专题04 勾股定理（计算题专项训练）数学人教版新教材八年级下册

专题04 勾股定理（计算题专项训练） 【适用版本：人教版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 勾股定理解三角形 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知，如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝8，AC＝6，求CD的长． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝45°，AB＝2，D是BC上一点，AD，求CD的长． 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，AD是高．若，BC＝1，求AC的长． 4．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，BD＝5，CD＝3，求AD的长． 5．在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝20，点D在AC上，AD＝5，DE⊥AB于点E，求DE的长． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，若AC＝12，BC＝9，求CE的长． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P、点D分别在边AC和AB上且PD＝PA，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）证明：DE⊥DP； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 9．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 10．如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB于点D． （1）若∠B＝30°，AB＝2，求BD的长； （2）在（1）的条件下，∠C＝45°，求△ABC的面积； （3）若AC＝4，AB＝6，BC＝8，求△ABC的面积． 训练2 勾股定理解勾股树 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 　 　 cm2． 2．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝6，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为S1，S2，S3，则S1+S2+S3的值为　 　 ． 3．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为　 　 ． 4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为　 　 ． 5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形E的面积为 　 　 ． 6．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2＝36+S1．则图中阴影部分的面积为　 　 ． 7．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD，△ACE，△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝65，S2＝46，S3＝57，则S4＝ 　 　 ． 8．如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　 ． 9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 　 　 ． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 训练3 勾股定理解最短路径问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，一只蚂蚁要沿长为15，宽为10，高为20的长方体表面从顶点A爬到上表面的边上的点B处，点B离点C的距离为5，蚂蚁爬行的最短距离是（　　） A．25 B． C． D．35 2．如图所示，圆柱高AC为4米，在底面周长为1.5米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 3．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（　　） A．10cm B．8cm C．12cm D．13cm 4．如图，在一个长为6cm，宽为3cm，高为4cm的长方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的B点，去搬运一块食物．那么这个蚂蚁所走的最短路线长度为（　　）cm． A． B． C． D． 5．如图，一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20、3、2．A和B是这个台阶两个相对的端点．点A处有一只蚂蚁．想到点B处去吃可口的食物．则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（　　） A．15 B．20 C．25 D．27 6．如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为21cm，高为8cm，图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的顶点A处，爬行到正方形格子内部底面的顶点B处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（　　） A．29cm B． C．42cm D． 7．如图，在圆柱的截面ABCD中，AB，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．20 D．14 8．如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm，底面半圆直径AC为4cm，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（π取3）（　　） A． B．8 C． D．10 9．如图是一个“L”型的零件，四边形ABEF和四边形BCGE均为长方形，在点D处有一只蚂蚁（看作点），点D到AB的距离为3cm，，BC＝4cm，则蚂蚁沿零件表面从点D到点C爬行的最短路程是　　 cm． 10．如图①所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）切掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为　 　 cm． 训练4 勾股定理与全等 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在△ABC和△BCD中，已知AB＝BD＝AC＝5，∠BAC＝∠BDC，CD＝3，连接AD，求AD的长． 2．△ABC中，BD⊥AB，AD＝BC，∠DCB＝∠ADB，CD＝2，，求BC的长度． 3．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，AB＝2.5，BC＝2，若AD平分∠BAC，求BD的长度． 4．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，求CD的长． 5．如图，点C为线段AB上一点，以AC为边向上作Rt△ACD，且∠A＝90°．以BC为底边向上作等腰三角形BCE，且∠ADC＝∠B＝30°连结DE． （1）求∠DCE的度数； （2）当时，求DE的值． 6．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝12，AB：BC＝5：3，若点E是BD的中点，求AE的长． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝12，AB＝20． （1）试说明：CE＝CF； （2）试着求出线段CE的长． 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，CB＝2，点D是AB的中点，点E在AC上，点E、D、F一条直线上，且ED＝FD． （1）求证：FB⊥CB； （2）联结CD，若CD⊥EF，求CE的长． 9．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF＝2AE； （2）若CD＝3，求AD的长． 10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是直线AC上一动点，∠BDE＝90°，DB＝DE（DE在BD的左侧）． （1）直接写出AB长为　 　 ； （2）若点D在线段AC上，AD，求EC长； （3）当BE＝2时，直接写出CD长为　 　 ． 训练5 勾股定理与折叠问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（　　） A． B． C．2cm D．3cm 3．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，G为AD边上的一点，将矩形沿BG翻折使得点A落在EF上，点A对应点为点A′．若AB＝6，则四边形ABA′G的面积为（　　） A．9 B．12 C．15 D．8 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D为射线AC上一点，把△ABC沿BD折叠，点A落在直线BC上的点A′处，则AD的长为 　 　 ． 5．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B′是点B的对应点，延长EB′交DC于点G，B'Gcm，则△ECG的面积为 　　 cm2． 6．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BC＝3，DF＝4，则CE＝　　 ． 7．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，已知BC＝5，，AB＝4，将△ABD沿着AD翻折得到△ADE，连接CE，BE，则△ACE的面积为 　　 ． 8．综合与实践 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6． ①求AC的长； ②E是BC上一点，将△ABE沿着AE对折，点B恰好落在AC上的点D处，求CE的长． （2）如图2，在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC＝4，AD是边BC上的高，求AD的长． 9．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′． （1）如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长； （2）如图②，如果B′是AC的中点，求CE的长． 10．数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用．如图长方形纸片ABCD，AD＝4，DC＝3，点P为长方形纸片ABCD边AD上一动点，连结CP，将△CDP沿CP折叠，点D落在点D′处． （1）AC的长为 　 　 ． （2）如图①，当点D′在线段AC上时，求PD的长． （3）如图②，在（1）的条件下，当点P与点A重合时，沿CA将△CAD折叠得△CAD′，AD′与BC交于E点，则△ACE的面积是 　　 ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理（计算题专项训练） 【适用版本：人教版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 勾股定理解三角形 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．已知，如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．若AB＝8，AC＝6，求CD的长． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6， 由勾股定理得：BC10． 由三角形的面积得：S△ABCAB•ACBC•AD， ∴AB•AC＝BC•AD， ∴AD， ∴CD． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝45°，AB＝2，D是BC上一点，AD，求CD的长． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠CAB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，AC2+BC2＝AB2， ∴ACAB2， ∴CD2． 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝135°，AD是高．若，BC＝1，求AC的长． 【解答】解：∵∠ABC＝135°， ∴∠ABD＝45°． ∵AD是△ABC的高， ∴∠DAB＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD． 在Rt△ABD中，， 由勾股定理得：AD2+BD2＝AB2． ∴． ∴． ∴CD＝BD+BC＝4． 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2． ∴． 4．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，BD＝5，CD＝3，求AD的长． 【解答】解：过点D作DE⊥AB交AB于E， ∵∠ACB＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D， ∴DE＝CD＝3， ∵AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE， BE， 设AC＝AE＝x，则AB＝x+4， BC＝3+5＝8， AC2+BC2＝AB2， ∴x2+82＝（x+4）2， 解得x＝6， ∴； 故AD的长为． 5．在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． 【解答】解：在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，分两种情况讨论： 当D在线段BC上时，如图1， ∵AD为BC边上的高， ∴AD⊥CB， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：， 在Rt△ABD中，， ∴△ABC的周长为AC+AB+CD+DB＝15+20+9+16＝60； 当D在BC的延长线上时，如图2， 则△ABC的周长为AC+BC+AB＝AC+（BD﹣CD）+AB＝15+（16﹣9）+20＝42， 综上所述，△ABC的周长为60或42． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝20，点D在AC上，AD＝5，DE⊥AB于点E，求DE的长． 【解答】解：在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝20， 由勾股定理得： ， ∵AD＝5， ∴CD＝AC﹣AD＝15， ∴， 令AE＝x，则BE＝25﹣x， ∵DE⊥AB， ∴在Rt△ADE中，DE2＝AD2﹣AE2， 在Rt△DBE中，DE2＝BD2﹣BE2， ∴AD2﹣AE2＝BD2﹣BE2， 即， 解得x＝4， ∴， 解得DE＝3． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，若AC＝12，BC＝9，求CE的长． 【解答】解：如图，连接BE， ∵AB边上的垂直平分线为DE， ∴AE＝BE， 设CE＝x，则BE＝AE＝AC﹣CE＝12﹣x， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE2﹣CE2＝BC2， 即（12﹣x）2﹣x2＝92， 解得：x， 答：CE的长为． 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P、点D分别在边AC和AB上且PD＝PA，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）证明：DE⊥DP； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 【解答】（1）证明：∵PD＝PA， ∴∠PDA＝∠A． ∵EF垂直平分BD， ∴ED＝EB， ∴∠EDB＝∠B． 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝90°， ∴DE⊥PD； （2）解：如图所示，连接PE， ∵AC＝6，BC＝8，PA＝2， ∴CP＝AC﹣PA＝4，PD＝PA＝2． 设DE＝BE＝x，则CE＝8﹣x． 在Rt△PCE中，根据勾股定理得：PE2＝42+（8﹣x）2． 在Rt△PDE中，根据勾股定理得：PE2＝22+x2， ∴42+（8﹣x）2＝22+x2， 16+64﹣16x+x2 ＝4+x2， ﹣16x＝﹣76， 解得， ∴． 9．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵EF⊥BD， ∴∠AEF+∠AED＝90°， ∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C， ∴∠C+∠AED＝90°， ∴∠EAC＝90°， ∴AE⊥AC； （2）解：∵∠EAC＝90°， ∴AE2+AC2＝CE2， ∵CE＝CD+DE＝DE+8， ∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC， ∴AD6， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2， ∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2， 解得：DE＝4.5． 10．如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB于点D． （1）若∠B＝30°，AB＝2，求BD的长； （2）在（1）的条件下，∠C＝45°，求△ABC的面积； （3）若AC＝4，AB＝6，BC＝8，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵AD⊥AB， ∴∠BAD＝90°， ∵∠B＝30°， ∴ADBD， 在Rt△BAD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2， 即（2）2+（BD）2＝BD2， 解得：BD＝4（负值已舍去）； （2）如图1，过点A作AE⊥BC于点E， 则∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵∠B＝30°， ∴AEAB2， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：BE3， ∵∠C＝45°， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴CE＝AE， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴S△ABCAE•BC（3）； （3）如图2，过点A作AE⊥BC于点E， 则∠AEB＝∠AEC＝90°， 设BE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝62﹣x2， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2＝AC2﹣CE2＝42﹣（8﹣x）2， ∴62﹣x2＝42﹣（8﹣x）2， 解得：x， ∴AE2＝62﹣（）2， 解得：AE（负值已舍去）， ∴S△ABCAE•BC8＝3． 训练2 勾股定理解勾股树 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 　 　 cm2． 【解答】解：∵以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，AC2＝AB2﹣BC2， ∴AC2＝26﹣10＝16， ∴以另一边AC为直径向外作半圆的面积为2π（cm2）， 故答案为：2π． 2．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝6，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为S1，S2，S3，则S1+S2+S3的值为　 　 ． 【解答】解：△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝6， 由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝62＝36， 则S1+S2+S3π×（）2π×（）2π×（）2π×（AC2+BC2）9π， 故答案为：9π． 3．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为　 　 ． 【解答】解：如图， 由勾股定理结合正方形的面积可知，SB﹣SA＝SE＝SC+SD， 又∵A、B、C三个正方形的面积分别为7、16、3， ∴正方形D的面积＝SB﹣SA﹣SC＝16﹣7﹣3＝6， 故答案为：6． 4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为　 　 ． 【解答】解：∵最大的正方形的面积为36，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 由勾股定理得：S正方形E+S正方形F＝36，S正方形C+S正方形D＝S正方形E，S正方形A+S正方形B＝S正方形F， ∴S正方形A+S正方形B+S正方形C+S正方形D+S正方形E+S正方形F＝2（S正方形E+S正方形F）＝72． 故答案为：72． 5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形E的面积为 　 　 ． 【解答】解：如图， ∵正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2， 由勾股定理可得正方形M的面积为3，正方形N的面积为5， ∴正方形E的面积为3+5＝8， 故答案为：8． 6．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S2＝36+S1．则图中阴影部分的面积为　 　 ． 【解答】解：如图所示， ∵△ABC直角三角形，四边形ABFG，AHJC，BCDE均是正方形， ∴，，，且AB＝BF＝FG＝AG， ∵AC2+AB2＝BC2， ∴S1+S2＝S3， ∵S3+S2＝36+S1， ∴S2＝18， ∵， ∴， 故答案为：9． 7．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD，△ACE，△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝65，S2＝46，S3＝57，则S4＝ 　 　 ． 【解答】解：如图，DE分别交BF、CF于点G、点H， ∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形， ∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF， 设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n， ∵a2+b2＝c2， ∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF， ∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n， ∴S4＝S2+S3﹣S1＝46+57﹣65＝38， 故答案为：38． 8．如图，以Rt△ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为　 　 ． 【解答】解：根据题意知，AB2＝25，AC2＝144， 所以AB＝5，AC＝12，BC13， 所以S阴影＝BC2132139． 故答案为：139． 9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 　 　 ． 【解答】解：如图，连接AC， ∵S1＝8，S2＝11，S3＝15， ∴AD2＝8，AB2＝11，BC2＝15， 在Rt△ABC与Rt△ADC中，由勾股定理得， AC2＝AB2+BC2＝26， ∴CD2＝AC2﹣AD2， ∴CD2＝26﹣8＝18， ∴S4＝18， 故答案为：18． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 　 　 ． 【解答】解：如图， ∵四边形ABGF是正方形， ∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°， ∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°， ∴∠FAC＝∠ABC， ∴△FAH≌△ABN（ASA）， ∴S△FAH＝S△ABN， ∴S△ABC＝S四边形FNCH， 在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵AC+BC＝7， ∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝49， ∴AB2+2AC•BC＝49， ∵AB2﹣S△ABC＝24， ∴AB2AC•BC＝24， ∴BC•AC＝10，AB2＝29， ∴AC2+BC2＝29， ∴阴影部分的面积和＝AC2+BC2+2S△ABC﹣S白＝29+210﹣24＝15． 故答案为：15． 训练3 勾股定理解最短路径问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，一只蚂蚁要沿长为15，宽为10，高为20的长方体表面从顶点A爬到上表面的边上的点B处，点B离点C的距离为5，蚂蚁爬行的最短距离是（　　） A．25 B． C． D．35 【解答】解：如图， ∴BC＝5米，AC＝20+10＝30（米）， 由勾股定理得，（米）； 如图， ∴BD＝10+5＝15（米），AD＝20米， 由勾股定理得：（米）； 如图， ∵长方体的宽为10米，高为20米，点B离点C的距离是5米， ∴BD＝CD+BC＝20+5＝25（米），AD＝10米， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：（米）， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是25米， 故选：A． 2．如图所示，圆柱高AC为4米，在底面周长为1.5米的圆柱上，有一条彩带从柱底A点沿圆柱表面缠绕2圈到达圆柱顶正上方的C点，则彩带长至少为（　　） A．4米 B．4.3米 C．5米 D．6米 【解答】解：圆柱高AC＝4米，彩带缠绕2圈，因此展开后竖直方向的总高度为4米； 底面周长为AE＝1.5米，缠绕2圈后，水平方向的总长度为1.5×2＝3米． 根据勾股定理，斜边（彩带长度）为： （米）． 故选：C． 3．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为13cm，底面周长为12cm，在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（　　） A．10cm B．8cm C．12cm D．13cm 【解答】解：如图所示，将圆柱的侧面展开， 则有AE＝13﹣6＝7cm，BC＝1cm，， 作点B关于EC的对称点B′，作B′D∥CE交AE的延长线于点D， 则B′D＝EC＝6cm，DE＝B′C＝BC＝1cm， ∴AD＝AE+DE＝7+1＝8cm， ∴． 故选：A． 4．如图，在一个长为6cm，宽为3cm，高为4cm的长方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的B点，去搬运一块食物．那么这个蚂蚁所走的最短路线长度为（　　）cm． A． B． C． D． 【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（6+3）2+42＝97； （2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+62＝85； （3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（6+4）2+32＝109． ∵85＜97＜109， ∴最短路径的长为AB（cm）． 故选：B． 5．如图，一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20、3、2．A和B是这个台阶两个相对的端点．点A处有一只蚂蚁．想到点B处去吃可口的食物．则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（　　） A．15 B．20 C．25 D．27 【解答】解：一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20、3、2．A和B是这个台阶两个相对的端点．如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x， 由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252， 解得：x＝25． 故选：C． 6．如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为21cm，高为8cm，图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的顶点A处，爬行到正方形格子内部底面的顶点B处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（　　） A．29cm B． C．42cm D． 【解答】解：如图所示，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B， 则A′B的长度即为蚂蚁爬行的最短距离， 根据勾股定理知，蚂蚁爬行的最短距离为：（cm）， 故选：D． 7．如图，在圆柱的截面ABCD中，AB，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．20 D．14 【解答】解：如图所示， ∵在圆柱的截面ABCD中AB，BC＝12， ∴ABπ＝8，BSBC＝6， ∴AS10． 故选：A． 8．如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6cm，底面半圆直径AC为4cm，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（π取3）（　　） A． B．8 C． D．10 【解答】解：将圆柱的侧面展开为矩形， 其中AC为半圆的弧长，CD为半径的长2cm，BD＝6cm， 根据勾股定理可得， 故爬行的最短路程为10cm． 故选：D． 9．如图是一个“L”型的零件，四边形ABEF和四边形BCGE均为长方形，在点D处有一只蚂蚁（看作点），点D到AB的距离为3cm，，BC＝4cm，则蚂蚁沿零件表面从点D到点C爬行的最短路程是　　 cm． 【解答】解：将其展开，连接CD，过点D作DH⊥AB于点H，如图， 由题意得 ＝2（cm）， ∴HC＝HB+BC ＝2+4 ＝6（cm）， ∴ ＝3（cm）， 故答案为：． 10．如图①所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）切掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为　 　 cm． 【解答】解：将裁剪后的几何体表面展开，得到如图所示的图形（部分），△BCD是等腰直角三角形，△ACD 是等边角形，设AB交CD于点E， 当蚂蚁沿着A、E、B的路线爬行时，距离最短， 此时AC＝CD＝AD，BC＝BD， ∴AB垂直平分线CD， 在Rt△BCD中，CD2（cm）， ∴AC＝CD＝2cm，BE＝CECD2＝1（cm）， 在 Rt△ACE中，AE（cm）， ∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（）cm． 故答案为：（）． 训练4 勾股定理与全等 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在△ABC和△BCD中，已知AB＝BD＝AC＝5，∠BAC＝∠BDC，CD＝3，连接AD，求AD的长． 【解答】如图，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E，作AF⊥BD于点F，设AC，BD交于点O． ∵AE⊥CE，AF⊥BD， ∴∠AFB＝∠E＝90°， ∵∠BAO＝∠ODC，∠AOB＝∠DOC， ∴∠ABF＝∠ACE， ∵AB＝AC， ∴△ABF≌△ACE（AAS）， ∴BF＝CE，DE＝DF， 设DE＝DF＝x，则CE＝BF＝x+3， ∵BD＝5， ∴x+3+x＝5， ∴x＝1， ∴BF＝x+3＝4， ∴AF3， ∴AD． 2．△ABC中，BD⊥AB，AD＝BC，∠DCB＝∠ADB，CD＝2，，求BC的长度． 【解答】解：延长CD至点E，使得CE＝BD，连接BE，如图， ∵AD＝BC，∠DCB＝∠ADB，CE＝BD， ∴△ABD≌△BEC， ∴AB＝BE＝2，∠E＝∠ABD＝90°， 设DE＝x，则CE＝BD＝x+2， 在Rt△BDE中，BE2+DE2＝BD2， ∴（2）2+x2＝（x+2）2， 解得x＝4， ∴BD＝4+2＝6， 在Rt△ABD中，AD， ∴BC＝AD2． 故答案为：2． 3．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，AB＝2.5，BC＝2，若AD平分∠BAC，求BD的长度． 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝2， ∴， 延长AC、BD交于点E，可知∠ADB＝∠ADE＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAD（角平分线的性质）， ∵AD＝AD， 在△BAD和△EAD中， ， ∴△BAD≌△EAD（ASA）， ∴AE＝AB＝2.5，BD＝ED， ∴CE＝1， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，求CD的长． 【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10， ∴AC6， 过D作DE⊥AB于E， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°， ∴CD＝DE， 在Rt△BCD与Rt△BED中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL）， ∴BE＝BC＝8， ∴AE＝2， ∵AD2＝DE2+AE2， ∴AD2＝（6﹣AD）2+22， ∴AD， ∴CD＝AC﹣AD． 5．如图，点C为线段AB上一点，以AC为边向上作Rt△ACD，且∠A＝90°．以BC为底边向上作等腰三角形BCE，且∠ADC＝∠B＝30°连结DE． （1）求∠DCE的度数； （2）当时，求DE的值． 【解答】解：（1）∵EC＝BE， ∴∠ECF＝∠B＝30°， ∵∠A＝90°，∠ADC＝30°， ∴∠DCA＝90°﹣30°＝60°， ∴∠DCE＝180°﹣∠DCA﹣∠ECB＝90°； （2）过点E作EF⊥BC，如图所示：则∠EFC＝∠A＝90°， ∵EC＝EB， ∴， ∵BC＝2AD， ∴AD＝CF， 由（1）可知，∠ADC＝∠ECF＝30°， ∴△ACD≌△FEC（ASA）， ∴CD＝CE， ∵∠A＝90°，∠ADC＝30°， ∴， 根据勾股定理得：AD2+AC2＝CD2， 即 ， 解得：CD＝2，（负值舍去）， ∴CE＝CD＝2， ∵∠DCE＝90°， ∴． 6．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝12，AB：BC＝5：3，若点E是BD的中点，求AE的长． 【解答】解：延长AE交BC的延长线于点F， ∵∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴AD∥BF， ∴∠DAE＝∠F， 由线段中点可知，DE＝BE， 在△DAE和△BFE中， ， ∴△DAE≌△BFE（AAS）， ∴BF＝AD＝12， ∵AD＝2BC＝12， ∴BC＝6， ∵AB：BC＝5：3， ∴AB＝10， 由勾股定理可得，， 在Rt△ACF中，由勾股定理得， ∴． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC＝12，AB＝20． （1）试说明：CE＝CF； （2）试着求出线段CE的长． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠FAD， ∴∠CFA＝∠AED， ∵∠AED＝∠CEF， ∴∠CFA＝∠CEF， ∴CE＝CF； （2）解：如图，过点F作FG⊥AB于点G． ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠GAF， 在△ACF和△AGF中， ， ∴△ACF≌△AGF（AAS）， ∴AC＝AG＝12，CF＝GF， ∴BG＝AB﹣AG＝20﹣12＝8， ∵∠ACB＝90°， ∴BC16， 设CE＝CF＝x，则GF＝x，BF＝BC﹣CF＝16﹣x， 在Rt△BFG中，由勾股定理得：BF2＝BG2+FG2， 即（16﹣x）2＝82+x2， 解得：x＝6， 答：线段CE的长为6． 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，CB＝2，点D是AB的中点，点E在AC上，点E、D、F一条直线上，且ED＝FD． （1）求证：FB⊥CB； （2）联结CD，若CD⊥EF，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵D是AB中点， ∴AD＝BD， 在△ADE与△BDF中， ， ∴△ADE≌△BDF（SAS）， ∴∠A＝∠FBD，AE＝BF， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∴∠FBD+∠ABC＝90°，即∠FBC＝90°， ∴FB⊥CB； （2）联结CF， ∵CD⊥EF，ED＝FD， ∴CF＝EF， 设CE＝x，则CF＝x，BF＝AE＝4﹣x， Rt△FBC中，BF2+BC2＝CF2， ∴22+（4﹣x）2＝x2， ∴x， ∴CE． 9．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF＝2AE； （2）若CD＝3，求AD的长． 【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∵BE⊥AC，AD⊥BC ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∠CBE+∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝∠CBE， 在△ADC和△BDF中，， ∴△ADC≌△BDF（ASA）， ∴BF＝AC， ∵AB＝BC，BE⊥AC， ∴AC＝2AE， ∴BF＝2AE； （2）解：∵△ADC≌△BDF， ∴DF＝CD＝3， 在Rt△CDF中，CF6， ∵BE⊥AC，AE＝EC， ∴AF＝CF＝6， ∴AD＝AF+DF＝6+3． 10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是直线AC上一动点，∠BDE＝90°，DB＝DE（DE在BD的左侧）． （1）直接写出AB长为　 　 ； （2）若点D在线段AC上，AD，求EC长； （3）当BE＝2时，直接写出CD长为　 　 ． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝10， ∴AB2+AC2＝2AB2＝BC2＝100， ∴AB＝AC＝5， 故答案为：5； （2）过E作EF⊥AC交AC的延长线于F， 则∠F＝∠A＝∠BDE＝90°， ∴∠EDF+∠ADB＝∠ADB+∠ABD＝90°， ∴∠EDF＝∠ABD， 在△ABD与△FDE中， ， ∴△ABD≌△FDE（AAS）， ∴EF＝AD，DF＝AB＝5， ∴CF＝AF﹣AC＝65， ∴CE2； （3）∵∠BDE＝90°，DB＝DE，BE＝2， ∴DE＝BD， 由（2）知△ABD≌△FDE， ∴DF＝AB＝5，EF＝AD， ∵AB＝AC， ∴DF＝AC， ∴CF＝AD＝EF， ∴EF＝CF2， 当点D在点A的左侧时，CD＝523， 当点D在点A的右侧时，CD＝527， 综上所述，CD长为7或3， 故答案为：7或3． 训练5 勾股定理与折叠问题 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AP＝AB＝2，∠B＝∠APB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE＝PE，∠C＝∠CPE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠APB+∠C＝90°， ∴∠APE＝90°， ∴AP2+PE2＝AE2， 设AE＝x， 则CE＝PE＝3﹣x， ∴22+（3﹣x）2＝x2， 解得， 即， 故选：A． 2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（　　） A． B． C．2cm D．3cm 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm， ∴， 根据翻折可得BD＝DE，AE＝AB＝5cm， ∴CE＝AE﹣AC＝1cm， 设CD＝x，则ED＝BD＝3﹣x． 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：x2+12＝（3﹣x）2， 解得：． 故选：A． 3．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，G为AD边上的一点，将矩形沿BG翻折使得点A落在EF上，点A对应点为点A′．若AB＝6，则四边形ABA′G的面积为（　　） A．9 B．12 C．15 D．8 【解答】解：如图，连接AA'， 在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点， ∴EF⊥AB，AE＝BE， ∴EF垂直平分AB， ∴A'A＝A'B， 由折叠可得AB＝A'B，∠ABG＝∠A'BG，△ABG≌△A'BG， ∴AB＝BA'＝AA'， ∴△ABA'是等边三角形， ∴∠ABA'＝60°， ∴∠ABG∠ABA'＝30°， ∴AGBG， ∵AB＝6， ∴BG2＝AB2+AG2， ∴BG2＝62BG2， 解得：BG＝4， ∴AG＝2， ∴S△ABG6×26， ∴S四边形ABA′G＝2S△ABG＝12； 方法2：过点A'作PQ⊥AD于P点，PQ⊥BC于Q点， ∵BA＝6，E是中点， ∴BE＝AE＝3， ∴A'Q＝A'P＝3， 由折叠可知AB＝A'B＝6， ∴BQ＝3， 设AG＝x，则GP＝3x， 在Rt△GPA'中，x2＝32+（3x）2， 解得x＝2， ∴AG＝2 ∴S＝26＝12； 故选：B． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D为射线AC上一点，把△ABC沿BD折叠，点A落在直线BC上的点A′处，则AD的长为 　 　 ． 【解答】解：①当点D在线段AC上时，如图1所示： 设AD＝x， ∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴， 由折叠可知：AD＝AD′＝x，AB＝′AB＝10， ∴A′C＝A′B﹣BC＝10﹣6＝4，CD＝AC﹣AD＝8﹣x， ∵∠ACB+∠A′CD＝180°，∠ACB＝90°， ∴∠A′CD＝90°， 在Rt△A′CD中， ∵A′C2+CD2＝A′D2， ∴42+（8﹣x）2＝x2， 14+64﹣16x+x2＝x2， 16x＝80， x＝5； ②当点D在射线AC上时，如图2所示： 由折叠可知：BC＝BC′＝6，AB＝A′B＝10，AD＝A′D， 设AD＝x＝A′D，则CD＝AD﹣AC＝x﹣8，A′C＝BC+A′B＝6+10＝16， ∵∠ACB+∠A′CD＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠A′CD＝90°， ∴CD2+A′C2＝A′D2， （x﹣8）2+162＝x2， x2﹣16x+64+256＝x2， 16x＝320， x＝20， ∴AD的长为5或20． 5．如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B′是点B的对应点，延长EB′交DC于点G，B'Gcm，则△ECG的面积为 　　 cm2． 【解答】解：连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝10cm， 由折叠的性质得到AB′＝AB，BE′＝BE，∠AB′E＝∠B＝90°， ∴AD＝AB′， ∵AG＝AG， ∴Rt△ADG≌Rt△AB′G（HL）， ∴DG＝GB′cm， ∴CG＝CD﹣DG（cm）， 设CE＝xcm， ∴BE＝（10﹣x）cm， ∴EG＝10﹣x（x）cm， ∵EG2＝EC2+CG2， ∴x2， ∴x＝8， ∴CE＝8cm， ∴△ECG的面积EC•CG8（cm2）． 故答案为：． 6．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BC＝3，DF＝4，则CE＝　　 ． 【解答】解：由折叠可得，CF＝CB＝3，∠CFE＝∠B＝90°， ∴Rt△DFC中，CD5， ∴AB＝5， 设BE＝x，则EF＝x，DE＝4+x，AE＝5﹣x， ∵∠A＝90°， ∴Rt△ADE中，AD2+AE2＝DE2， 即32+（5﹣x）2＝（4+x）2， 解得x＝1， ∴Rt△BCE中，CE， 故答案为：． 7．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，已知BC＝5，，AB＝4，将△ABD沿着AD翻折得到△ADE，连接CE，BE，则△ACE的面积为 　　 ． 【解答】解：如图，AD为BC边上的中线，BC＝5，延长AD交BE于点H， ∴， ∵△ABD沿着AD翻折得到△ADE， ∴，AB＝AE＝4， ∴AH垂直平分线段BE， ∴∠AHB＝90°，， 在Rt△AHB中，由勾股定理得：， 在Rt△DHB中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∵BD＝DE＝DC， ∴∠DBE＝∠DEB，∠DCE＝∠DEC， 又∵∠DBE+∠DEB+∠DCE+∠DEC＝180°， ∴， ∴△BEC是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵AH⊥BE，CE⊥BE， ∴AH∥CE， ∴点A到CE的距离等于HE的长， ∴， 故答案为：． 8．综合与实践 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6． ①求AC的长； ②E是BC上一点，将△ABE沿着AE对折，点B恰好落在AC上的点D处，求CE的长． （2）如图2，在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC＝4，AD是边BC上的高，求AD的长． 【解答】解：（1）①∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴． ②由折叠得AD＝AB＝8，DE＝BE．∠ADE＝∠B＝90° ∴CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝2，∠CDE＝90° ∴DE＝BE＝6﹣CE． 在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2 ∴22+（6﹣CE）2＝CE2 解得 ∴CE的长为． （2）设CD＝x，则BD＝BC+CD＝4+x． ∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BD． 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣x2， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣（x+4）2， ∴132﹣x2＝152﹣（x+4）2， 解得x＝5， ∴． 9．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′． （1）如图①，如果点B′和顶点A重合，求CE的长； （2）如图②，如果B′是AC的中点，求CE的长． 【解答】（1）解：若点B′和顶点A重合，由折叠的性质可得：AE＝BE， 设CE＝x， ∵BC＝8， ∴AE＝BE＝BC﹣CE＝8﹣x， 在Rt△ACE中， ∵∠C＝90°， ∴由勾股定理得：AC2+CE2＝AE2， ∴62+x2＝（8﹣x）2， 解得：， ∴． （2）解：∵点B′落在AC的中点， ∴， 设CE＝y，则B′E＝BE＝BC﹣CE＝8﹣y， ∵∠C＝90°， ∴由勾股定理得：B′C2+CE2＝B′E2， ∴32+y2＝（8﹣y）2， 解得：， 即CE的长为：． 10．数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用．如图长方形纸片ABCD，AD＝4，DC＝3，点P为长方形纸片ABCD边AD上一动点，连结CP，将△CDP沿CP折叠，点D落在点D′处． （1）AC的长为 　 　 ． （2）如图①，当点D′在线段AC上时，求PD的长． （3）如图②，在（1）的条件下，当点P与点A重合时，沿CA将△CAD折叠得△CAD′，AD′与BC交于E点，则△ACE的面积是 　　 ． 【解答】（1）解：∵ABCD为长方形， ∴△ACD为直角三角形， ∵AD＝4，DC＝3， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AC5， 故答案为：5； （2）由折叠的性质得：CD＝CD′，PD＝PD′， ∠PD′C＝∠D＝90°， ∴∠AD′P＝90°， 设PD＝x， 则PD'＝x，AP＝AD﹣PD＝4﹣x， AD′＝AC﹣CD＝5﹣3＝2， 在Rt△APD′中，由勾股定理得：AD′2+D′P2＝AP2， ∴22+x2＝（4﹣x）2， 整理得4＝16﹣8x， 解得x＝1.5． ∴PD的长为1.5； （3）由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝∠B＝90°， CD′＝CD＝AB， 在△ABE和△AD′C中， ， ∴△ABE≌△AD′C（AAS）， ∴BE＝D′E， 设D′E＝x，则CE＝CB﹣BE＝4﹣x， 在Rt△CD′E中，由勾股定理得：D′C2+D′E2＝CE2， ∴32+x2＝（4﹣x）2， 整理得9＝16﹣8x， 解得， ∴D′E， ∴S△CD′E3，S△CD′A4×3＝6， ∴S△ACE＝S△ACD′﹣S△ECD′＝6， 故答案为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $