重难点 矩形的性质与判定的13类题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

重难点 矩形的性质与判定的13类题型 目录 题型一、矩形性质理解 1 题型二、利用矩形的性质求角度 8 题型三、根据矩形的性质求线段长 13 题型四、根据矩形的性质求面积 20 题型五、利用矩形的性质证明 26 题型六、求矩形在坐标系中的坐标 36 题型七、矩形与折叠问题 44 题型八、矩形的判定定理理解 51 题型九、添一条件使四边形是矩形 56 题型十、证明四边形是矩形 61 题型十一、根据矩形的性质与判定求角度 71 题型十二、根据矩形的性质与判定求线段长 79 题型十三、根据矩形的性质与判定求面积 90 题型一、矩形性质理解 例1下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、矩形性质理解、正方形的判定定理理解、判断命题真假 【分析】此题考查了命题与定理的知识，掌握平行四边形的性质、菱形、正方形的判定及矩形的性质是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质，菱形的性质及正方形的性质，矩形的判定定理，结合选项即可得出答案． 【详解】解；A、平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形的判定定理，是真命题，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，根据矩形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，是假命题，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-1】矩形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．两组对角相等 D．两组对边平行且相等 【答案】B 【知识点】矩形性质理解 【详解】试题分析：A、C、D是矩形和平行四边形都具有的性质，对角线相等是矩形具有的性质而平行四边形不具有，故A和C，D都不对．故选B． 考点：1．矩形的性质；2．平行四边形的性质． 【变式1-2】如图矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成，如果为等腰直角三角形，矩形的长宽恰好是的两个实数根，则矩形纸片的面积是_____________． 【答案】8 【知识点】等腰三角形的定义、矩形性质理解、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，先根据矩形的性质，等腰直角三角形的性质等得出，然后根据一元二次方程根与系数的关系得出，，化简可，解方程即可求解． 【详解】解：∵矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵矩形的长宽恰好是的两个实数根， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴， ∴矩形纸片的面积是， 故答案为∶ 8． 【变式1-3】平行四边形中，E、F分别在、上，连接、交于点G，连接、交于点H，四边形是矩形． (1)如图1，连接，如果，求证：①；②； (2)如图2，若，且，又，用含a、b的代数式表示的长．请直接写出结果： _______． 【答案】(1)①见解析②见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、矩形性质理解、利用平行四边形性质和判定证明、全等三角形综合问题 【分析】（1）①连接，证明四边形及都是平行四边形，得出，即可得出； ②先证明四边形为平行四边形，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是菱形，得出，即可得出结论； （2）过点A作于点M，于点N，证明，得出， 证明，得出，，证明与为等腰直角三角形，得出，，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）证明：①连接，如图所示： 四边形是矩形， ， 即， 又， ∴， 四边形及都是平行四边形， ， ； ②由①得，E为中点， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理可得F为中点， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， ，即， 四边形是菱形， ， ． （2）解：过点A作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵中， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵矩形中， ∴， ∴与为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式1-4】已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形、矩形性质理解、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过矩形的性质得出证明，得出，再结合矩形的性质，即可作答． （2）经过角的等量代换得出，结合，得出，证明，得出，得出四边形是平行四边形，结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴ ∵是边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【变式1-5】图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图． (1)在图①中的边BC上确定一点P，使点P到边、的距离相等． (2)在图②中的边上确定一点Q，连接，使平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】格点作图题、根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理、矩形性质理解 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，解决本题的关键是综合掌握以上知识． （1）取上的格点，得到，利用等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可确定一点P，使点P到边的距离相等； （2）根据三角形的中线平分的面积，利用矩形的性质确定边的中点Q即可． 【详解】（1）解：如图①中，点即为所求， ∵， ∴由图可得平分， ∴点P到，的距离相等． （2）解：如图②中，点Q即为所求， 由图可得点Q是的中点， ∴是的中线， ∴． 题型二、利用矩形的性质求角度 例2如图，矩形的对角线与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据矩形的性质，证出，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 故选：C． 【变式2-1】如图，矩形中，，点E在上，且，则______． 【答案】/75度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用矩形的性质求角度、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 先得到，再中，由锐角三角函数求得，再由平行得到，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】在矩形中，点为对角线的交点，，平分交于点E，则的度数是______． 【答案】/30度 【知识点】角平分线的有关计算、等边对等角、等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的性质，推出为等边三角形，得到，，角平分线求出，得到，进而得到，等边对等角结合角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-3】如图，已知矩形中，点E在边的延长线上，且，连接交于F，如果，那么的度数为_________． 【答案】60°/60度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质求角度 【分析】连接AC，交BD于点O，由矩形的对角线相等且互相平分可得∠CAE=∠E=20°，由三角形外角的性质可得∠ACB，由等边对等角可得∠OBC，进而求得∠BOC，△AOF中由三角形内角和定理可得∠AFO． 【详解】解：如图，连接AC，交BD于点O， ABCD是矩形，则BD=AC， CE=BD，则CE=AC， ∠E=20°，则∠CAE=20°， ∴∠ACB=∠CAE+∠E=40°， ∵OB=BD，OC=AC， ∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=40°， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=100°， ∴∠AOF=∠BOC=100°， ∵∠OAF=20°， ∴∠AFO=180°-∠OAF-∠AOF=60°， ∴∠AFB=60°， 故答案为：60°； 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握矩形的性质是解题关键． 【变式2-4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大小为____． 【答案】35° 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的性质求得∠BAO的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OB，∠ABC＝90°， 又∵∠AOB＝70°， ∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣70°）＝55°， ∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝90°﹣55°＝35°． 故答案为：35°． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 【变式2-5】如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】等边对等角、证明四边形是平行四边形、利用矩形的性质求角度 【分析】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、等边对等角等知识，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据矩形的性质和已知即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出，由矩形的性质和等边对等角得到，最后由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 在矩形中，， ∴， 在中，． 【变式2-6】如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 【答案】∠DCE＝22.5° 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质求角度 【分析】由已知条件可先求得∠DOC，在Rt△OCE中可求得∠ECO，再由矩形的性质可知OC＝OD，则可求得∠DCE． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD＝90°，OC＝OD， ∴△OCD是等腰三角形， ∴∠DCO＝∠ODC， ∵CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE， ∴∠DOC＝∠ECO＝45°， ∴∠DCO＝＝67.5°， ∴∠DCE＝∠DCO﹣∠OCE＝22.5°． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，利用矩形的性质求得∠DOC是解题的关键，注意OC＝OD的应用． 题型三、根据矩形的性质求线段长 例3将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据矩形的性质和勾股定理求出，证明，得到，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 故选：D． 【变式3-1】在矩形中，对角线，则矩形的面积为（  ） A．48 B．60 C．80 D．96 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据矩形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理等知识 ，根据矩形的性质以及勾股定理求得的长是解题的关键． 利用矩形的对角线相等和勾股定理，求出另一条边的长度，再计算矩形面积． 【详解】解：∵ 在矩形中，对角线， ∴ 在中，，为斜边， 由勾股定理得：，即， ∴ 矩形面积． 故选A． 【变式3-2】如图，矩形，，，点F在边上，沿直线翻折，点B落在点E处，当点E恰好在的角平分线上，则______． 【答案】或． 【知识点】角平分线的有关计算、勾股定理与折叠问题、根据矩形的性质求线段长、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换（折叠问题）、角平分线的性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是利用折叠的性质得到对应边相等，结合角平分线的性质构造直角三角形，通过勾股定理列方程求解．​ 过点 E 作垂线构造矩形和等腰直角三角形，利用角平分线性质设出相关线段长度；根据折叠性质得到，在直角三角形中用勾股定理求出的可能值；再针对不同的值，结合折叠后，在直角三角形中再次利用勾股定理列方程，求出的长度． 【详解】解：如图，连接，过点E作于点M，延长交于点N， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点E恰好在的角平分线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设，则， 由折叠的性质得：， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴或， 故答案为：或． 【变式3-3】如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】由矩形的性质可证是等边三角形，可得 ，由三角形中位线定理可得，可求，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E、F、G分别为中点， ∴， ∴， ∵四边形周长为8 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质是解题的关键． 【变式3-4】如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，即，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据矩形的判定得出即可； （2）根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，推出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）∵四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【变式3-5】如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据等角对等边证明边相等、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等面积法，余角定理，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据矩形的性质得出直角和相等的边，然后利用勾股定理和等面积法求出线段的长度即可； （2）过F作于点M，过F作于点N，利用勾股定理和等面积法求出相关线段的长度，得出，，然后利用等角的余角相等得出，最后利用等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由勾股定理得； ∵， ∴由等面积得，， ∴； （2）证明：过F作于点M，过F作于点N， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由等面积可得， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）， 同理：， ∴， ∴． 题型四、根据矩形的性质求面积 例4 如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式加减的应用、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形面积的相关知识，解题的关键是利用中点性质和三角形面积关系进行推导． 通过连接，分析三角形面积之间的关系，从而得出阴影部分面积． 【详解】解：连接．    在长方形中，和等底等高， ， 同理可证，， 是的中点，， 是的中点，， ， ． 故选：B． 【变式4-1】如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算，由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故选：B． 【变式4-2】如图所示，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点．若图中阴影部分的面积为6，则矩形的面积为_____． 【答案】24 【知识点】根据矩形的性质求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查矩形性质，全等三角形判定及性质等．根据题意利用矩形性质证明，继而得到面积为6，再根据矩形性质即可得到本题答案 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵阴影部分的面积为6， ∴面积为6， ∵过点O的直线分别交于点，矩形，为中点， ∴， ∴， ∴矩形的面积：， 故答案为：24． 【变式4-3】如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求面积、证明四边形是菱形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的面积等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键. （1）证明四边形是平行四边形，再根据矩形性质可得利用菱形的判定即可证得结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后求出矩形的面积即可． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线，相交于点， ，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-4】如图，王师傅家的院子里有一块矩形空地，他准备在空地中间修建一个矩形水池，其余地方种植蔬菜．已知矩形空地的长为，宽为，矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植蔬菜的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质求面积、二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据矩形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由矩形空地的面积减去矩形水池的面积得到种植蔬菜的面积即可求解． 【详解】（1）解∶ ， 答：矩形空地的周长为； （2）解∶ ， 答：种植蔬菜的面积为． 【变式4-5】（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 【答案】探究规律：，理由见详解；解决问题：； 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查平行四边形性质，矩形的性质： （1）过作并延长交于F，根据平行四边形得到，，结合平行线间距离处处相等得到即可得到答案； （2）过作并延长交于T，过作并延长交于N， 结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案； 【详解】解：探究规律：过作并延长交于F， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 解决问题：过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接：，，，， ∵四边形是矩形，，，，， ∴，，，，， ， ∵，， ∴，， ∴ ． 题型五、利用矩形的性质证明 例5如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、利用矩形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形 【分析】先利用矩形的性质进一步得出，再根据三角形中位线的判定和性质得出四边形是菱形，再证明为等腰直角三角形，进而可得出，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下∶ ∵点E是的中点， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、F、H分别是、、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，点E是的中点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是正方形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质等知识，掌握正方形的判定是解题的关键． 【变式5-1】如图，四边形为菱形，点E是的中点，点F，H是对角线上两点，且，点G在边上．若四边形是矩形，则菱形的周长为_________． 【答案】12 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解、利用矩形的性质证明、利用菱形的性质证明 【分析】连接，先根据矩形和菱形的性质，推出，得到，进而得到，证明四边形是平行四边形，得到，即可求出菱形的周长． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形，， ，，， ， ，， ， 四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ， 是中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形的周长为， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键． 【变式5-2】如图，矩形的对角线和相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由； (3)填空：联结，如，，则的长为_______．（直接给出结果） 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，四边形是等腰梯形，理由见解析 (3) 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰梯形的判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）可证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质可得，则可证明平行四边形是菱形； （2）由菱形和矩形的性质分别得到，，则可证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，则四边形是等腰梯形； （3）过点E作交延长线于H，由矩形的性质可得，，证明是等边三角形，得到，则，由勾股定理可得；证明是等边三角形，得到，则，可得，，求出，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：四边形是等腰梯形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵与不平行， ∴四边形是等腰梯形； （3）解：如图所示，过点E作交延长线于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，直线AB经过点和，，经过点并且与y轴垂直的直线与直线交于第一象限内点C． (1)求直线的表达式； (2)在x轴上有一点Q，若的面积为8，求点Q的坐标； (3)点P在x轴上，在平面内是否存在点H，使得以点A、C、P、H为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)Q坐标为或 (3)或 【知识点】利用矩形的性质证明、已知两点坐标求两点距离、一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】（1）设直线解析式为，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线解析式； （2）设，过C作，表示出，由直线解析式求出C坐标，求出的长，根据三角形面积为8求出q的值，确定出满足题意Q的坐标即可； （3）分当为对角线时和当为边时两种情况求解即可． 【详解】（1）设直线解析式为， 把，代入得， 解得：， 则直线解析式为； （2）设，过C作，如图所示， 对于直线解析式，把代入得：，即， ∴，， ∴，即， 解得：或， 则Q坐标为或； （3）设，分两种情况考虑， ①当为对角线时，如图所示： ∵以点A、C、P、H为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． ②当为边时，如图所示： ∵以点A、C、P、H为顶点的四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 综上可知，点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，矩形的性质，勾股定理，数形结合是解本题的关键． 【变式5-4】定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线． 如图，在凸四边形中，如果，那么四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线． (1)下列图形中，一定是对等四边形的是________（填写你认为正确的序号） 等腰梯形；平行四边形；矩形；菱形． (2)在研究图的对等四边形的性质过程中，乐乐经过测量发现与的长度相邻，于是他猜想，你认为他的猜想正确吗?如果正确，请完成证明；如果错误，请说明理由． (3)如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点在线段上．且，如果点在线段上，且四边形为对等四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)正确，证明见解析； (3)，． 【知识点】利用菱形的性质证明、利用矩形的性质证明、利用平行四边形的性质求解、求一次函数解析式 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“对等四边形”概念即可求解； （）过作于，过作于，由四边形是对等四边形，则，从而可得，然后证明即可； （）求出直线解析式为，然后分若为对等对角线，则，若为对等对角线，则，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：根据定义可知，一定是对等四边形的是平行四边形，矩形，菱形， 故选：； （2）解：正确，理由， 过作于，过作于， ∴， ∵四边形是对等四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， ∴，解得 ∴直线解析式为， 若为对等对角线，则， 设 ∴ 解得：， 此时； 若为对等对角线，则， 设， ∴， 解得：， 此时， 综上：，． 题型六、求矩形在坐标系中的坐标 例6如图，矩形的顶点和分别落在轴与轴的正半轴上，，．若直线经过矩形对角线的交点，则的值为（   ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题考查了矩形的性质（对角线互相平分）与一次函数的待定系数法，解题关键是先确定对角线交点坐标，再代入直线方程求解参数． 先确定矩形对角线交点的坐标，再将其代入直线方程求解的值． 【详解】解：，， 点的坐标为，点的坐标为，则线段的中点坐标为． 直线经过矩形对角线的交点，即经过线段的中点， 把代入，得，解得． 故答案为：D． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为________． 【答案】10 【知识点】一次函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，根据题意求出点A和点C的坐标，进而求出的中点的坐标，由平移方式可得平移后的直线解析式，根据矩形的性质可得平移后的直线一定经过的中点，据此求解即可． 【详解】解：∵，且点A在x轴的正半轴上， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴的中点坐标为， ∵将直线l向上平移m个单位， ∴平移后的直线解析式为， ∵四边形是矩形， ∴点是矩形的中心， ∵平移后的直线平分矩形的面积， ∴平移后的直线一定经过点， ∴， ∴， 故答案为：10． 【变式6-2】如图，以长方形的两条对称轴作为x轴、y轴建立平面直角坐标系，若点B的坐标为，则点A的坐标为____________，点C的坐标为______，则点D的坐标为____． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、 求矩形在坐标系中的坐标、坐标与图形变化——轴对称、成中心对称 【分析】本题考查了长方形的性质，轴对称和中心对称图形的性质．根据轴对称和中心对称的性质，得出对称点的坐标关系是解答本题的关键．根据题意，可知A、B两点关于x轴对称，B、D两点关于原点O对称，B、C两点关于y轴对称，然后由轴对称的性质求出A、C、D三点的坐标． 【详解】解：长方形的两条对称轴作为x轴，y轴． 、B两点关于x轴对称，，，则点A坐标为； B、C两点关于y轴对称，，，则点C坐标为； B、D两点关于原点O对称，，，则点D坐标为； 故答案为：；；． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交于点M、N，反比例函数的图像经过点M、N． (1)求反比例函数的表达式及点M，N的坐标； (2)观察图像，当时，写出关于x的不等式的解集； (3)若点P在第一象限内的反比例函数图像上，且的面积是四边形面积的倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、 求矩形在坐标系中的坐标、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识； （1）根据点的坐标，矩形的性质可求点的纵坐标，点的横坐标，把点的纵坐标，点的横坐标代入直线解析式可求点的横坐标，点的纵坐标，把点的坐标代入反比例函数解析式即可求出，即可求解； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据割补法求出四边形面积，然后根据“的面积是四边形面积的倍”可求点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ， 将代入得：， 解得：， ， 将代入得：， ． 把的坐标代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式是． （2）解：根据图象可得，当时，的解集为或． （3）解：由题意可得：， ∵的面积是四边形面积的倍， ， 即，解得：， ． 【变式6-4】如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【知识点】一次函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】（1）把点A的坐标代入解析式可得n的值，进而可求解点B坐标； （2）由中点公式得点，则有直线的表达式为：，设点，则点，然后根据题意分类讨论进行求解即可； （3）设，点，而点、的坐标分别为、；由题意可分当是矩形的边时，当是矩形的对角线时，然后结合两点距离公式及中点坐标公式可进行求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， 故直线的表达式为：， 令，则， ∴点； （2）解：点为线段的中点， 则由中点公式得，点，即， 设直线的表达式为：，则有：， ∴， 则直线的表达式为：， 设点，则点， 当点在轴右侧，且在点右侧时， ； 当点在轴右侧，且在点左侧时， ； 当点在轴左侧时， 同理可得：；故或； （3）解：设，点，而点、的坐标分别为、； ①当是矩形的边时， 则点与点A重合，故点，故点； ②当是矩形的对角线时， 由中点公式得：且①， 由矩形的对角线相等得：，即②， 联立①②并解得：， 故点，； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数与几何的综合，熟练掌握中点坐标公式及一次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式6-5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别落在x轴，y轴上，．平分交于点D，点P在射线上，以为边作． (1)求证：； (2)当为菱形时，求Q的坐标； (3)当为直角三角形时，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)16或8或48 【知识点】因式分解法解一元二次方程、已知两点坐标求两点距离、 求矩形在坐标系中的坐标、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质、坐标与图形、求一次函数解析式、勾股定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． （1）分别求得，即可证得结论； （2）先根据矩形性质和等腰三角形的判定得到，，，再利用待定系数法求得直线的函数表达式为，设，则，由菱形性质得到，，进而利用两点坐标距离公式列方程求得m值即可求解； （3）分两种情况：①当时，②当时，利用勾股定理和两点坐标距离公式列方程求得m值，进而得到对应的点P坐标即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分交于点D， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 设的函数关系式为， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴，，即轴 ∴， 解得，， ∴或， ∵轴，， ∴或； （3）解：由（2）可得，又，， ∴， ， 当为直角三角形时，有两种情况： ①当时，， ∴， 解得，， ∴当时，，则P与C重合， ∴的面积为； 当时，，又，， ∴的面积为； ②当时，， ∴， 解得， ∴，又，， ∴的面积为， 综上，的面积为16或8或48． 题型七、矩形与折叠问题 例7如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 【变式7-1】如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在中点处时，周长最大 D．保持不变 【答案】D 【知识点】矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题主要考查正方形与折叠问题，勾股定理，根据题意知，可证明四边形是矩形，可得，由勾股定理得，从而可求出阴影部分周长进而解决问题． 【详解】解：根据题意知，，且均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴阴影部分的周长， ∵是定值， ∴阴影部分的周长不变， 故选：D． 【变式7-2】把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G．连接（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查矩形性质及翻折问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到．先由折叠的性质及矩形的性质可得，从而判断出选项A；由全等的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再由平行线的判定即可判断选项B；设，则，中，，列出方程求解，即可判断出选项C；由折叠性质可得，再由，可得，再判断选项D． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， 在和中， ， ， 故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故B正确，不符合题意； 设，则， 中，， ， 解得：， ， ， ， 故C不正确，符合题意； 矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， ， ， 故D正确，不符合题意， 故选：C 【变式7-3】如图，已知在矩形中，，，将这个矩形沿直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交边于点E，那么等于_______度． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了翻折问题，解决本题的关键是由翻折得到． 由翻折得到，先根据勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，所以，进而求出，再根据为等腰三角形，得到，进而求出． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-4】如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在F处，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】6或3 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．当为直角三角形时，需要分类讨论：分与两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：当时，三点共线， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理的， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 当时，四边形为正方形， ∴， 故答案为：6或3． 【变式7-5】（1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，得出四边形是矩形，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可证明四边形为正方形； （2）根据矩形与正方形的性质，推出，，根据折叠的性质，得出，，根据勾股定理计算，由计算出的长，设，则，根据勾股定理，，列出方程求解，由，计算得出答案即可． 【详解】解：（1）证明：∵在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴四边形为正方形； （2）∵四边形是矩形，，，由（1）得四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∵将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠问题、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、运用勾股定理计算求解是解题的关键． 题型八、矩形的判定定理理解 例8下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和确定事件的概念的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识逐一判断每句话的是否是确定事件，然后即可求解； 【详解】解：（1）不是确定事件，不符合题意，一组对边平行且相等才是平行四边形，仅一组对边平行且另一组对边相等可能是等腰梯形，不一定是平行四边形； （2）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线互相平分，若对角线相等，则符合矩形的判定定理，故该命题成立； （3）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线平分一组对角时，邻边相等，四条边均相等，故为菱形； （4）不是确定事件，不符合题意，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，若其不是平行四边形（如对角线不互相平分），则无法保证是正方形； 综上，是确定事件的有（2）和（3），共2个， 故选：B； 【变式8-1】在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【答案】B 【知识点】等腰梯形的判定定理、证明四边形是菱形、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点，熟练掌握各四边形的判定与性质是解题的关键． 根据矩形的判定，菱形的判定，等腰梯形的判定等知识点逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形为矩形，故A正确，不符合题意； B、∵，若， ∴四边形可能为等腰梯形或平行四边形， ∵， ∴四边形为等腰梯形或矩形，故B错误，符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故C正确，不符合题意； D、如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式8-2】在四边形中，点、、、分别是各边的中点，四边形是正方形，下列选项中正确的是（   ） A．四边形一定是矩形 B．四边形一定是正方形 C．四边形的对角线相等且垂直 D．四边形有一组邻边相等且有一个内角是直角 【答案】C 【知识点】正方形的判定定理理解、矩形的判定定理理解、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查中点四边形的性质，解题的关键是掌握三角形中位线定理以及中点四边形与原四边形对角线的关系． 利用三角形中位线定理，得出中点四边形的边与原四边形对角线的关系，再结合正方形性质判断原四边形对角线特征． 【详解】中点四边形性质：四边形各边中点连线形成的四边形（中点四边形）的边平行于原四边形的对角线，且长度为对角线的一半． 正方形条件：若中点四边形为正方形，则其四条边相等且互相垂直． 边相等：原四边形的两条对角线长度相等（若中点四边形边长为原对角线的一半，则对角线相等）． 边垂直：原四边形的对角线互相垂直（若中点四边形邻边垂直，则原对角线垂直）． A、B错误，原四边形不一定是矩形或正方形，只需满足对角线相等且垂直即可； C正确：对角线相等且垂直是原四边形满足中点四边形为正方形的充要条件； D错误：原四边形可能无邻边相等或直角，仅需对角线满足条件． 【变式8-3】以下说法中正确的是___（填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 【答案】⑥ 【知识点】证明四边形是平行四边形、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】根据平行四边形，矩形，正方形和菱形的判定方法进行判断． 【详解】解：①一组对边平行、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ②一组对边相等，一组邻角相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ③两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，更不是矩形，故此说法不符合题意； ④对角线相等且相互垂直平分的四边形为正方形，故此说法不符合题意； ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，故此说法不符合题意； ⑥一组对边平行且相等，且有一个角为直角的四边形是矩形，正确，故此说法不符合题意； 故答案为：⑥． 【点睛】本题综合考查了对平行四边形及特殊平行四边形判定的运用，综合性较强．熟悉四边形及特殊四边形的判定方法是关键． 【变式8-4】以△ABC的三边在BC同侧分别作三个等边三角形△ABD，△BCE ，△ACF，试回答下列问题： （1）四边形ADEF是什么四边形？请证明： （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？ （4）当△ABC满足什么条件时，能否构成正方形？ （5）当△ABC满足什么条件时，无法构成四边形？ 【答案】（1）见解析；（2）当△ABC中的∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；（3）当△ABC中的AB=AC时，四边形ADEF是菱形；（4）当∠BAC=150°且AB=AC时，四边形ADEF是正方形；（5）当∠BAC=60°时，D、A、F为同一直线，与E点构不成四边形，即以A、D、E、F为顶点的四边形不存在． 【知识点】判断能否构成平行四边形、矩形的判定定理理解、添一个条件使四边形是菱形、正方形性质理解 【分析】（1）通过证明△DBE≌△ABC，得到DE=AC，利用等边三角形ACF，可得DE=AF， 同理证明与全等，利用等边三角形，得AD=EF，可得答案．（2）利用平行四边形ADEF是矩形，结合已知条件等边三角形得到即可．（3）利用平行四边形ADEF是菱形形，结合已知条件等边三角形得到即可．（4）结合（2）（3）问可得答案．（5）当四边形ADEF不存在时，即出现三个顶点在一条直线上，因此可得答案。 【详解】解：（1） ∵△BCE、△ABD是等边三角形， ∴∠DBA=∠EBC=60°，AB=BD，BE=BC， ∴∠DBE=∠ABC， ∴△DBE≌△ABC，    ∴DE=AC， 又△ACF是等边三角形，  ∴AC=AF， ∴DE=AF， 同理可证：AD=EF，        ∴四边形ADEF是平行四边形． （2） 假设四边形ADEF是矩形， 则∠DAF=90°， 又∠DAB=∠FAC=60°，  ∠DAB+∠FAC+∠DAF+∠BAC=360° ∴∠BAC=150°． 因此当△ABC中的∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形． （3）假设四边形ADEF是菱形， 则AD=DE=EF=AF ∵AB=AD，AC=AF，∴AB=AC 因此当△ABC中的AB=AC时，四边形ADEF是菱形． （4）结合（2）（3）问可知当∠BAC=150°且AB=AC时， 四边形ADEF是正方形． （5）由图知道：∠DAB+∠FAC+∠DAF+∠BAC=360° ∴当∠BAC=60°时，D、A、F为同一直线，与E点构不成四边形， 即以A、D、E、F为顶点的四边形不存在． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形，矩形，正方形的性质与判定，全等三角形的判定，等边三角形的性质等知识点的应用，是一道综合性比较强的题目，掌握相关的知识点是解题的关键． 题型九、添一条件使四边形是矩形 例9如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A． ∵，∴，即，平行四边形不是矩形 B． ，无法判定平行四边形是矩形 C． ，无法判定平行四边形是矩形 D． ∵，∴，平行四边形是矩形 故选：D． 【变式9-1】在中，与相交于点O，要使四边形是矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是(    ) A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形得出即可． 【详解】解：添加选项D：， 理由是：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为矩形， 补充其他选项推导： A选项，，对角线互相垂直，可以证明为菱形，但不能证明为矩形，不符合题意； B选项、，对角线平分内角，可以证明为菱形，但不能证明为矩形，不符合题意； C选项，不能证明为矩形，不符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 【变式9-2】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（      ） A．AB= CD B．AD= BC C．AB=BC D．AC= BD 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形、添一条件使四边形是矩形 【分析】易得四边形ABCD为平行四边形，再根据矩形的判定∶对角线相等的平行四边形是矩形即可得出答案． 【详解】解：可添加AC＝BD， ∵四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定，矩形的判定有：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形． 【变式9-3】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是（    ） A．∠ABC＝90° B．∠BCD＝90° C．AB＝CD D． 【答案】C 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵∠BAD=90°，BO=DO， ∴OA=OB=OD， ∵∠ABC=90°， ∴AO=OB=OD=OC， 即对角线平分且相等， ∴四边形ABCD为矩形，正确，不符合题意； B、∵∠BAD=90°，BO=DO， ∴OA=OB=OD， ∵∠BCD=90°， ∴AO=OB=OD=OC， 即对角线平分且相等， ∴四边形ABCD为矩形，正确，不符合题意； C、∵∠BAD=90°，BO=DO，AB=CD， 无法得出△ABO≌△DCO， 故无法得出四边形ABCD是平行四边形， 进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误，符合题意； D、∵AB∥CD，∠BAD=90°， ∴∠ADC=90°， ∵BO=DO， ∴OA=OB=OD， ∴∠DAO=∠ADO， ∴∠BAO=∠ODC， ∵∠AOB=∠DOC， ∴△AOB≌△DOC， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠BAD=90°， ∴▱ABCD是矩形，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理． 【变式9-4】如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是______．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】添一条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形 【分析】根据顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断． 【详解】解：顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形． ①， 新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形是平行四边形， ，． ， ． 根据等腰三角形的性质可知， ， 新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形是平行四边形， ． ， ． ． ， 四边形是矩形，联结各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； ④，， ，即平行四边形的对角线互相垂直， 新四边形是矩形，符合条件． 所以①②④符合条件． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查矩形，解题的关键是数量掌握矩形的判断定理． 题型十、证明四边形是矩形 例10双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点，与直线在一、三象限分别相交于B、D两点，那么四边形的形状一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．非矩形和菱形的任意平行四边形 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、证明四边形是矩形、判断三边能否构成直角三角形、已知两点坐标求两点距离 【分析】通过联立方程求出双曲线与直线的交点坐标，确定四边形各顶点的位置．利用勾股定理确定对边相等且证明出四边形为矩形． 【详解】∵双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点， ∴联立得， 解得或 ∴（第一象限），（第三象限）． ∵双曲线与直线在一、三象限分别相交于B、D两点， 联立得， 解得或 ∴（第一象限），（第三象限）． ∴； ； ∴，即 ∴； ； ∴，即 ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式10-1】如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 【答案】①②③ 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图所示： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示： 故④错误； 综上所述，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 【变式10-2】如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，四边形是矩形． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （）由平行四边形的性质可得，，结合题意得出，即可得证； （）由题意结合平行四边形的性质可得，结合当时，四边形是矩形，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由： ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式10-3】如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明得出，即可得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义，以及平行线的性质得出，进而可得，即可得证； （2）根据（1）的结论得出，结合已知条件得出，则四边形是平行四边形，根据菱形的性质得出，即，根据已知，等量代换得出，即，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 【变式10-4】如图，已知在中，点E、F分别是边的中点，过点E、F的直线交的延长线于点G、H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等边对等角、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理即可求证； （2）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据证明，得出，结合线段中点定义可得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先证明其为平行四边形，根据等边对等角可得出，，结合三角形内角和定理可求出，最后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E、F分别是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 【变式10-5】如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】（1）分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点，利用平行四边形的性质求得，再证明和全等，得到，说明点、点和点重合，据此即可证明四边形是菱形； （2）利用平行四边形的性质求得，由已知得到，由三角形的外角性质和三角形的内角和定理求得，，结合求得，据此即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点、点和点重合，即于点， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质． 【变式10-6】如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，理由见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质得到，，然后证明出四边形是平行四边形，即可得到； （2）首先证明出四边形是平行四边形，如图所示，连接，由菱形得到，然后证明出，即可得到平行四边形是矩形． 【详解】（1）∵在中， ∴， ∵E、F分别为边的中点 ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴； （2）矩形，理由如下： ∵在中， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 如图所示，连接 ∵E为边的中点 ∴点E在上 ∵四边形是菱形 ∴ ∵， ∴ ∴平行四边形是矩形． 题型十一、根据矩形的性质与判定求角度 例11在直角梯形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AB＝3，CD＝6，则∠D的度数是 ___． 【答案】150°或30° 【知识点】梯形、根据矩形的性质与判定求角度、根据矩形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意，由于题中条件没有提到具体图形，作图分两种情况：①如图1中，过D作DE⊥BC于E，求出四边形ABED是矩形，根据矩形的性质得出∠ADE＝90°，AB＝DE＝3，解直角三角形求出∠C，即可得出答案．②如图2中，过点C作CE⊥AD于E，同法可得∠D＝30°． 【详解】解：①如图1中，过D作DE⊥BC于E，则∠DEC＝∠DEB＝90°， ∵ADBC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴∠DEC＝90°，AB＝DE＝3， ∵CD＝6， ∴sinC＝， ∴∠C＝30°， ∴∠EDC＝60°， ∴∠ADC＝90°+60°＝150°； ②如图2中，过点C作CE⊥AD于E， ∵ADBC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴∠DEC＝90°，AB＝CE＝3， ∵CD＝6， ∴sinD＝， ∴∠D＝30°， 综上所述：∠D的度数是30°或150°， 故答案为：150°或30°． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，直角梯形，解直角三角形等知识点，解此题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式11-1】已知直角梯形ABCD中，，，，，，则______． 【答案】8或24/24或8 【知识点】用勾股定理解三角形、梯形、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】分两种情况画图：①过点 C 作 CE⊥AB 于 E ，再根据勾股定理求出 BE 的长，进而可得 CD 的长；②过点 C 作BE⊥CD于 E ，再根据勾股定理求出 CE 的长，进而可得 CD 的长． 【详解】解：①如下图，过点 C 作CE⊥AB于 E ， 得四边形 DAEC 为矩形， ∴CE = AD =15， CD = AE ， 在 Rt△ABE 中， BC =17，根据勾股定理，得， ， ∴AE = AB - BE =16-8=8， ∴CD =8； ②如下图，过点 C 作BE⊥CD于 E ， 得四边形 ADEB 为矩形， ∴ BE = AD =15， DE = AB =16， 在 Rt△CBE 中， BC =17，根据勾股定理，得 ， ∴ CD = DE + CE =16+8=24， 综上所述： CD 的长为8或24， 故答案为：8或24． 【点睛】本题考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是利用分类讨论思想画图解答． 【变式11-2】如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么______度． 【答案】105 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、根据旋转的性质求解 【分析】过点C作CH⊥AB于H，由旋转和线段垂直平分线的性质可得EF＝BE＝AE，则△BEF是等腰直角三角形，可得∠EBF＝45°，证明四边形EFCH是矩形，可得CH＝EF＝AB＝AC，可得出∠CAH＝30°，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，使点A落在直线DE上的点F处， ∴AE＝EF， ∵直线DE垂直平分AB，AB＝AC， ∴AE＝BE＝AB＝AC，∠BEF＝90°， ∴EF＝BE＝AE， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴∠EBF＝45°， ∵DE⊥AB，CF AB， ∴CF⊥DE， ∵DE⊥AB，CH⊥AB， ∴四边形EFCH是矩形， ∴CH＝EF＝AB＝AC， ∴∠CAH＝30°， ∴∠AGB＝180°−∠EBF−∠CAH＝180°−45°−30°＝105°． 故答案为：105． 【点睛】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，求出∠EBF＝45°，∠CAH＝30°是解题的关键． 【变式11-3】如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． (1)求证：平分； (2)对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值； (3)是否存在直线，使得点为线段的中点？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，定值为 (3)存在直线,使得点为线段的中点，直线的解析式为 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、反比例函数与几何综合、一次函数与几何综合 【分析】（）由一次函数解析式可得，即得，得到，进而可得，即可求证； （）设点的坐标为，可得，即得，同理可得，得到，即可求证； （）由点为线段的中点得，进而可得，得到，即得到，代入反比例函数解析式可得，即可求解． 【详解】（1）证明：把代入，得；把代入，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）证明：设点的坐标为， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又由（）可知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为； （3）解：存在，理由如下： 当点为线段的中点时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或（不合，舍去）， ∴直线的解析式为， 即存在直线,使得点为线段的中点，直线的解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式11-4】如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、证明四边形是平行四边形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式11-5】如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、证明四边形是矩形、等边对等角 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 题型十二、根据矩形的性质与判定求线段长 例12我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、梯形中位线定理 【分析】此题考查勾股定理，矩形的判定和性质、梯形中位线定理，正确理解题意确定各线之间的数量及关系是解题的关键． 作于E，于F，根据底差等于10求出，利用勾股定理求出高的长，利用梯形面积公式求出，由此得到梯形中位线的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意得：在等腰梯形中，，， 作于E，于F，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵梯形面积， ∴， ∴， ∴梯形的中位线， ∴这个等腰梯形的纵横比=， 故选：B． 【变式12-1】如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质、正方形的性质是解题的关键． 延长、相交于M，先证明四边形是矩形，得到，，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长、相交于M， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-2】正方形的边长是，点在边上，且，P是正方形边上的一个动点，连接，当时，的长是______． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到在以为圆心，为半径的圆上． 根据题意可得在以为圆心，为半径的圆上，分两种情况讨论：如图中的和，①证明四边形是矩形，即可求出结果；②根据勾股定理可得结果． 【详解】解：根据题意画图如下： ，， ， ， ， 在以为圆心，为半径的圆上，如图中的和， ①，， ， 平行且等于， 四边形是矩形， ， ； ②，， ， 综上所述：的长是或． 故答案为：或． 【变式12-3】正方形，对角线交于点，平分，与交于E，与交于P，若，则___________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作，交的延长线于点H，结合正方形的性质，证明四边形是矩形，再证明，得出，因为平分，所以，因为，得，，运用三角形内角和得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，过点C作，交的延长线于点H，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， 故答案为：． 【变式12-4】如图，中，与，于，是三条高的交点，已知，，，求的长度（用含，，的代数式表示） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 过点C作于点M，连结，，构造平行四边形，矩形，平行四边形，利用平行四边形的性质推知，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连结，过点C作于点M，连结，， ∵，， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵H是三条高的交点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 【变式12-5】如图，已知梯形，，，点、分别是边和上的动点（点不与点重合，点不与点重合），且，，联结． (1)若，则点到的距离是_______； (2)判断的形状并加以证明； (3)若，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)为等腰直角三角形，证明见解析 (3)（） 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、函数解析式 【分析】本题考查了四边形与三角形综合，主要涉及了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识点， （1）过点做，垂足为，由，，可得，从而证明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出； （2）根据等边对等角可得，，结合四边形内角和等于，可得， 由此求出，进而即可判定是等腰直角三角形， （3）过点做，垂足为，交于，过点作，垂足为，容易证明平行四边形是矩形，，结合由（1）得，再由（2）得是等腰直角三角形，求出，，在中，根据，求出y关于x的函数解析式． ∴． 【详解】（1）解：过点做，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴点到的距离是， （2）解：结论：是等腰直角三角形， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 即是等腰直角三角形， （3）解：过点做，垂足为，交于，过点作，垂足为， 又∵， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴， 由（2）得是等腰直角三角形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，函数定义域为． 【变式12-6】已知，梯形中，，，，，，是边上的任意一点，连接，连接． (1)若平分，求的长； (2)过点作，交所在直线于点． 设，，求关于的函数关系式； 连接，当点是的中点时，求的长． 【答案】(1)满足条件的的值为或； (2)；． 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、函数解析式 【分析】（）作于，则四边形是矩形，则，，分两种情形求解即可解决问题； （）作于利用面积法构建函数关系式即可； 延长交于点，证，得，再由垂直平分，知，又，则，据此得，，根据 可得答案． 【详解】（1）解：如图中， 作于，则四边形是矩形， ∴，， 当平分时， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 当平分时，同法可证：，， ∴； 综上所述，满足条件的的值为或； （2）解：如图中，作于， 在中，， ∵， ∴， ∴； 如图，延长交于点， ∵， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，函数解析式，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确添加常用辅助线，构造直角三角形及掌握知识点的应用是解题的关键． 题型十三、根据矩形的性质与判定求面积 例13如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____。 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握．过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和=长方形的面积． 故答案为：． 【变式13-1】如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为________． 【答案】3 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质的运用，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分． 连接，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到都是直角，即可得到四边形是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又 ∵是的中点， ∴， 又 ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵菱形的面积为， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：3． 【变式13-2】如图，在菱形中，对角线相交于点，．若，且四边形的面积为18，则的值是___________． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求面积、利用菱形的性质求面积 【分析】根据题意可判断出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得出，即，可判断出四边形是矩形；由菱形的面积和勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形的面积为18， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质以及完全平方式等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键． 【变式13-3】已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． (1)连接DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； (2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】证明四边形是平行四边形、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】（1）先根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，再证明BE∥DF，接着证明△ABE≌△CDF，从而得到BE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法得到结论； （2）矩形面积ABCD的面积=AC∙DF，求出DF，AC即可求得矩形面积． 【详解】（1）证明：如图： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠EAB＝∠FCD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△DAF和△BCE中， ， ∴△DAF≌△BCE（AAS）， ∴AF＝CE， 连接BD交AC于点O， ∵AF＝FE＝2， ∴AC＝BD＝6， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝DO＝3， 在△ODF中，OD＝3，OF＝1，∠OFD＝90°， ∴DF＝＝＝2， ∴矩形ABCD的面积＝AC×DF＝6×2＝12． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式13-4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数； (3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)详见解析； (2)75°； (3)． 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求角度、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论； （2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果； （3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴EC＝DC， 又∵∠BDE＝15°， ∴∠CDO＝60°， 又∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴OD＝OC， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠DOC＝∠OCD＝60°， ∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°， ∵CO＝CE， ∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°； （3）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°， 由（1）可知，∠OCB＝30°， ∴AC=2AB=4， ∴， ∴矩形OEC的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 2 / 96 1 / 96 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 矩形的性质与判定的13类题型 目录 题型一、矩形性质理解 1 题型二、利用矩形的性质求角度 8 题型三、根据矩形的性质求线段长 13 题型四、根据矩形的性质求面积 20 题型五、利用矩形的性质证明 26 题型六、求矩形在坐标系中的坐标 36 题型七、矩形与折叠问题 44 题型八、矩形的判定定理理解 51 题型九、添一条件使四边形是矩形 56 题型十、证明四边形是矩形 61 题型十一、根据矩形的性质与判定求角度 71 题型十二、根据矩形的性质与判定求线段长 79 题型十三、根据矩形的性质与判定求面积 90 题型一、矩形性质理解 例1下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 【变式1-1】矩形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．两组对角相等 D．两组对边平行且相等 【变式1-2】如图矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成，如果为等腰直角三角形，矩形的长宽恰好是的两个实数根，则矩形纸片的面积是_____________． 【变式1-3】平行四边形中，E、F分别在、上，连接、交于点G，连接、交于点H，四边形是矩形． (1)如图1，连接，如果，求证：①；②； (2)如图2，若，且，又，用含a、b的代数式表示的长．请直接写出结果： _______． 【变式1-4】已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 【变式1-5】图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．在图①、图②给定的网格中，只用无刻度直尺，保留作图痕迹，按要求作图． (1)在图①中的边BC上确定一点P，使点P到边、的距离相等． (2)在图②中的边上确定一点Q，连接，使平分的面积． 题型二、利用矩形的性质求角度 例2如图，矩形的对角线与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，矩形中，，点E在上，且，则______． 【变式2-2】在矩形中，点为对角线的交点，，平分交于点E，则的度数是______． 【变式2-3】如图，已知矩形中，点E在边的延长线上，且，连接交于F，如果，那么的度数为_________． 【变式2-4】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝70°，则∠ACB的大小为____． 【变式2-5】如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【变式2-6】如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 题型三、根据矩形的性质求线段长 例3将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 【变式3-1】在矩形中，对角线，则矩形的面积为（  ） A．48 B．60 C．80 D．96 【变式3-2】如图，矩形，，，点F在边上，沿直线翻折，点B落在点E处，当点E恰好在的角平分线上，则______． 【变式3-3】如图，矩形对角线相交于点O，与的夹角为，点E、F、G分别为中点，当四边形周长为8时，则矩形的面积是_____． 【变式3-4】如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【变式3-5】如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 题型四、根据矩形的性质求面积 例4 如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图所示，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的直线分别交于点．若图中阴影部分的面积为6，则矩形的面积为_____． 【变式4-3】如图，矩形的对角线，相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求矩形的面积． 【变式4-4】如图，王师傅家的院子里有一块矩形空地，他准备在空地中间修建一个矩形水池，其余地方种植蔬菜．已知矩形空地的长为，宽为，矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植蔬菜的面积． 【变式4-5】（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 题型五、利用矩形的性质证明 例5如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，四边形为菱形，点E是的中点，点F，H是对角线上两点，且，点G在边上．若四边形是矩形，则菱形的周长为_________． 【变式5-2】如图，矩形的对角线和相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由； (3)填空：联结，如，，则的长为_______．（直接给出结果） 【变式5-3】如图，直线AB经过点和，，经过点并且与y轴垂直的直线与直线交于第一象限内点C． (1)求直线的表达式； (2)在x轴上有一点Q，若的面积为8，求点Q的坐标； (3)点P在x轴上，在平面内是否存在点H，使得以点A、C、P、H为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-4】定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线． 如图，在凸四边形中，如果，那么四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线． (1)下列图形中，一定是对等四边形的是________（填写你认为正确的序号） 等腰梯形；平行四边形；矩形；菱形． (2)在研究图的对等四边形的性质过程中，乐乐经过测量发现与的长度相邻，于是他猜想，你认为他的猜想正确吗?如果正确，请完成证明；如果错误，请说明理由． (3)如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点在线段上．且，如果点在线段上，且四边形为对等四边形，请直接写出点的坐标． 题型六、求矩形在坐标系中的坐标 例6如图，矩形的顶点和分别落在轴与轴的正半轴上，，．若直线经过矩形对角线的交点，则的值为（   ） A．5 B．2 C． D． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的点A和点C分别落在x轴的正半轴和y轴负半轴上，，直线l：经过点C，将直线l向上平移m个单位，若直线可将矩形的面积平分，则m的值为________． 【变式6-2】如图，以长方形的两条对称轴作为x轴、y轴建立平面直角坐标系，若点B的坐标为，则点A的坐标为____________，点C的坐标为______，则点D的坐标为____． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交于点M、N，反比例函数的图像经过点M、N． (1)求反比例函数的表达式及点M，N的坐标； (2)观察图像，当时，写出关于x的不等式的解集； (3)若点P在第一象限内的反比例函数图像上，且的面积是四边形面积的倍，求点P的坐标． 【变式6-4】如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别落在x轴，y轴上，．平分交于点D，点P在射线上，以为边作． (1)求证：； (2)当为菱形时，求Q的坐标； (3)当为直角三角形时，求的面积 题型七、矩形与折叠问题 例7如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【变式7-1】如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在中点处时，周长最大 D．保持不变 【变式7-2】把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G．连接（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，已知在矩形中，，，将这个矩形沿直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交边于点E，那么等于_______度． 【变式7-4】如图，在矩形中，，，将沿折叠，使点B落在F处，当为直角三角形时，的长为________． 【变式7-5】（1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 题型八、矩形的判定定理理解 例8下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】在四边形中，，交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形 【变式8-2】在四边形中，点、、、分别是各边的中点，四边形是正方形，下列选项中正确的是（   ） A．四边形一定是矩形 B．四边形一定是正方形 C．四边形的对角线相等且垂直 D．四边形有一组邻边相等且有一个内角是直角 【变式8-3】以下说法中正确的是___（填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 【变式8-4】以△ABC的三边在BC同侧分别作三个等边三角形△ABD，△BCE ，△ACF，试回答下列问题： （1）四边形ADEF是什么四边形？请证明： （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？ （4）当△ABC满足什么条件时，能否构成正方形？ （5）当△ABC满足什么条件时，无法构成四边形？ 题型九、添一条件使四边形是矩形 例9如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】在中，与相交于点O，要使四边形是矩形，还需添加一个条件，这个条件可以是(    ) A．； B．； C．； D．． 【变式9-2】如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（      ） A．AB= CD B．AD= BC C．AB=BC D．AC= BD 【变式9-3】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是（    ） A．∠ABC＝90° B．∠BCD＝90° C．AB＝CD D． 【变式9-4】如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是______．（填序号） 题型十、证明四边形是矩形 例10双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点，与直线在一、三象限分别相交于B、D两点，那么四边形的形状一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．非矩形和菱形的任意平行四边形 【变式10-1】如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 【变式10-2】如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【变式10-3】如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 【变式10-4】如图，已知在中，点E、F分别是边的中点，过点E、F的直线交的延长线于点G、H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【变式10-5】如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【变式10-6】如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于． (1)求证：； (2)若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． 题型十一、根据矩形的性质与判定求角度 例11在直角梯形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AB＝3，CD＝6，则∠D的度数是 ___． 【变式11-1】已知直角梯形ABCD中，，，，，，则______． 【变式11-2】如图，在中，，直线垂直平分，把线段绕点顺时针旋转，使点落在直线上的点处，联结、，线段、交于点，如果，那么______度． 【变式11-3】如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． (1)求证：平分； (2)对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值； (3)是否存在直线，使得点为线段的中点？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【变式11-4】如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【变式11-5】如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 题型十二、根据矩形的性质与判定求线段长 例12我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比．如果一个腰长为13的等腰梯形，底差等于10，面积为108，那么这个等腰梯形的纵横比等于（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 【变式12-2】正方形的边长是，点在边上，且，P是正方形边上的一个动点，连接，当时，的长是______． 【变式12-3】正方形，对角线交于点，平分，与交于E，与交于P，若，则___________． 【变式12-4】如图，中，与，于，是三条高的交点，已知，，，求的长度（用含，，的代数式表示） 【变式12-5】如图，已知梯形，，，点、分别是边和上的动点（点不与点重合，点不与点重合），且，，联结． (1)若，则点到的距离是_______； (2)判断的形状并加以证明； (3)若，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【变式12-6】已知，梯形中，，，，，，是边上的任意一点，连接，连接． (1)若平分，求的长； (2)过点作，交所在直线于点． 设，，求关于的函数关系式； 连接，当点是的中点时，求的长． 题型十三、根据矩形的性质与判定求面积 例13如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____。 【变式13-1】如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为________． 【变式13-2】如图，在菱形中，对角线相交于点，．若，且四边形的面积为18，则的值是___________． 【变式13-3】已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． (1)连接DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； (2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积． 【变式13-4】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数； (3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积． 2 / 96 1 / 96 学科网（北京）股份有限公司 $