15.3 可化为一元一次方程的分式方程（基础达标3大题型+能力提升5大题型+拓展培优）数学新教材华东师大版八年级下册

15.3 可化为一元一次方程的分式方程 题型一 分式方程的概念 1. 下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023上·八年级课时练习）有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 3. （2023上·全国·八年级课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 4.（23-24八年级下·湖南·单元测试）下列方程不是分式方程的是（    ） A．； B．； C．； D． 5.（2024春•新宁县期末）有下列方程：①，②，③（m为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 　 　（填序号）． 题型二 解分式方程 1．关于x的分式方程1，下列说法正确的是（　　） A．方程的解是x＝m+5 B．时，方程的解是正数 C．时，方程的解为负数 D．无法确定 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）嘉淇同学解分式方程时，有如下步骤： ①方程两边乘最简公分母 ②得到整式方程为，解得 ③将代入到中， ④得到结论：是该分式方程的解 老师看到嘉淇同学的解题过程，指出有一处错误，则错误的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（23-24八年级下·重庆南岸·期末）方程的解是（　　） A． B． C． D． 4.（24-25八年级下·吉林长春·期中）按要求解答下列问题． 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： (1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简； (2)原代数式的值能等于吗？请说明理由． 5.（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： (1) (2) 题型三 分式方程的应用 1．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 2．（2024秋•普兰店区期末）随着农业科学技术的发展，农作物的产量有很大幅度的增长，利用同样的土地种植花生，2024年与2014年的花生产量进行比较，得出结果如下表： 1 2024年每亩地的产量比较2014年多240斤． 2 2014年总产量12000斤，2024年总产量16800斤． 求2014年与2024年花生每亩地的产量．若设2014年每亩地花生的产量是x斤，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ (3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 4.（25-26八年级上·云南玉溪·月考）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”套，安排甲、乙两车间完成任务，甲车间生产套，乙车间生产套“穿楼积木”、在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 5.（2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 题型一 用换元法解分式方程 1. 换元法解方程：． 2.（2024秋•青龙县期中）用换元法解方程：3时，若设，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（　　） A．y2﹣3y+2＝0 B．y2﹣3y﹣2＝0 C．y2+3y+2＝0 D．y2+3y﹣2＝0 3.（2024秋•仁寿县校级月考）若，则（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 4.（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 5.（2024秋•湘潭县期末）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：0． 解：设，则原方程化为：0， 方程两边同时乘得：， 解得：，． 经检验：都是方程y0的解． 当时，2，解得：； 当时，2，解得：． 经检验：或都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　 ； （2）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　 ； （3）模仿上述换元法解方程：1＝0． 题型二 由分式方程的解求参数的值 1. 已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D． 2．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 3.若关于x的分式方程与方程的解相同，则的值为(  ) A． B． C． D． 4.已知方程的解为，求的值． 5.（2024•阜宁县三模）已知关于的方程的解是，求关于的不等式的解集． 题型三 与分式方程的增根有关的问题 1．关于的分式方程有增根，则它的增根是（　　） A． B． C．或 D． 2．（25-26七年级上·上海·月考）若方程有增根，求的值． 3.（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 4.（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 5.（2023春•宜宾月考）已知关于的方程． （1）为何值时，这个方程的解是5？ （2）为何值时，这个方程有增根？ 题型四 与分式方程的无解有关的问题 1. 若关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A．0 B．1 C．1或5 D．5 2. 若关于x的分式方程有解，则k的取值范围是 ． 3.（2024秋•泰山区校级期末）若关于x的分式方程无解，则的值为（　　） A．1 B．1或 C．﹣1或 D．以上都不是 4.（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.（22-23八年级上·全国·期中）已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求的值； (2)若方程的解是正数，求的取值范围． 题型五 分式方程的综合问题 1. （23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若且为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 2. （2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ． 3.（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 4.（23-24八年级下·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 5.（2024•西峡县二模）为创建宜居环境，某市正在建设若干街心花园，某工程队负责在街心花园种植A、B两种树木，已知A种树木的单价比B种树木的单价贵20元．工程队在第一批购买中，购买A树木花费2400元，购买B树木花费1200元，且所购买A树木的数量是B树木的数量的1.5倍． （1）求第一批购买时，A、B两种树木的单价各是多少元？ （2）工程队计划第二批购买A、B两种树木的总数量是第一批总数量的2倍，此次购买时两种树木的单价没有变化，本次购买预算总费用不超过7200元，A种树苗最多可以购买多少棵？ 1． 某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，该汽车从地行驶至地，全程用油驱动需元油费，全程用电驱动需元电费，已知每行驶千米，用油比用电的费用多元．求、两地的距离． 2．某快递公司采用若干台A、B两种型号的数控机器人分拣快递，已知A型数控机器人比B型数控机器人每小时多分拣30件快递，A型数控机器人分拣900件快递所用时间与B型数控机器人分拣600件快递所用时间相等． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)已知快递公司共有5760件快递需要在内分拣完毕，若两种数控机器人均要投入使用，则有几种分配方案？这些分配方案分别需要A、B两种型号的数控机器人各多少台？ 3. 农历五月初五是中国民间传统端午节，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽．店内有甲，乙两种礼品，经调查发现，发现用8800元购进的甲礼品的数量是用4000元购进的乙礼品的2倍，且每个甲礼品的进价比乙礼品贵4元． (1)甲、乙两个礼品的进价是多少元？ (2)为满足消费者需求，该蛋糕店准备再次购进甲，乙两种礼品共200个，甲礼品的售价为70元，乙礼品的售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个甲礼品？ 4. 观察下面的变化规律，解答下列问题： ，将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)＝   (2)利用上述规律计算：． (3)灵活利用规律解方程：． 5. 给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 6.（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答下列问题： 解方程：． 解：设，则原方程化为．方程两边同乘以，得，解得．经检验，都是方程的解，所以当时，，解得；当时，，解得．经检验，或都是原分式方程的解，所以原分式方程的解是或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)在方程中，设，则原方程换元后为_______； (2)根据上述换元法解方程：． 7.（24-25八年级下·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程（）的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______． 8.（24-25八年级下·四川成都·期末）将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步；先计算，结果记为，再计算，结果记为，…继续操作下去，则 ．若，则的值是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3 可化为一元一次方程的分式方程 题型一 分式方程的概念 1. 下列关于的方程：，，，中，是分式方程的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：关于的方程中，分母不含未知数，不是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 关于的方程中，分母中含未知数，是分式方程； 故选：C． 2．（2023上·八年级课时练习）有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨ 【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程． ∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨． 故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨． 3. （2023上·全国·八年级课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程； （2）是关于的分式方程； （3）是整式方程，不是关于的分式方程； （4）是关于的分式方程 4.（23-24八年级下·湖南·单元测试）下列方程不是分式方程的是（    ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断． 【详解】A、B、C项中的方程分母中都含未知数，是分式方程； D项方程分母中不含未知数，不是分式方程， 故选D． 5.（2024春•新宁县期末）有下列方程：①，②，③（m为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 　 　（填序号）． 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：①方程1的分母中不含有未知数，不是分式方程； ②方程2＝5的分母中含有未知数，是分式方程； ③方程6（m为不等于2的常数）的分母中不含有未知数，不是分式方程； 所以分式方程有②． 故答案为：②． 题型二 解分式方程 1．关于x的分式方程1，下列说法正确的是（　　） A．方程的解是x＝m+5 B．时，方程的解是正数 C．时，方程的解为负数 D．无法确定 【分析】先按照一般步骤解方程，用含有的代数式表示，然后根据的取值讨论的范围，即可作出判断． 【解答】解：方程两边都乘以，去分母得：， 解得：， ∴当，把代入得：，即，方程有解，故选项A错误； 当且，即，解得：，则当且时，方程的解为正数，故选项B错误； 当，即，解得：，则时，方程的解为负数，故选项C正确； 显然选项D错误． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期末）嘉淇同学解分式方程时，有如下步骤： ①方程两边乘最简公分母 ②得到整式方程为，解得 ③将代入到中， ④得到结论：是该分式方程的解 老师看到嘉淇同学的解题过程，指出有一处错误，则错误的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤、解分式方程必须检验是解题的关键． 按照解分式方程的步骤逐步判断即可． 【详解】解： 两边同乘以最简公分母得： 得到整式方程为，解得， 检验：当时，， 所以该分式方程无解，即④错误． 故选：D． 3．（23-24八年级下·重庆南岸·期末）方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的思路（转化为整式方程求解，然后再检验）成为解题的关键． 先把分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得： 经检验，是分式方程的解． 故选A． 4.（24-25八年级下·吉林长春·期中）按要求解答下列问题． 老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图： (1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简； (2)原代数式的值能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查的是分式的化简求值，解分式方程，将未知式子看做一个整体是解题的关键． （1）设被手遮住部分的代数式为，代入原式求解可得答案； （2）设，可得，代入原式得被除数，原代数式无意义，所以原代数式的值不能等于． 【详解】（1）解：设被手遮住部分的代数式为， 则， ∴ ， 即：被手遮住部分的代数式为； （2）不能，理由如下： 若能使原代数式的值能等于， 则，即， 解得，经检验：是原方程的解， 但是，当时，原代数式中的除数，原代数式无意义. 所以原代数式的值不能等于． 5.（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 题型三 分式方程的应用 1．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找出等量关系． 根据时间相等，顺流航行速度为静水速度加水流速度，逆流航行速度为静水速度减水流速度，分别表示顺流和逆流的时间，并令其相等即可得到方程． 【详解】解：设江水的流速为千米/时，则顺流速度，逆流速度，根据题意得， ， 故选：A． 2．（2024秋•普兰店区期末）随着农业科学技术的发展，农作物的产量有很大幅度的增长，利用同样的土地种植花生，2024年与2014年的花生产量进行比较，得出结果如下表： 1 2024年每亩地的产量比较2014年多240斤． 2 2014年总产量12000斤，2024年总产量16800斤． 求2014年与2024年花生每亩地的产量．若设2014年每亩地花生的产量是x斤，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据2024年及2014年每亩地的产量间的关系，可得出2024年每亩地花生的产量是（）斤，利用种植亩数＝总产量÷亩产量，结合种植亩数不变，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵2024年每亩地的产量比较2014年多240斤，且2014年每亩地花生的产量是斤， ∴2024年每亩地花生的产量是（）斤． 根据题意得：． 故选：A． 3．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）学校计划选购甲、乙两种图书作为“首届科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ (3)每名获奖学生发给甲、乙两种图书各一本，由于全校学生踊跃参加“校园读书节”这样学校还需要再拿出900元，购买甲、乙两种图书，直接写出此次“首届科技节”获奖学生人数． 【答案】(1)甲种图书每本30元，乙种图书每本20元； (2)6种； (3)30人． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本，根据数量总价单价结合用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，且投入的经费不超过1050元，即可得出关于的一元一次不等式组，再求解即可； （3）由题意直接解答即可． 【详解】（1）设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ． 答：甲种图书的单价为30元本，乙种图书的单价为20元本． （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可取的值有6个． 共有6种购买方案； （3）由题意可得：此次“首届科技节”获奖学生人数为人． 4.（25-26八年级上·云南玉溪·月考）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”套，安排甲、乙两车间完成任务，甲车间生产套，乙车间生产套“穿楼积木”、在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】甲车间每天生产套“穿楼积木” 【分析】本题考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键．设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”，由此列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， 由题意得，， 即 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， 答：甲车间每天生产套“穿楼积木”． 5.（2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【答案】小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意可以列出相应的分式方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题． 【详解】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 题型一 用换元法解分式方程 1. 换元法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题的关键；根据分式的加减法，可得，再根据换元法求解即可； 【详解】解：原方程化为：， 设， 则原方程化为：， 方程两边同时乘以得：，解得：， 经检验：都是方程的解， 当时，，该方程无解， 当时，，解得， 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解． 2. （2024秋•青龙县期中）用换元法解方程：3时，若设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（　　） A．y2﹣3y+2＝0 B．y2﹣3y﹣2＝0 C．y2+3y+2＝0 D．y2+3y﹣2＝0 【分析】根据换元法，可得答案． 【解答】解：由3时，若设，得y3． 化简，得＝0． 故选：A． 3.（2024秋•仁寿县校级月考）若，则（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【分析】根据用换元法解分式方程即可． 【解答】解：设，则2， 原方程可变形为42﹣4＝﹣1， 所以42﹣4+1＝0， 所以（2﹣1）2＝0， 解得， 所以＝2， 经检验，＝2是原方程的根． 所以1． 故选：A． 4.（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解的概念，解题关键是通过变量替换将第二个方程转化为第一个方程的形式，利用已知解求解． 【详解】解：已知方程的解为， 令， 则此时第二个方程分母变为，且，与第一个方程形式完全相同， 当时，代入，解得； 验证分母：当时，和均不为零，符合条件，因此解为， 故选：A ． 5.（2024秋•湘潭县期末）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：0． 解：设，则原方程化为：0， 方程两边同时乘得：， 解得：，． 经检验：都是方程y0的解． 当时，2，解得：； 当时，2，解得：． 经检验：或都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　 ； （2）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　 ； （3）模仿上述换元法解方程：1＝0． 【分析】（1）将所设的代入原方程即可； （2）将所设的代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可． 【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为． 故答案为：； （2）将代入方程，则原方程可化为． 故答案为：； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， 当时，，该方程无解， 当时，，解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 题型二 由分式方程的解求参数的值 1.已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【详解】解： ． ∵分式方程的解是非负数， ∴，且， 解得：且， 故选：A 2．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可判断． 【详解】解：设印刷不清的分母为， 由题意得，， 解得：， A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 3.若关于x的分式方程与方程的解相同，则m的值为(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式方程的解，解分式方程，求出方程的解，把解代入分式方程求出m即可． 【详解】解：解方程， 得，， 经检验是方程的解， 把代入方程， 得，， 故选：A． 4.已知方程的解为x＝2，求的值． 【分析】先把代入即可得出a的值，再化简，把a的值代入即可得出的值． 【解答】解：把代入得，， ∴原式 ， 当时，原式． 5.（2024•阜宁县三模）已知关于x的方程的解是，求关于的不等式的解集． 【分析】把代入已知的分式方程，可以求得的值；然后解关于的不等式即可． 【解答】解：根据题意可得：，解得， 所以， 解得． 所以，不等式的解集． 题型三 与分式方程的增根有关的问题 1．关于的分式方程有增根，则它的增根是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】解：， 方程两边都乘以去分母得： ， ∵关于的分式方程有增根， ∴或， 当时，， 解得， ∴当时有增根， 当时，不成立， ∴分式方程只有一个增根， 故选择：． 2．（25-26七年级上·上海·月考）若方程有增根，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，注意解答增根问题按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 将分式方程去分母后，将，代入求出k值即可． 【详解】解： 去分母得， 整理得， ∵方程有增根， ∴增根为或 当时，； 当 时 ∴ 的值为或 3.（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) (2)0或4 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的值． （1）把代入方程计算即可求出k的值； （2）由分式方程有增根求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：（1）∵方程的解为， ∴， 解得； （2）由分式方程有增根，得到或，解得， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：，解得：， 把代入方程得：， 故的值为0或4． 4.（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程不会产生增根，则的取值满足的条件为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程不会产生增根，得到，即可得出k的值． 【详解】解：， 去分母，得：， 由分式方程不会有增根，得到，即， 将代入整式方程，得，无解， 将代入整式方程，得， 解得：， 综上，不会产生增根，则的取值满足的条件为， 故答案为：． 5.（2023春•宜宾月考）已知关于x的方程． （1）m为何值时，这个方程的解是5？ （2）m为何值时，这个方程有增根？ 题型四 与分式方程的无解有关的问题 1. 若关于x的分式方程无解，则a的值为（   ） A．0 B．1 C．1或5 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后根据分式方程无解，可得，再代入整式方程，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 因为分式方程无解， 所以， 即， 把代入整式方程得：， 解得：． 故选：B． 2. 若关于x的分式方程有解，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】先求出使分式方程无意义时，k的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时k的取值范围． 【详解】方程两边乘，得①． ∵原分式方程有解， ∴解方程①，得， ∴且，解得． ∵x存在， ∴要有意义， ∴． ∴k的取值范围是且． 故答案为：且． 3.（2024秋•泰山区校级期末）若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．1 B．1或 C．﹣1或 D．以上都不是 【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【解答】解：， 分式方程两边同乘以得：， ， 要使原分式方程无解，则有以下两种情况： 当时，即， 整式方程无解，原分式方程无解， 当时，则， 令最简公分母为0，即， 解得， ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解， 综上所述可得：或时，原分式方程无解． 故选：B． 4.（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出，然后根据分式方程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于的方程，解方程求出即可．本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握把分式方程化成整式方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 即， 关于的分式方程无解，，， 解得：，， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数为或或0，共3个， 故选：C． 5.（22-23八年级上·全国·期中）已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求的值； (2)若方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】(1)或2或 (2)或且且 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时、当时和当时原分式方程无解，从而求解； （）由得，然后根据方程的解为正数得出且且，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，的值为或2或； （2）解：解方程得， ∵且且， ∴且且， ∴或且且． 题型五 分式方程的综合问题 1. （23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）若且为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 2. （2024八年级·全国·竞赛）若实数都是整数，且，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查分式的方程的应用，熟练解分式方程是正确解决本题的关键． 利用已知条件建立分式方程，并全面地进行分类讨论即可得出． 【详解】解：当时，， ， 不是整数，与题设矛盾， ， 令， 由题设m、n为正整数， 设， 由①得， 代入②，整理得， 是正整数， 或2或3， 又， 或， 当时， 由①②解得，（不合题意，舍去）， 当时， 由①②解得，， ． 故答案为：8. 3.（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 4.（23-24八年级下·福建福州·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 5.（2024•西峡县二模）为创建宜居环境，某市正在建设若干街心花园，某工程队负责在街心花园种植A、B两种树木，已知A种树木的单价比B种树木的单价贵20元．工程队在第一批购买中，购买A树木花费2400元，购买B树木花费1200元，且所购买A树木的数量是B树木的数量的1.5倍． （1）求第一批购买时，A、B两种树木的单价各是多少元？ （2）工程队计划第二批购买A、B两种树木的总数量是第一批总数量的2倍，此次购买时两种树木的单价没有变化，本次购买预算总费用不超过7200元，A种树苗最多可以购买多少棵？ 【分析】（1）设第一批购买时，A种树木的单价是元，则B种树木的单价是（）元，根据购买A树木花费2400元，购买B树木花费1200元，且所购买A树木的数量是B树木的数量的1.5倍．列出分式方程，解方程即可； （2）求出第一批购买A种树木的数量和B种树木的数量，得出第二批购买A、B两种树木的总数量为100棵，设A种树苗购买m棵，则B种树苗购买（）棵，根据本次购买预算总费用不超过7200元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设第一批购买时，A种树木的单价是元，则B种树木的单价是（）元， 由题意得：1.5， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：第一批购买时，A种树木的单价是80元，B种树木的单价是60元； （2）第一批购买A种树木的数量为30（棵），B种树木的数量为20（棵）， ∴第二批购买A、B两种树木的总数量为2×（30+20）＝100（棵）， 设A种树苗购买m棵，则B种树苗购买棵， 由题意得：， 解得：， 答：A种树苗最多可以购买60棵． 1．某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用，该汽车从地行驶至地，全程用油驱动需元油费，全程用电驱动需元电费，已知每行驶千米，用油比用电的费用多元．求、两地的距离． 【答案】千米 【详解】解：设该汽车用电驱动方式行驶千米的电费为元，则该汽车用油驱动方式行驶千米的油费为元， 根据题意得：， 解得：， 检验，当时，， 是原分式方程的解， （千米）， 答：、两地的距离为千米． 2．某快递公司采用若干台A、B两种型号的数控机器人分拣快递，已知A型数控机器人比B型数控机器人每小时多分拣30件快递，A型数控机器人分拣900件快递所用时间与B型数控机器人分拣600件快递所用时间相等． (1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ (2)已知快递公司共有5760件快递需要在内分拣完毕，若两种数控机器人均要投入使用，则有几种分配方案？这些分配方案分别需要A、B两种型号的数控机器人各多少台？ 【答案】(1)A型数控机器人每小时分栋90件，B型数控机器人每小时分拣60件 (2)共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台；方案二：型号机器人4台，型号机器人6台；方案三：型号机器人2台，型号机器人9台 【详解】（1）解：设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 件， 答：型数控机器人每小时分拣90件快递，型数控机器人每小时分拣60件快递． （2）解：设需要台型数控机器人，台型数控机器人， 由题意得，， 得， ∵均为正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台； 方案二：型号机器人4台，型号机器人6台； 方案三：型号机器人2台，型号机器人9台． 3. 农历五月初五是中国民间传统端午节，某蛋糕店一直销售的是白水粽，端午节临近又推出了红豆粽．店内有甲，乙两种礼品，经调查发现，发现用8800元购进的甲礼品的数量是用4000元购进的乙礼品的2倍，且每个甲礼品的进价比乙礼品贵4元． (1)甲、乙两个礼品的进价是多少元？ (2)为满足消费者需求，该蛋糕店准备再次购进甲，乙两种礼品共200个，甲礼品的售价为70元，乙礼品的售价为60元，若总利润不低于4120元，问最少购进多少个甲礼品？ 【答案】(1)每个甲礼品的进价为44元，则每个乙礼品的进价为40元 (2)最少购进20个甲礼品 【详解】（1）解：设每个甲礼品的进价为x元，则每个乙礼品的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个甲礼品的进价为44元，则每个乙礼品的进价为40元； （2）解：设购进甲礼品m个，则购进乙礼品个， 由题意得，， 解得， ∴最少购进20个甲礼品， 答；最少购进20个甲礼品． 4. 观察下面的变化规律，解答下列问题： ，将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)＝   (2)利用上述规律计算：． (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 5. 给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)①③(2)(3)或 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 6. （24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答下列问题： 解方程：． 解：设，则原方程化为．方程两边同乘以，得，解得．经检验，都是方程的解，所以当时，，解得；当时，，解得．经检验，或都是原分式方程的解，所以原分式方程的解是或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)在方程中，设，则原方程换元后为_______； (2)根据上述换元法解方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查换元法解分式方程：（1）将代入分式方程即可；（2）令，代入分式方程求解即可． 【详解】（1）将代入中， 得： 即： （2）可化为： 即： 令 则： 解得： 当时，即，此时方程无解 当时，即，解得： 经检验，是原方程的解． 7. （24-25八年级下·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程（）的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，． 8.（24-25八年级下·四川成都·期末）将分式和分别记为M，N，请按下列步骤操作：第一步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第二步，先计算，结果记为，再计算，结果记为；第三步；先计算，结果记为，再计算，结果记为，…继续操作下去，则 ．若，则的值是 ． 【答案】 48 【分析】本题主要考查了分式类的规律题．分别求出，，，，，，由此发现规律，当n为偶数时，，，即可求解． 【详解】解：，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ……， 当n为偶数时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 经检验：该方程的解， ∴． 故答案为：，48． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3 可化为一元一次方程的分式方程 题型一 分式方程的概念 1. C 2．①②⑥⑦，③④⑤⑨ 3. (1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 4. D 5. ② 题型二 解分式方程 1． C 2． D 3． A 4.（1）解：设被手遮住部分的代数式为， 则， ∴ ， 即：被手遮住部分的代数式为； （2）不能，理由如下： 若能使原代数式的值能等于， 则，即， 解得，经检验：是原方程的解， 但是，当时，原代数式中的除数，原代数式无意义. 所以原代数式的值不能等于． 5.（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 题型三 分式方程的应用 1． A 2． A 3．解（1）设乙种图书的单价为元本，则甲种图书的单价为元本， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ． 答：甲种图书的单价为30元本，乙种图书的单价为20元本． （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 可取的值有6个． 共有6种购买方案； （3）由题意可得：此次“首届科技节”获奖学生人数为人． 4.解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， 由题意得，， 即 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， 答：甲车间每天生产套“穿楼积木”． 5.解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 题型一 用换元法解分式方程 1.解：原方程化为：， 设， 则原方程化为：， 方程两边同时乘以得：，解得：， 经检验：都是方程的解， 当时，，该方程无解， 当时，，解得， 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解． 2. A 3. A 4. A 5.解：（1）将代入原方程，则原方程化为． 故答案为：； （2）将代入方程，则原方程可化为． 故答案为：； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解， 当时，，该方程无解， 当时，，解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 题型二 由分式方程的解求参数的值 1. A 2．A 3. A 4.解：把代入得，， ∴原式 ， 当时，原式． 5.解：根据题意可得：，解得， 所以， 解得． 所以，不等式的解集． 题型三 与分式方程的增根有关的问题 1． 2．解： 去分母得， 整理得， ∵方程有增根， ∴增根为或 当时，； 当 时 ∴ 的值为或 3.（1）解：（1）∵方程的解为， ∴， 解得； （2）由分式方程有增根，得到或，解得， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：，解得：， 把代入方程得：， 故的值为0或4． 4. ． 5. 题型四 与分式方程的无解有关的问题 1. B 2.且． 3. B 4. C 5.（1）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，的值为或2或； （2）解：解方程得， ∵且且， ∴且且， ∴或且且． 题型五 分式方程的综合问题 1. C 2. 8 3.（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 4.（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 5.解：（1）设第一批购买时，A种树木的单价是元，则B种树木的单价是（）元， 由题意得：1.5， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：第一批购买时，A种树木的单价是80元，B种树木的单价是60元； （2）第一批购买A种树木的数量为30（棵），B种树木的数量为20（棵）， ∴第二批购买A、B两种树木的总数量为2×（30+20）＝100（棵）， 设A种树苗购买m棵，则B种树苗购买棵， 由题意得：， 解得：， 答：A种树苗最多可以购买60棵． 1．解：设该汽车用电驱动方式行驶千米的电费为元，则该汽车用油驱动方式行驶千米的油费为元， 根据题意得：， 解得：， 检验，当时，， 是原分式方程的解， （千米）， 答：、两地的距离为千米． 2．（1）解：设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递， 根据题意，得， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 件， 答：型数控机器人每小时分拣90件快递，型数控机器人每小时分拣60件快递． （2）解：设需要台型数控机器人，台型数控机器人， 由题意得，， 得， ∵均为正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台； 方案二：型号机器人4台，型号机器人6台； 方案三：型号机器人2台，型号机器人9台． 3.（1）解：设每个甲礼品的进价为x元，则每个乙礼品的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个甲礼品的进价为44元，则每个乙礼品的进价为40元； （2）解：设购进甲礼品m个，则购进乙礼品个， 由题意得，， 解得， ∴最少购进20个甲礼品， 答；最少购进20个甲礼品． 4.（1）解：， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 5.（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 6.解：（1）将代入中， 得： 即： （2）可化为： 即： 令 则： 解得： 当时，即，此时方程无解 当时，即，解得： 经检验，是原方程的解． 7.（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，． 8.解：，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ……， 当n为偶数时，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 经检验：该方程的解， ∴． 故答案为：，48． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $