拓展专题1.4 菱形常考几何模型与动点最值问题（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

拓展专题1.4 菱形常考几何模型与动点最值问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、含60度角的菱形 4 题型二、菱形中的半角模型 6 题型三、一线三等角 11 题型四、菱形的折叠问题 16 题型五、菱形动点最值问题 23 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形. 菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定. 如图2338，地砖、自动伸缩门都有菱形图案. 图2338 菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的一切性质之外，还有其他性质，菱形的性质可从对称性、边、角、对角线来研究，如下表: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 边 对边平行 四条边都相等 对角相等 角 邻角互补 对角线 两条对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 1.菱形的判定方法 元素 判定 图示 文字语言 符号语言 边 定义法 四条边都相等的四边形叫作菱形. ∵ ， ∴ 四边形 A B C D 是菱形 定理1 有一组邻边相等的平行四边形叫是菱形 在中，∵ 是菱形 对角线 定理2 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形 在中， ∵ ， ∴ 是菱形 在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等. 2.四边形、平行四边形、菱形的关系 1．四边形→平行四边形 当四边形满足以下任一条件时，可判定为平行四边形： 一组对边平行且相等 两组对边分别平行 两组对边分别相等 2．平行四边形 → 菱形 当平行四边形满足以下任一条件时，可判定为菱形： 一组邻边相等 对角线互相垂直 3．四边形 → 菱形（直接判定） 当四边形的四条边都相等时，可直接判定为菱形。 (1)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质.(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是对角线所在的直线.(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且把菱形分成四个全等的直角三角形，进而可得菱形边长的平方等于两条对角线长一半的平方和.(4)菱形的四条边相等，故可连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题. 面积计算方法 一般方法 特殊方法 基本图形 计算公式 常见关系 若菱形 A B C D 的对角线相交于点 ，则 （1）Rt Rt Rt Rt ； （2） ； （3） 若菱形 A B C D 的对角线相交于点，则 （1） ； （2） ； （3） 有一内角为60°或120°的菱形，较短对角线把菱形分成两个全等的等边三角形.较短对角线的长等于菱形的边长，较长对角线的长等于菱形边长的倍. 题型一、含60度角的菱形 1．如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度． 【详解】解：连接与交于O．    ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质． 2．如图，在菱形中，，，点是边上一点，连接，延长交的延长线于点，点是的中点，连接、，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积的计算，熟练掌握菱形的性质及利用中点分析三角形面积的关系是解题的关键． 先利用菱形和等边三角形的性质，求出菱形相关线段长度与三角形面积；再结合平行线间面积的关系，得到的面积；最后根据中点的性质，推出的面积． 【详解】解：连接、、过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是的中点 ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，菱形中，，是的中点，是的中点，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定以及菱形周长的计算，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．先由三角形的中位线定理求出，由菱形的性质及可得、均为等边三角形，从而可求出菱形的边长． 【详解】解：、分别为、的中点， ， 又， ， 四边形为菱形，， ∴ 、均为等边三角形， ， 菱形的边长． 故答案为：． 题型二、菱形中的半角模型 4．如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 由四边形是菱形得，，，而，则是等边三角形，接着可证也是等边三角形，再证明，得，而，则是等边三角形，当 时，的值最小，此时的值也最小，通过勾股定理可求得的最小值． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ， 为等边三角形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又，， ∴， 在与中， ， ， 又∵， 为等边三角形， 当最小值时，即为最小值，而当时，值最小， ∵，， ， ∴，即， 故答案为：． 5．如图所示，菱形ABCD中，AB＝5，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F （1）如图1所示，当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE+CF的值； （2）如图2所示，当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）5；（2）CE﹣CF＝5 【分析】（1）连接AC，证明△ABE≌△ACF，得到BE=CF，从而CE+CF=BC=5； （2）连接AC，证明△ABE≌△ACF，得到BE=CF，从而CE-CF=BC=5． 【详解】解：（1）如图1，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°， ∴△ABC、△ACD都是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∠ACD＝60°． ∵∠EAF＝60°， ∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE， 即∠BAE＝∠CAF． 又AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE＝CF． ∴CE+CF＝BC＝5； （2）CE﹣CF＝5，理由如下： 如图2，连接AC， ∵∠EAB＝60°﹣∠BAF，∠CAF＝60°﹣∠BAF， ∴∠EAB＝∠FAC． 又AB＝AC，∠ABE＝∠ACF＝120°， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE＝CF． ∴CE﹣CF＝CE﹣BE＝BC＝5． 所以CE、CF的关系是CE﹣CF＝5． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是通过全等得到线段相等，转化不在同一直线上的线段，使其“合一”从而找到线段间的关系． 6．已知四边形是菱形，，的两边分别与射线相交于点，且．    (1)如图1，当E是线段的中点时，直接写出线段之间的数量关系（不必写出证明过程）； (2)如图2，当E是线段CB上任意一点时（点E不与点重合），求证：； (3)如图3，当点E在线段CB的延长线上，直接写出线段之间的数量关系． (4)如图4，将图1放在平面直角坐标系中，点B与原点重合，若菱形边长为4，在平面内有一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)点的坐标为，， 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得到为等边三角形，再利用等边三角形的性质证明，利用全等三角形的性质即可解答； （2）根据（1）中原理即可解答； （3）同（1）原理证明，即可解答； （4）分三种情况：即分别以为对角线时，再利用平行四边形的性质和中点公式，即可解答． 【详解】（1） 证明：如图，连接   四边形为菱形， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； （2）证明：同（1）原理可得； （3） 证明：根据（1）中可得为等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （4）解：菱形的边长为4，是的中点， ， 在中，， ， 设 当以为对角线时，即的中点和的中点重合， 根据中点公式可得，，解得， ； 当以为对角线时，即的中点和的中点重合， 根据中点公式可得，，解得， ， 当以为对角线时，即的中点和的中点重合， 根据中点公式可得，，解得， ， 综上所述，当以为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为，，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练作出辅助线根据已知条件证明三角形全等是解题的关键． 题型三、一线三等角 7．如图，在菱形中，，点分别在边上，．若，，点在边上，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定与性质及菱形的性质得到边相等和角相等，再利用全等三角形的性质及勾股定理算出的长． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵在菱形中， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，，是等边三角形， ∴， ∴，， ∴在中，， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据已知条件画出辅助线是解题的关键． 8．菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质；连接，由菱形性质得是等边三角形，则可证明，有，则得是等边三角形，则可对各选项作出判断． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确； ∵， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D错误； 故选：D．    9．如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为 ． 变式题 已知条件类似，图形有变化 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】当的值最小时，、、三点共线，即求的长度，根据题意判断为等边三角形，且点为的中点，根据直角三角形的性质，求出的长度即可． 变式题：根据菱形，可得为等边三角形，根据三线合一可得，再通过线段和差关系求出，通过勾股定理求出，最后再利用勾股定理即可求即的长． 【详解】解：当、、三点共线时，即当点位于时，的值最小， 由菱形的性质可知，， 又， ∴为等边三角形， ∵点为的中点，， ∴，， ∴在中，． 故答案为：． 变式题： 如图，连接， ∵四边形为菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ∴， ∴，， ∴， 是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形中的线段最值问题、等边三角形的性质、勾股定理和菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 题型四、菱形的折叠问题 10．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠以及菱形的性质，根据折叠以及菱形的性质发现特殊角是解题的关键． 根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果． 【详解】解：∵为菱形， ∴， 由折叠的性质可知，， 又∵， ∴， 在中，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质． 根据翻折变换的性质可得，然后根据等腰三角形两底角相等求出，可得，根据，求出，由三角形外角等于不相邻的两个内角的和即可得答案． 【详解】解：菱形沿折叠，落在边上的点处， ，，， ， 在菱形中，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则 ． 【答案】 【分析】连接，过点C作交于点G，证明四边形是平行四边形，是等边三角形，设，则根据勾股定理列式解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接，过点C作交于点G， ∵四边形是菱形，且菱形的边长为，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，是等边三角形， ∴，， ∵边的中点是， ∴， ∴， 设， 则 ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 13．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则 ， ． 【答案】 /30度 【分析】根据菱形的性质得到，结合折叠得到，，，根据三角函数得到，，结合角度关系得到，进而可求出的度数，证明．在中，求出，得出，在中，求出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∵菱形沿折叠，点A、B分别落在、处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形性质，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 14．如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 故答案为：或 15．如图，在菱形中，，点、分别在边、上，，将沿折叠，点落在延长线上的点处，则的大小是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了菱形性质，全等三角形性质和判定，折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 根据菱形性质，证明，结合全等三角形性质和判定，折叠的性质推出，再利用三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案为：． 16．如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明四边形和四边形都是菱形，和都是等边三角形是解题的关键. 设交于点，由折叠得，， ， 则， 由菱形的性质得，，，则，， 可证明， 得， 则四边形是菱形，是等边三角形，同理， 四边形是菱形，是等边三角形，则四边形是平行四边形， 由， ， ， 求得，于是得到问题的答案. 【详解】解：设交于点， 由折叠得， ，， ∴， ∵四边形是边长为的菱形， ， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴是等边三角形， 同理，四边形是菱形，是等边三角形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，，， ， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 题型五、菱形动点最值问题 17．如图，菱形中，，点是边上一动点，点是对角线上一动点，当最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、轴对称的性质、垂线段最短、直角三角形两锐角互余等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先说明点Q关于的对称点在上，如图：作点Q关于的对称点，连接，则，即；再根据垂线段最短可知且于时，最小，有最小值；然后再根据直角三角形两锐角互余以及轴对称图形的性质即可解答． 【详解】解：如图：∵菱形， ∴点Q关于的对称点在上， 如图：作点Q关于的对称点，连接，则， ∴， ∴且于时，最小，有最小值， ∵，， ∴， ∵，点Q关于的对称点， ∴， ∴， ∴当最小时，的度数为． 故选A． 18．如图，在菱形中，，，M是上，，N是点上一动点，四边形沿直线翻折，点C对应点为E，当最小时， ． 【答案】7 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点E在上时，的值最小．作于H，如图，根据菱形的性质可求得，，在中，利用勾股定理计算出，再根据两点间线段最短得到当点E在上时，的值最小，然后证明即可． 【详解】解：作于H，如图， ∵菱形的边，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， ∵四边形沿直线翻折，点C对应点为E，， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，的值最小， 由折叠的性质得， 而， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 19．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可． 【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长， ∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=3，∠BAO=30°， ∴OB==， ∴OA=， ∴点O关于AB的对称点F， ∴OF⊥AB，OG=FG， ∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°， ∵CE⊥AH于E，OA=OC， ∴OE=OC=OA=， ∴∠AEC=∠CAE， ∵AH平分∠BAC， ∴∠CAE=15°， ∴∠AEO=∠CAE=15°， ∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°， ∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°， ∴∠FOE=90°， ∴由勾股定理，得EF=, ∴PO+PE最小值=． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF的长是解题的关键． 20．如图，在菱形中，，，M，N分别是边的动点，满足，连接，E是边上的动点，F是上靠近C的四等分点，连接，当面积最小时，的最小值为 ．    【答案】3 【分析】连接，取的中点，连接，得到是等边三角形，进而判断当面积最小时，，根据为上的动点，当重合时，最小，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，   四边形是菱形，， ， 是等边三角形 ， 为等边三角形， 点是上靠近点的四等分点， 的面积最小时，的面积也最小 当最小时，的面积最小   当时，最小 是等边三角形， 点是上的动点， 当点与点重合时，最小 的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、等边三角形的面积，将求三角形的面积最小值转化为和的最小值是解题的关键． 1．如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，含角的直角三角形，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，交于点O，求出，，得到，，，则，继而求出，即可解答． 【详解】解：连接，交于点O，如图 ∵四边形是菱形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质；根据菱形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵为边的中点，且， ∴， ∴菱形的周长为； 故答案为：24． 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为点H，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，掌握这些性质与定理是解题的关键；由菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质求得的长，再由勾股定理求得菱形的边长，利用面积关系即可求解． 【详解】解：在菱形中，，，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故答案为：． 4．如图，菱形沿射线平移，得到菱形，延长，交于点，延长，交于点．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】设与的交点为，过点作于点．由平移的性质得到，四边形是平行四边形，求出，由，得到，，由菱形的性质得到，因此，由等腰三角形的性质得到，，最后根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，设与的交点为，过点作于点． ， ． 由平移的性质，得，，， 四边形是平行四边形， ， ． ， ，． 四边形是菱形， ， ， ． ，． ，， ， ． 在中，由勾股定理， 得， ． 【点睛】本题考查菱形的性质，平移的性质，解题的关键是由平移的性质，得到，由菱形的性质得到是等腰三角形． 5．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则 ，四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积公式，垂直平分线的判定及性质，熟悉掌握辅助线的作法是解题的关键． 利用菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可求出的长；连接交于点，证出，利用勾股定求出的长，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵折叠， ∴， ∴； 连接交于点，如图所示： ∵折叠， ∴，，， ∴垂直平分， 在中，， ∴， ∴； 故答案为;；． 6．如图，菱形的边长为，，、分别是边，上的两个动点，且满足． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当的周长最小时， ． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，进而证明，即可证明； （2）根据（1）的结论得出，，根据，得出，即可得出结论； （3）根据是等边三角形，得出，根据垂线段最短，得出当时，最小，即的周长最小，根据等边三角形的性质和勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵菱形的边长为，， ，， ∴为等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ∴； （2）解：为等边三角形． 理由：， ，， ， ， 是等边三角形． （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，最小，即的周长最小， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长最小时，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键． 7．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形PBFE为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①；②36， 【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质和勾股定理求得AE的长，再在Rt△APE中求得PE，即菱形的边长； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ， ∴点B与点E关于PQ对称， ∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF， 又∵EF∥AB， ∴∠BPF＝∠EFP， ∴∠EPF＝∠EFP， ∵EP＝EF， ∴BP＝BF＝EF＝EP， ∴四边形BFEP为菱形； （2）①∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°， ∵点B与点E关于PQ对称， ∴CE＝BC＝10， 在Rt△CDE中，DE＝＝8， ∴AE＝AD﹣DE＝2； 在Rt△APE中，AE＝2，AP＝6-PB＝6﹣PE， ∴，解得：， ∴菱形BFEP的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2，， ， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，， ∴菱形的面积范围：． 菱形PBFE面积的最大值是36，最小值是． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE是本题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题1.4 菱形常考几何模型与动点最值问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、含60度角的菱形 4 题型二、菱形中的半角模型 6 题型三、一线三等角 11 题型四、菱形的折叠问题 16 题型五、菱形动点最值问题 23 定义 四条边都相等的四边形叫作菱形. 菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定. 如图2338，地砖、自动伸缩门都有菱形图案. 图2338 菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的一切性质之外，还有其他性质，菱形的性质可从对称性、边、角、对角线来研究，如下表: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 边 对边平行 四条边都相等 对角相等 角 邻角互补 对角线 两条对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 1.菱形的判定方法 元素 判定 图示 文字语言 符号语言 边 定义法 四条边都相等的四边形叫作菱形. ∵ ， ∴ 四边形 A B C D 是菱形 定理1 有一组邻边相等的平行四边形叫是菱形 在中，∵ 是菱形 对角线 定理2 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形 在中， ∵ ， ∴ 是菱形 在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等. 2.四边形、平行四边形、菱形的关系 1．四边形→平行四边形 当四边形满足以下任一条件时，可判定为平行四边形： 一组对边平行且相等 两组对边分别平行 两组对边分别相等 2．平行四边形 → 菱形 当平行四边形满足以下任一条件时，可判定为菱形： 一组邻边相等 对角线互相垂直 3．四边形 → 菱形（直接判定） 当四边形的四条边都相等时，可直接判定为菱形。 (1)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质.(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是对角线所在的直线.(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且把菱形分成四个全等的直角三角形，进而可得菱形边长的平方等于两条对角线长一半的平方和.(4)菱形的四条边相等，故可连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题. 面积计算方法 一般方法 特殊方法 基本图形 计算公式 常见关系 若菱形 A B C D 的对角线相交于点 ，则 （1）Rt Rt Rt Rt ； （2） ； （3） 若菱形 A B C D 的对角线相交于点，则 （1） ； （2） ； （3） 有一内角为60°或120°的菱形，较短对角线把菱形分成两个全等的等边三角形.较短对角线的长等于菱形的边长，较长对角线的长等于菱形边长的倍. 题型一、含60度角的菱形 1．如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 2．如图，在菱形中，，，点是边上一点，连接，延长交的延长线于点，点是的中点，连接、，则的面积为 ． 3．如图，菱形中，，是的中点，是的中点，，那么 ． 题型二、菱形中的半角模型 4．如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为 ． 5．如图所示，菱形ABCD中，AB＝5，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F （1）如图1所示，当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE+CF的值； （2）如图2所示，当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论． 6．已知四边形是菱形，，的两边分别与射线相交于点，且．    (1)如图1，当E是线段的中点时，直接写出线段之间的数量关系（不必写出证明过程）； (2)如图2，当E是线段CB上任意一点时（点E不与点重合），求证：； (3)如图3，当点E在线段CB的延长线上，直接写出线段之间的数量关系． (4)如图4，将图1放在平面直角坐标系中，点B与原点重合，若菱形边长为4，在平面内有一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标． 题型三、一线三等角 7．如图，在菱形中，，点分别在边上，．若，，点在边上，，则的长是（    ） A． B． C． D． 8．菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为 ． 变式题 已知条件类似，图形有变化 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为 ． 题型四、菱形的折叠问题 10．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形（折叠后点都落在的中点处）．若，则的长为 ． 11．如图，把菱形沿折叠，点落在边上的处，若，则的大小为 ． 12．如图，将菱形纸片折叠，使得点B恰好落在边的中点处，折痕为．若菱形的边长为，，则 ． 13．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则 ， ． 14．如图，在菱形中，，点是的中点，点为边上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 15．如图，在菱形中，，点、分别在边、上，，将沿折叠，点落在延长线上的点处，则的大小是 ． 16．如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为 ． 题型五、菱形动点最值问题 17．如图，菱形中，，点是边上一动点，点是对角线上一动点，当最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在菱形中，，，M是上，，N是点上一动点，四边形沿直线翻折，点C对应点为E，当最小时， ． 19．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是 ． 20．如图，在菱形中，，，M，N分别是边的动点，满足，连接，E是边上的动点，F是上靠近C的四等分点，连接，当面积最小时，的最小值为 ．    1．如图是故宫博物院太和殿窗棂的三交六椀菱花图案，从中可以提取出一个菱形．若，则菱形的面积为 ． 2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为 ． 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点A作，垂足为点H，连接．若，则的长为 ． 4．如图，菱形沿射线平移，得到菱形，延长，交于点，延长，交于点．若，，则的长是 ． 5．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则 ，四边形的面积是 ． 6．如图，菱形的边长为，，、分别是边，上的两个动点，且满足． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)当的周长最小时， ． 7．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形PBFE为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $