考点04 平方差公式（9大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点04 平方差公式 考点一：平方差公式 1.，即：(a+b)(a-b)=a2-b2 2.平方差公式的结构特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式； （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便. 考点二：平方差公式的几何背景 法一：S绿=a2-b2 法二：S绿=(a+b)(a-b) 法三：S绿=2S梯形 =2×(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b) 故(a+b)(a-b)=a2-b2 题型一：平方差公式的适用条件 （1）两个二项式相乘； （2）这两个二项式中，一组完全相同，一组互为相反数； 方法：（1）找相同项；（2）找相反项． （1）只看符号不看数字，一错全错； （2）系数、字母都要完全相同，才能算“相同项”； （3）位置乱了就不会看； （4）结果一定是：同² − 反²，千万别搞反． 【典例精讲】（2025秋•浦东新区校级期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是（　　） A．（4p+q）（4q﹣p） B．（m+1）（﹣m﹣1） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x+2y）（﹣x+2y） 【分析】根据平方差公式的形式为（a+b）（a﹣b）逐一判断即可． 【解答】解：A、（4p+q）（4q﹣p），无相同项和相反项，不可用平方差公式计算，不符合题意； B、（m+1）（﹣m﹣1）＝﹣（m+1）（m+1）不可用平方差公式计算，不符合题意； C、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）不可用平方差公式计算，不符合题意； D、（x+2y）（﹣x+2y）＝（2y+x）（2y﹣x）可用平方差公式计算，符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•内江期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x﹣y）（﹣x﹣y） 【分析】根据平方差公式逐项分析即可． 【解答】解：A、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，能用平方差公式计算，不符合题意； B、（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，能用平方差公式计算，不符合题意； C、（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）×[﹣（x+y）]＝﹣（x+y）2，不能用平方差公式计算，符合题意； D、（x﹣y）（﹣x﹣y）＝（﹣y+x）（﹣y﹣x）＝（﹣y）2﹣x2＝y2﹣x2，能用平方差公式计算，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•大冶市期末）下列式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x﹣y）（x+y） B．（﹣x﹣y）（x+y） C．（x+y）（x+y） D．（﹣x+y）（x﹣y） 【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2判断即可． 【解答】解：A、符合平方差公式特征，故此选项符合题意； B、不符合平方差公式特征，故此选项不符合题意； C、不符合平方差公式特征，故此选项不符合题意； D、不符合平方差公式特征，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练3】（2025秋•如皋市期末）运用乘法公式计算（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）时，下列变形正确的是（　　） A．[x+（y﹣1）][x﹣（y﹣1）] B．[x+（y﹣1）][x﹣（y+1）] C．[（x+y）﹣1][（x﹣y）﹣1] D．[（x﹣1）+y][（x﹣1）﹣y] 【分析】根据平方差公式的特征进行计算，即可解答． 【解答】解：（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）＝[（x﹣1）+y][（x﹣1）﹣y]， 故选：D． 题型二：运用平方差公式进行计算 ，即：(a+b)(a-b)=a2-b2 （1）判断能不能用：两个括号相乘，一同一反：一组完全一样，一组只有符号相反； （2）圈出：相同项、相反项； （3）套公式：结果 = 相同项² − 相反项²； （4）算平方、化简：系数、字母、符号都要平方. （1）只看符号，不看数字/字母：数字不一样，绝对不能用平方差； （2）系数忘记平方，整个括号里的项都要平方，包括系数； （3）顺序乱了就不会判断，把相同项放前面，再用公式； （4）符号带进去一起错. 【典例精讲】（2025秋•衡南县期末）计算20252﹣20242的结果为（　　） A．1 B．2025 C．2024 D．4049 【分析】直接利用平方差公式分解计算即可． 【解答】解：原式＝（2025+2024）×（2025﹣2024） ＝4049×1 ＝4049． 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•曲靖期末）计算（x﹣2y）（x+2y）的结果是（　　） A．x2﹣4xy+4y2 B．x2﹣2y2 C．x2﹣4y2 D．x2+4xy﹣4y2 【分析】根据（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2求解即可． 【解答】解：根据平方差公式可得： （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2， 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•庐江县期末）计算：（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y﹣3）． 【分析】先计算多项式乘以多项式，以及平方差公式计算，再去括号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y﹣3） ＝y2﹣4﹣（y2﹣3y﹣y+3） ＝y2﹣4﹣y2+3y+y﹣3 ＝4y﹣7． 【变式训练3】（2025秋•朝阳区校级期末）（1）用平方差公式计算：108×112． （2）． 【分析】（1）先将原式变为（110﹣2）（110+2），再利用平方差公式进行计算即可作答； （2）先利用平方差公式的运算法则进行计算，然后再合并同类项即可得出答案． 【解答】（1）原式＝（110﹣2）（110+2） ＝1102﹣22 ＝12100﹣4 ＝12096． （2）原式＝3x2+（﹣3x2+xyxyy2） ＝3x2﹣3x2+xyxyy2 ． 题型三：利用平方差公式进行简便运算 （1）识别形式：判断算式是否为两个数的平方相减，若不是，通过变形凑出该形式（如凑整、拆分、补项）； （2）确定a和b：明确公式中a（较大数/式）和b（较小数/式），优先让a、b为整数、整十/整百数，简化计算； （3）代入公式计算：先算a+b和a-b，再将结果相乘，得到最终答案． （1）形式判断类易错点，如混淆公式适用形式，忽略“平方”的完整性； （2）公式套用类易错点，a、b取值混乱，漏乘、错算和与差的乘积； （3）数式变形类易错点，凑整变形时的平方错误，凑整后的数是整体，平方需作用于整个括号，仅平方差可拆成和×差，单独一个数的平方不能拆； （4）含系数/字母的平方变形错误，处理系数、字母时，仅对数字平方，忽略字母或系数的整体． 【典例精讲】（2025秋•龙凤区校级期末）计算： （1）； （2）简便运算：20252﹣2024×2026． 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂的意义、绝对值的意义化简，再算加减； （2）利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1） ＝1+4﹣3 ＝2； （2）20252﹣2024×2026 ＝20252﹣（2025﹣1）（2025+1） ＝20252﹣（20252﹣1） ＝20252﹣20252+1 ＝1． 【变式训练1】（2025秋•河西区期末）计算：59.8×60.2＝　　 ． 【分析】利用公式求解，简化运算． 【解答】解：原式＝（60﹣0.2）（60+0.2）＝602﹣0.22＝3600﹣0.04＝3599.96． 故答案为：3599.96． 【变式训练2】（2025秋•三河市期末）计算：2026×2024﹣20252＝　﹣1　 ． 【分析】将2026×2024转化为（2025+1）×（2025﹣1），再利用平方差公式计算即可求解． 【解答】解：2026×2024﹣20252 ＝（2025+1）×（2025﹣1）﹣20252 ＝20252﹣1﹣20252 ＝（20252﹣20252）﹣1 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式训练3】（2025秋•长春期末）运用平方差公式计算：98×102的值． 【分析】将98×102写成（100﹣2）（100+2），再根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：98×102 ＝（100﹣2）（100+2） ＝1002﹣22 ＝10000﹣4 ＝9996． 题型四：利用平方差公式进行化简求值 （1）观察代数式，识别平方差形式，判断式子是否为平方差基本形式，或能否通过变形转化为该形式； （2）套用公式，彻底化简代数式，将识别出的平方差，严格按公式拆分为和×差的形式，化简至最简整式（无括号、无同类项）； （3）分析已知条件，整理代入式 ①若已知条件为单个字母的值（如x=3，a=2），直接整理化简后的式子，准备代入； ②若已知条件为代数式的值（如2x+y=5，x-3y=2），无需求单个字母，直接将该代数式作为整体代入； ③若已知条件需变形转化，直接代入变形后的条件； （4）代入计算，得出最终结果． （1）形式识别与公式套用类，误判平方差形式，乱用公式，未识别“整体平方”，变形不彻底； （2）展开和差时，符号与去括号错误； （3）化简不彻底，保留多余括号或同类项； （4）未化简先代入，计算繁琐出错，化简是前提，绝对避免未化简直接代入，这是平方差公式化简求值的核心意义； （5）整体代入时，漏代或错代整体值，先标注化简结果中的整体部分，再对应已知条件的整体值，逐一核对代入，不遗漏系数、符号． 【典例精讲】（2024秋•宣化区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝2． 【分析】利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解． 【解答】解：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x）， ＝4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）， ＝4x2﹣y2﹣4y2+x2， ＝5x2﹣5y2， 当x＝1，y＝2时，原式＝5×12﹣5×22＝5﹣20＝﹣15． 【变式训练1】（2025春•榆中县期末）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）﹣x（x+2），其中x＝1． 【分析】先计算多项式乘多项式，单项式乘多项式，然后合并同类项即可． 【解答】解：原式＝x2﹣1﹣x2﹣2x＝﹣2x﹣1． 当x＝1时，原式＝﹣2×1﹣1＝﹣3． 【变式训练2】（2025秋•石泉县校级期末）先化简，再求值：3x（2x﹣1）﹣（﹣3x﹣4）（3x﹣4），其中x＝-1． 【分析】先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则将式子展开，再合并同类项即可． 【解答】解：原式＝6x2﹣3x﹣（﹣9x2+16） ＝6x2﹣3x+9x2﹣16 ＝15x2﹣3x﹣16． 当x＝-1时，原式＝15×（-1）2﹣3×（-1）﹣16＝2． 题型五：利用平方差公式进行多个因式相乘 多个因式相乘的核心解题思路是通过凑配构造平方差形式，反复套用公式逐步化简，将连乘式转化为简单的平方差或最终整式，关键在于找规律、凑共轭、逐步消项． （1）共轭配对原则：优先将能凑成“a+b”和“a-b”的共轭因式配对相乘，直接套用平方差公式； （2）逐步升幂原则：每一次套用平方差后，结果会形成新的平方项，再将新的平方项与后续因式继续凑共轭、用公式，逐步将式子升幂化简； （3）形式统一原则：先将所有因式化为相同底数/相同结构的形式（如系数、符号统一），再进行配对，避免因形式混乱无法凑平方差． （1）因式配对与构造类易错点，优先找共轭因式配对，这是用平方差化简的前提，无共轭则先构造，不盲目连乘； （2）补项构造时，忽略“值不变”原则，补项时只加因式不抵消，改变原式大小，补项的核心是等价变形，补入因式的同时需乘以其倒数（或同乘同除相同非零式），保证原式值不变； （3）遗漏特殊条件，补项无意义，补项前先判断补入因式是否为0，标注条件（如x≠1），避免无意义变形； （4）符号统一时，负号提取错误或漏算，提取负号遵循“奇负偶正”，单个因式提取负号后括号内各项变号，多个负号相乘时数清个数再定符号； （5）系数统一时，提取不彻底或漏乘系数，系数提取要彻底，将所有因式的公系数提取后，单独合并系数（相乘），再与整式化简结果相乘； （6）套用公式不连续，中途放弃化简，每一次套用公式后，检查结果是否仍为平方差形式，只要符合形式，就继续套用，直至无法化简． 【典例精讲】（2025秋•黔东南州期末）计算的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用平方差公式把原式改写为，再计算即可． 【解答】解：原式 ． 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•江岸区期末）若，则A的值是（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【分析】将原式变形后利用平方差公式计算即可． 【解答】解：原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）﹣1 ＝（1）（1）（1）（1）（1）…（1）﹣1 ＝（1）（1）（1）（1）…（1）﹣1 ＝（1）（1）（1）…（1）﹣1 … ＝11 ， 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•铁岭县期末）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（　　） A．263 B．264 C．265 D．266 【分析】利用平方差公式解答即可． 【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 ＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1 ＝（232﹣1）（232+1）+1 ＝264﹣1+1 ＝264． 故选：B． 【变式训练3】（2025秋•河西区校级月考）计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）的结果是（　　） A．a8+2a4b B．a8﹣2a4b4 C．a8+b8 D．a8﹣b8 【分析】利用平方差公式计算即可． 【解答】解：原式＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4+b4） ＝（a4﹣b4）（a4+b4） ＝a8﹣b8， 故选：D． 题型六：利用平方差公式解决整除问题 解决整除问题的核心是将待判断的代数式/数，通过平方差公式分解为两个因式的乘积，再结合整除的定义（若A=B×C，则B、C均能整除A）分析，关键在于构造平方差形式、结合整除条件验证 （1） 构造/识别平方差：将被除的整数（或表达式）转化为平方差形式a² - b²； （2）套用公式分解：分解为(a+b)(a-b)，得到若干整数（或含n的整式）的乘积； （3）验证整除性：判断除式是否为分解结果的因数（或分解结果中是否包含除式），若是则能整除，反之则不能． （1）强行构造平方差，改变原式数值，构造平方差必须遵循等价变形原则，仅通过凑整、配方、提公因式等不改变原式值的方式变形，不随意加减、乘除数值； （2）高次式构造平方差时，分解不逐级； （3）含参数式子，忽略参数的平方意义，含参数构造平方差时，先明确参数需满足完全平方数（式） 要求，再结合整除条件求解； （4）分解不彻底，遗漏关键因式，分解后需反复检查是否为平方差形式，直至无法再分解，确保分解结果包含所有可能的因式； （5）符号与系数处理错误，导致因式变形偏差，处理符号和系数时，先将式子化为标准平方差形式（正的平方项减正的平方项），再分解，系数需先开方再构造整体； （6）混淆“数的分解”与“式的分解”，因式类型出错，数的整除看因数包含，式的整除看因式包含，二者逻辑一致但表述不同，不混淆变形方式． 【典例精讲】（2025秋•北京期末）已知k为任意整数，代数式（k+2）2﹣（k﹣1）2的值记为M，有下列三个结论： ①M一定是正整数； ②M一定是奇数； ③M总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【分析】利用平方差公式计算后进行判断即可． 【解答】解：（k+2）2﹣（k﹣1）2 ＝（k+2+k﹣1）（k+2﹣k+1） ＝3（2k+1）， ∵k为任意整数， ∴2k+1是奇数，3（2k+1）是奇数，但不一定是正整数， ∴3（2k+1）能被3整除， 那么正确结论的序号是②③， 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•福清市期末）当n为正整数时，（n﹣1）2﹣（n﹣3）2一定能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 【分析】利用平方差公式因式分解后并判断即可． 【解答】解：（n﹣1）2﹣（n﹣3）2 ＝（n﹣1+n﹣3）（n﹣1﹣n+3） ＝2（2n﹣4） ＝4（n﹣2）， ∵n为正整数， ∴4（n﹣2）一定能被4整除， 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•泉州期末）阅读与思考 兴趣小组在数学活动中研究了“正整数N能否表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： N 奇数 4的倍数 表示结果 1＝12﹣02 1＝12﹣02 3＝22﹣12 5＝32﹣22 7＝42﹣32 9＝52﹣42 … 4＝22﹣02 8＝32﹣12 12＝42﹣22 16＝52﹣32 20＝62﹣42 … 一般结论 2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2 4n＝… 按上表规律，完成下列问题： ①15＝（　　 ）2﹣（　　 ）2； ②4n＝（　 ）2﹣（　 ）2． （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n﹣2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，部分分析过程如下： 假设4n﹣2＝x2﹣y2，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，则x2﹣y2＝… 请阅读以上内容，并将完整的证明过程写出来． 【分析】（1）①根据题意即可得出答案； ②根据题意即可得出答案； （2）用反证法证明即可． 【解答】解：（1）①15＝82﹣72． 故答案为：8；7． ②4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2． 故答案为：n+1；n﹣1． （2）证明：假设4n﹣2＝x2﹣y2，其中x，y均为自然数， ①若x，y均为偶数，设 x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2﹣y2＝（2k）2﹣（2m）2＝4（k2﹣m2）为4的倍数， ∵4n﹣2不是4的倍数，矛盾， ∴x，y不可能均为偶数； ②若x，y均为奇数，设 x＝2k+1，y＝2m+1，其中k，m均为自然数， 则x2﹣y2＝（2k+1）2﹣（2m+1）2＝4（k2﹣m2+k﹣m）为4的倍数， ∵4n﹣2 不是4的倍数，矛盾， ∴x，y不可能均为奇数； ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2﹣y2为奇数， ∵4n﹣2 是偶数，矛盾， ∴x，y不可能一个是奇数一个是偶数， ∴综上所述，假设不成立，故兴趣小组的猜测正确． 【变式训练3】（2025秋•中江县月考）观察下列各式：（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3；（6+3）2﹣62＝15×3；…；发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． （1）（8+3）2﹣82的结果是3的　　 倍； （2）设偶数为2n，试说明比2n大7的数与2n的平方差能被7整除； （3）比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 【分析】（1）结合题干，利用平方差公式求解； （2）设偶数为2n，比2n大7的数为2n+7，比2n大7的数与2n的平方差表示为（2n+7）2﹣（2n）2，利用平方差公式变形为（2n+7﹣2n）（2n+7+2n），即可求解； （3）（n+5）2﹣n2变形为10（n+2）+5，可得余数为5． 【解答】解：（1）（8+3）2﹣82 ＝（8+3+8）×（8+3﹣8） ＝19×3， （8+3）2﹣82的结果是3的19倍， 故答案为：19； （2）偶数为2n，比2n大7的数为2n+7， ∴（2n+7）2﹣（2n）2 ＝（2n+7﹣2n）（2n+7+2n） ＝7（4n+7）， ∵4n+7为整数， ∴7（4n+7）能被7整除， ∴（2n+7）2﹣（2n）2能被7整除， ∴比2n大7的数与2n的平方差能被7整除； （3）余数为5，理由如下： 设这个数为n，比n大5的数为n+5， ∴（n+5）2﹣n2 ＝（n+5﹣n）（n+5+n） ＝5（2n+5） ＝10n+25， ∵（10n+25）＝10（n+2）+5， [10（n+2）+5]÷10＝n+2……5， ∴10n+25被10整除的余数是5， ∴比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是5． 题型七：规律探究型问题 （1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义； （2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例； （3）寻找变化规律； （4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式； （5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确； （6）归纳结论． （1）只看前2项就下结论； （2）把“序号 n”搞错：第1个对应 n=1，第2个 n=2，不是从0开始； （3）符号规律忘带 (-1)ⁿ； （4）图形规律：数错个数，只数看得见的，漏了隐藏/重叠部分； （5）写出规律不检验． 【典例精讲】（2025春•怀化期末）观察下列等式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； ．．．．．． 根据以上规律计算﹣32025+32024﹣32023+32022﹣⋯﹣33+32﹣3的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出规律（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1，再计算即可． 【解答】解：∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； ……； （x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1； ∴（x﹣1）（x2025+x2024+x2023+⋯+x+1）＝x2025+1﹣1＝x2026﹣1， ∴． ∴当x＝﹣3时， （﹣3）2025+（﹣3）2024+（﹣3）2023+⋯+（﹣3）+1 ＝﹣32025+32024﹣32023+⋯﹣3+1 ， ∴原式． 故选：A． 【变式训练1】（2025秋•平昌县期中）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 【归纳】（1）由此可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝ 　 ． 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）求22025+22024+22023+⋯+22+2+1的值． （3）求220﹣219+218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1的值． （4）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2025的值． 【分析】（1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘（2﹣1），即可利用所得结论计算； （3）算式改写为（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+⋯+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1，算式再乘，即可利用所得结论计算； （4）等式两边同乘（x﹣1），左边可利用所得结论计算，进而求得x的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； 所以（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1． 故答案为：xn+1﹣1． （2）原式＝（2﹣1）（22025+22024+22023+⋯+22+2+1） ＝22026﹣1． 故答案为：22026﹣1． （3）原式＝（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+⋯+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1 ． 故答案为：． （4）因为x5+x4+x3+x2+x+1＝0， 所以（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0． 所以x＝±1． 因为x5+x4+x3+x2+x+1＝0， 当x＝1时，x5+x4+x3+x2+x+1＝6≠0， 所以x≠1，x＝﹣1． 所以x2025＝（﹣1）2025＝﹣1． 【变式训练2】（2025春•洪泽区校级月考）阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算（2+1）（22+1）（24+1）． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（24﹣1）（24+1）＝28﹣1； 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ 　 ． （2）（3+1）（32+1）（34+1）＝ 　 ． （3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）． 【分析】（1）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以（2﹣1），根据平方差公式运算即可； （2）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可； （3）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可． 【解答】解：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1） ＝（28﹣1）（28+1） ＝216﹣1． 故答案为：216﹣1； （2）（3+1）（32+1）（34+1） ． 故答案为：； （3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8） ． 题型八：几何背景 （1）画图：画大长方形，按项分段标上字母； （2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽； （3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加； （4）合并同类项：整理成最简多项式． （1）线段长度必须为正数，字母表示线段时，所有字母都大于0； （2）面积只能加，不能直接减； （3）分长方形时别漏块、别重复； （4）同类项要对应图形； （5）公式别乱套，先看图形． 【典例精讲】（2025秋•张北县期末）我们通常用“作差法”比较代数式的大小，即要比较代数式A，B的大小，只要算A﹣B的值．若A﹣B＞0，则A＞B；若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B． （1）图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中的正方形边长均增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2． ①用含a的代数式分别表示S1和S2（结果需要化简）； ②请用作差法比较S1与S2的大小； （2）已知A＝2024×2026，B＝20252，则A与B的大小关系为 ． 【分析】（1）观察图形分别求出长方形的长与宽和正方形的边长，根据面积公式求出S1和S2即可； （2）把（1）中求出的S1和S2相减，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后判断大小即可； （3）把A＝2024×2026，B＝20252代入A﹣B，然后把2024写成2025﹣1，2026写成2025+1，再利用平方差公式进行计算，然后判断即可． 【解答】解：（1）； （2）S1﹣S2 ＝a2+4a﹣（a2+4a+4） ＝a2+4a﹣a2﹣4a﹣4 ＝﹣4＜0， ∴S1＜S2； （3）∵A＝2024×2026，B＝20252， ∴A﹣B ＝2024×2026﹣20252 ＝（2025﹣1）（2025+1）﹣20252 ＝20252﹣1﹣20252 ＝﹣1＜0 ∴A＜B， 故答案为：A＜B． 【变式训练1】（2025秋•横山区月考）【问题呈现】 （1）借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图1是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图1中的阴影部分面积，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加： ； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积： ； 因此，可以得出等式 ．（填序号） ①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；②a2+b2＝（a+b）2﹣2ab 【数学应用】 （2）根据图1所得的等式，若a+b＝12，ab＝20，求a2+b2的值． 【拓展应用】 （3）如图2，某市会展中心展厅内有一处Rt△BCE展示区域（∠BCE＝90°），已知CE＝8米，点M在BC上且CM＝3米，在边CE上取一点Q，使BM＝EQ．为了突出地域特色，分别以BC，CQ为边在△BCE外部修建正方形绿植花坛ABCD和正方形花卉展示区COPQ，连接BQ形成景观步道．若△BCQ的面积等于平方米，设BM＝x米，求两个正方形ABCD和COPQ区域的面积和． 【分析】（1）根据题意解答即可求解； （2）利用（1）得到的等式计算即可求解； （3）由题意得EQ＝BM＝x米，BC＝（x+3）米，CQ＝（8﹣x）米，即得，得到（8﹣x）（x+3）＝21，又由图可得正方形ABCD和COPQ区域的面积和为（x+3）2+（8﹣x）2，设x+3＝c，8﹣x＝d，则cd＝21，c+d＝x+3+8﹣x＝11，利用（1）得到的等式求出c2+d2的值即可求解； 【解答】解：（1）方法一，阴影部分的面积为：a2+b2， 方法二，阴影部分的面积为：（a+b）2﹣2ab， ∴得出等式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 故答案为：a2+b2；（a+b）2﹣2ab；②； （2）根据题意可知，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝122﹣2×20＝104； （3）由题意得，EQ＝BM＝x米，BC＝（x+3）米，CQ＝（8﹣x）米， ∵△BCQ的面积等于平方米， ∴， 即（8﹣x）（x+3）＝21， ∵正方形ABCD的面积为（x+3）2，正方形COPQ的面积为（8﹣x）2， ∴正方形ABCD和COPQ区域的面积和为（x+3）2+（8﹣x）2， 设x+3＝c，8﹣x＝d，则cd＝21，c+d＝x+3+8﹣x＝11， ∵c2+d2＝（c+d）2﹣2cd， ∴c2+d2＝112﹣2×21＝79， 即（x+3）2+（8﹣x）2＝79， ∴两个正方形ABCD和COPQ区域的面积和为79平方米． 【变式训练2】（2025秋•新乡校级期中）【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd；公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd；公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 图1对应公式　　 ，图3对应公式　　 ． 【解决问题】 （2）利用图形所表示的乘法公式，解决以下问题． ①已知a﹣b＝3，a2+b2＝10，求ab的值； ②化简（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）． 【能力拓展】 （3）如图5，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形时，若BE＝10，正方形ABGF和正方形CDEG的面积和为36，直接写出阴影部分的面积　32　 ． （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°） 【分析】（1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案； （2）①利用（1）中的公式④即可得解；②利用多项式乘以多项式结合平方差计算即可得解； （3）设BG＝a，EG＝b，则有a+b＝10，a2+b2＝36，利用（1）中的公式④求出ab的值，即可得解． 【解答】解：（1）图1，“整体”上看，是长为（a+b+c），宽为d的长方形，因此面积为（a+b+c）d，从“部分”上看三个长方形的面积和为ad+bd+cd， ∴（a+b+c）d＝ad+bd+cd，故图1对应公式①； 图2，“整体”上看，是长为（a+b），宽为（c+d）的长方形，因此面积为（a+b）（c+d），从“部分”上看四个长方形的面积和为ac+ad+bc+bd， ∴（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，故图2对应公式②； 图3，“整体”上看，是边长为（a+b）的正方形，因此面积为（a+b）2，从“部分”上看四个部分的面积和为a2+2ab+b2， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，故图3对应公式④； 图4，“整体”上看，是边长为a的正方形，因此面积为a2，从“部分”上看四个部分的面积和为（a﹣b）2+2b（a﹣b）+b2， ∴（a﹣b）2＝a2﹣[2b（a﹣b）+b2]，故图4对应公式③； 故答案为：①；④； （2）①把a﹣b＝3两边平方得：（a﹣b）2＝9， ∴a2+b2﹣2ab＝9， ∵a2+b2＝10， ∴10﹣2ab＝9， 解得：； ②原式＝（y2﹣4）﹣（y2+4y﹣5） ＝y2﹣4﹣y2﹣4y+5 ＝﹣4y+1； （3）设BG＝a，EG＝b， 把a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝100， ∴a2+b2+2ab＝100， ∵a2+b2＝36， ∴36+2ab＝100， 解得：ab＝32， ∴， 故答案为：32． 【变式训练3】（2025秋•陕西校级期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 （填字母）． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值； ②计算：； ③计算：． 【分析】（1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故选：B； （2）①∵x2﹣4y2＝12，即（x+2y）（x﹣2y）＝12，而x+2y＝4， ∴x﹣2y＝3； ②原式＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）…（1）（1） ； ③ ＝2×（1） ＝2． 题型九：新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025秋•东安县校级月考）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有|A﹣B|＝m（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：A＝x2+2x+3，B＝x2+2x+1，因为|A﹣B|＝2，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（　　 ）； ②（x+2）2与x2+2x（　　 ）． （2）已知关于x的整式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2ax+5，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式S＝x2+bx+c，T＝x2+dx，若S，T互为“差值代数式”，且满足（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）＝S2﹣1．求b，c，d的值； 【分析】（1）根据定义解答即可得解； （2）先由定义得出a2﹣5＝4或a2﹣5＝﹣4，解方程即可得解； （3）S，T互为“差值代数式”当b＝d，且“差值”为|c|，恒等变形（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）＝S2﹣1得出，然后由新定义即可得解． 【解答】解：（1）①关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有|A﹣B|＝m（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”， ，所以当x≠0时，与互为“差值代数式”，“差值”为1， 故答案为：√； ②|（x+2）2﹣（x2+2x）|＝|x2+4x+4﹣x2﹣2x|＝|2x+4|，所以（x+2）2与x2+2x不是“差值代数式”， 故答案为：×； （2）∵关于x的整式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2ax+5，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4， ∴|M﹣N|＝|（x﹣a）2﹣（x2﹣2ax+5）|＝|x2﹣2ax+a2﹣x2+2ax﹣5|＝|a2﹣5|＝4， ∴a2﹣5＝4或a2﹣5＝﹣4， 当a2﹣5＝4时，即a2＝9，所以a＝3或a＝﹣3； 当a2﹣5＝﹣4时，即a2＝1，所以a＝1或a＝﹣1； 综上所述，a＝3或a＝﹣3或a＝1或a＝﹣1； （3）由题意可得：|S﹣T|＝|x2+bx+c﹣x2﹣dx|＝|bx﹣dx+c|结果为常数， ∴当b＝d，且“差值”为|c|， 又∵（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）＝S2﹣1， ∴（x2+7x+10）（x2+7x+12）＝（x2+bx+c+1）（x2+bx+c﹣1） ∴b＝d＝7，c﹣1＝10，c+1＝12 故：b＝d＝7，c＝11． 【变式训练1】（2025•鼓楼区校级三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：0＝02﹣02，1＝12﹣02，则0和1都是“树人数”． （1）判断2，3是否为“树人数”？说明理由． （2）下列说法正确的序号有　　 ． ①任何一个奇数都是“树人数”； ②任何一个偶数都是“树人数”； ③任何一个被4整除的数是“树人数”； ④任何一个被4除余2的数是“树人数”． （3）已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【分析】（1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，3＝22﹣12，因此可得出3是“树人数”； （2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； （3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 【解答】解：（1）2不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得a2﹣b2＝2，则：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2， ∴因数分解可能为1×2或（﹣1）×（﹣2）， ∴或，解得：或非整数，矛盾， ∴2不是“树人数”， ∵3＝22﹣12， ∴3是“树人数”； （2）①设奇数n＝2k+1，令a＝k+1，b＝k，则：a2﹣b2＝（k+1）2﹣k2＝2k+1＝n，故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令a＝k+1，b＝k﹣1，则：则：a2﹣b2＝（k+1）2﹣（k﹣1）2＝4k，故③正确， ④设被4除余2的数是4k+2，若存在a，b使得a2﹣b2＝4k+2， 则：若a，b同奇偶，则a2﹣b2为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则a2﹣b2为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； （3）证明：∵a，b是“树人数”． ∴设a＝m2﹣n2，b＝p2﹣q2（m，n，p，q是整数）． ∴ab＝（m2﹣n2）（p2﹣q2）＝m2p2﹣m2q2﹣n2p2+n2q2 ＝（m2p2+n2q2）﹣（m2q2+n2p2） ＝（m2p2+2mnpq+n2q2）﹣（m2q2+2mnpq+n2p2） ＝（mp+nq）2﹣（mq+np）2 或 ＝（m2p2﹣2mnpq+n2q2）﹣（m2q2﹣2mnpq+n2p2） ＝（mp﹣nq）2﹣（mq﹣np）2 ∵m，n，p，q是整数． ∴mp+nq，mq+np，mp﹣nq，mq﹣np 都是整数． ∴ab 能写成两个整数的平方差的形式． ∴ab是“树人数”． 【变式训练2】（2022春•碑林区校级月考）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，我们新定义这个正整数为“神秘数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24这三个数都是“神秘数”． （1）48是“神秘数“吗？请说明理由，并猜想“神秘数”有何特征． （2）若长方形相邻两边长为两个连续奇数，试说明其周长一定为“神秘数”． 【分析】（1）将48写成两个连续奇数的平方差即可，根据列举出的“神秘数”的规律得出结论； （2）设出长方形的边长，求出周长，再根据“神秘数”的定义进行判断即可． 【解答】解：（1）48是“神秘数”， ∵48＝132﹣112＝169﹣121， ∴48是“神秘数”， 由于8＝32﹣12＝8×1；16＝52﹣32＝8×2；24＝72﹣52＝8×3；…… 所以“神秘数”都是8的倍数，即8n＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2； （2）设长方形的两条相邻的边分别为2a+1，2a﹣1， 所以周长为：2（2a+1+2a﹣1）＝8a，而8a是神秘数，即周长为神秘数． 1．（2025秋•威远县期末）下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y） 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法． 【解答】解：A、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意； B、（﹣x+y）（﹣x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意； C、（x+y）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； D、（x+y）（﹣x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意． 故选：C． 2．（2025秋•滨海新区校级期末）下列各式计算正确的是（　　） A．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 B．（2a﹣b）（b﹣2a）＝4a2﹣b2 C．（2a+b）（﹣2a﹣b）＝4a2﹣4ab+b2 D．（﹣2a﹣b）2＝4a2+4ab+b2 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：（A）原式＝4a2﹣4ab+b2，故A错误； （B）原式＝﹣（2a﹣b）（2a﹣b）＝﹣（4a2﹣4ab+b2）＝﹣4a2+4ab﹣b2，故B错误； （C）原式＝﹣（2a+b）（2a+b）＝﹣（4a2+4ab+b2）＝﹣4a2﹣4ab﹣b2，故C错误； 故选：D． 3．（2025秋•云梦县期末）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（　　） A．（a+2b）（2b﹣a） B．（2a+b）（a﹣2b） C．（a﹣b）（﹣a+b） D．（﹣a﹣b）（a+b） 【分析】根据平方差公式，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（a+2b）（2b﹣a）＝4b2﹣a2，故A不符合题意； B、（2a+b）（a﹣2b）不能用平方差公式进行计算，故B不符合题意； C、（a﹣b）（﹣a+b）＝﹣（a﹣b）2，故C不符合题意； D、（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）2，故D不符合题意； 故选：A． 4．（2025秋•关岭县期末）若a＝2024×2026，b＝20242+2×2024+1，则下列判断正确的是（　　） A．a＝b﹣1 B．a＝b C．a＝b+1 D．a＝b﹣2024 【分析】通过完全平方公式和平方差公式，将a和b的表达式变形，然后比较两者关系． 【解答】解：通过完全平方公式和平方差公式，将a和b的表达式变形可得： b＝20242+2×2024+1＝（2024+1）2＝20252， 又∵a＝2024×2026＝（2025﹣1）（2025+1）＝20252﹣1， ∴a＝b﹣1． 故选：A． 5．（2025秋•山丹县校级期末）已知M＝20252，N＝2024×2026，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 【分析】先把N中的2024写成2025﹣1，2026写成2025+1，再利用平方差公式进行计算，然后判断M，N的大小即可． 【解答】解：N＝2024×2026＝（2025﹣1）（2025+1）＝20252﹣1， ∵20252＞20252﹣1， ∴M＞N， 故选：A． 6．（2025秋•陇南期末）利用平方差公式计算20262﹣2027×2025的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】先将2027×2025化为（2026+1）（2026﹣1）的形式，再利用平方差公式计算，然后去括号，再由有理数加减运算求解即可得到答案． 【解答】解：原式＝20262﹣（2026+1）×（2026﹣1） ＝20262﹣（20262﹣1） ＝20262﹣20262+1 ＝1， 故选：B． 7．（2025秋•崇阳县校级期中）（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝8，则x2+y2的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【分析】设x2+y2＝t，则（t+1）（t﹣1）＝8，解得：，再根据x2+y2＝t≥0，即可得出答案． 【解答】解：设x2+y2＝t，则原方程转化为（t+1）（t﹣1）＝8， 整理得t2＝9， 解得：， ∴x2+y2＝3， 故选：A． 8．（2025秋•长沙期末）计算（2y﹣1）（2y+1）的结果为　4y2﹣1　 ． 【分析】利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（2y﹣1）（2y+1） ＝（2y）2﹣12 ＝4y2﹣1， 故答案为：4y2﹣1． 9．（2025秋•南开区期末）计算252﹣23×27的结果为　4　 ． 【分析】把原式变形为252﹣（25﹣2）×（25+2），再利用平方差公式求解即可． 【解答】解：原式＝252﹣（25﹣2）×（25+2） ＝252﹣（252﹣22） ＝4． 故答案为：4． 10．（2025秋•汝南县期末）已知x2﹣2＝x，则代数式（x+2）（x﹣2）﹣x的值为　﹣2　 ． 【分析】由已知变形为x2﹣x＝2，再根据平方差公式计算，然后代入求值即可． 【解答】解：∵x2﹣2＝x， ∴x2﹣x＝2， ∴（x+2）（x﹣2）﹣x ＝x2﹣4﹣x ＝2﹣4 ＝﹣2， 故答案为：﹣2． 11．（2025秋•宝山区期末）计算：1002025×1002027﹣10020262＝　﹣1　 ． 【分析】观察到1002025、1002026和1002027是三个连续整数，设n＝1002026，则1002025＝n﹣1，1002027＝n+1，原式＝（n﹣1）（n+1）﹣n2，利用平方差公式简化计算． 【解答】解：设n＝1002026，则1002025＝n﹣1，1002027＝n+1， 1002025×1002027﹣10020262 ＝（n﹣1）（n+1）﹣n2 ＝n2﹣1﹣n2 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 12．（2025秋•新宁县期末）（1）（1）（1）…（1）＝　　 ． 【分析】根据平方差公式分解因式后计算即可． 【解答】解：（1）（1）（1）…（1） ＝（1）（1）（1）（1）（1）（1）...（1）（1） ... ． 故答案为：． 13．（2025秋•杨浦区期末）计算：（2x+3）（2x﹣3）（4x2+9）． 【分析】连续利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（2x+3）（2x﹣3）（4x2+9） ＝（4x2﹣9）（4x2+9） ＝16x4﹣81． 14．（2025秋•石泉县校级期末）化简：3x（2x﹣1）﹣（﹣3x﹣4）（3x﹣4）． 【分析】先根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则将式子展开，再合并同类项即可． 【解答】解：原式＝6x2﹣3x﹣（﹣9x2+16） ＝6x2﹣3x+9x2﹣16 ＝15x2﹣3x﹣16． 15．（2025秋•安定区期末）计算：（a﹣1）（a+1）（a2+1）． 【分析】根据平方差公式，进行计算即可． 【解答】解：原式＝（a2﹣1）（a2+1） ＝a4﹣1． 16．（2025秋•青龙县期末）【问题背景】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，应用极为广泛．例如：已知2x﹣y＝1，求代数式2025+2x﹣y的值．解：当2x﹣y＝1时，原式＝2025+1＝2026． 【尝试运用】 （1）已知x2﹣2y＝4，求3（x2﹣2y）﹣21的值； （2）已知x+2y﹣3＝0，x﹣2y+5＝0，求（x+2y）（x﹣2y）+10的值． 【分析】（1）将x2﹣2y＝4作为整体代入计算即可得； （2）先求出x+2y＝3，x﹣2y＝﹣5，再利用平方差公式可得x2﹣4y2的值，代入计算即可得． 【解答】解：（1）由条件可得3（x2﹣2y）﹣22 ＝3×4﹣22 ＝﹣10； （2）由条件可得x+2y＝3，x﹣2y＝﹣5， ∴（x+2y）（x﹣2y）＝3×（﹣5）＝﹣15， ∴x2﹣4y2＝﹣15， ∴x2﹣4y2+10＝﹣15+10＝﹣5． 17．（2025秋•邯郸校级期末）已知A＝（2y﹣x）（﹣2y﹣x），B＝4y（x﹣2y）． （1）对A，B进行整式乘法运算； （2）甲、乙两位同学用如下方法比较A，B的大小． 作差法：a﹣b与0比较；若大于0，则a大；小于0，则b大；等于0，相等． 甲认为：A大于B； 乙认为：A不小于B． 通过计算判断谁的说法正确． 【分析】（1）利用平方差公式进行计算得A＝x2﹣4y2，运用单项式乘多项式得B＝4xy﹣8y2，即可作答． （2）利用作差法得A﹣B＝（x﹣2y）2，又因为（x﹣2y）2≥0，故A≥B，即可作答． 【解答】解：（1）A＝（2y﹣x）（﹣2y﹣x） ＝x2﹣4y2； B＝4y（x﹣2y） ＝4xy﹣8y2； （2）A﹣B＝（x2﹣4y2）﹣（4xy﹣8y2） ＝x2﹣4xy+4y2 ＝（x﹣2y）2， 由条件可得A﹣B≥0， ∴A≥B， ∴乙说得对． 18．（2025春•登封市期末）完成项目式学习表： 课题任务 代数推理 人员/日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航 2025年6月3日 观察 （1+7）2﹣12＝9×7；（3+7）2﹣32＝13×7. 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除. 求索 （1）（5+7）2﹣52＝　17　 ×7； 论证 （2）设奇数为2m+1（m为整数），试说明比2m+1大7的数与2m+1的平方差能被7整除； 延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由． 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可； （2）将（2m+8）2﹣（2m+1）2写成7（4m+9）即可； （3）设这个整数为n，由（n+7）2﹣n2＝14（n+3）+7即可得出结论． 【解答】解：（1）（5+7）2﹣52＝144﹣25＝119＝17×7， 故答案为：17； （2）设较小奇数为2m+1（m为整数），则较大的奇数为2m+1+7＝2m+8， ∵（2m+8）2﹣（2m+1）2＝（2m+8+2m+1）（2m+8﹣2m﹣1）＝7（4m+9）， ∴比2m+1大7的数与2m+1的平方差能被7整除； （3）设这个整数为n，由题意得， （n+7）2﹣n2＝14n+49＝14（n+3）+7， 所以比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是7． 19．（2025春•丹徒区期末）已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t为任意有理数． （1）A•B+13的值可能为负数吗？请说明理由； （2）请通过计算说明：当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除． 【分析】（1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据平方差公式解析计算得出A2﹣B2＝24t即可求解． 【解答】（1）解：A•B+13的值不可能为负数，理由如下： ∵A•B+13＝（2t+3）（2t﹣3）+13＝4t2﹣9+13＝4t2+4， ∴4t2≥0， ∴4t2+4＞0 ∴A•B+13的值不可能为负数； （2）证明：A2﹣B2＝（2t+3）2﹣（2t﹣3）2＝24t， ∵t是整数， ∴24t一定能被24整除， ∴当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除． 20．（2024秋•广阳区校级月考）【实践操作】从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b（a＞b＞0）的小正方形纸板后，将剩余部分（阴影）裁剪成四个相同的等腰梯形（如图1所示），然后拼成一个平行四边形（如图2所示）． （1）观察图1，图中阴影部分的面积为　（a2﹣b2）　 ； （2）观察图2，图中平行四边形的底边长为　（a+b）　 ；底边上的高为　（a﹣b）　 ；平行四边形的面积为　（a+b）（a﹣b）　 （不必化简）； 【归纳总结】（3）观察图1，图2，可验证的乘法公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ； 【变式应用】（4）利用上述乘法公式计算：（﹣0.1m﹣0.3n）（0.3n﹣0.1m）+0.9n2． 【分析】（1）根据“阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积”列式即可； （2）结合图1和图2可知：平行四边形的底边长为两个正方形的边长之和，底边上的高为大正方形的边长减去小正方形的边长，再根据平行四边形的面积公式即可列式； （3）根据图1和图2两个图形中阴影部分的面积相等，即可求解； （4）利用（3）得到的公式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b（a＞b＞0）的小正方形， ∴图中阴影部分的面积为：a2﹣b2． 故答案为：（a2﹣b2）； （2）∵从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将剩余部分拼成一个平行四边形， ∴平行四边形的底边长为：a+b； 底边上的高为：a﹣b； 平行四边形的面积为：（a+b）（a﹣b）． 故答案为：（a+b）；（a﹣b）；（a+b）（a﹣b）； （3）∵两个图中的阴影部分的面积相等， 即图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴可验证的乘法公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （4）由（3）知：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， ∴（﹣0.1m﹣0.3n）（0.3n﹣0.1m）+0.9n2 ＝（﹣0.1m﹣0.3n）（﹣0.1m+0.3n）+0.9n2 ＝（﹣0.1m）2﹣（0.3n）2+0.9n2 ＝0.01m2﹣0.09n2+0.9n2 ＝0.01m2+0.81n2． 21．（2025春•亳州期末）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． （1）上述操作能验证的等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ； （2）应用所得的公式计算：20262﹣2024×2028； （3）试利用这个公式化简：（23+1）×（26+1）×（212+1）． 【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案； （2）变形后利用平方差公式求解即可； （3）变形后利用平方差公式求解即可． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2； 图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）； ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）原式＝20262﹣（2026﹣2）×（2026+2） ＝20262﹣（20262﹣22） ＝20262﹣20262+22 ＝4； （3）原式 ． 22．（2025秋•北海期末）边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是B ；（请选择正确的一个选项） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） D．a2﹣ab＝a（a﹣b） （2）若x2﹣y2＝12，x+y＝4，求x﹣y的值； （3）计算：． 【分析】（1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【解答】解：（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2， ∴图①阴影部分面积为a2﹣b2；图②长方形面积为（a+b）（a﹣b）； 则验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故答案为：B； （2）∵x2﹣y2＝12， ∴（x+y）（x﹣y）＝12， ∵x+y＝4， ∴4（x﹣y）＝12， ∴x﹣y＝3； （3）原式 ． 23．（2025秋•淇滨区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”． 例如：12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，将完美数2036表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； （2）说明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数…按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为32，求阴影部分的总面积． 【分析】（1）把2036写成510和508的平方差即可； （2）设两个连续的偶数为2n、2（n+1），n为正整数，根据完美数写出该数，然后根据平方差计算计算得出4（2n+1），最后根据整除的定义即可得证； （3）结合图形可得出阴影部分的面积为42﹣22+82﹣62+⋯322﹣302，然后根据平方差公式求解即可． 【解答】（1）解：2036 ＝5102﹣5082； （2）证明：设两个连续的偶数为2n、2（n+1），n为正整数，则完美数为[2（n+1）]2﹣（2n）2， ∴[2（n+1）]2﹣（2n）2 ＝[2（n+1）﹣2n][2（n+1）+2n] ＝4（2n+1）， 由条件可知2n+1为奇数， ∴4（2n+1）能被4整除， 即任意一个完美数都能够被4整除； （3）解：根据题意，得42﹣22+82﹣62+⋯322﹣302 ＝（4﹣2）（4+2）+（8﹣6）（8+6）+⋯+（32﹣30）（32+30） ＝2（4+2）+2（8+6）+⋯+2（32+30） ＝2（2+4+6+8+…+30+32） ＝2 ＝544． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 平方差公式 考点一：平方差公式 1.，即：(a+b)(a-b)=a2-b2 2.平方差公式的结构特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式，但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式； （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便. 考点二：平方差公式的几何背景 法一：S绿=a2-b2 法二：S绿=(a+b)(a-b) 法三：S绿=2S梯形 =2×(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b) 故(a+b)(a-b)=a2-b2 题型一：平方差公式的适用条件 （1）两个二项式相乘； （2）这两个二项式中，一组完全相同，一组互为相反数； 方法：（1）找相同项；（2）找相反项． （1）只看符号不看数字，一错全错； （2）系数、字母都要完全相同，才能算“相同项”； （3）位置乱了就不会看； （4）结果一定是：同² − 反²，千万别搞反． 【典例精讲】（2025秋•浦东新区校级期末）下列各式可以利用平方差公式计算的是（　　） A．（4p+q）（4q﹣p） B．（m+1）（﹣m﹣1） C．（﹣a+b）（a﹣b） D．（x+2y）（﹣x+2y） 【变式训练1】（2025秋•内江期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x﹣y）（﹣x﹣y） 【变式训练2】（2025秋•大冶市期末）下列式中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（x﹣y）（x+y） B．（﹣x﹣y）（x+y） C．（x+y）（x+y） D．（﹣x+y）（x﹣y） 【变式训练3】（2025秋•如皋市期末）运用乘法公式计算（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）时，下列变形正确的是（　　） A．[x+（y﹣1）][x﹣（y﹣1）] B．[x+（y﹣1）][x﹣（y+1）] C．[（x+y）﹣1][（x﹣y）﹣1] D．[（x﹣1）+y][（x﹣1）﹣y] 题型二：运用平方差公式进行计算 ，即：(a+b)(a-b)=a2-b2 （1）判断能不能用：两个括号相乘，一同一反：一组完全一样，一组只有符号相反； （2）圈出：相同项、相反项； （3）套公式：结果 = 相同项² − 相反项²； （4）算平方、化简：系数、字母、符号都要平方. （1）只看符号，不看数字/字母：数字不一样，绝对不能用平方差； （2）系数忘记平方，整个括号里的项都要平方，包括系数； （3）顺序乱了就不会判断，把相同项放前面，再用公式； （4）符号带进去一起错. 【典例精讲】（2025秋•衡南县期末）计算20252﹣20242的结果为（　　） A．1 B．2025 C．2024 D．4049 【变式训练1】（2025秋•曲靖期末）计算（x﹣2y）（x+2y）的结果是（　　） A．x2﹣4xy+4y2 B．x2﹣2y2 C．x2﹣4y2 D．x2+4xy﹣4y2 【变式训练2】（2025秋•庐江县期末）计算：（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y﹣3）． 【变式训练3】（2025秋•朝阳区校级期末）（1）用平方差公式计算：108×112． （2）． 题型三：利用平方差公式进行简便运算 （1）识别形式：判断算式是否为两个数的平方相减，若不是，通过变形凑出该形式（如凑整、拆分、补项）； （2）确定a和b：明确公式中a（较大数/式）和b（较小数/式），优先让a、b为整数、整十/整百数，简化计算； （3）代入公式计算：先算a+b和a-b，再将结果相乘，得到最终答案． （1）形式判断类易错点，如混淆公式适用形式，忽略“平方”的完整性； （2）公式套用类易错点，a、b取值混乱，漏乘、错算和与差的乘积； （3）数式变形类易错点，凑整变形时的平方错误，凑整后的数是整体，平方需作用于整个括号，仅平方差可拆成和×差，单独一个数的平方不能拆； （4）含系数/字母的平方变形错误，处理系数、字母时，仅对数字平方，忽略字母或系数的整体． 【典例精讲】（2025秋•龙凤区校级期末）计算： （1）； （2）简便运算：20252﹣2024×2026． 【变式训练1】（2025秋•河西区期末）计算：59.8×60.2＝　　 ． 【变式训练2】（2025秋•三河市期末）计算：2026×2024﹣20252＝　　 ． 【变式训练3】（2025秋•长春期末）运用平方差公式计算：98×102的值． 题型四：利用平方差公式进行化简求值 （1）观察代数式，识别平方差形式，判断式子是否为平方差基本形式，或能否通过变形转化为该形式； （2）套用公式，彻底化简代数式，将识别出的平方差，严格按公式拆分为和×差的形式，化简至最简整式（无括号、无同类项）； （3）分析已知条件，整理代入式 ①若已知条件为单个字母的值（如x=3，a=2），直接整理化简后的式子，准备代入； ②若已知条件为代数式的值（如2x+y=5，x-3y=2），无需求单个字母，直接将该代数式作为整体代入； ③若已知条件需变形转化，直接代入变形后的条件； （4）代入计算，得出最终结果． （1）形式识别与公式套用类，误判平方差形式，乱用公式，未识别“整体平方”，变形不彻底； （2）展开和差时，符号与去括号错误； （3）化简不彻底，保留多余括号或同类项； （4）未化简先代入，计算繁琐出错，化简是前提，绝对避免未化简直接代入，这是平方差公式化简求值的核心意义； （5）整体代入时，漏代或错代整体值，先标注化简结果中的整体部分，再对应已知条件的整体值，逐一核对代入，不遗漏系数、符号． 【典例精讲】（2024秋•宣化区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝2． 【变式训练1】（2025春•榆中县期末）先化简，再求值：（x﹣1）（x+1）﹣x（x+2），其中x＝1． 【变式训练2】（2025秋•石泉县校级期末）先化简，再求值：3x（2x﹣1）﹣（﹣3x﹣4）（3x﹣4），其中x＝-1． 题型五：利用平方差公式进行多个因式相乘 多个因式相乘的核心解题思路是通过凑配构造平方差形式，反复套用公式逐步化简，将连乘式转化为简单的平方差或最终整式，关键在于找规律、凑共轭、逐步消项． （1）共轭配对原则：优先将能凑成“a+b”和“a-b”的共轭因式配对相乘，直接套用平方差公式； （2）逐步升幂原则：每一次套用平方差后，结果会形成新的平方项，再将新的平方项与后续因式继续凑共轭、用公式，逐步将式子升幂化简； （3）形式统一原则：先将所有因式化为相同底数/相同结构的形式（如系数、符号统一），再进行配对，避免因形式混乱无法凑平方差． （1）因式配对与构造类易错点，优先找共轭因式配对，这是用平方差化简的前提，无共轭则先构造，不盲目连乘； （2）补项构造时，忽略“值不变”原则，补项时只加因式不抵消，改变原式大小，补项的核心是等价变形，补入因式的同时需乘以其倒数（或同乘同除相同非零式），保证原式值不变； （3）遗漏特殊条件，补项无意义，补项前先判断补入因式是否为0，标注条件（如x≠1），避免无意义变形； （4）符号统一时，负号提取错误或漏算，提取负号遵循“奇负偶正”，单个因式提取负号后括号内各项变号，多个负号相乘时数清个数再定符号； （5）系数统一时，提取不彻底或漏乘系数，系数提取要彻底，将所有因式的公系数提取后，单独合并系数（相乘），再与整式化简结果相乘； （6）套用公式不连续，中途放弃化简，每一次套用公式后，检查结果是否仍为平方差形式，只要符合形式，就继续套用，直至无法化简． 【典例精讲】（2025秋•黔东南州期末）计算的值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025秋•江岸区期末）若，则A的值是（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【变式训练2】（2025秋•铁岭县期末）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（　　） A．263 B．264 C．265 D．266 【变式训练3】（2025秋•河西区校级月考）计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）的结果是（　　） A．a8+2a4b B．a8﹣2a4b4 C．a8+b8 D．a8﹣b8 题型六：利用平方差公式解决整除问题 解决整除问题的核心是将待判断的代数式/数，通过平方差公式分解为两个因式的乘积，再结合整除的定义（若A=B×C，则B、C均能整除A）分析，关键在于构造平方差形式、结合整除条件验证 （1） 构造/识别平方差：将被除的整数（或表达式）转化为平方差形式a² - b²； （2）套用公式分解：分解为(a+b)(a-b)，得到若干整数（或含n的整式）的乘积； （3）验证整除性：判断除式是否为分解结果的因数（或分解结果中是否包含除式），若是则能整除，反之则不能． （1）强行构造平方差，改变原式数值，构造平方差必须遵循等价变形原则，仅通过凑整、配方、提公因式等不改变原式值的方式变形，不随意加减、乘除数值； （2）高次式构造平方差时，分解不逐级； （3）含参数式子，忽略参数的平方意义，含参数构造平方差时，先明确参数需满足完全平方数（式） 要求，再结合整除条件求解； （4）分解不彻底，遗漏关键因式，分解后需反复检查是否为平方差形式，直至无法再分解，确保分解结果包含所有可能的因式； （5）符号与系数处理错误，导致因式变形偏差，处理符号和系数时，先将式子化为标准平方差形式（正的平方项减正的平方项），再分解，系数需先开方再构造整体； （6）混淆“数的分解”与“式的分解”，因式类型出错，数的整除看因数包含，式的整除看因式包含，二者逻辑一致但表述不同，不混淆变形方式． 【典例精讲】（2025秋•北京期末）已知k为任意整数，代数式（k+2）2﹣（k﹣1）2的值记为M，有下列三个结论： ①M一定是正整数； ②M一定是奇数； ③M总能被3整除． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式训练1】（2025秋•福清市期末）当n为正整数时，（n﹣1）2﹣（n﹣3）2一定能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 【变式训练2】（2025秋•泉州期末）阅读与思考 兴趣小组在数学活动中研究了“正整数N能否表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）”的问题． （1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）： N 奇数 4的倍数 表示结果 1＝12﹣02 1＝12﹣02 3＝22﹣12 5＝32﹣22 7＝42﹣32 9＝52﹣42 … 4＝22﹣02 8＝32﹣12 12＝42﹣22 16＝52﹣32 20＝62﹣42 … 一般结论 2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2 4n＝… 按上表规律，完成下列问题： ①15＝（　　 ）2﹣（　　 ）2； ②4n＝（　 ）2﹣（　 ）2． （2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n﹣2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，部分分析过程如下： 假设4n﹣2＝x2﹣y2，其中x，y均为自然数．分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，则x2﹣y2＝… 请阅读以上内容，并将完整的证明过程写出来． 【变式训练3】（2025秋•中江县月考）观察下列各式：（2+3）2﹣22＝7×3；（4+3）2﹣42＝11×3；（6+3）2﹣62＝15×3；…；发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． （1）（8+3）2﹣82的结果是3的　　 倍； （2）设偶数为2n，试说明比2n大7的数与2n的平方差能被7整除； （3）比任意一个整数大5的数与此整数的平方差被10整除的余数是几？说明理由． 题型七：规律探究型问题 （1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义； （2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例； （3）寻找变化规律； （4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式； （5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确； （6）归纳结论． （1）只看前2项就下结论； （2）把“序号 n”搞错：第1个对应 n=1，第2个 n=2，不是从0开始； （3）符号规律忘带 (-1)ⁿ； （4）图形规律：数错个数，只数看得见的，漏了隐藏/重叠部分； （5）写出规律不检验． 【典例精讲】（2025春•怀化期末）观察下列等式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； ．．．．．． 根据以上规律计算﹣32025+32024﹣32023+32022﹣⋯﹣33+32﹣3的值是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025秋•平昌县期中）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； ②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 【归纳】（1）由此可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝ 　 ． 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）求22025+22024+22023+⋯+22+2+1的值． （3）求220﹣219+218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1的值． （4）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2025的值． 【变式训练2】（2025春•洪泽区校级月考）阅读材料后解决问题： 小明遇到下面一个问题： 计算（2+1）（22+1）（24+1）． 经过观察，小明发现如果将原式进行适当变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（24﹣1）（24+1）＝28﹣1； 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝ 　 ． （2）（3+1）（32+1）（34+1）＝ 　 ． （3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）． 题型八：几何背景 （1）画图：画大长方形，按项分段标上字母； （2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽； （3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加； （4）合并同类项：整理成最简多项式． （1）线段长度必须为正数，字母表示线段时，所有字母都大于0； （2）面积只能加，不能直接减； （3）分长方形时别漏块、别重复； （4）同类项要对应图形； （5）公式别乱套，先看图形． 【典例精讲】（2025秋•张北县期末）我们通常用“作差法”比较代数式的大小，即要比较代数式A，B的大小，只要算A﹣B的值．若A﹣B＞0，则A＞B；若A﹣B＝0，则A＝B；若A﹣B＜0，则A＜B． （1）图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中的正方形边长均增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2． ①用含a的代数式分别表示S1和S2（结果需要化简）； ②请用作差法比较S1与S2的大小； （2）已知A＝2024×2026，B＝20252，则A与B的大小关系为 ． 【变式训练1】（2025秋•横山区月考）【问题呈现】 （1）借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图1是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图1中的阴影部分面积，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一，直接用两个阴影正方形的面积相加： ； 方法二，用最大的正方形面积减去两个长方形的面积： ； 因此，可以得出等式 ．（填序号） ①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；②a2+b2＝（a+b）2﹣2ab 【数学应用】 （2）根据图1所得的等式，若a+b＝12，ab＝20，求a2+b2的值． 【拓展应用】 （3）如图2，某市会展中心展厅内有一处Rt△BCE展示区域（∠BCE＝90°），已知CE＝8米，点M在BC上且CM＝3米，在边CE上取一点Q，使BM＝EQ．为了突出地域特色，分别以BC，CQ为边在△BCE外部修建正方形绿植花坛ABCD和正方形花卉展示区COPQ，连接BQ形成景观步道．若△BCQ的面积等于平方米，设BM＝x米，求两个正方形ABCD和COPQ区域的面积和． 【变式训练2】（2025秋•新乡校级期中）【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd；公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd；公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 图1对应公式　　 ，图3对应公式　　 ． 【解决问题】 （2）利用图形所表示的乘法公式，解决以下问题． ①已知a﹣b＝3，a2+b2＝10，求ab的值； ②化简（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）． 【能力拓展】 （3）如图5，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G，当四边形ABGF和四边形CDEG都为正方形时，若BE＝10，正方形ABGF和正方形CDEG的面积和为36，直接写出阴影部分的面积　　 ． （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°） 【变式训练3】（2025秋•陕西校级期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 （填字母）． A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值； ②计算：； ③计算：． 题型九：新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025秋•东安县校级月考）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有|A﹣B|＝m（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：A＝x2+2x+3，B＝x2+2x+1，因为|A﹣B|＝2，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（　　 ）； ②（x+2）2与x2+2x（　　 ）． （2）已知关于x的整式M＝（x﹣a）2，N＝x2﹣2ax+5，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式S＝x2+bx+c，T＝x2+dx，若S，T互为“差值代数式”，且满足（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）＝S2﹣1．求b，c，d的值； 【变式训练1】（2025•鼓楼区校级三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：0＝02﹣02，1＝12﹣02，则0和1都是“树人数”． （1）判断2，3是否为“树人数”？说明理由． （2）下列说法正确的序号有　　 ． ①任何一个奇数都是“树人数”； ②任何一个偶数都是“树人数”； ③任何一个被4整除的数是“树人数”； ④任何一个被4除余2的数是“树人数”． （3）已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【变式训练2】（2022春•碑林区校级月考）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，我们新定义这个正整数为“神秘数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24这三个数都是“神秘数”． （1）48是“神秘数“吗？请说明理由，并猜想“神秘数”有何特征． （2）若长方形相邻两边长为两个连续奇数，试说明其周长一定为“神秘数”． 1．（2025秋•威远县期末）下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A．（x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（﹣x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y） 2．（2025秋•滨海新区校级期末）下列各式计算正确的是（　　） A．（2a﹣b）2＝4a2﹣b2 B．（2a﹣b）（b﹣2a）＝4a2﹣b2 C．（2a+b）（﹣2a﹣b）＝4a2﹣4ab+b2 D．（﹣2a﹣b）2＝4a2+4ab+b2 3．（2025秋•云梦县期末）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（　　） A．（a+2b）（2b﹣a） B．（2a+b）（a﹣2b） C．（a﹣b）（﹣a+b） D．（﹣a﹣b）（a+b） 4．（2025秋•关岭县期末）若a＝2024×2026，b＝20242+2×2024+1，则下列判断正确的是（　　） A．a＝b﹣1 B．a＝b C．a＝b+1 D．a＝b﹣2024 5．（2025秋•山丹县校级期末）已知M＝20252，N＝2024×2026，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 6．（2025秋•陇南期末）利用平方差公式计算20262﹣2027×2025的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 7．（2025秋•崇阳县校级期中）（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝8，则x2+y2的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 8．（2025秋•长沙期末）计算（2y﹣1）（2y+1）的结果为　 　 ． 9．（2025秋•南开区期末）计算252﹣23×27的结果为　 　 ． 10．（2025秋•汝南县期末）已知x2﹣2＝x，则代数式（x+2）（x﹣2）﹣x的值为　 　 ． 11．（2025秋•宝山区期末）计算：1002025×1002027﹣10020262＝　 　 ． 12．（2025秋•新宁县期末）（1）（1）（1）…（1）＝　 　 ． 13．（2025秋•杨浦区期末）计算：（2x+3）（2x﹣3）（4x2+9）． 14．（2025秋•石泉县校级期末）化简：3x（2x﹣1）﹣（﹣3x﹣4）（3x﹣4）． 15．（2025秋•安定区期末）计算：（a﹣1）（a+1）（a2+1）． 16．（2025秋•青龙县期末）【问题背景】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，应用极为广泛．例如：已知2x﹣y＝1，求代数式2025+2x﹣y的值．解：当2x﹣y＝1时，原式＝2025+1＝2026． 【尝试运用】 （1）已知x2﹣2y＝4，求3（x2﹣2y）﹣21的值； （2）已知x+2y﹣3＝0，x﹣2y+5＝0，求（x+2y）（x﹣2y）+10的值． 17．（2025秋•邯郸校级期末）已知A＝（2y﹣x）（﹣2y﹣x），B＝4y（x﹣2y）． （1）对A，B进行整式乘法运算； （2）甲、乙两位同学用如下方法比较A，B的大小． 作差法：a﹣b与0比较；若大于0，则a大；小于0，则b大；等于0，相等． 甲认为：A大于B； 乙认为：A不小于B． 通过计算判断谁的说法正确． 18．（2025春•登封市期末）完成项目式学习表： 课题任务 代数推理 人员/日期 七（4）班张瑾峣，李一飞，李远航 2025年6月3日 观察 （1+7）2﹣12＝9×7；（3+7）2﹣32＝13×7. 猜想 比任意一个奇数大7的数与此奇数的平方差能被7整除. 求索 （1）（5+7）2﹣52＝　 　 ×7； 论证 （2）设奇数为2m+1（m为整数），试说明比2m+1大7的数与2m+1的平方差能被7整除； 延伸 （3）比任意一个整数大7的数与此整数的平方差被14除的余数是几？请说明理由． 19．（2025春•丹徒区期末）已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t为任意有理数． （1）A•B+13的值可能为负数吗？请说明理由； （2）请通过计算说明：当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除． 20．（2024秋•广阳区校级月考）【实践操作】从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b（a＞b＞0）的小正方形纸板后，将剩余部分（阴影）裁剪成四个相同的等腰梯形（如图1所示），然后拼成一个平行四边形（如图2所示）． （1）观察图1，图中阴影部分的面积为　　 　　 ； （2）观察图2，图中平行四边形的底边长为　　 　　 ；底边上的高为　　 　　 ；平行四边形的面积为　　 　　 （不必化简）； 【归纳总结】（3）观察图1，图2，可验证的乘法公式为　 　　 　 ； 【变式应用】（4）利用上述乘法公式计算：（﹣0.1m﹣0.3n）（0.3n﹣0.1m）+0.9n2． 21．（2025春•亳州期末）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2所示． （1）上述操作能验证的等式是　 　 ； （2）应用所得的公式计算：20262﹣2024×2028； （3）试利用这个公式化简：（23+1）×（26+1）×（212+1）． 22．（2025秋•北海期末）边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　 　；（请选择正确的一个选项） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b） D．a2﹣ab＝a（a﹣b） （2）若x2﹣y2＝12，x+y＝4，求x﹣y的值； （3）计算：． 23．（2025秋•淇滨区校级期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”． 例如：12＝42﹣22，20＝62﹣42，28＝82﹣62；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，将完美数2036表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）； （2）说明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数…按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为32，求阴影部分的总面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $