立；证明即可； （3）由可得，分别在与中，由勾股定理可得，由正方形面积等于两对角线乘积一半即可求得结果． 【详解】（1）解：． 理由如下：在正方形和正方形中，，， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：仍然成立． 理由如下：在正方形和正方形中，，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图2，连接，设交点为H， ∵， ∴， ∴ ， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴正方形和正方形的面积之和为． 16．在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，连接，且P是线段的中点，连接． (1)如图1，与的关系为______； (2)如图2将条件“正方形和正方形”改为“矩形和矩形”其它条件不变，判断关系，并证明： (3)如图3，若将条件“正方形和正方形”改为“菱形和菱形”，点A、B、E在同一条直线上，连接．P是线段的中点，连接，且．求的值． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据正方形的性质得，则，可得，根据P是线段的中点得，证明，可得，则，可得是等腰直角三角形，根据，即可得； （2）延长交于点H，根据矩形的性质得，可得，则，根据P是线段的中点得，证明，可得，根据得是直角三角形，可得，即可得； （3）延长交于点H，根据P是线段的中点得，根据菱形的性质和点A，B，E在同一条直线上得，则，证明，可得，根据得，可得是等腰三角形，则，，根据得，可得，结合勾股定理即可得． 【详解】（1）且；理由： 解：如图1，延长交于点H， ∵四边形和是正方形， ∴ ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴且， 故答案为：，； （2）解：如图2，延长交于点H， ∵四边形和是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图3，延长交于点H， ∵P是线段的中点， ∴， ∵四边形和四边形是菱形，点A，B，E在同一条直线上， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形， ∴（等腰三角形三线合一） ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确添加辅助线． 题型四、正方形半角模型 17．如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 【答案】45 【分析】本题考查了正方形各内角均为直角，全等三角形的判定与性质，延长使得，易证，可得，进而求证可得，再求出即可解题． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接． ， ． 在和中， ， ， ，即． ， ，即． 在和中， ， ， ． 18．如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； 设， 则， ， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴，故②不正确； 由勾股定理得：， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的为①③④， 故选：C． 19．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N． (1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM； (2)求证：； (3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质和△APB≌△AND，推出∠PAM=∠NAM=45°，利用SAS即可证明△APM≌△ANM； （2）由正方形的性质和△APB≌△AND，推出∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°，再由（1）的结论得到PM=MN，根据勾股定理即可证明； （3）将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△，则△AMN≌△，利用全等三角形的性质可得出=MN，由∠C=90°，∠CMN=45°可得出CM=CN，设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c，进而可得出=a-b，NF=b+a，在Rt△中，利用勾股定理可求出，进而可得出． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠EAF=45°． ∴∠BAM+∠NAD=45°， ∵△APB≌△AND， ∴PA=NA，∠PAB=∠NAD， ∴∠PAB+∠BAM=45°， ∴∠PAM=∠NAM=45°， 在△APM和△ANM中，， ∴△APM≌△ANM(SAS)； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°， ∵△APB≌△AND， ∴PB=ND，∠ABP=∠ADB=45°， ∴∠BPM=∠ABP+∠ABD=90°， ∴， ∵△APM≌△ANM， ∴PM=MN， ∴； （3）解：．理由如下： 将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△．如图： 过点作⊥CD于F，连接， 同（1）可证△AMN≌△， ∴=MN． ∵∠C=90°，∠CMN=45°， ∴CM=CN． 设BM=a，DN=b，CM=c，则AD=a+c，CD=b+c， ∴=AD-=AD-AB=a+c-（b+c）=a-b， NF=DN+DF=DN+=DN+BM=b+a． 在Rt△中，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用SAS即可证明△APM≌△ANM；（2）证明∠BPM=90°，利用勾股定理求解；（3）通过构造直角三角形，利用勾股定理找出． 20．如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．    (1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由； (2)①当a=b时，求∠ECF的度数； ②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)①45°；②成立，理由见解析 【分析】（1）分别表示出AE，BF及EF，计算出AE2+BF2及EF2，从而得出结论； （2）①连接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，从而得出ME=EG=GF=NF，进而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，从而得出结果； ②将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，可推出DE=EF，进而推出△DCF≌△FCE，进一步得出结果． 【详解】（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下： ∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b， ∴AE=AM= (4−a)，BE= (4−b)， ∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32）， AC=4， ∴EF=AB-AE-BF= [4-（4-a）-（4-b）]， ∵ab=8， EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32）， ∴AE2+BF2=EF2， ∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形； （2）解：①如图1，    连接PC交EF于G， ∵a=b， ∴ME=AM=BN=NF， ∵四边形CNPM是矩形， ∴矩形CNPM是正方形， ∴PC平分∠ACB， ∴CG⊥AB， ∴∠PEG=90°， ∵CM=CN=PM=PN， ∴PE=PF， ∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形， EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2， ∴PE=AE=PF=BF， ∴ME=EG=FG=FN， ∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°； ②如图2，    仍然成立，理由如下： 将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE， ∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°， ∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2， ∵EF2=BF2+AE2， ∴DE=EF， ∵CD=CF，CE=CE， ∴△DCF≌△FCE（SSS）， ∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，正方形判定和性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 21．在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，，． ，，即，． 在和中， ，， ① ，，． 又 ② ， 在中，． ，， ③ ． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________； 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明； 【拓展应用】 如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）． 【答案】问题解决：见解析；知识迁移：，证明见解析；拓展应用：，证明见解析 【分析】问题解决：由旋转的特征得，，，，证明得出，再由勾股定理计算即可得解； 知识迁移：将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接，由旋转的性质可得，，，证明得出，证明得出，，证明得出，最后再由勾股定理即可得解； 拓展应用：延长交延长线于，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交 延长线于，则，由全等三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由知识迁移可得，由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可得，即可得解． 【详解】问题解决：解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即，． 在和中， ， ， ． 又， 在中，． ，， ； 知识迁移：，证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接， ， 由旋转的性质可得：，，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴； 拓展应用：，证明如下： 如图，延长交延长线于，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交 延长线于， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知识迁移可得：， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型五、正方形单次折叠问题 22．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得，根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 23．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．先根据折叠的性质得到，设，再根据正方形的性质和勾股定理得到，，即可得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：连接，， 由折叠得四边形和四边形关于直线对称， ∴． 设， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴在中，，在中，， ， ， 即， 解得，即． 故选：B 24．如图，正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接，将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到，若点P恰好落在上，则此时折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识并掌握特殊化思想成为解题的关键．由正方形的性质以及题意可得；再根据折叠的性质可得、；如图：延长交于K，连接，则，易证可得，设，则有，根据勾股定理列方程可得，即；连接, 根据等边对等角、三角形内角和定理可得, 再根据折叠的性质可得，H是线段的中点，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为，点E，G分别为边的中点，连接， ∴， ∵将沿翻折至同一平面得到．边上有一点H，连接，又将沿翻折至同一平面得到， ∴, 如图：延长交于K，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， 在中，, ∴，解得：， ∴， 如图：连接, ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴, ∵将沿翻折至同一平面得到， ∴垂直平分， ∴，； ∵， ∴， ∴， 即H是线段的中点， ∴； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 题型六、正方形多次折叠问题 25．如图，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则 度． 【答案】45 【分析】根据折叠的性质可知，∠MAE=∠BAM，∠DAF=∠MAD，从而得到∠EAF=∠BAD，再根据四边形ABCD是正方形，得到∠BAD=90°．继而求出∠EAF的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形． ∴∠BAD=90°． ∵△ABE沿AE折叠得到△MAE． ∴∠BAE=∠MAE． ∴∠MAE=∠BAM． 同理，∠MAF=∠MAD． ∴∠EAF=∠MAE+∠MAF=（∠BAM+∠MAD）=∠BAD=×90°=45°． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了折叠性质的应用，解答这类题目的关键是弄清楚折叠后不变的量有哪些． 26．操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接，延长交于点Q，连接．①根据以上操作，如图，当点M落在上时，则 ；②改变P在上的位置（点P不与点A、D重合），已知正方形纸片的边长为，当时，则的长为 ．    【答案】 15 或 【分析】①如图，连接，根据折叠的性质可证得是等边三角形，从而得到，再证明，即可求解； ②设，则，分两种情况讨论：当点Q在上时，当点Q在上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：①如图，连接，    根据题意得：，，， ∵沿折叠，使点A落在正方形内部点M处， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：15 ②根据题意得：，， 由①得：， ∴， 设，则， 当点Q在上时， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点Q在上时， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或． 故答案为：或 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 27．【实践与探究】 操作一：如图①，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与AM重合，折痕为，则______°． 操作二：如图②，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则______度． 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设与的交点为点P，求证：； （2）若，则线段的长为______． 【答案】操作一： 45；操作二：60；（1）见解析；（2） 【分析】操作一：由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，，即可求解； 操作二：由操作可知，得出，即可求解； （1）由等腰直角三角形的性质得，再证，由证明三角形全等，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，，再证，然后由含30°角的直角三角形的性质得，，设，则，，由得出方程，求解即可． 【详解】操作一： 解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， 即， 故答案为：45； 操作二： 解：由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 故答案为：60； （1）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键，属于中考常考题型． 28．实践与探究 操作一：如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为点，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，则 度． 操作二：如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点的对应点为点，我们发现，当点的位置不同时，点的位置也不同．当点在边的某一位置时，点恰好落在折痕上，则 度． 在图1中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设与的交点为点，求证； （2）若，则线段的长为 ． 【答案】操作一：；操作二：；（1）证明见解析；（2） 【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出，，从而得出的值； 操作二：根据折叠的性质得出，，从而得出，即可求解； （1）首先利用得出，证明是等腰直角三角形，得到，根据折叠的性质和三角形的内角和定理可得，即可得证； （2）利用勾股定理求出，则，设，则，，在中，利用勾股定理得出，可求得的长，进而可得结果． 【详解】解：操作一：折叠得到，折叠得到， ，， ，， ， 故答案为：； 操作二：， ， 又沿着折叠得到， ， ， ， 故答案为：； （1）证明： 由上述证明得，， ，， ，， ， 是等腰直角三角形，即， 沿着折叠得到， ， 在和中，，， ， 在和中， ， ； （2）由题可知是直角三角形，， ， ， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， 则， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用折叠的性质，找出全等三角形． 题型七、正方形面积问题 29．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 30．四边形不具有稳定性．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形．如果，那么菱形与正方形ABCD的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含角的直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过点作于点，利用含角的直角三角形的三边关系，在直角三角形中得到，从而，菱形的面积，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示， 则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积， ∴菱形与正方形的面积之比． 故答案为：． 31．如图，E、F是正方形内的点，，，，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作交的延长线于点，证明出四边形是矩形，得到，，，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】如图，连接，过点作交的延长线于点 ，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴正方形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形求得的长是解题的关键． 32．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为b，宽为a的长方形，并用A型卡片一张，B型卡片一张，C型卡片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2的面积关系，写出正确的等式________； (2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要型卡片2张，型卡片________张，C型卡片________张； (3)正方形，如图3摆放，边长分别为x，y．若，，求图中两个阴影三角形面积和． 【答案】(1) (2)3，7 (3)8 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式的几何背景及其应用，理解题意，看懂图形，会利用不同方法表示面积，并灵活运用所得结论是解答的关键． （1）用两种方法表示出大正方形的面积，即可求解； （2）先计算，再根据面积不变结合乘法的结果可得答案； （3）根据图形得到，利用完全平方公式分别求得和即可求解． 【详解】（1）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴要拼出一个面积为的矩形， 需要A型卡片2张，B型卡片3张，C型卡片7张； 故答案为：3，7； （3）解：由题知：，， 则， ∴， ∴， ∴ (负值舍去)， 图中阴影部分面积为：． 33．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案； （2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立； （3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积． 【详解】解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 题型八、正方形动点最值问题 34．如图所示，在正方形中，，、、分别为、、边上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．延长至，使，延长至，使，延长至，使，连接，，，，证明和，推出和，由两点之间线段最短，知当共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 延长至，使，延长至，使，延长至，使，连接，，，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， 故答案为：． 35．如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连，的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得；连接，根据正方形的性质、利用定理证出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根据垂线段最短求出的最小值，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， 四边形为正方形， ，， ，且， 四边形为正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中，， ， ， 矩形为正方形． 如图，连接， 四边形为正方形，， ， ， 矩形为正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 36．如图，点是正方形的对角线上一个动点，于点，于点，连接，有下列5个结论：①；②；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值等于．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①②④⑤ 【分析】延长交于点N，延长交于点M，证明得到，即可判断①④；根据三角形的内角和定理即可判断②；根据P的任意性可以判断③；根据，当最小时，有最小值，即可判断⑤． 【详解】解：延长交于点N，延长交于点M，    ∵四边形是正方形． ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，，四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故①④正确； 在与中，， ∴， ∴，故②正确； ∵P是上任意一点， ∴的长不确定，即是等腰三角形不一定成立，故③错误； ∵， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵， ∴此时P为的中点， 又∵， ∴，即的最小值为，故⑤正确； 故正确的是：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，正确证明，以及理解P的任意性是解决本题的关键． 37．如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有 ． 【答案】①③ 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 38．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为 ； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为 ． 【答案】 3 或 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 1．如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】根据题意得，由正方形性质得，，然后通过同角的余角相等得，进而证得，根据全等三角形的性质得到，通过勾股定理求出，最后直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解： 四边形是正方形 ，， ，，， 在和中， 为的中点 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，同角的余角相等等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．如图，在边长为的正方形中，若分别是边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，理解点的运动，得到点在以为直径的圆弧上运动，掌握正方形的性质，勾股定理的计算是关键． 根据正方形的性质可证，得到，即，则点在以为直径的圆弧上运动，根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点在以为直径的圆弧上运动，如图所示，取的中点，以点为圆心，以为半径画弧， ∴根据两点之间线段最短，得当点共线时，，此时的值最小， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 3．如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 ． 【答案】36 【分析】由，，，，得，，由翻折得，，，，，，则，求得，则四边形是矩形，而，所以四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，由勾股定理得，求得符合题意的m值为6，所，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，，，，， ，， 由翻折得，，，，，， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为m，则，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：36． 【点睛】此题重点考查翻折变换的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形是正方形是解题的关键． 4．【问题提出】 已知正方形和正方形共顶点A，把正方形绕点A顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为5，正方形的边长为3．如图1，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为5，正方形的边长为6，如图2，将正方形由图1中的位置绕点A顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图3，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点A顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点O，当，时，求的长． 【答案】（1），（2），（3） 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质和相似三角形的性质找边之间的关系，再利用勾股定理求解． （1）利用勾股定理求出的长； （2）连接，可证点A、D、G三点共线，利用正方形的性质可求，再利用勾股定理求出的长度； （3）过点G作垂足在的延长线上，可证，利用相似三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为5，正方形的边长为3， ∴，，， ∴， 在中，， ∴； （2）如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可知，， ∴点A、D、G三点共线， ∵正方形的边长为6， ∴， ∵正方形的边长为5， ∴，， 在中，； （3）如图，过点G作垂足在的延长线上， ∴， ∵四边形是矩形， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由旋转可知， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， ∴，， 在中，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $