重难点 正方形的性质与判定的13类题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

重难点 正方形的性质与判定的13类题型 目录 题型一、根据正方形的性质求角度 1 题型二、根据正方形的性质求线段长 7 题型三、根据正方形的性质求面积 15 题型四、正方形折叠问题 24 题型五、求正方形重叠部分面积 32 题型六、根据正方形的性质证明 38 题型七、正方形的判定定理理解 51 题型八、添一个条件使四边形是正方形 55 题型九、证明四边形是正方形 60 题型十、根据正方形的性质与判定求角度 66 题型十一、根据正方形的性质与判定求线段长 71 题型十二、根据正方形的性质与判定求面积 82 题型十三、根据正方形的性质与判定证明 88 题型一、根据正方形的性质求角度 1．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正方形和等边三角形的性质可得，即，进而求得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 则， 则， ∴， 故选：C． 3．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 【答案】 3 或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求角度、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）作，，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）分两种情况讨论即可，①当与的夹角为时，②当与的夹角为时，从而可得答案． 【详解】如图，作于P，于Q， 四边形为正方形， ∵， ∴， 矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ∵ ∴正方形的面积为：， 故答案为：3； （2）①当与的夹角为时， 如图2， ∵，， ∴， ②当与的夹角为时，如图3，即交于， ， 综上所述：或． 故答案为：或 4．（易错题）正方形ABCD中，E为AB上一点，M，N分别在BC，AD上，CE＝MN，∠MCE＝35°，则∠ANM＝______． 【答案】55°或125° 【知识点】根据正方形的性质求角度 【分析】分两种情况：∠ANM是锐角时，如图，过M作MG∥AB交AD于G，由题意易得∠NGM＝∠A＝∠B＝90°，且AB＝MG＝CD，然后可得，进而根据全等三角形的性质可求解；∠ANM是钝角时，如图，同理可求出∠MNG=55°，进而可得答案． 【详解】解：如图，当∠ANM是锐角时，过M作MG∥AB交AD于G， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠NGM＝∠A＝∠B＝90°，且AB＝MG＝CD， 在Rt△GMN和Rt△BCE中，， ∴， ∴∠ANM＝∠CEB， 又∵∠MCE＝35°， ∴∠CEB＝90°－35°＝55°， ∴∠ANM＝55°． 当∠ANM是钝角时，如图， 同理可求得∠MNG=55°， ∴∠ANM=125°； 故答案为55°或125°． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及正方形的性质是解题的关键． 5．如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE⊥AC与AD边的延长线交于点E．    （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）延长DB至点F，连接CF，若CF=BD，求∠BCF的大小． 【答案】（1）见解析；（2）∠BCF=15° 【知识点】证明四边形是平行四边形、根据正方形的性质求角度、根据正方形的性质证明 【分析】(1) 利用正方形的性质得出AC⊥DB，BC//AD,再利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定方法得出答案; (2)利用正方形的性质结合直角三角形的性质得出∠OFC=30°，即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵ABCD是正方形， ∴AC⊥DB，BC∥AD ∵CE⊥AC ∴∠AOD=∠ACE=90° ∴BD∥CE ∴BCED是平行四边形 （2）如图：连接AF，    ∵ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，BD=AC=2OB=2OC， 即OB=OC ∴∠OCB=45° ∵ Rt△OCF中， CF=BD=2OC， ∴∠OFC=30° ∴∠BCF=60°-45°=15° 【点睛】本题考查了正方形的性质以及平行四边形的判定和直角三角形的性质，掌握正方形的性质是解题关键． 题型二、根据正方形的性质求线段长 1．如图，边长为12的正方形中，点E是的中点，点F在上，且．则的长为（   ） A．15 B．16 C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题考查正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，作出合理辅助线并证明全等是解题关键． 过点作的垂线，垂足为，连接，根据正方形的性质得出直角和相等的边，证明和，得出相等的边，假设，表示出相关的边长，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，, ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 假设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ∴, 故选：A． 2．（辅助线）（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 【答案】2 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质、正方形的性质是解题的关键． 延长、相交于M，先证明四边形是矩形，得到，，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长、相交于M， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（易错题）（24-25八年级下·上海浦东新区·月考）正方形的边长是，点在边上，且，P是正方形边上的一个动点，连接，当时，的长是______． 【答案】或 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到在以为圆心，为半径的圆上． 根据题意可得在以为圆心，为半径的圆上，分两种情况讨论：如图中的和，①证明四边形是矩形，即可求出结果；②根据勾股定理可得结果． 【详解】解：根据题意画图如下： ，， ， ， ， 在以为圆心，为半径的圆上，如图中的和， ①，， ， 平行且等于， 四边形是矩形， ， ； ②，， ， 综上所述：的长是或． 故答案为：或． 4．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，正方形的边长为4，点E、F分别为上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近D的四等分点，则_______． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形的性质得到，证明，得到，则可证明，取的中点G，连接，由勾股定理可得，则，证明是的中位线，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，取的中点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M为的中点，点N为线段靠近D的四等分点， ∴，， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图所示，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，求的长度． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定、勾股定理，三角形中位线定理，正确做出辅助线且证出是解决问题的关键． 连接，延长交于G，连接，由正方形推出，，，证得，得到，，根据三角形中位线定理得到，由勾股定理求出即可得到． 【详解】解：连接，延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵M为的中点， ∴， 在中， ∴， ∴，， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴． 6．如图正方形对角线与相交于点O，E为上任意点（不与B，C重合），作交于点F． (1)在图1中解答下列问题： ①求证：． ②当正方形的面积为4时，小明发现以下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． (2)如图2，当点P为线段上任意点时（P不与O，C重合），E，F为分别为边，上两点，且．问：，，之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②：②③； (2)；理由见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质和构造全等三角形是解题的关键． （1）①根据正方形的性质得，则有，证明即可； ②根据正方形的面积求出边长，根据，得到，判断①，，推出，判断②；连接，利用勾股定理得和，即可判断③； （2）过点作，证明四边形为正方形，得到，证明，得到，进而得到，即可得出结论； 【详解】（1）证明：①∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵正方形的面积为4， ∴， ∵， ∴，， ∴；故①错误； ；故②正确； 连接，则在中，， ∵，， ∴， ∴；故③正确； 故答案为：②③； （2）解：；理由如下： 过点作，则： ∵正方形， ∴，平分， ∴，四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型三、根据正方形的性质求面积 1．如图正方形和正方形全等，把点A固定在正方形的中心，当正方形绕点A转动时，两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积、根据旋转的性质求解 【分析】如图，AD与EH交于M，AB与GH交于N，连接AH，AG，根据正方形的性质得AG=AH，∠HAG=90°，∠AHM=∠AGN=45°，再利用等角的余角相等得到∠HAM=∠GAN，则可根据“ASA”判断△HAM≌△GAN，即S△HAM=S△ANG，原式得到S四边形AMHN=S正方形EFGH，然后根据正方形的面积公式求解． 【详解】解：如图，AD与EH交于M，AB与GH交于N，连接AH，AG， ∵点A为正方形EFGH的中心， ∴AG=AH，∠HAG=90°，∠AHM=∠AGN=45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB=90°， ∴∠HAM=∠GAN， 在△HAM和△GAN中， ， ∴△HAM≌△GAN（ASA）， ∴S△HAM=S△GAN， ∴S四边形AMHN=S△HAM+S△AHN=S△AHN+S△ANG=S△AGH=S正方形EFGH=． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 2．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求面积 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等， ∴S阴=S正方形ABCD=， 故选B． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，E、F是正方形内的点，，，，，则正方形的面积为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】连接，过点作交的延长线于点，证明出四边形是矩形，得到，，，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】如图，连接，过点作交的延长线于点 ，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴正方形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形求得的长是解题的关键． 4．如图所示，在一个大正方形中有两个小正方形，它们的面积分别为、，则______．    【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积 【分析】如图：设，由正方形的性质和勾股定理可得、，，则、可得；然后再说明，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解：如图：设， ∵正方形， ∴，, ∴，，， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，确定两小正方形的边长是解答本题的关键． 5．如图，两个完全相同的等腰直角三角形，左图中正方形的面积是2004平方厘米，那么右图中正方形的面积是_____平方厘米． 【答案】2254.5// 【知识点】根据正方形的性质求面积、等腰三角形的定义 【分析】设正方形EFNM的边长为2a，根据正方形EFNM的面积，求出等腰直角三角形ABC的腰长，第二个图形中正方形ADQG的边长为等腰直角三角形腰长的一半，进而可得出右图中正方形的面积． 【详解】解：设正方形EFNM的边长为2a， ∵OE＝a，AE＝a，BE＝EM＝2a， ∴AB＝3a， ∵正方形EFNP的面积为2004， 即（2a）2＝2004， ∴a2＝501， ∵AG＝GQ＝AB， ∴正方形ADQG的面积为：GQ2＝（AB）2＝AB2＝×（3a）2＝a2＝×501＝2254.5， ∴正方形的面积为2254.5平方厘米． 故答案为2254.5． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，正方形及面积，解答本题的关键是要熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质及正方形面积的计算方法． 6．（几何模型-十字架模型）如图，正方形边长为4，点E在边上一点（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．    (1)求证：； (2)连接、，如果的面积为，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)或，详见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积 【分析】（1）先证得，很容易证明全等，由此得出，进而可得结论； （2）根据三角形的面积求得，再根据勾股定理求得，根据（1）中即可得出结论； 【详解】（1）∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， （2）∵， ∴设， ∴， ∴的面积 ， ∴， 解得，，， ∴或，      【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系． 7．（几何模型-手拉手模型）如图，正方形和正方形有公共顶点O，，连接．    (1)如图1，线段与线段有交点H，求证：； (2)如图2，点E在的延长线上，求的长； (3)边与交于点G，当C，F，E三点共线时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)的值为2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）证明，推出，利用三角形的外角性质得到，即可证明结论成立； （2）连接与交于点J，利用正方形的性质求得，，再利用勾股定理求解即可； （3）证明，推出，得到的值等于，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵正方形和正方形，    ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：连接与交于点J，    ∵正方形中，， ∴，，， ∴； （3）解：如图，    同理，，， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是解题的关键 题型四、正方形折叠问题 1．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．4 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理等知识．先根据折叠的性质得到，设，再根据正方形的性质和勾股定理得到，，即可得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：连接，， 由折叠得四边形和四边形关于直线对称， ∴． 设， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴在中，，在中，， ， ， 即， 解得，即． 故选：B 2．（上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键． 连接，先由勾股定理求出，再由折叠的性质可知：，，则，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 3．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于G，连接，则的面积为___________． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】将ADE沿AE对折至AFE，知，从而证明，得到BG=GF，再利用勾股定理，通过方程思想得到GF，GC的长，从而得到，进而得解． 【详解】解：连接AG，如图所示： 依题意知：， ∴AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG =90°， 又∵ABCD为正方形， ∴AD=AB，∠D=∠B=90°， ∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°， 在和中 ∴（HL） ∴BG=GF， ∵AB=BC=DC=15，CD=5DE， ∴DE=EF=3，EC=12， 设BG=x，则GF=x，GC=15-x，EG=EF+GF=3+x， 在中， 即， 解得：x=10， ∴GF=10，GC=5，GE=13， ∴GF:GE=10∶13， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形全等的判定和性质，勾股定理及翻折问题，熟练掌握相关性质和判定，特别折前后线段和角的对应相等关系是解题的关键． 4．如图，已知正方形ABCD的边长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为________． 【答案】 【知识点】正方形折叠问题 【分析】利用轴对称的性质将边进行转化，再利用正方形的边长求解即可． 【详解】解：由轴对称可知： ∴阴影部分的周长为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了阴影部分的周长问题，解题关键是利用轴对称的性质进行边的转化． 5．（挑战期末压轴题-跨章节）（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，点是边长为6的正方形的边上的一点，联结，将沿折叠得到．联结并延长交于 (1)当时，求的长； (2)设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域． 【答案】(1) (2)关于的函数解析式为，函数的定义域为 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查了正方形折叠问题、勾股定理、三角形全等的判定与性质、函数的解析式等知识，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题关键． （1）连接，先根据正方形的性质可得，，再根据折叠的性质可得，，，然后证出，最后在中，利用勾股定理求解即可得； （2）先求出，再同（1）可得，则可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得函数解析式，最后根据点是边长为6的正方形的边上的一点可得函数的定义域． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵正方形的边长为6， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得， 即． （2）解：∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可知，， ∴， 在中，，即， 整理得：， ∵点是边长为6的正方形的边上的一点， ∴， 综上，关于的函数解析式为，函数的定义域为． 6．（跨章节-几何与函数）如图，在正方形中，，点E是边上的任意一点（不与C、D重合），将沿翻折至，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)若设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、函数解析式、全等的性质和HL综合（HL）、正方形折叠问题 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再根据折叠的性质得到，，根据三角形全等的判定方法，即可证得结论； （2）由（1）的结论得到，由折叠的性质可得，，则，，，在中，利用勾股定理得到，整理求解即可； （3）由，根据平行线的性质得，，又由得到，则，于是有，即，解得，然后把代入（2）中，即可求出x的值 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 将沿翻折至， ． ，． 又， ； （2）解：， ， ， ． ， ，， 在中， ， ； （3）解：如图： ， ， ， ， ， ， ， 解得， 经检验：是原方程的解， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解分式方程，勾股定理以及折叠的性质，解题时注意对基本图形的寻找． 题型五、求正方形重叠部分面积 1．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、求正方形重叠部分面积 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 2．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【知识点】全等三角形综合问题、求正方形重叠部分面积、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 3．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________． 【答案】1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求正方形重叠部分面积 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的． 根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 【详解】解：如图， 正方形和正方形的边长都是， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是， 故答案为：1． 4．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积、求正方形重叠部分面积 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 5．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、求正方形重叠部分面积 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案； （2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立； （3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积． 【详解】解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 题型六、根据正方形的性质证明 1．如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和HL综合（HL）、直角三角形的两个锐角互余、根据正方形的性质证明 【分析】根据正方形的性质，结合已知，可证明，可得，连接，可得，可证明，对应角相等，可得，由三角形外角的性质，可得，由直角三角形的两个锐角互余，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵点是的中点，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余． 2．（易错题）（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知正方形和正方形顶点重合，点、、分别在边、、上，，将正方形绕着点旋转，点、分别落到点、，如果点、、在同一直线上时，那么线段的长为___________． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．分点在D、之间和点在D、之间两种情况，画出图形求解即可． 【详解】∵正方形和正方形顶点重合，， ∴，， ∴，． 如图，当点在D、之间时，连接，则， 由旋转的性质得四边形是正方形，， ∴ ∴ ∴． 如图，当点在D、之间时，连接，则， 同理可求，． 综上可知，线段的长为或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·上海·月考）已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是菱形、根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，菱形的判定是解决问题的关键．连接交于点，先依据“”判定和全等得，进而依据“”判定和全等得，由此得，然后再根据，即可判定四边形是菱形． 【详解】证明：连接交于点，如图所示： 四边形是正方形， ，，，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又，， 四边形是菱形． 4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，四边形为正方形，，且，直线交延长线于．求证：． 【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、三角函数、等腰三角形的判定与性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．连接，作于，根据正方形的性质证出正方形，求出，求出，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出，求出的度数即可． 【详解】证明：连接，作于， 在正方形中， ，， ， 四边形是正方形． 由， 在中， ， 在正方形中， ． 5．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是正方形．补全图形如图所示，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的证明、根据正方形的性质证明、证明四边形是正方形 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再由证明，即可证明； （2）设相交于点，根据三角形中位线和证明四边形是菱形，由得到，进而得到，得到，即可证明． 【详解】（1）解：．理由如下： 四边形是正方形， ，． 又， ． ； （2）解：四边形是正方形．补全图形如图．理由如下： 设相交于点， 分别是的中点， ． ． 四边形是菱形． ， ． ， ， ． 分别是的中点， ． ． 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形中位线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 6．（跨章节-几何与函数）（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知，如图，正方形的边长为6，点为射线上一个动点，连接，以点为圆心，为半径画弧与直线交于点，连接，且规定． (1)如图1，当点在边上时，求证：； (2)如图2，当点在边的延长线上时，求解下列问题： ①设的长为，的长为，试求关于的函数解析式及的取值范围； ②当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形的性质及三角形的外角的性质即可求解； （2）①如图所示，过点E作于点G，勾股定理求出，然后得到是等腰直角三角形，求出，，证明出得到，进而求解即可；然后由即可得到x的取值范围； ②由求出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：正方形， ． ， ． ， ． （2）①如图所示，过点E作于点G ∵正方形的边长为6 ∴ ∴ ∵设的长为，的长为 ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 整理得， ∵规定 ∴ 当时， ∵ ∴ ∴此时点F和点C重合， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴的取值范围； ②当时 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键． 7．（跨章节-几何与函数）（24-25八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且的面积为24．点在双曲线上． (1)求点的坐标以及的值； (2)连接，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； (3)点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标．（请直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3)点或 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】（1）先求出点坐标，根据，求出点纵坐标，然后代入，即可求出点横坐标，最后将点坐标代入，进行求解即可； （2）先求出点D坐标，再求出直线表达式为，设点，根据四边形是菱形，得出，列出方程求解即可得出点P坐标； （3）设点，分两种情况①当点E在点D的下方时，②当点E在点D的上方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴点A坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点C在第二象限， ∴， 把代入，得， ∴点C坐标是． 把代入，得． （2）由（1）可知，双曲线为． 把D坐标，代入，得， ∴点D坐标是． 设直线表达式为：， 把，代入，得， 解得， ∴直线表达式为：． ∵四边形是菱形， ∴， ∵点P在直线上， ∴设点， ∵，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴点P坐标是， （3）设点， ①当点E在点D的下方时， 如图，过点E作轴，过点D作，垂足为M， 过点F作，垂足为N，则， ∵点D坐标是， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴，， ∴点F坐标是， 把代入直线：，得， 解得：， ∴点； ②当点E在点D的上方时，同理可得点F坐标是， 代入直线：，可得，解得：， ∴点． 综上所述，点或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，两点间距离公式等知识，综合性较强，熟练掌握相关性质并灵活运用，正确作出图形添加辅助线构建全等三角形是解题的关键． 题型七、正方形的判定定理理解 1．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【知识点】正方形的判定定理理解、判断命题真假、利用平行四边形的性质求解、矩形性质理解 【分析】此题考查了命题与定理的知识，掌握平行四边形的性质、菱形、正方形的判定及矩形的性质是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质，菱形的性质及正方形的性质，矩形的判定定理，结合选项即可得出答案． 【详解】解；A、平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形的判定定理，是真命题，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，根据矩形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，是假命题，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海·月考）下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正方形的判定定理理解、判断能否构成平行四边形、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和确定事件的概念的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识逐一判断每句话的是否是确定事件，然后即可求解； 【详解】解：（1）不是确定事件，不符合题意，一组对边平行且相等才是平行四边形，仅一组对边平行且另一组对边相等可能是等腰梯形，不一定是平行四边形； （2）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线互相平分，若对角线相等，则符合矩形的判定定理，故该命题成立； （3）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线平分一组对角时，邻边相等，四条边均相等，故为菱形； （4）不是确定事件，不符合题意，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，若其不是平行四边形（如对角线不互相平分），则无法保证是正方形； 综上，是确定事件的有（2）和（3），共2个， 故选：B； 3．（24-25八年级下·上海金山·期末）在四边形中，点、、、分别是各边的中点，四边形是正方形，下列选项中正确的是（   ） A．四边形一定是矩形 B．四边形一定是正方形 C．四边形的对角线相等且垂直 D．四边形有一组邻边相等且有一个内角是直角 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的证明、矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解 【分析】本题考查中点四边形的性质，解题的关键是掌握三角形中位线定理以及中点四边形与原四边形对角线的关系． 利用三角形中位线定理，得出中点四边形的边与原四边形对角线的关系，再结合正方形性质判断原四边形对角线特征． 【详解】中点四边形性质：四边形各边中点连线形成的四边形（中点四边形）的边平行于原四边形的对角线，且长度为对角线的一半． 正方形条件：若中点四边形为正方形，则其四条边相等且互相垂直． 边相等：原四边形的两条对角线长度相等（若中点四边形边长为原对角线的一半，则对角线相等）． 边垂直：原四边形的对角线互相垂直（若中点四边形邻边垂直，则原对角线垂直）． A、B错误，原四边形不一定是矩形或正方形，只需满足对角线相等且垂直即可； C正确：对角线相等且垂直是原四边形满足中点四边形为正方形的充要条件； D错误：原四边形可能无邻边相等或直角，仅需对角线满足条件． 4．（上海杨浦·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的菱形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】此题考查了矩形、菱形、正方形的判定，利用特殊四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； B．对角线相等的菱形是正方形，故选项错误，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，故选项正确，符合题意； D．对角线垂直相等的平行四边形是正方形,故选项错误，不符合题意． 故选：C． 5．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 【答案】①②③ 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】根据全等三角形判定定理，平行四边形判定定理，菱形，矩形，正方形判定定理逐项判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； 连接，如图所示： 当时，四边形是菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 当分别是中点时，不能证明两边相等，如图所示： 故④错误； 综上所述，结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质，涉及平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定、正方形的判定，解题的关键是熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质． 6．如图中，阴影部分表示的四边形是______． 【答案】正方形 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题考查四边形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据题意可知，阴影部分既要满足矩形的性质，又满足菱形的性质，从而得解； 【详解】解：当矩形的邻边相等时，矩形可称为是正方形；当菱形的邻边互相垂直时，所给菱形可称为正方形； 故正方形即是特殊的矩形，也是特殊的菱形， 所以阴影部分表示的四边形是正方形； 故答案为：正方形 题型八、添一个条件使四边形是正方形 1．（24-25八年级下·上海·月考）如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用矩形的性质证明、添一个条件使四边形是正方形 【分析】先利用矩形的性质进一步得出，再根据三角形中位线的判定和性质得出四边形是菱形，再证明为等腰直角三角形，进而可得出，即可证明四边形是正方形． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下∶ ∵点E是的中点， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、F、H分别是、、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，点E是的中点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是正方形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质等知识，掌握正方形的判定是解题的关键． 2．如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∵， ∴四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键． 3．已知菱形ABCD，下列条件中，不能判定这个菱形为正方形的是（　　） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 【答案】B 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵菱形ABCD，∴，∴，∵，∴，∴ABCD是正方形，选项说法正确，不符合题意； B、∵菱形ABCD，∴，∴由不能判定菱形是正方形，选项说法错误，符合题意； C、∵菱形ABCD，∴，AC与BC互相平分，又∵，∴ABCD是正方形，选项说法正确，不符合题意； D、∵，∴，∵菱形ABCD，∴ABCD是正方形，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及正方形的判定方法，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(  ) A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【详解】解：∵EF垂直平分BC， ∴BE=EC，BF=CF； ∵BF=BE， ∴BE=EC=CF=BF； ∴四边形BECF是菱形． 当BC=AC时，∠ACB=90°，∠A=45°， ∴∠EBC=45°； ∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°． ∴菱形BECF是正方形． 故选项A不符合题意． 当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B不符合题意． 当BD=DF时，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C不符合题意． 当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D符合题意． 故选D． 5．如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)时，见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2）当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 题型九、证明四边形是正方形 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知在四边形中，，对角线、交于点，且，则下列四个命题中真命题是（    ） A．若，则四边形一定是等腰梯形 B．若，则四边形一定是等腰梯形 C．若且，则四边形一定是正方形 D．若，则四边形一定是矩形 【答案】D 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是正方形、判断命题真假 【分析】本题考查了命题和定理，等腰梯形，矩形，正方形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据四边形且对角线的条件，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：A：若，四边形可能是矩形（平行四边形对角线相等），不一定是等腰梯形，故A错误； B：若，可能通过全等三角形证明边相等，但若四边形为矩形时也满足条件，故B错误； C：若且，可构造等腰梯形满足条件（如对角线垂直且，但非正方形），故C错误； D：若，说明对角线被平分，结合，证明全等，并得到，四边形为平行四边形（对角线互相平分），结合，平行四边形对角线相等则为矩形，故D正确； 故选：D． 2．下列命题正确的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 【答案】D 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】根据选项命题看是否能找一个反例出来，若有反例则是假命题； 【详解】解：A选项：一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形，故本选项为假命题． B选项：对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，故本选项为假命题． C选项：两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，如图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，本选项为假命题． D选项：两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． 已知：四边形ABCD，AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， 求证：四边形ABCD为正方形， 证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形为平行四边形，又AC＝BD， ∴四边形ABCD为矩形， ∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为正方形，则本选项为真命题． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定；判断一个命题为假命题，只需找出一个反例即可；判断一个命题为真命题，必须经过严格的证明；掌握正方形的特征是解题的关键． 3．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；由（1）知，四边形是正方形，得出．由，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形是正方形． （2）解：平分， ． 在和中， ， ， ． ∵四边形是正方形， ． ∵， ， ，， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． 4．（24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 【答案】(1)四边形是菱形（特殊位置时为正方形），见解析 (2)， 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形、证明四边形是正方形 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，勾勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，过点A分别作，，垂足分别是点E、F，证明，得出，即可得出结论；（特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，设菱形 的边长为，根据勾股定理得出，最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长 为底的四边形即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形（特殊位置时为正方形）． 证明：两张完全相同的长方形纸条， ，， 四边形是平行四边形 过点A分别作，，垂足分别是点E、F， ，， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）解：当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，正方形边长等于长方形纸条的宽，即， 所以最小面积为； 设菱形 的边长为，在由长方形长的剩余部分与宽构成的直角三角形中，一条直角边为长方形的宽 5cm，另一条直角边为，斜边为菱形边长， 根据勾股定理， 解得： 最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长为底的四边形，最大面积为 ． 5．已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形、矩形性质理解、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过矩形的性质得出证明，得出，再结合矩形的性质，即可作答． （2）经过角的等量代换得出，结合，得出，证明，得出，得出四边形是平行四边形，结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴ ∵是边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 题型十、根据正方形的性质与判定求角度 1．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度、中点四边形 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 3．夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质以及平行线的性质解答即可． 【详解】∵夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上， ∴∠BAD=90°，∠DFE=60°， ∵l1∥l2，A、D、F在一条直线上， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠DFE， 即∠1+90°=∠2+60°， 可得：∠2-∠1=30°， 故选B． 【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和等边三角形的性质以及平行线的性质解答． 4．如图，将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点B落在上点G处，连接． 小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则________°． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求角度、根据旋转的性质求解 【分析】根据旋转角等于对应边所在直线的夹角求直线与的夹角即可． 【详解】延长与交于点， ∵可以由绕某一点顺时针旋转得到， ∴， ∵将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的折叠，旋转的性质，正方形的判定，解题的关键是理解旋转角等于对应边所在直线的夹角． 5．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．    设菱形相邻两个内角的度数分别为﹒ (1)若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度”=________； (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，则菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形． 【答案】 1 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、根据正方形的性质与判定求角度 【分析】（1）根据菱形的性质求解;（2）根据正方形的性质求解. 【详解】（1）菱形的一个内角为，与之相邻的内角为 ， （2）正方形的每一个内角为， 【点睛】本题考查了正方形和菱形的性质，解题的关键在于根据性质求出具体角的度数. 6．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质与判定求角度 【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论； （2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）； （2）∵FD=FE， ∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=135°-2x， ∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°， 解得：x=30， ∴∠AFE=60°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 题型十一、根据正方形的性质与判定求线段长 1．如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，过D作于H，由角平分线的性质推出，，判定四边形是正方形，得到，由勾股定理求出，判定，得到，同理，得到，即可求出的长． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判断与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况：在上，，四边形是正方形，；在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·上海·期末）如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 _______ ． 【答案】36 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、折叠问题 【分析】由，，，，得，，由翻折得，，，，，，则，求得，则四边形是矩形，而，所以四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，由勾股定理得，求得符合题意的m值为6，所，于是得到问题的答案． 【详解】解：中，，，，， ，， 由翻折得，，，，，， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ，， ， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为m，则，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故答案为：36． 【点睛】此题重点考查翻折变换的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形是正方形是解题的关键． 4．如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为______． 【答案】3或6 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，当为直角三角形，有两种情况：①当点落在矩形内部，即时，连接，结合矩形性质、勾股定理求得，再根据折叠性质得到点、、共线，，，求得，设，则，再根据勾股定理即可得解；②当点落在边上，即时，证明四边形是正方形即可得解． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部，即时，如下图，连接， 矩形中，，， 在中，，， ， 把沿着折叠，使点落在点处， ， ， 点、、共线， 根据折叠性质可得：，， ， 设，则， 中，， ， 解得， ； ②当点落在边上，即时，如下图： 由折叠性质得：，， 四边形是正方形， ， 此时符合题意． 故答案为：3或6． 5．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)的长为或 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】（1）由正方形的性质可得，，作于，于，则，四边形为矩形，证明，即可得解； （2）由正方形的性质可得，，，由点在边的延长线上可得为钝角，证明，得出，即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于，于；当点在的延长线上时，作于，延长交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， ， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴如图所示，为钝角， ， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时，作于，于， ， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴， 由（2）可得：， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 6．（1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，得出四边形是矩形，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”，即可证明四边形为正方形； （2）根据矩形与正方形的性质，推出，，根据折叠的性质，得出，，根据勾股定理计算，由计算出的长，设，则，根据勾股定理，，列出方程求解，由，计算得出答案即可． 【详解】解：（1）证明：∵在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴四边形为正方形； （2）∵四边形是矩形，，，由（1）得四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∵将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠问题、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、运用勾股定理计算求解是解题的关键． 题型十二、根据正方形的性质与判定求面积 1．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 2．如图是的高，，若，则的面积是 ____________________． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，以为边作正方形，可得，设，用含x的式子表示出的值，在直角中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作正方形，在上取，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴在中，， 即， 解得，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【答案】25 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 4．（上海静安·期末）已知：如图，梯形中，，，E、F、G、H分别是的中点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形、根据正方形的性质与判定求面积、等腰梯形的判定定理 【分析】（1）首先根据三角形中位线的性质得到，，证明出四边形是平行四边形，然后利用，得到，进一步证明出四边形是菱形； （2）延长交于点M，首先证明出，得到，，，然后得到四边形是正方形，是等腰直角三角形，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接    ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵梯形中，，， ∴四边形是等腰梯形 ∴ ∵同理可得，是的中位线 ∴ ∴ ∴四边形是菱形； （2）如图所示，延长交于点M，    ∵，， ∴，， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形 ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴，即 ∴． ∴四边形的面积为8． 【点睛】此题考查了梯形的性质，菱形的判定定理，正方形的判定与性质、三角形的中位线性质、全等三角形的判定及性质，熟记各判定定理及性质定理是解题的关键． 5．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【知识点】证明四边形是菱形、根据正方形的性质与判定求面积、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质与判定，等角对等边，熟知菱形的判定定理和正方形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，则可得到，据此可得结论； （2）可证明四边形是正方形，再根据正方形对角线相等，且正方形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ，， 四边形是平行四边形． 平分 ． ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：如图所示，连接， 由（1）可知，四边形是菱形． ，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 题型十三、根据正方形的性质与判定证明 1．如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有______． 【答案】①③ 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质与判定证明 【分析】根据正方形的性质证明全等，可判断①结论；根据正方形的性质证明边形是矩形，可判断②结论；过点作交于点，分别证明四边形是平行四边形，四边形是正方形，可判断③结论；同③理可证，四边形、是正方形，可判断④结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 又， ，①结论正确； 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ，②结论错误； 如图，过点作交于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 由①可知，， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形是正方形， ， ，③结论正确； 设正方形的边长为，则， 是的中点， ， 同③理可证，四边形、是正方形， ， ， ，， ，④结论错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 2．如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且． (1)求证：四边形为正方形； (2)若正方形的面积为4，连接，求的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的长为． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是菱形 【分析】（1）由正方形的性质，结合已知可证明，可得，，从而可得，即可证得结论； （2）由正方形的面积可得边长，根据勾股定理计算，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：∵正方形的面积为4， ∴，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，菱形的判定，求算术平方根，勾股定理． 3．如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 【答案】45 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查了正方形各内角均为直角，全等三角形的判定与性质，延长使得，易证，可得，进而求证可得，再求出即可解题． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接． ， ． 在和中， ， ， ，即． ， ，即． 在和中， ， ， ． 4．已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若 (1)求证：四边形是正方形； (2)E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据菱形的性质可知，，，可得，再结合即可变换为，得到即可证得四边形是正方形； （2）根据正方形的性质易得，，再根据，可得，结合即可得到，证得，从而得到． 【详解】（1）证明：四边形是菱形，对角线与相交于点O，   ，，， ， ，   ， ，   ，   四边形是正方形； （2）证明：四边形是正方形 ； ，，，，   ，，   ，垂足为， ，，   ， ，   在和， ， ， ． 2 / 106 1 / 106 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 正方形的性质与判定的13类题型 目录 题型一、根据正方形的性质求角度 1 题型二、根据正方形的性质求线段长 7 题型三、根据正方形的性质求面积 15 题型四、正方形折叠问题 24 题型五、求正方形重叠部分面积 32 题型六、根据正方形的性质证明 38 题型七、正方形的判定定理理解 51 题型八、添一个条件使四边形是正方形 55 题型九、证明四边形是正方形 60 题型十、根据正方形的性质与判定求角度 66 题型十一、根据正方形的性质与判定求线段长 71 题型十二、根据正方形的性质与判定求面积 82 题型十三、根据正方形的性质与判定证明 88 题型一、根据正方形的性质求角度 1．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，为对角线上的一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）若，则矩形的面积为_______； （2）当线段与正方形的一边的夹角是时，则的度数为_______． 4．（易错题）正方形ABCD中，E为AB上一点，M，N分别在BC，AD上，CE＝MN，∠MCE＝35°，则∠ANM＝______． 5．如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，CE⊥AC与AD边的延长线交于点E．    （1）求证：四边形BCED是平行四边形； （2）延长DB至点F，连接CF，若CF=BD，求∠BCF的大小． 题型二、根据正方形的性质求线段长 1．如图，边长为12的正方形中，点E是的中点，点F在上，且．则的长为（   ） A．15 B．16 C． D． 2．（辅助线）（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 3．（易错题）（24-25八年级下·上海浦东新区·月考）正方形的边长是，点在边上，且，P是正方形边上的一个动点，连接，当时，的长是______． 4．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，正方形的边长为4，点E、F分别为上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近D的四等分点，则_______． 5．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图所示，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，求的长度． 6．如图正方形对角线与相交于点O，E为上任意点（不与B，C重合），作交于点F． (1)在图1中解答下列问题： ①求证：． ②当正方形的面积为4时，小明发现以下结论：①；②；③．其中正确的是______（填序号）． (2)如图2，当点P为线段上任意点时（P不与O，C重合），E，F为分别为边，上两点，且．问：，，之间有何数量关系，并说明理由． 题型三、根据正方形的性质求面积 1．如图正方形和正方形全等，把点A固定在正方形的中心，当正方形绕点A转动时，两个正方形重叠部分的面积是正方形面积的（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （　　） A．1 B． C． D． 3．如图，E、F是正方形内的点，，，，，则正方形的面积为______． 4．如图所示，在一个大正方形中有两个小正方形，它们的面积分别为、，则______．    5．如图，两个完全相同的等腰直角三角形，左图中正方形的面积是2004平方厘米，那么右图中正方形的面积是_____平方厘米． 6．（几何模型-十字架模型）如图，正方形边长为4，点E在边上一点（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．    (1)求证：； (2)连接、，如果的面积为，求的长． 7．（几何模型-手拉手模型）如图，正方形和正方形有公共顶点O，，连接．    (1)如图1，线段与线段有交点H，求证：； (2)如图2，点E在的延长线上，求的长； (3)边与交于点G，当C，F，E三点共线时，请直接写出的值． 题型四、正方形折叠问题 1．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．4 2．（上海奉贤·期末）如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为________． 3．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于G，连接，则的面积为___________． 4．如图，已知正方形ABCD的边长为，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为________． 5．（挑战期末压轴题-跨章节）（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，点是边长为6的正方形的边上的一点，联结，将沿折叠得到．联结并延长交于 (1)当时，求的长； (2)设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域． 6．（跨章节-几何与函数）如图，在正方形中，，点E是边上的任意一点（不与C、D重合），将沿翻折至，延长交边于点G，连接． (1)求证：； (2)若设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)连接，若，求的长． 题型五、求正方形重叠部分面积 1．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 2．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 3．如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是___________． 4．如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 5．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 题型六、根据正方形的性质证明 1．如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（易错题）（24-25八年级下·上海杨浦·期末）如图，已知正方形和正方形顶点重合，点、、分别在边、、上，，将正方形绕着点旋转，点、分别落到点、，如果点、、在同一直线上时，那么线段的长为___________． 3．（24-25八年级下·上海·月考）已知：如图，在正方形中，点.分别在边.上，且．对角线分别交于点，联结．求证：四边形是菱形； 4．（24-25八年级下·上海·期末）如图，四边形为正方形，，且，直线交延长线于．求证：． 5．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在正方形中，点、分别在、上，且． (1)求证：； (2)连接、，分别取、、、的中点、、、，四边形是什么特殊的平行四边形？请在图中补全图形，并说明理由． 6．（跨章节-几何与函数）（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知，如图，正方形的边长为6，点为射线上一个动点，连接，以点为圆心，为半径画弧与直线交于点，连接，且规定． (1)如图1，当点在边上时，求证：； (2)如图2，当点在边的延长线上时，求解下列问题： ①设的长为，的长为，试求关于的函数解析式及的取值范围； ②当时，求的长． 7．（跨章节-几何与函数）（24-25八年级下·上海·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线相交于点，点在第二象限且的面积为24．点在双曲线上． (1)求点的坐标以及的值； (2)连接，直线向上平移交直线于点，点为平面内任意一点，如果四边形为菱形，求点的坐标； (3)点为轴上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，在点运动的过程中，当顶点落在直线上时，求点的坐标．（请直接写出答案） 题型七、正方形的判定定理理解 1．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 2．（24-25八年级下·上海·月考）下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·上海金山·期末）在四边形中，点、、、分别是各边的中点，四边形是正方形，下列选项中正确的是（   ） A．四边形一定是矩形 B．四边形一定是正方形 C．四边形的对角线相等且垂直 D．四边形有一组邻边相等且有一个内角是直角 4．（上海杨浦·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的菱形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是正方形 5．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结，那么： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是菱形； ④当分别是中点时，四边形是正方形． 则下列结论中正确的有 _____________． 6．如图中，阴影部分表示的四边形是______． 题型八、添一个条件使四边形是正方形 1．（24-25八年级下·上海·月考）如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（    ）    A．且 B．且和互相平分 C．且 D．且 3．已知菱形ABCD，下列条件中，不能判定这个菱形为正方形的是（　　） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(  ) A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF 5．如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 题型九、证明四边形是正方形 1．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）已知在四边形中，，对角线、交于点，且，则下列四个命题中真命题是（    ） A．若，则四边形一定是等腰梯形 B．若，则四边形一定是等腰梯形 C．若且，则四边形一定是正方形 D．若，则四边形一定是矩形 2．下列命题正确的是（    ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 B．对角线相等的四边形一定是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 3．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 4．（24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 5．已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 题型十、根据正方形的性质与判定求角度 1．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 3．夹在两条平行线间的正方形ABCD、等边三角形DEF如图所示，顶点A、F分别在两条平行线上．若A、D、F在一条直线上，则∠1与∠2的数量关系（    ） A． B． C． D． 4．如图，将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点B落在上点G处，连接． 小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则________°． 5．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．    设菱形相邻两个内角的度数分别为﹒ (1)若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就接近正方形．若菱形的一个内角为，则“接近度”=________； (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，则菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形． 6．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 题型十一、根据正方形的性质与判定求线段长 1．如图，中，，，，、的角平分线交于点D，于点E，于点F，则的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 2．如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 3．（24-25八年级下·上海·期末）如图，中，，，垂足为点D，，，现将和分别沿着、翻折，得到和，延长、交于点G，则四边形的面积是 _______ ． 4．如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处，当三角形为直角三角形时，的长为______． 5．（24-25八年级下·上海金山·期末）如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． (1)当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； (2)当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； (3)当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 6．（1）【问题提出】如图1，在矩形中，为上一点，将沿折叠得到，点恰好在上，求证：四边形为正方形． （2）【问题拓展】如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕．若，，求的长． 题型十二、根据正方形的性质与判定求面积 1．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 2．如图是的高，，若，则的面积是 ____________________． 3．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 4．（上海静安·期末）已知：如图，梯形中，，，E、F、G、H分别是的中点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，且，求四边形的面积． 5．如图，在中，的平分线交于点D，， (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，且，求四边形的面积． 题型十三、根据正方形的性质与判定证明 1．如图，在正方形中，是边上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交．于点、，下列结论：①；②；③；④当是的中点时，．其中正确的结论有______． 2．如图，在正方形中，E、F、G、H分别是、、、上的一点，且． (1)求证：四边形为正方形； (2)若正方形的面积为4，连接，求的长． 3．如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数． 4．已知：如图，菱形的对角线与相交于点O，若 (1)求证：四边形是正方形； (2)E是上一点，，垂足为H，与相交于点F，求证：． 2 / 106 1 / 106 学科网（北京）股份有限公司 $