考点05 完全平方公式（10大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点05 完全平方公式 考点一：完全平方公式 1.完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b² 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍， 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放” 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号 与左边的运算符号相同 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式 考点二：完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为S=(a+b)²，也可以表示为S=a²+ab+ab+b²其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a，b的小正方形及2个长、宽分别是b，a的小长方形的面积之和，从而验证了完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b² 考点三：完全平方式 对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B²，则称A是完全平方式 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方，另一种是完全平方差公式， 就是两个整式的差括号外的平方，算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随 中央，（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中 间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边 的符号都用+）” 考点四：完全平方变形公式 完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b² 移项：a²+b²=(a+b)²-2ab，a²+b²=(a-b)²+2ab 2ab=(a+b)²-(a²+b²)，2ab=a²+b²-(a-b)² 两式相加：2(a²+b²)=(a+b)²+(a-b)² 两式相减：4ab=(a+b)²-(a-b)² 题型一：完全平方公式的适用条件 完全平方公式有两种基本形式，它们描述的是一个二项式的平方展开为三项式的过程，完全平方三项式”的判断标准：首平方，尾平方，首尾两倍在中央． （1）只看符号不看数字，一错全错； （2）系数、字母都要完全相同，才能算“相同项”． 【典例精讲】（2025秋•奉贤区期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A．（x﹣y）（x+y） B．（2x﹣y）（x+y） C．（x﹣y）（2x﹣y） D．（x﹣y）（﹣x+y） 【变式训练1】（2024秋•长宁区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A．（﹣2a﹣b）（b﹣2a） B．（﹣2a﹣b）（2a+b） C．（﹣3a+2b）（3a+2b） D．（3a+2b）（3a﹣2b） 【变式训练2】若对于两个多项式的乘积：（m+n）（p+q），能用完全平方公式进行简捷运算，则满足的条件可以是（　　） A．m＝﹣p，n＝q B．m＝p，n＝﹣q C．m＝p，n＝q D．m＝p，n＝2q 题型二：运用完全平方公式进行计算 （1）判断形式，确认适用； （2）确定a、b，明确对应项； （3）套用公式，逐项展开； （4）化简结果，合并同类项. （1）漏写中间项的“2”，写成“缺项版”； （2）混淆完全平方与平方差，写成“二项式结果”； （3）误以为“差的平方”尾项为负，忽略b²恒正； （4）负号整体平方时，未正确转化符号； （5）多项式整体代换时，漏加括号导致平方不完整； （6）括号内有同类项，未合并直接展开增加计算错误. 【典例精讲】（2025秋•浦东新区期末）（2x﹣y）2＝　 ． 【变式训练1】（2025秋•北京校级期中）计算：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣1）2． 【变式训练2】（2025秋•浦东新区校级月考）计算：（x﹣2y﹣1）（1﹣x+2y）． 【变式训练3】（2025秋•闵行区校级月考）（1）计算：3（x﹣1）（x+3）﹣2（x﹣5）（x﹣2）； （2）计算：（﹣2x﹣5）2﹣（5﹣2x）2． 题型三：利用完全平方公式进行简便运算 利用完全平方公式做简便运算，核心是凑整变形，将非整十、整百的数，或复杂整式转化为“整数/简单式 ± 小数/简单项”的平方形式，再套用公式计算． （1）凑整要“真简便”，避免过度变形凑整的目的是减少计算量，需选择最接近的整十、整百、整千数或最简整式，切勿凑成更复杂的形式； （2）括号内有同类项时，必须先合并再凑平方形式，避免直接对多项整体代换增加计算步骤； （3）牢记公式结构，杜绝“缺项”“错项”，无论数字还是整式运算，都要遵循“首平方，尾平方，中间两倍首尾积”，切勿漏写中间项的“2”，或混淆为平方差公式； （4）定准a和b，整体代换要加括号，凑整后确定a、b时，若为多项式、带系数的单项式，必须给整体加括号再平方，避免系数、多项式平方不完整． 【典例精讲】（2025春•玄武区校级月考）用简便方法计算： （1）1012； （2）20252﹣2024×2026． 【变式训练1】（2025春•菏泽月考）乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公式完成题目． （1）1002﹣99×101； （2）． 【变式训练2】（2025秋•闽清县期末）计算：1032+103×194+972＝　 　 ． 【变式训练3】（2025春•渭城区校级月考）用乘法公式进行简便运算： （1）1012+992； （2）30002﹣2998×3002． 题型四：利用完全平方公式进行化简求值 利用完全平方公式化简求值的核心是先通过公式化简整式，再代入数值计算 （1）分析原式，判断化简方向； （2）套用公式，彻底化简整式； （3）分析已知条件，选择代入方式 ①若已知条件为单个字母的值（如x=3，a=2），直接整理化简后的式子，准备代入； ②若已知条件为代数式的值（如2x+y=5，x-3y=2），无需求单个字母，直接将该代数式作为整体代入； ③若已知条件需变形转化，直接代入变形后的条件； （4）代入计算，得出最终结果． （1）记混变形公式，加减项颠倒； （2）未化简先代入，计算量激增且易出错； （3）整体代入时，漏乘系数或忽略整体平方； （4）代入负数的整体值时，必须给整体加括号再平方，避免出现“负号平方失效”的错误； （5）系数平方时，仅平方字母未平方系数． 【典例精讲】（2025秋•侯马市期末）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）+3（x﹣1），其中x＝﹣2． 【变式训练1】（2025秋•娄烦县期末）已知m2n与﹣4m1+xny+3是同类项，先化简，再求值． 【变式训练2】（2025秋•夏津县期末）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中，y＝22026． 题型五：求完全平方式中的字母系数 求完全平方公式中的字母系数，核心是紧扣完全平方式的结构特征，列方程（组）求解，关键在于找准完全平方式的“首项、尾项、中间项”，利用对应关系建立等式． （1）判断形式，锁定完全平方式类型； （2）拆分平方项，确定首尾项的底数； （3）根据中间项特征，列等式； （4）解方程（组），求字母系数的值． （1）忽略“二次项系数为正的完全平方数”，直接套用一次项系数公式； （2）遗漏一次项系数的“正负两种情况”，只算正号或负号； （3）常数项为字母时，忽略“常数项为非负完全平方数”的条件； （4）对“二次项平方根”“常数项平方根”计算错误，或忘记一次项系数是2倍的底积； （5）忽略一次项系数的符号，仅求正系数解； （6）常数项为负时，直接判定无解，未先处理符号． 【典例精讲】（2025秋•镇原县期末）已知x2+kx+9是完全平方式，则k的值为（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【变式训练1】（2025秋•重庆校级期末）若多项式9x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．25 B．23 C．25或﹣23 D．﹣25或23 【变式训练2】（2025秋•牡丹江期末）若4x2+mx+9是完全平方式，则（6m4﹣8m3）÷（﹣2m2）+3m2的值是（　　） A．±48 B．±24 C．48 D．24 题型六：变形公式 由完全平方核心公式： (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² 推导得四大核心变形公式（解题的关键依据）： （1）a²+b²=(a+b)²-2ab （2）a²+b²=(a-b)²+2ab （3）2(a²+b²)=(a+b)²+(a-b)² （4）4ab=(a+b)²-(a-b)² 核心关系：四个量（a+b、a-b、ab、a²+b²）中，已知任意两个，可通过变形公式求另外两个． （1）变形公式加减项颠倒，把“减2ab”记成“加2ab”，把“减4ab”记成“减2ab”； （2）代入负数的和/差、负的积时，未带符号整体计算，导致符号错误； （3）逆求型题目（已知平方和+积，求和/差），遗漏正负两种解； （4）忽略积的符号对结果的影响，未判断解的合理性； （5）分数/小数运算时，平方、乘法未按规则计算，导致结果错误． 【典例精讲】（2025秋•兰陵县期末）已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 　　 ． 【变式训练1】（2025秋•凉州区期末）已知a﹣b＝8，ab＝5，则a2+b2+3ab的值为（　　） A．89 B．74 C．64 D．49 【变式训练2】（2025秋•盘龙区期末）若（x+y）2＝10，xy＝1，则（x﹣y）2＝（　　） A．14 B．12 C．8 D．6 【变式训练3】（2025秋•海沧区校级期末）已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2的值为（　　） A．31 B．25 C．19 D．15 【变式训练4】（2025秋•浦东新区校级期末）若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，则（30﹣x）2+（x﹣10）2的值为　　 ． 【变式训练5】（2025秋•赣州期末）已知x﹣y＝2，xy＝3，利用乘法公式求下列各式的值： （1）x2+y2； （2）x+y． 题型七：规律探究型问题 （1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义； （2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例； （3）寻找变化规律； （4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式； （5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确； （6）归纳结论． （1）只看前2项就下结论； （2）把“序号 n”搞错：第1个对应 n=1，第2个 n=2，不是从0开始； （3）符号规律忘带 (-1)ⁿ； （4）图形规律：数错个数，只数看得见的，漏了隐藏/重叠部分； （5）写出规律不检验． 【典例精讲】（2025秋•建瓯市期末）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）n展开式的系数规律． 当代数式x4+12x3+54x2+108x+81的值为0时，则x值为　　 ． 【变式训练1】（2025春•舒城县期末）有一系列等式： 1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2 2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2 3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2 4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2 … （1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果 　 （2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明． 【变式训练2】（2025•马鞍山校级一模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等． （1）填出（a+b）4展开式中共有 　　　　　　　　 项，第三项是 　　　　　　　　． （2）直接写出（1﹣2y）5的展开式． （3）利用上面的规律计算：． 题型八：几何背景 （1）画图：画大长方形，按项分段标上字母； （2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽； （3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加； （4）合并同类项：整理成最简多项式． （1）线段长度必须为正数，字母表示线段时，所有字母都大于0； （2）面积只能加，不能直接减； （3）分长方形时别漏块、别重复； （4）同类项要对应图形； （5）公式别乱套，先看图形． 【典例精讲】（2025秋•五华区校级期末）探究：把四块如图1所示的小正方形，按图2所示的方式摆放在一个大正方形的四角，空白部分是两个长为m，宽为n的互相垂直的长方形．根据图2中图形的面积可以说明的公式为　 ； 应用：如图3，已知C是线段AB上一点，分别以AC，BC为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若AB＝10，S△ACD+S△CBE＝26，求阴影部分的面积； 拓展：已知M＝2x2﹣4x+3，N＝x2﹣2x+2，求M﹣N的最小值． 【变式训练1】（2025秋•茄子河区期末）现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式训练2】（2025秋•兴县期末）综合与实践 图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，请你直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn三个代数式之间的等量关系． （2）①已知x+y＝8，xy＝15，求（x﹣y）2的值． ②已知，求的值． （3）将两个正方形ABCD，EFGA如图3摆放，若两个正方形面积之和为65，BE＝3，直接写出图中阴影部分的面积之和． 【变式训练3】（2025春•镇海区校级期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）的面积为S1；若在边长为a的正方形中摆放两个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）的面积为S2；图3中A为BC的中点，阴影部分的面积为S3． （1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2； （2）若a+b＝7，ab＝11， ①求S1+S2的值； ②求S3的值． 题型九：新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025春•成安县期末）如果一个正整数能够表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42．因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012都是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k为非负整数）．由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是4的倍数吗？为什么？ 【变式训练1】（2024秋•南山区校级期末）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i． （1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝　　 ；②（2+i）2＝　 ； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值． 【变式训练2】（2024秋•鄱阳县期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式x2﹣4x+5关于x＝　　 对称； （2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝5对称，求b的值； （3）若整式（x2﹣10x+25）（x2+6x+9）关于x＝m对称，求m的值． 题型十：配方法 将二次三项式转化为一个完全平方式与一个常数项的和，从而简化运算或求最值 （1）若二次项系数不为1，则提取二次项系数； （2）接着对括号内的二次项和一次项凑平方，即加上并减去一次项系数一半的平方． （1）系数处理：忘记“提”或“乘”； （2）配方时，括号内的符号由一次项系数决定，而非常数项； （3）配方时，加了一个数，必须同时减去相同的数，否则等式不成立； （4）当一次项系数为分数时，计算“一半的平方”容易出错． 【典例精讲】（2025春•巴中期末）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以当a＝﹣3时，（a+3）2取最小值0，（a+3）2﹣1有最小值﹣1． 所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）将x2﹣4x+5变形为（x﹣m）2+n的形式　 　 ，则x2﹣4x+5的最小值为　 　 ； （2）已知a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求2a﹣b的值． 【变式训练1】（2025秋•丰泽区校级期中）在学习乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值．例如：求代数式x2+4x+5的最小值？总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）填空：x2+　 　+25＝（x+5）2；m2+8m+　 　＝（m+　 　 ）2； （2）若y＝x2+2x﹣3，当x＝　 　时，y有最　 　 值（填“大”或“小”），这个值　 　； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足a2+41+b2＝8b+10a，且c的值为代数式﹣x2+6x﹣4的最大值，请判断△ABC的形状，并求出该三角形的周长． 【变式训练2】原题呈现：若a2+b2+4a﹣2b+5＝0，求a、b的值． 方法介绍： ①看到a2+4a可想到如果添上常数4恰好就是a2+4a+4＝（a+2）2，这个过程叫做“配方”，同理b2﹣2b+1＝（b﹣1）2，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为（a+2）2+（b﹣1）2＝0由平方的非负性可得a+2＝0且b﹣1＝0． 经验运用： （1）若4a2+b2﹣20a+6b+34＝0，求a+b的值． （2）若a2+5b2+c2﹣2ab﹣4b+6c+10＝0，求a+b+c的值． 1．（2024秋•邯郸校级期末）小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　） A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy 2．（2025秋•祁东县期末）已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝（　　） A．13 B．19 C．26 D．31 3．（2025秋•饶平县期末）已知a＝x+2026，b＝x+2024，c＝x+2025，当a2+b2＝8，则c2的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 4．（2025秋•闽清县期末）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 5．（2025秋•资阳校级期末）已知：x﹣y＝5，（x+y）2＝49，则x2+y2的值等于（　　） A．37 B．27 C．25 D．44 6．（2025秋•内江期末）已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　） A．11 B．13 C．15 D．19 故选：C． 7．（2025秋•重庆校级期末）若多项式9x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．25 B．23 C．25或﹣23 D．﹣25或23 8．（2025秋•丰宁县期末）若m+n＝6，mn＝4，则m2+4mn+n2的值为（　　） A．40 B．44 C．48 D．52 9．（2025秋•惠州期末）若a+b＝1，则3a2+6ab+3b2＝　　 ． 10．（2025秋•洪雅县期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若6，则x＝　　 ． 11．（2025秋•固原校级期末）已知多项式（2x﹣1）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　　 ． 12．（2025秋•徐汇区校级月考）计算：（2a﹣b+3c）2． 13．（2025秋•天河区校级期中）计算： （1）； （2）（2m﹣1）（3m+1）． 14． （2025秋•凤凰县月考）计算： 15．（2025秋•无锡校级期末）先化简，再求值：（x﹣y）2﹣5x（x+y）+（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣1，y＝2． 16．（2025秋•长沙县校级期末）先化简，再求值：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y），其中，y＝1． 17．（2016•漳州）先化简（a+1）（a﹣1）+a（1﹣a）﹣a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系？（不必说理）． 18．（2025•镜湖区校级一模）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c均为整数）．若规定：对三位正整数进行F运算，得到整数a3+b2+c1．例如，F（204）＝23+02+41＝12． （1）计算：F（168）； （2）当b＝m+2时，证明：的结果一定是4的倍数． 19．（2025秋•卧龙区期中）阅读材料：华东师大版八年级上册教材42页为大家介绍了贾宪三角． 如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a+b）0＝1，等式右边只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，等式右边有两项，系数分别为1，1； （a+b）2＝a2+2ab+b2，等式右边有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，等式右边有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述等式右边每个式子的各项系数排成下表： 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． 结合以上材料解决以下问题： （1）（a+b）6的展开式共 　　 项，其中最中间一项的系数为 　　 ； （2）已知（m+n）3＝m3﹣3×2m2+3×4m﹣8，请直接写出n的值：　　 ； （3）如果已知（2x﹣1）2025＝a1x2025+a2x2024+a3x2023+…+a2024x2+a2025x+a2026，求a2026和代数式a1+a2+a3+…+a2024+a2025的值． 20．（2025秋•正阳县期末）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 　 ． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 　 ． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝　　 ． （2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和． 21．（2025秋•太和县校级期末）现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a，b的关系式：（用含a，b的代数式表示出来） 图1表示：　　 　 　 ； 图2表示：　　 　 　 ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若（7﹣m）（5﹣m）＝9，求（7﹣m）2+（5﹣m）2的值； （3）如图3，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝40，CG＝26，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O，T作MO，MT的垂线，两垂线相交于点R，请直接写出四边形MORT的面积．（结果为具体的数值） 22．（2025春•喀什地区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是AB边上一动点，PQRS是正方形ABCD的内接正方形，PA＝a，PB＝b．求a2+b2的最小值． 23．（2024春•江都区校级期中）王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当x＝　　 　 时，x2+6x﹣15有最小值是 　　 　 （2）多项式﹣x2+2x+18有最 　　 　 （填“大”或“小”）值，该值为 　　 　 （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值 （4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长． 24．（2024春•金溪县校级期中）定义：对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c，（a，b，c，是常数），当它们满足（x+b）2﹣（x+a）（x+c）＝M，且M为常数时，则称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式x+1，x+3，x+5，因为（x+3）2﹣（x+1）（x+5）＝4，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． （1）已知2，4，6是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； （2）当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点05 完全平方公式 考点一：完全平方公式 1.完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b² 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍， 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放” 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号 与左边的运算符号相同 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式 考点二：完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为S=(a+b)²，也可以表示为S=a²+ab+ab+b²其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a，b的小正方形及2个长、宽分别是b，a的小长方形的面积之和，从而验证了完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b² 考点三：完全平方式 对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B²，则称A是完全平方式 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方，另一种是完全平方差公式， 就是两个整式的差括号外的平方，算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随 中央，（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中 间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边 的符号都用+）” 考点四：完全平方变形公式 完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b² 移项：a²+b²=(a+b)²-2ab，a²+b²=(a-b)²+2ab 2ab=(a+b)²-(a²+b²)，2ab=a²+b²-(a-b)² 两式相加：2(a²+b²)=(a+b)²+(a-b)² 两式相减：4ab=(a+b)²-(a-b)² 题型一：完全平方公式的适用条件 完全平方公式有两种基本形式，它们描述的是一个二项式的平方展开为三项式的过程，完全平方三项式”的判断标准：首平方，尾平方，首尾两倍在中央． （1）只看符号不看数字，一错全错； （2）系数、字母都要完全相同，才能算“相同项”． 【典例精讲】（2025秋•奉贤区期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A．（x﹣y）（x+y） B．（2x﹣y）（x+y） C．（x﹣y）（2x﹣y） D．（x﹣y）（﹣x+y） 【分析】利用完全平方公式判断即可． 【解答】解：A、原式＝x2﹣y2，用了平方差公式，故此选项不符合题意； B、原式＝2x2+xy﹣y2，用了多项式乘法法则，故此选项不符合题意； C、原式＝2x2﹣3xy+y2，用了多项式乘法法则，故此选项不符合题意； D、原式＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，用了完全平方公式，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（2024秋•长宁区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A．（﹣2a﹣b）（b﹣2a） B．（﹣2a﹣b）（2a+b） C．（﹣3a+2b）（3a+2b） D．（3a+2b）（3a﹣2b） 【分析】根据完全平方公式的特点逐项判断即可． 【解答】解：A、（﹣2a﹣b）（b﹣2a）＝﹣（2a+b）（b﹣2a），不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、（﹣2a﹣b）（2a+b）＝﹣（2a+b）（2a+b）＝﹣（2a+b）2，能用完全平方公式计算，符合题意； C、（﹣3a+2b）（3a+2b）＝﹣（3a﹣2b）（3a+2b），不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、（3a+2b）（3a﹣2b），不能表示两数和或差的平方的形式，不符合题意， 故选：B． 【变式训练2】若对于两个多项式的乘积：（m+n）（p+q），能用完全平方公式进行简捷运算，则满足的条件可以是（　　） A．m＝﹣p，n＝q B．m＝p，n＝﹣q C．m＝p，n＝q D．m＝p，n＝2q 【分析】根据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2逐项判断即可． 【解答】解：若m＝﹣p，n＝q， 则（m+n）（p+q）＝（﹣p+q）（p+q），无法用完全平方公式计算，则A不符合题意； 若m＝p，n＝﹣q， 则（m+n）（p+q）＝（p﹣q）（p+q），无法用完全平方公式计算，则B不符合题意； 若m＝p，n＝q， 则（m+n）（p+q）＝（p+q）（p+q）＝（p+q）2，它能用完全平方公式计算，则C符合题意； 若m＝p，n＝2q， 则（m+n）（p+q）＝（p+2q）（p+q），无法用完全平方公式计算，则D不符合题意； 故选：C． 题型二：运用完全平方公式进行计算 （1）判断形式，确认适用； （2）确定a、b，明确对应项； （3）套用公式，逐项展开； （4）化简结果，合并同类项. （1）漏写中间项的“2”，写成“缺项版”； （2）混淆完全平方与平方差，写成“二项式结果”； （3）误以为“差的平方”尾项为负，忽略b²恒正； （4）负号整体平方时，未正确转化符号； （5）多项式整体代换时，漏加括号导致平方不完整； （6）括号内有同类项，未合并直接展开增加计算错误. 【典例精讲】（2025秋•浦东新区期末）（2x﹣y）2＝　 ． 【分析】直接利用完全平方公式展开即可． 【解答】解：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2． 【变式训练1】（2025秋•北京校级期中）计算：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣1）2． 【分析】先根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项即可． 【解答】解：（a﹣2）（a+3）﹣（a﹣1）2 ＝a2+3a﹣2a﹣6﹣（a2﹣2a+1） ＝a2+a﹣6﹣a2+2a﹣1 ＝3a﹣7． 【变式训练2】（2025秋•浦东新区校级月考）计算：（x﹣2y﹣1）（1﹣x+2y）． 【分析】利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣2y﹣1）（1﹣x+2y） ＝﹣（x﹣2y﹣1）2 ＝﹣[（x﹣2y）2﹣2（x﹣2y）+1] ＝﹣x2+4xy﹣4y2+2x﹣4y﹣1． 【变式训练3】（2025秋•闵行区校级月考）（1）计算：3（x﹣1）（x+3）﹣2（x﹣5）（x﹣2）； （2）计算：（﹣2x﹣5）2﹣（5﹣2x）2． 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则化简即可； （2）直接利用完全平方公式计算即可得出答案． 【解答】解：（1）3（x﹣1）（x+3）﹣2（x﹣5）（x﹣2） ＝3x2+6x﹣9﹣2x2+14x﹣20 ＝x2+20x﹣29； （2）（﹣2x﹣5）2﹣（5﹣2x）2 ＝4x2+20x+25﹣25+20x﹣4x2 ＝40x． 题型三：利用完全平方公式进行简便运算 利用完全平方公式做简便运算，核心是凑整变形，将非整十、整百的数，或复杂整式转化为“整数/简单式 ± 小数/简单项”的平方形式，再套用公式计算． （1）凑整要“真简便”，避免过度变形凑整的目的是减少计算量，需选择最接近的整十、整百、整千数或最简整式，切勿凑成更复杂的形式； （2）括号内有同类项时，必须先合并再凑平方形式，避免直接对多项整体代换增加计算步骤； （3）牢记公式结构，杜绝“缺项”“错项”，无论数字还是整式运算，都要遵循“首平方，尾平方，中间两倍首尾积”，切勿漏写中间项的“2”，或混淆为平方差公式； （4）定准a和b，整体代换要加括号，凑整后确定a、b时，若为多项式、带系数的单项式，必须给整体加括号再平方，避免系数、多项式平方不完整． 【典例精讲】（2025春•玄武区校级月考）用简便方法计算： （1）1012； （2）20252﹣2024×2026． 【分析】（1）将原式变形后利用完全平方公式计算即可； （2）将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（100+1）2 ＝10000+200+1 ＝10201； （2）原式＝20252﹣（2025﹣1）×（2025+1） ＝20252﹣20252+1 ＝1． 【变式训练1】（2025春•菏泽月考）乘法公式可以帮助我们对数进行简便运算，请用你学过的公式完成题目． （1）1002﹣99×101； （2）． 【分析】（1）将原式变形为1002﹣（100﹣1）×（100+1），利用平方差公式计算． （2）将原式变形为（10）2，利用完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）原式＝1002﹣（100﹣1）×（100+1） ＝1002﹣1002+1 ＝1； （2）原式＝（10）2 ＝102﹣2 ＝98． 【变式训练2】（2025秋•闽清县期末）计算：1032+103×194+972＝　 　 ． 【分析】通过观察表达式，识别其符合完全平方公式的结构，进而简化计算． 【解答】解：原式＝1032+2×103×97+972 ＝（103+97）2 ＝2002 ＝40000， 故答案为：40000． 【变式训练3】（2025春•渭城区校级月考）用乘法公式进行简便运算： （1）1012+992； （2）30002﹣2998×3002． 【分析】（1）将原式变形为（100+1）2+（100﹣1）2，利用完全平方公式展开计算； （2）将原式变形为30002﹣（3000﹣2）×（3000+2），利用平方差公式计算． 【解答】解：（1）1012+992 ＝（100+1）2+（100﹣1）2 ＝1002+2×1×100+12+1002﹣2×1×100+12 ＝10000+200+1+10000﹣200+1 ＝20002． （2）30002﹣2998×3002 ＝30002﹣（3000﹣2）×（3000+2） ＝30002﹣（30002﹣4） ＝30002﹣30002+4 ＝4． 题型四：利用完全平方公式进行化简求值 利用完全平方公式化简求值的核心是先通过公式化简整式，再代入数值计算 （1）分析原式，判断化简方向； （2）套用公式，彻底化简整式； （3）分析已知条件，选择代入方式 ①若已知条件为单个字母的值（如x=3，a=2），直接整理化简后的式子，准备代入； ②若已知条件为代数式的值（如2x+y=5，x-3y=2），无需求单个字母，直接将该代数式作为整体代入； ③若已知条件需变形转化，直接代入变形后的条件； （4）代入计算，得出最终结果． （1）记混变形公式，加减项颠倒； （2）未化简先代入，计算量激增且易出错； （3）整体代入时，漏乘系数或忽略整体平方； （4）代入负数的整体值时，必须给整体加括号再平方，避免出现“负号平方失效”的错误； （5）系数平方时，仅平方字母未平方系数． 【典例精讲】（2025秋•侯马市期末）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）+3（x﹣1），其中x＝﹣2． 【分析】利用完全平方公式、平方差公式、去括号法则展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣（x2﹣4）+3x﹣3 ＝x2﹣2x+1﹣x2+4+3x﹣3 ＝x+2， 当x＝﹣2时，原式＝﹣2+2＝0． 【变式训练1】（2025秋•娄烦县期末）已知m2n与﹣4m1+xny+3是同类项，先化简，再求值． 【分析】先根据代数式的混合运算的法则进行化简，再根据同类项的定义求出x和y的值，代入求值即可． 【解答】解：原式 ＝4x﹣8y， ∵m2n与﹣4m1+xny+3是同类项， ∴x+1＝2，y+3＝1， ∴x＝1，y＝﹣2， 当x＝1，y＝﹣2时， 原式＝4×1﹣8×（﹣2） ＝4+16 ＝20． 【变式训练2】（2025秋•夏津县期末）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中，y＝22026． 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y） ＝4x2+4xy+y2﹣（4x2﹣y2）﹣2xy﹣2y2 ＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2xy﹣2y2 ＝2xy， 当，y＝22026时，原式． 题型五：求完全平方式中的字母系数 求完全平方公式中的字母系数，核心是紧扣完全平方式的结构特征，列方程（组）求解，关键在于找准完全平方式的“首项、尾项、中间项”，利用对应关系建立等式． （1）判断形式，锁定完全平方式类型； （2）拆分平方项，确定首尾项的底数； （3）根据中间项特征，列等式； （4）解方程（组），求字母系数的值． （1）忽略“二次项系数为正的完全平方数”，直接套用一次项系数公式； （2）遗漏一次项系数的“正负两种情况”，只算正号或负号； （3）常数项为字母时，忽略“常数项为非负完全平方数”的条件； （4）对“二次项平方根”“常数项平方根”计算错误，或忘记一次项系数是2倍的底积； （5）忽略一次项系数的符号，仅求正系数解； （6）常数项为负时，直接判定无解，未先处理符号． 【典例精讲】（2025秋•镇原县期末）已知x2+kx+9是完全平方式，则k的值为（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【分析】根据完全平方式的特点即可解答． 【解答】解：∵x2+kx+9是完全平方式， ∴x2+kx+9＝（x±3）2＝x2±6x+9， 即k＝±6． 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•重庆校级期末）若多项式9x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．25 B．23 C．25或﹣23 D．﹣25或23 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值． 【解答】解：由条件可知﹣（a+1）xy＝±2×3x×4y＝±24xy， ∴a+1＝±24， ∴a＝﹣25或23． 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•牡丹江期末）若4x2+mx+9是完全平方式，则（6m4﹣8m3）÷（﹣2m2）+3m2的值是（　　） A．±48 B．±24 C．48 D．24 【分析】先根据完全平方公式的结构特征和已知条件求出m，再根据多项式除以单项式法则和单项式除以单项式法则化简，最后把m的值代入进行计算即可． 【解答】解：4x2+mx+9＝（2x）2+mx+32， ∵4x2+mx+9是完全平方式， ∴m＝±2×2×3＝±12， ∴（6m4﹣8m3）÷（﹣2m2）+3m2的 ＝6m4÷（﹣2m2）+8m3÷2m2+3m2 ＝﹣3m2+4m+3m2 ＝4m ＝4×（±12） ＝±48， 故选：A． 题型六：变形公式 由完全平方核心公式： (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² 推导得四大核心变形公式（解题的关键依据）： （1）a²+b²=(a+b)²-2ab （2）a²+b²=(a-b)²+2ab （3）2(a²+b²)=(a+b)²+(a-b)² （4）4ab=(a+b)²-(a-b)² 核心关系：四个量（a+b、a-b、ab、a²+b²）中，已知任意两个，可通过变形公式求另外两个． （1）变形公式加减项颠倒，把“减2ab”记成“加2ab”，把“减4ab”记成“减2ab”； （2）代入负数的和/差、负的积时，未带符号整体计算，导致符号错误； （3）逆求型题目（已知平方和+积，求和/差），遗漏正负两种解； （4）忽略积的符号对结果的影响，未判断解的合理性； （5）分数/小数运算时，平方、乘法未按规则计算，导致结果错误． 【典例精讲】（2025秋•兰陵县期末）已知（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4，则a2+b2的值为 　　 ． 【分析】根据完全平方公式解答即可． 【解答】解：∵（a﹣b）2＝6，（a+b）2＝4， ∴a2﹣2ab+b2＝6①，a2+2ab+b2＝4②， ①+②，得2a2+2b2＝10， ∴a2+b2＝5． 故答案为：5． 【变式训练1】（2025秋•凉州区期末）已知a﹣b＝8，ab＝5，则a2+b2+3ab的值为（　　） A．89 B．74 C．64 D．49 【分析】运用完全平方公式将原式变形为（a﹣b）2+5ab，再将a﹣b＝8，ab＝5代入求解． 【解答】解：∵a2+b2+3ab＝（a﹣b）2+5ab， ∴当a﹣b＝8，ab＝5时， 原式＝82+5×5＝89， 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•盘龙区期末）若（x+y）2＝10，xy＝1，则（x﹣y）2＝（　　） A．14 B．12 C．8 D．6 【分析】根据完全平方公式进行作答即可． 【解答】解：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝10﹣4×1＝10﹣4＝6． 故选：D． 【变式训练3】（2025秋•海沧区校级期末）已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2的值为（　　） A．31 B．25 C．19 D．15 【分析】先将a+b＝5的两边同时平方，然后将ab＝3代入求解即可． 【解答】解：∵a+b＝5， ∴a2+2ab+b2＝25，即a2+b2＝25﹣2ab， 将ab＝3代入可得：a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣2×3＝19， ∴a2+b2＝19． 故选：C． 【变式训练4】（2025秋•浦东新区校级期末）若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，则（30﹣x）2+（x﹣10）2的值为　　 ． 【分析】通过换元法，设a＝30﹣x，b＝x﹣10，则可得到a+b＝20，ab＝160，再由a2+b2＝（a+b）2﹣2ab计算求解即可． 【解答】解：设a＝30﹣x，b＝x﹣10， ∴a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝30﹣x+x﹣10＝20， 由条件可知ab＝160， ∴（30﹣x）2+（x﹣10）2 ＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝202﹣2×160 ＝400﹣320 ＝80． 故答案为：80． 【变式训练5】（2025秋•赣州期末）已知x﹣y＝2，xy＝3，利用乘法公式求下列各式的值： （1）x2+y2； （2）x+y． 【分析】（1）根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy进行计算 （2）根据（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy以及平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵x﹣y＝2，xy＝3， ∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝4+6＝10； （2）∵x﹣y＝2，xy＝3， ∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝4+12＝16， ∴x+y＝±4． 题型七：规律探究型问题 （1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义； （2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例； （3）寻找变化规律； （4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式； （5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确； （6）归纳结论． （1）只看前2项就下结论； （2）把“序号 n”搞错：第1个对应 n=1，第2个 n=2，不是从0开始； （3）符号规律忘带 (-1)ⁿ； （4）图形规律：数错个数，只数看得见的，漏了隐藏/重叠部分； （5）写出规律不检验． 【典例精讲】（2025秋•建瓯市期末）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）n展开式的系数规律． 当代数式x4+12x3+54x2+108x+81的值为0时，则x值为　　 ． 【分析】先由图表给出了（a+b）n展开式的系数规律得到（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，进而得到x4+12x3+54x2+108x+81＝（x+3）4，最后根据题意列方程求解即可得到答案． 【解答】解：先由图表给出了（a+b）n展开式的系数规律如图所示： ∴x4+12x3+54x2+108x+81＝（x+3）4， 由条件可知（x+3）4＝0， 则x+3＝0，解得x＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【变式训练1】（2025春•舒城县期末）有一系列等式： 1×2×3×4+1＝52＝（12+3×1+1）2 2×3×4×5+1＝112＝（22+3×2+1）2 3×4×5×6+1＝192＝（32+3×3+1）2 4×5×6×7+1＝292＝（42+3×4+1）2 … （1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果 　 （2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明． 【分析】（1）根据规律列式进行计算即可得解； （2）观察规律不难发现，四个连续自然数的乘积与1的和等于第一个数的平方，加上前第一个数的3倍再加上1然后平方． 【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1＝（82+3×8+1）2＝892； 故答案为：892； （2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝（n2+3n+1）2， 理由如下：等式左边＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝n4+6n3+9n2+2n2+6n+1＝n4+6n3+11n2+6n+1， 等式右边＝（n2+3n+1）2＝（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2＝n4+2n2+1+6n3+6n+9n2＝n4+6n3+11n2+6n+1， 左边＝右边． 【变式训练2】（2025•马鞍山校级一模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等． （1）填出（a+b）4展开式中共有 　　　　　　　　 项，第三项是 　　　　　　　　． （2）直接写出（1﹣2y）5的展开式． （3）利用上面的规律计算：． 【分析】（1）根据“杨辉三角形”规律解决此题． （2）根据“杨辉三角形”规律解决此题． （3）“杨辉三角形”规律解决此题． 【解答】解：（1）由杨辉三角的系数规律可得，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， ∴展开式共有5项，第三项是6a2b2． 故答案为：5，6a2b2． （2）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5． 当a＝1，b＝﹣2y时， 原式＝1+5×（﹣2y）+10×（﹣2y）2+10×（﹣2y）3+5×（﹣2y）4+（﹣2y）5＝1﹣10y+40y2﹣80y3+80y4﹣32y5， ∴（1﹣2y）5＝1﹣10y+40y2﹣80y3+80y4﹣32y5． （3）由杨辉三角可知，原式． 题型八：几何背景 （1）画图：画大长方形，按项分段标上字母； （2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽； （3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加； （4）合并同类项：整理成最简多项式． （1）线段长度必须为正数，字母表示线段时，所有字母都大于0； （2）面积只能加，不能直接减； （3）分长方形时别漏块、别重复； （4）同类项要对应图形； （5）公式别乱套，先看图形． 【典例精讲】（2025秋•五华区校级期末）探究：把四块如图1所示的小正方形，按图2所示的方式摆放在一个大正方形的四角，空白部分是两个长为m，宽为n的互相垂直的长方形．根据图2中图形的面积可以说明的公式为　 ； 应用：如图3，已知C是线段AB上一点，分别以AC，BC为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若AB＝10，S△ACD+S△CBE＝26，求阴影部分的面积； 拓展：已知M＝2x2﹣4x+3，N＝x2﹣2x+2，求M﹣N的最小值． 【分析】探究：图1所示的小正方形的边长为，4个图1所示的小正方形的面积为，空白部分的面积为2mn﹣n2，大正方形的面积为m2，即可求解； 应用：设AC＝m，BC＝n，则有m+n＝10，由已知的面积得m2+n2＝52，结合探究中的公式即可求解； 拓展：M﹣N＝（x﹣1）2≥0，即可求解． 【解答】解：探究： 图1所示的小正方形的边长：， 4个图1所示的小正方形的面积：， 空白部分的面积：2mn﹣n2， 大正方形的面积：m2， ∴（m﹣n）2＝m2﹣（2mn﹣n2） ∴（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2， 故答案为（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2． 应用：已知C是线段AB上一点，分别以AC，BC为直角边向上和向下作等腰直角三角形， 设AC＝m，BC＝n， ∴m+n＝10， ∴[m﹣（﹣n）]2＝100， ∴m2﹣2m•（﹣n）+（﹣n）2 ＝m2+2mn+n2＝100， ∵S△ACD+S△CBE＝26， △CAD、△BCE为等腰直角三角形， ∴， CE＝BC＝n， ∴m2+n2＝52， ∴52+2mn＝100， 解得mn＝24， ∴阴影部分的面积：； 拓展：已知M＝2x2﹣4x+3，N＝x2﹣2x+2， M﹣N ＝2x2﹣4x+3﹣（x2﹣2x+2） ＝2x2﹣4x+3﹣x2+2x﹣2 ＝x2﹣2x+1 ＝（x﹣1）2≥0， ∴M﹣N的最小值为0． 【变式训练1】（2025秋•茄子河区期末）现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【分析】先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可． 【解答】解：∵取甲纸片1张，取乙纸片4张， ∴面积为a2+4b2， ∵小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为ab， ∴还需4张丙纸片，即a2+4b2+4ab＝（a+2b）2， 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•兴县期末）综合与实践 图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，请你直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn三个代数式之间的等量关系． （2）①已知x+y＝8，xy＝15，求（x﹣y）2的值． ②已知，求的值． （3）将两个正方形ABCD，EFGA如图3摆放，若两个正方形面积之和为65，BE＝3，直接写出图中阴影部分的面积之和． 【分析】（1）根据图形可以用不同的方法表示阴影部分的面积，得出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系； （2）①根据（1）的结论可得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，再代入即可解答本题；②根据（1）的结论可得，再代入即可求得所求式子的值． （3）设正方形ABCD和正方形EFGA的边长分别为p，q，根据题意得出p2+q2＝65，p﹣q＝3，根据完全平方公式求出pq＝28，根据（1）的结论可得（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq，求出p+q＝11，根据图中阴影部分的面积之和＝S△BCF+S△DFG代入求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可得图2中阴影部分面积＝（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn， ∴（m+n）2，（m﹣n）2，mn三个代数式之间的等量关系：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn； （2）①∵x+y＝8，xy＝15，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， ∴（x﹣y）2＝82﹣4×15＝4． ②∵，，， ∴， 解得：． （3）设正方形ABCD和正方形EFGA的边长分别为p，q， ∵两个正方形面积之和为65，BE＝3， ∴p﹣q＝3，p2+q2＝65， ∵（p﹣q）2＝p2+q2﹣2pq， ∴32＝65﹣2pq， ∴pq＝28， ∵（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq， ∴32＝（p+q）2﹣4×28， ∴p+q＝11（负值已舍去）， ∴图中阴影部分的面积之和＝S△BCF+S△DFG ． 【变式训练3】（2025春•镇海区校级期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）的面积为S1；若在边长为a的正方形中摆放两个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）的面积为S2；图3中A为BC的中点，阴影部分的面积为S3． （1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2； （2）若a+b＝7，ab＝11， ①求S1+S2的值； ②求S3的值． 【分析】（1）根据面积之间的关系计算即可． （1）①利用（1）中结论求解． ②用间接法求解． 【解答】解：（1）由图1得：S1＝a2﹣b2， 图2中阴影部分长为b，宽为：2b﹣a， ∴S2＝b（2b﹣a）＝2b2﹣ab． （2）①S1+S2＝a2+b2﹣ab ＝（a+b）2﹣3ab ＝72﹣33 ＝16． ②∵A是BC的中点， ∴AB＝AC， ∴S3＝a2+b2 ． 题型九：新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025春•成安县期末）如果一个正整数能够表示为两个连续的偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42．因此4，12，20这三个数都是神秘数． （1）28和2012都是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k为非负整数）．由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方差（取正数）是4的倍数吗？为什么？ 【分析】（1）根据题意计算验证即可； （2）设这两个连续偶数构成的神秘数为x，得出x＝（2k+2）2﹣（2k）2＝4（2k+1），化简即可得出结果； （3）设两个奇数为2n+1和2n﹣1，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，即可得出结果． 【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，2012＝5042﹣5022， ∴28和2012这两个数都是神秘数； （2）设这两个连续偶数构成的神秘数为x， ∴x＝（2k+2）2﹣（2k）2 ＝4k2+8k+4﹣4k2 ＝8k+4 ＝4（2k+1）， ∴这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数． （3）设两个连续奇数为2n+1和2n﹣1（n≥1）， ∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1） ＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1 ＝4×2n． ∴两个连续奇数的平方差是4的倍数． 【变式训练1】（2024秋•南山区校级期末）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如1+2i的共轭复数为1﹣2i． （1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝　　 ；②（2+i）2＝　 ； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）的值． 【分析】（1）按照定义及积的乘方计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，4个一组，从而可得答案． 【解答】解：（1）①原式＝4﹣i2＝4+1＝5， ②原式＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i． 故答案为：①5；②3+4i； （2）∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，a+bi是（1+2i）2的共轭复数， ∴a＝﹣3，b＝﹣4， ∴（b﹣a）2＝（﹣4+3）2＝（﹣1）2＝1； （3）由条件可知：ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，即ab﹣1+（a+b）i＝1﹣3i， ∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3， 解得：ab＝2，a+b＝﹣3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣2×2＝5， ∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0， i2+i3+i4+…+i2025有2024个加数，2024÷4＝506， ∴i2+i3+i4+…+i2025＝0，则i+i2+i3+i4+…+i2025＝i， ∴（a2+b2）（i+i2+i3+i4+…+i2025）＝5×i＝5i． 【变式训练2】（2024秋•鄱阳县期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式x2﹣4x+5关于x＝　　 对称； （2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝5对称，求b的值； （3）若整式（x2﹣10x+25）（x2+6x+9）关于x＝m对称，求m的值． 【分析】（1）利用完全平方公式对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）求出x2+2bx+3的对称轴，令对称轴直线x＝5即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判断即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x+5 ＝x2﹣4x+4+1 ＝（x﹣2）2+1， 则多项式关于x＝2对称； （2）∵x2+2bx+3 ＝x2+2bx+b2+3﹣b2 ＝（x+b）2+3﹣b2， ∴关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝﹣b对称， ∴﹣b＝5， ∴b＝﹣5； （3）（x2﹣10x+25）（x2+6x+9） ＝（x﹣5）2（x+3）2 ＝[（x﹣5）（x+3）]2 ＝（x2﹣2x﹣15）2 ＝[（x﹣1）2﹣16]2， ∴关于x＝1对称， ∴m＝1． 题型十：配方法 将二次三项式转化为一个完全平方式与一个常数项的和，从而简化运算或求最值 （1）若二次项系数不为1，则提取二次项系数； （2）接着对括号内的二次项和一次项凑平方，即加上并减去一次项系数一半的平方． （1）系数处理：忘记“提”或“乘”； （2）配方时，括号内的符号由一次项系数决定，而非常数项； （3）配方时，加了一个数，必须同时减去相同的数，否则等式不成立； （4）当一次项系数为分数时，计算“一半的平方”容易出错． 【典例精讲】（2025春•巴中期末）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以当a＝﹣3时，（a+3）2取最小值0，（a+3）2﹣1有最小值﹣1． 所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）将x2﹣4x+5变形为（x﹣m）2+n的形式　 　 ，则x2﹣4x+5的最小值为　 　 ； （2）已知a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，求2a﹣b的值． 【分析】（1）仿照题干所给示例作答即可； （2）a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0可化为（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，根据题意可知当a＝3时，a﹣3取最小值0，当b＝4时，b﹣4取最小值0，代入2a﹣b计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，x2﹣4x+5＝x2﹣4x+22﹣22+5＝（x﹣2）2+1， ∵不论x取何值，（x﹣2）2总是非负数，即（x﹣2）2≥0， ∴当x＝2时，（x﹣2）2取最小值0，（x﹣2）2+1有最小值1． 故答案为：（x﹣2）2+1，1； （2）原式＝a2﹣6a+32﹣32+b2﹣8b+42﹣42+25 ＝（a﹣3）2+（b﹣4）2﹣32﹣42+25 ＝（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0， ∴（a﹣3）2＝0，（b﹣4）2＝0， ∵当a＝3时，a﹣3取最小值0，当b＝4时，b﹣4取最小值0， ∴a＝3，b＝4， ∴2a﹣b＝6﹣4＝2． 【变式训练1】（2025秋•丰泽区校级期中）在学习乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值．例如：求代数式x2+4x+5的最小值？总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1， ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）填空：x2+　 　+25＝（x+5）2；m2+8m+　 　＝（m+　 　 ）2； （2）若y＝x2+2x﹣3，当x＝　 　时，y有最　 　 值（填“大”或“小”），这个值　 　； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足a2+41+b2＝8b+10a，且c的值为代数式﹣x2+6x﹣4的最大值，请判断△ABC的形状，并求出该三角形的周长． 【分析】（1）利用完全平方公式即可求解； （2）仿照示例配方后即可确定最小值； （3）利用配方法求出a，b，c的值，即可判断△ABC的形状，并求出该三角形的周长． 【解答】解：（1）x2+10x+25＝（x+5）2；m2+8m+16＝（m+4）2， 故答案为：10x；16；4； （2）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4， ∵（x+1）2≥0， ∴当x＝﹣1时，（x+1）2的值最小，最小值是0， ∴（x+1）2﹣4≥﹣4， ∴当x＝﹣1时，y＝x2+2x﹣3的值最小，最小值是﹣4， ∴y＝x2+2x﹣3的最小值是﹣4， 答案为：﹣1；小；﹣4； （3）△ABC为等腰三角形，理由如下： ∵a2+41+b2＝8b+10a， ∴a2﹣10a+b2﹣8b+41＝0， ∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣8b+16）＝0， ∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣5＝0，b﹣4＝0， 解得：a＝5，b＝4， 又﹣x2+6x﹣4＝﹣（x﹣3）2+5， ∵（x﹣3）2≥0， ∴﹣（x﹣3）2≤0， ∴﹣（x﹣3）2+5≤5， ∴当x＝3时，﹣（x﹣3）2+5的值最大，最大值是5， 即当x＝3时，﹣x2+6x﹣4有最大值，这个值是5， ∴c＝5， ∴a＝c＝5， ∴△ABC为等腰三角形，周长为5+5+4＝14， ∴△ABC为等腰三角形，该三角形的周长为14． 【变式训练2】原题呈现：若a2+b2+4a﹣2b+5＝0，求a、b的值． 方法介绍： ①看到a2+4a可想到如果添上常数4恰好就是a2+4a+4＝（a+2）2，这个过程叫做“配方”，同理b2﹣2b+1＝（b﹣1）2，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为（a+2）2+（b﹣1）2＝0由平方的非负性可得a+2＝0且b﹣1＝0． 经验运用： （1）若4a2+b2﹣20a+6b+34＝0，求a+b的值． （2）若a2+5b2+c2﹣2ab﹣4b+6c+10＝0，求a+b+c的值． 【分析】（1）将34拆成25+9，再与其它的项构成完全平方公式，利用非负数的意义，求出a、b的值即可； （2）将5b2拆成4b2+b2，再与其它的项分组构成完全平方公式，利用非负数的意义，求出a、b、c的值即可； 【解答】解：（1）4a2+b2﹣20a+6b+34＝0， （4a2﹣20a+25）+（b2+6b+9）＝0， （2a﹣5）2+（b+3）2＝0， 2a﹣5＝0且b+3＝0， 即：a＝2.5，b＝﹣3 ∴a+b＝﹣0.5； （2）a2+5b2+c2﹣2ab﹣4b+6c+10＝0， （a2﹣2ab+b2）+（4b2﹣4b+1）+（c2+6c+9）＝0， （a﹣b）2+（2b﹣1）2+（c+3）2＝0， ∴a＝b，c＝﹣3， ∴a+b+c3＝﹣2． 1．（2024秋•邯郸校级期末）小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　） A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy 【分析】根据完全平方公式的结构特征解答即可． 【解答】解：4x2＝（2x）2，25y2＝（5y）2， ∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2， ∴墨迹覆盖的这一项是±20xy， 故选：D． 2．（2025秋•祁东县期末）已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝（　　） A．13 B．19 C．26 D．31 【分析】由a+b＝5求得（a+b）2＝25，将其展开后代入数值计算即可． 【解答】解：∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25， ∴a2+2ab+b2＝25， ∵ab＝6， ∴a2+b2＝25﹣2×6＝13， 故选：A． 3．（2025秋•饶平县期末）已知a＝x+2026，b＝x+2024，c＝x+2025，当a2+b2＝8，则c2的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【分析】由题意可得（x+2026）2+（x+2024）2＝8，将其变形为[（x+2025）+1]2+[（x+2025）﹣1]2＝8，利用完全平方公式展开并求得（x+2025）2的值即可． 【解答】解：∵a＝x+2026，b＝x+2024，a2+b2＝8， ∴（x+2026）2+（x+2024）2＝8， ∴[（x+2025）+1]2+[（x+2025）﹣1]2＝8， ∴（x+2025）2+2（x+2025）+1+（x+2025）2﹣2（x+2025）+1＝8， ∴2（x+2025）2+2＝8， ∴（x+2025）2＝3， 即c2＝3， 故选：A． 4．（2025秋•闽清县期末）两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 【分析】根据题意设AB＝CD＝CE＝FG＝x，AD＝BC＝EF＝CG＝y，由此列式得到x＝4，y＝8，根据周长的计算即可求解． 【解答】解：如图，设AB＝CD＝CE＝FG＝x，AD＝BC＝EF＝CG＝y， ∴， 解得x＝4或x＝﹣4（负值舍去）， ∴y＝8， ∴2（x+y）＝24， 故选：C． 5．（2025秋•资阳校级期末）已知：x﹣y＝5，（x+y）2＝49，则x2+y2的值等于（　　） A．37 B．27 C．25 D．44 【分析】将x﹣y＝5两边平方，利用完全平方公式展开，再将第二个等式左边利用完全平方公式展开，两式左右两边相加即可确定出所求式子的值． 【解答】解：将x﹣y＝5两边平方得：（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝25①， 再由（x+y）2＝x2+y2+2xy＝49②， ①+②得：2（x2+y2）＝74， 则x2+y2＝37． 故选：A． 6．（2025秋•内江期末）已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　） A．11 B．13 C．15 D．19 【分析】根据题意，设t＝x﹣2025，则x＝t+2025，将原式中的两个平方项转化为关于t的表达式，展开化简得出t2＝15，把x＝t+2025代入（x﹣2025）2进而得出答案． 【解答】解：设t＝x﹣2025，则x＝t+2025， ∴（x﹣2023）2＝（t+2025﹣2023）2＝（t+2）2，（x﹣2027）2＝（t+2025﹣2027）2＝（t﹣2）2， ∵（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38， ∴（t+2）2+（t﹣2）2＝38， ∴t2+4t+4+（t2﹣4t+4）＝38， ∴t2+4t+4+t2﹣4t+4＝38， ∴2t2+8＝38， 解得：t2＝15， ∴（x﹣2025）2＝（t+2025﹣2025）2＝t2＝15． 故选：C． 7．（2025秋•重庆校级期末）若多项式9x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．25 B．23 C．25或﹣23 D．﹣25或23 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值． 【解答】解：由条件可知﹣（a+1）xy＝±2×3x×4y＝±24xy， ∴a+1＝±24， ∴a＝﹣25或23． 故选：D． 8．（2025秋•丰宁县期末）若m+n＝6，mn＝4，则m2+4mn+n2的值为（　　） A．40 B．44 C．48 D．52 【分析】利用完全平方公式得到m2+4mn+n2＝（m+n）2+2mn，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m+n＝6，mn＝4， ∴m2+4mn+n2＝（m+n）2+2mn＝62+2×4＝44． 故选：B． 9．（2025秋•惠州期末）若a+b＝1，则3a2+6ab+3b2＝　3　 ． 【分析】根据题意，先提取公因式3，可得3（a2+2ab+b2），然后再根据完全平方公式得出：3（a+b）2，最后把a+b＝1代入计算即可． 【解答】解：3a2+6ab+3b2 ＝3（a2+2ab+b2） ＝3（a+b）2， 当a+b＝1时，原式＝3×12＝3． 故答案为：3． 10．（2025秋•洪雅县期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若6，则x＝　4　 ． 【分析】利用上述规律列出式子（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）2＝6，再化简，解方程即可． 【解答】解：定义ad﹣bc， 可得（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）2＝6， 解得：x＝4， 故答案为：4 11．（2025秋•固原校级期末）已知多项式（2x﹣1）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　1　 ． 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：（2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1， ∵（2x﹣1）2＝ax2+bx+c， ∴a＝4，b＝﹣4，c＝1， ∴a+b+c＝4+（﹣4）+1＝1， 故答案为：1． 12．（2025秋•徐汇区校级月考）计算：（2a﹣b+3c）2． 【分析】将原式化为[（2a﹣b）+3c]2，再由完全平方公式展开计算． 【解答】解：将原式化为[（2a﹣b）+3c]2，再由完全平方公式展开计算可得： 原式＝[（2a﹣b）+3c]2 ＝（2a﹣b）2+（3c）2+2（2a﹣b）•3c ＝4a2+b2﹣4ab+9c2+12ac﹣6bc． 13．（2025秋•天河区校级期中）计算： （1）； （2）（2m﹣1）（3m+1）． 【分析】（1）利用完全平方公式计算即可； （2）利用多项式乘多项式的法则计算即可． 【解答】解：（1） ＝16x2﹣4xyy2； （2）（2m﹣1）（3m+1） ＝6m2+2m﹣3m﹣1 ＝6m2﹣m﹣1． 14．（2025秋•凤凰县月考）计算： 【分析】观察分数上下的平方数可知，它们都相差1，设20012000＝x，则另外几个数都可用含x的式子表示，使用完全平方公式解题． 【解答】解：设20012000＝x，则 原式． 15．（2025秋•无锡校级期末）先化简，再求值：（x﹣y）2﹣5x（x+y）+（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣1，y＝2． 【分析】先根据整式的混合运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后代入x＝﹣1，y＝2计算即可得出结果． 【解答】解：原式＝x2﹣2xy+y2﹣5x2﹣5xy+4x2﹣y2 ＝﹣7xy， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝﹣7×（﹣1）×2 ＝14． 16．（2025秋•长沙县校级期末）先化简，再求值：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y），其中，y＝1． 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y） ＝4x2+4xy+y2﹣2（2x2﹣xy+4xy﹣2y2） ＝4x2+4xy+y2﹣4x2+2xy﹣8xy+4y2 ＝5y2﹣2xy， 当，y＝1时，原式＝5×12﹣2×（）×1 ＝5×1+1 ＝5+1 ＝6． 17．（2016•漳州）先化简（a+1）（a﹣1）+a（1﹣a）﹣a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系？（不必说理）． 【分析】分别进行平方差公式、单项式乘多项式的运算，然后合并得出结果． 【解答】解：原式＝a2﹣1+a﹣a2﹣a ＝﹣1． 该代数式与a的取值没有关系． 18．（2025•镜湖区校级一模）对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c均为整数）．若规定：对三位正整数进行F运算，得到整数a3+b2+c1．例如，F（204）＝23+02+41＝12． （1）计算：F（168）； （2）当b＝m+2时，证明：的结果一定是4的倍数． 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）根据定义求出即可求证． 【解答】（1）解：F（168）＝13+62+81＝45； （2）证明： ＝a3+b2+c1﹣（a3+m2+c1） ＝b2﹣m2 ＝（m+2）2﹣m2 ＝4m+4 ＝4（m+1）， ∴4（m+1）是4的倍数， 即的结果一定是4的倍数． 19．（2025秋•卧龙区期中）阅读材料：华东师大版八年级上册教材42页为大家介绍了贾宪三角． 如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a+b）0＝1，等式右边只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，等式右边有两项，系数分别为1，1； （a+b）2＝a2+2ab+b2，等式右边有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，等式右边有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述等式右边每个式子的各项系数排成下表： 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． 结合以上材料解决以下问题： （1）（a+b）6的展开式共 　七　 项，其中最中间一项的系数为 　20　 ； （2）已知（m+n）3＝m3﹣3×2m2+3×4m﹣8，请直接写出n的值：　﹣2　 ； （3）如果已知（2x﹣1）2025＝a1x2025+a2x2024+a3x2023+…+a2024x2+a2025x+a2026，求a2026和代数式a1+a2+a3+…+a2024+a2025的值． 【分析】（1）通过观察，可得（a+b）6展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）根据（m+n）3＝m3+3m2n+3mn2+n3即可求解； （3）把x＝0，x＝1分别代入式子，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，可得（a+b）6展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1， 最中间项的系数是20． 故答案为：七，20； （2）∵（m+n）3＝m3+3m2n+3mn2+n3，（m+n）3＝m3﹣3×2m2+3×4m﹣8， 又（m+n）3＝m3﹣3×2m2+3×4m﹣8＝m3+3×m2×（﹣2）+3×m×（﹣2）2+（﹣2）3， ∴n＝﹣2． 故答案为：﹣2； （3）由题意可得： ∴当x＝0时，（2×0﹣1）2025＝a2026， ∴a2026＝﹣1； ∵当x＝1时，， ∴a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025＝2． 20．（2025秋•正阳县期末）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝　90　 ． （2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和． 【分析】【教材原题】观察图①，可得等式； 【类比探究】阴影部分由两个正方形组成； 【应用】（1）根据完全平方公式可得； （2）运用完全平方公式可得； 【拓展】已知种花区域面积和AC＝7，可得AE•CE，即可求出种草区域的面积和． 【解答】解：【教材原题】：观察图①可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 【类比探究】：观察图②可得，图中阴影部分图形的面积和＝a2+b2， a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； 【应用】：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣10＝90， 故答案为：90； （2）（11﹣x）2+（x﹣8）2＝[（11﹣x）+（x﹣8）]2﹣2（11﹣x）（x﹣8）＝9﹣4＝5， ∴（11﹣x）2+（x﹣8）2的值是5； 【拓展】：∵AC⊥BD，AE＝DE，BE＝CE， ∴S△ADEAE2，S△BECCE2， ∵种花区域的面积和为， ∴AE2+CE2＝25， ∵AC＝7， ∴AE•CE＝12， ∴AE•BE＝DE•CE＝12， ∴种草区域的面积和（AE•BE+DE•CE）＝12． 21．（2025秋•太和县校级期末）现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a，b的关系式：（用含a，b的代数式表示出来） 图1表示：　（a+b）2＝a2+b2+2ab ； 图2表示：　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若（7﹣m）（5﹣m）＝9，求（7﹣m）2+（5﹣m）2的值； （3）如图3，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝40，CG＝26，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O，T作MO，MT的垂线，两垂线相交于点R，请直接写出四边形MORT的面积．（结果为具体的数值） 【分析】（1）由图1可知，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积；由图2可知，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，据此列出代数式即可解答； （2）根据（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab将原式变形求解即可； （3）首先根据题意得到MT＝MO＝（2x﹣40）+2（x﹣26），然后利用长方形EFGD的面积是200，再结合完全平方公式代入求值即可． 【解答】解：（1）图1中，由图可知，， 由题意得，S大正方形＝S组成正方形的四部分的面积之和，即（a+b）2＝a2+b2+2ab； 图2中，由图可知，S四个长方形＝4ab，， 由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）由图1可得：（a+b）2＝a2+b2+2ab ∴[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（7﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（7﹣m）（5﹣m）， ∴（7﹣m）2+（5﹣m）2＝[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（7﹣m）（5﹣m）＝22+2（7﹣m）（5﹣m）， ∵（7﹣m）（5﹣m）＝9， ∴（7﹣m）2+（5﹣m）2＝22+2×9＝22． （3）∵DG＝DC﹣CG，ED＝AD﹣AE， ∴DG＝x﹣26，ED＝2x﹣40， ∴MO＝MT＝（2x﹣40）+2（x﹣26）， ∵长方形EFGD的面积是200， ∴（2x﹣40）（x﹣26）＝200， ∴2（2x﹣40）（x﹣26）＝400， 令b＝2（x﹣26），a＝2x﹣40， ∴a﹣b＝12，ab＝400， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝144， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝144+2×400＝944， ∴四边形MORT的面积＝MT2＝（a+b）2＝a2+b2+2ab＝944+800＝1744． 22．（2025春•喀什地区期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是AB边上一动点，PQRS是正方形ABCD的内接正方形，PA＝a，PB＝b．求a2+b2的最小值． 【分析】根据正方形的边长为2，得a+b＝2，则b＝2﹣a，进而得a2+b2＝2（a﹣1）2+2，再根据（a﹣1）2≥0得a2+b2≥2，由此即可得出答案． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为2， ∴AB＝PA+PB＝2， ∵PA＝a，PB＝b， ∴a+b＝2， ∴b＝2﹣a， ∴a2+b2 ＝a2+（2﹣a）2 ＝a2+4﹣4a+a2 ＝2a2﹣4a+4 ＝2（a﹣1）2+2， ∵（a﹣1）2≥0， ∴2（a﹣1）2≥0， ∴2（a﹣1）2+2≥2， ∴a2+b2≥2， ∴a2+b2的最小值为2． 23．（2024春•江都区校级期中）王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当x＝　﹣3　 时，x2+6x﹣15有最小值是 　﹣24　 （2）多项式﹣x2+2x+18有最 　大　 （填“大”或“小”）值，该值为 　19　 （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值 （4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长． 【分析】（1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成y＝x2﹣5x﹣20再利用完全平方公式计算y+x即可； （4）化成完全平方公式和的形式计算出a、b的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【解答】解：（1）x2+6x﹣15＝（x+3）2﹣24， ∵（x+3）2≥0， ∴当x＝﹣3时，（x+3）2的值最小，最小值是0， ∴（x+3）2﹣24≥﹣24， ∴当（x+3）2＝0时，（x+3）2﹣24的值最小，最小值是﹣24， ∴x2+6x﹣15的最小值是﹣24； 故答案为：﹣3，﹣24； （2）﹣x2+2x+18＝﹣（x﹣1）2+19， ∵（x﹣1）2≥0， ∴当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0， ∴﹣（x﹣1）2+19≤19， ∴当（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+19的值最大，最大值是19； 故答案为：大，19； （3）∵﹣x2+5x+y+20＝0， ∴y＝x2﹣5x﹣20， ∴y+x＝x2﹣5x﹣20+x＝x2﹣4x﹣20＝（x﹣2）2﹣24， ∵（x﹣2）2≥0， ∴当x＝2时，（x﹣2）2的值最小，最小值是0， ∴（x﹣2）2﹣24≥﹣24， ∴当（x﹣2）2＝0时，（x﹣2）2﹣24的值最小，最小值是﹣24； ∴y+x的最小值是﹣24； （4）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0， ∴（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0， ∴a＝1，b＝4， ∴边长c的范围为4﹣1＜c＜4+1． ∵a，b，c都是正整数， ∴边长c的值为4， ∴△ABC的周长为1+4+4＝9． 24．（2024春•金溪县校级期中）定义：对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c，（a，b，c，是常数），当它们满足（x+b）2﹣（x+a）（x+c）＝M，且M为常数时，则称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式x+1，x+3，x+5，因为（x+3）2﹣（x+1）（x+5）＝4，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． （1）已知2，4，6是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； （2）当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数，并说明理由． 【分析】（1）直接根据定义计算M的值； （2）根据定义化简计算，可得a，b，c之间满足的数量关系式． 【解答】解：（1）根据题意，得M＝（x+4）2﹣（x+2）（x+6） ＝x2+8x+16﹣（x+8x+12） ＝4； （2）2b﹣a﹣c＝0． 理由：假设a，b，c是完美数， 则（x+b）2﹣（x+a）（x+c）结果为常数， 原式＝x2+2bx+b2﹣[x2+（a+c）x+ac] ＝（2b﹣a﹣c）x+b2﹣ac， ∵结果为常数， ∴2b﹣a﹣c＝0． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $