精品解析：北京市东直门中学2025一2026学年度第二学期综合练习 九年级数学

北京市东直门中学2025—2026学年度第二学期综合练习 九年级数学 2026.02 一、选择题 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 在中，，于点，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在半径为的中，点为弦的中点，点是平面内一点，且．下列说法正确的是（ ） A. 若，则长的取值范围是 B. 若，则的长可以是 C. 若，则长的最小值是 D. 若，则长的最大值是 二、填空题 9. 分解因式：=_______． 10. 方程的解为______． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 12. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 13. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 14. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 15. 某种文物的修复工作共三道工序，依次为清洁去污、结构修复与加固、画面修补与全色，同一件文物的三道工序必须依次进行，不能调换顺序，一道工序只能由一人完成，此工序完成后该人才能进行其它工序．现有甲、乙和丙三位文物修复师修复此种文物共五件，每件文物各道工序所需时间如下： 修复师 清洁去污 结构修复与加固 画面修补与全色 甲 60天 30天 120天 乙 60天 20天 90天 丙 80天 20天 80天 在不考虑其它因素的前提下，三位文物修复师通力合作，最短______天可以修复一件文物；最短______天可以完成全部文物的修复工作． 三、解答题 16. 计算：． 17. 解不等式组： 18. 已知，求代数式的值． 19. 已知，求代数式的值． 20. 学校开展“健康小达人”主题活动，活动分为“耐力挑战”和“技巧闯关”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个获奖条件时仅颁发最高奖） 卓越奖 参加两个项目的得分之和不低于100分，且至少一个项目的得分达到60分． 优秀奖 参加两个项目的得分之和不低于100分． 参与奖 完成全部两个项目的活动． 在参加活动时，在正式计分之前可以先体验一次．小明在体验时，“耐力挑战”得分与“技巧闯关”得分比为；在正式计分时，“耐力挑战”得分比体验时提高了10分，“技巧闯关”得分比体验时增加了，最后共得104分．请利用所学的一元一次方程知识，为小明颁发合适的奖项，并说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． （1）求的值； （2）当时，函数（）的值都小于函数的值，结合函数图象，直接写出的取值范围． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 23. 如图，在中，，点在上，以为半径的与相切于点，分别交、于点，，连接、． （1）求证：平分； （2）连接交于点．若，，求的长． 24. 某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期日（可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第日每分钟正确默写的数字量为．根据测试经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时的值 0 6 7 9 10 14 17 20 21 23 时的值 0 20 25 28 m 33 35 37 38 39 时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变． 对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线．当时，曲线如图所示． （1）观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过20； （2）写出表中的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．小明和小雯也积极参与到活动之中． ①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第______日可获得“记忆达人”证书； ②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行______日的强化训练． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，点和在该抛物线上，且，则的取值范围是______； （3）已知点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． 当时，线段的长随的增大而减小，求的取值范围． 26. 在中，，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．若为中点，连接，． （1）如图1，若点在线段上，在上，直接写出的度数并求的大小； （2）如图2，若点在直线的下方，直接写出的大小，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，对于及其外部一点，给出如下定义：过点作的一条切线，将点绕这条切线与的切点旋转得到点，若点可以落在以此切点为端点的的直径上，则称点为关于切点的“径上点”． （1）已知的半径为1． ①在点，，，中，关于切点的“径上点”是______； ②点在直线上，且点是关于切点的“径上点”，求点横坐标的取值范围； （2）已知点，的半径为2，直线与轴、轴分别交于，两点．若线段上所有的点都是关于切点的“径上点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2025—2026学年度第二学期综合练习 九年级数学 2026.02 一、选择题 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：A中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 2. 中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率=事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，从袋子中随机摸出一个球， ∴摸出的球是白球的概率是． 故选：A． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 6. 在中，，于点，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，在图中观察并找出相似三角形是解题的关键．证明，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ． 故选：D． 7. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， ∴无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ， ， ， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误；根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D． 8. 在半径为的中，点为弦的中点，点是平面内一点，且．下列说法正确的是（ ） A. 若，则长的取值范围是 B. 若，则的长可以是 C. 若，则长的最小值是 D. 若，则长的最大值是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理及三角形三边关系的应用，先利用垂径定理结合勾股定理求出相关线段长度，再根据点的轨迹结合三边关系分析线段取值范围，当时，，当时，，由勾股定理，结合三角形三边的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵半径为，点为弦中点， ∴，（垂径定理）， 当时，， 在中，由勾股定理得， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，且， 由三角形三边关系得， 代入得，即， ∵， ∴的最小值不是， ∴选项A错误，不符合题意； ∵， ∴可以为， ∴选项B正确，符合题意； 当时，， 由三角形三边关系得， ∴， 又∵在内， ∴， ∴， 由勾股定理得， 越大，越小，当时，， ∴最小值不是， ∴选项C错误，不符合题意； 越小，越大，当时，（直径）， ∴最大值不是， ∴选项D错误，不符合题意． 二、填空题 9. 分解因式：=_______． 【答案】． 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式5后继续应用平方差公式分解即可. 【详解】解： = =． 10. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，需先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后检验所得解是否为增根，进而确定原方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘最简公分母， 得 去括号，得 合并同类项，得 移项，得 系数化为1，得 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 12. 某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由样本估计总体，用乘以样本中等级为正常的人数所占的比例即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 故答案为：． 13. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 14. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出． 15. 某种文物的修复工作共三道工序，依次为清洁去污、结构修复与加固、画面修补与全色，同一件文物的三道工序必须依次进行，不能调换顺序，一道工序只能由一人完成，此工序完成后该人才能进行其它工序．现有甲、乙和丙三位文物修复师修复此种文物共五件，每件文物各道工序所需时间如下： 修复师 清洁去污 结构修复与加固 画面修补与全色 甲 60天 30天 120天 乙 60天 20天 90天 丙 80天 20天 80天 在不考虑其它因素的前提下，三位文物修复师通力合作，最短______天可以修复一件文物；最短______天可以完成全部文物的修复工作． 【答案】 ①. 160 ②. 300 【解析】 【分析】根据题意找出最优方案是解题的关键．根据题意选择最优方案，进而作答． 本题主要考查逻辑推理与时间统筹，有理数的加法，根据加工要求得出修复顺序是解题关键． 【详解】解：根据题意，三位文物修复师通力合作修复一件文物，那么选择甲或乙修复师清洁去污，乙或丙修复师结构修复与加固，丙修复师画面修补与全色， 则最短时间需：（天）； 完成全部五件文物修复时，进行如下统筹安排： 优先安排甲、乙完成清洁去污工序：甲完成3件，耗时天，乙完成2件，耗时天， 在清洁工序陆续完成后，安排乙、丙开展结构修复与加固工序：乙完成3件，丙完成2件，穿插进行， 最后安排丙、乙、甲依次完成画面修补与全色工序，通过合理衔接各工序，使三位修复师的工作时间尽可能重叠，最终最短总耗时为天． 三、解答题 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂和二次根式化简，代入特殊角的三角函数值，再进一步计算即可． 【详解】解： ． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知求出，再将所求代数式整理为，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】，-2 【解析】 【分析】先按照整式的混合运算化简代数式，注意利用平方差公式进行简便运算，再把变形后，整体代入求值即可． 【详解】解：原式= ∵， ∴， ∴， ∴原式=． 【点睛】本题考查的是整式化简求值，掌握利用平方差公式进行简便运算，整体代入求值是解题的关键． 20. 学校开展“健康小达人”主题活动，活动分为“耐力挑战”和“技巧闯关”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个获奖条件时仅颁发最高奖） 卓越奖 参加两个项目的得分之和不低于100分，且至少一个项目的得分达到60分． 优秀奖 参加两个项目的得分之和不低于100分． 参与奖 完成全部两个项目的活动． 在参加活动时，在正式计分之前可以先体验一次．小明在体验时，“耐力挑战”得分与“技巧闯关”得分比为；在正式计分时，“耐力挑战”得分比体验时提高了10分，“技巧闯关”得分比体验时增加了，最后共得104分．请利用所学的一元一次方程知识，为小明颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】卓越奖 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． 设体验时“耐力挑战”得分为分，则“技巧闯关”得分为分，用含x的式子表示出正式计分时的分数，根据题中等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：颁发卓越奖，理由如下： 设体验时“耐力挑战”得分为分，则“技巧闯关”得分为分， 正式计分时，“耐力挑战”得分为（）分，“技巧闯关”得分为分， 根据题意得，， 解得， ，， 即“耐力挑战”得分为60分，“技巧闯关”得分为44分，总分为104分， 故颁发卓越奖． 21. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． （1）求的值； （2）当时，函数（）的值都小于函数的值，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入解析式即可； （2）先判断出直线恒过点，求出时，，再把代入一次函数解析式求出k，然后根据函数图象判断的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴时，，即直线恒过点， 当时，， 把点代入得：， 解得：， ∵当时，函数（）的值都小于函数的值， ∴根据函数图象可知，的取值范围为且． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【答案】（1） 证明： ． ∵， ∴． ∴方程总有两个实数根． （2）或3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算得出，即可得证； （2）先利用因式分解法方程可得，，再结合题意分析即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，． ∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数， ∴或3． 23. 如图，在中，，点在上，以为半径的与相切于点，分别交、于点，，连接、． （1）求证：平分； （2）连接交于点．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，利用切线的性质得到，则，利用平行线的性质和等腰三角形的性质得到即可证得结论； （2）先利用正弦函数的定义求得的半径，再利用圆周角定理得到，则，利用平行线的性质和正弦函数的定义求得，证明，得到，进而可得答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：设的半径为r，则， 在中，，， ∴，解得， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴，则， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆与三角形的综合，熟练掌握圆的相关知识，利用锐角三角函数和相似三角形的性质得到线段间的数量关系是解答的关键． 24. 某高效记忆训练营对新学员开展提升记忆力的培训．在完成有关记忆方法的理论学习后，新学员先接受为期日（可取0，1或2）的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试．测试内容为：1分钟内观看并记忆一组无序数字并立即默写．记一名新学员在测试阶段的第日每分钟正确默写的数字量为．根据测试经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时的值 0 6 7 9 10 14 17 20 21 23 时的值 0 20 25 28 m 33 35 37 38 39 时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量（即：日增长量）逐渐减少或保持不变． 对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接．得到曲线．当时，曲线如图所示． （1）观察曲线，当整数的值为______时，的值首次超过20； （2）写出表中的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）完成理论学习后，为调动新学员培训的积极性，该训练营在强化训练和记忆测试阶段组织了竞赛比拼．小明和小雯也积极参与到活动之中． ①若新学员单日每分钟至少记忆30个数字可获得“记忆达人”称号，根据上述函数关系，小明最早在完成理论学习后的第______日可获得“记忆达人”证书； ②竞赛规定新学员在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多可获得“最佳学员”称号，若小雯希望获得此称号，根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行______日的强化训练． 【答案】（1）3 （2）；见解析 （3）①6；②1 【解析】 【分析】（1）找图象上y的值首次超过20时的x值； （2）根据时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量逐渐减少或保持不变，列出不等式组，解不等式组即可；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日每分钟至少记忆30个数字的只有与，再分别求出和时，单日每分钟至少记忆30个数字需要的天数，然后比较即得小明最早在完成理论学习后的第6日可获得“记忆达人”证书； ②分强化训练日，日，日，求出对应的3日内的记忆数字总数，比较即得小雯应进行强化训练的天数． 【小问1详解】 解：由曲线看出，当整数x的值为3时，y的值首次超过20； 【小问2详解】 解：∵时，从测试阶段的第2日起，一名新学员每日比前一日多记忆的数字量逐渐减少或保持不变， ∴， 解得：； 画出时的曲线： 【小问3详解】 解：①单日每分钟至少记忆30个数字的只有与， ：日的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试，达30个数字， ∴； ：日的记忆强化训练，然后开始每日记忆测试，达30个数字， ∴； ∵， ∴小明最早在完成理论学习后的第6日可获得“记忆达人”证书； ②当记忆强化训练日时， 3日内的测试时间日， 3日内记忆数字个数分别是6，7，9， ∴记忆数字共有； 当记忆强化训练日时， 3日内的测试时间日， 根据函数图象可得，2日内记忆数字个数分别约是，18， ∴记忆数字共有； 当记忆强化训练日时， 3日内的测试时间日， 1日内记忆数字个数是20， ∴记忆数字共有20； ∵， ∴先进行1日记忆强化训练，在完成理论学习后的3日内记忆数字个数的总数最多， ∴根据上述函数关系，在这3日中小雯应先进行1日的强化训练． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，点和在该抛物线上，且，则的取值范围是______； （3）已知点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． 当时，线段的长随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性进行求解即可； （3）易得，画出图象，数形结合即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 ∵，， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵点和在该抛物线上，且， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：由题可知， ∴， 画出函数图象， 要使得线段的长随m的增大而减小， 由图可知，或． ∵线段的长随m的增大而减小， ∴或， ∴或． 26. 在中，，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．若为中点，连接，． （1）如图1，若点在线段上，在上，直接写出的度数并求的大小； （2）如图2，若点在直线的下方，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1）， （2） ， 证明：延长至点，使得，连接， ∵点为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴ ， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】对于本题，主要利用中点，进行“倍长中线”的辅助线添加，构造全等三角形进行边角之间的转化． （1）由旋转得，，然后结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解，再由直角三角形斜边中线可得，，再根据等腰三角形以及三角形的外角定理即可求解； （2）延长至点，使得，连接，可得四边形是平行四边形，则，可得，然后导角证明，由旋转可得，，故，则，再由等腰三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 解：如图1， 由旋转得，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 略 27. 在平面直角坐标系中，对于及其外部一点，给出如下定义：过点作的一条切线，将点绕这条切线与的切点旋转得到点，若点可以落在以此切点为端点的的直径上，则称点为关于切点的“径上点”． （1）已知的半径为1． ①在点，，，中，关于切点的“径上点”是______； ②点在直线上，且点是关于切点的“径上点”，求点横坐标的取值范围； （2）已知点，的半径为2，直线与轴、轴分别交于，两点．若线段上所有的点都是关于切点的“径上点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；②； （2）或 【解析】 【分析】（1）①由切线性质得，结合点绕切点旋转的性质、，推出在直线上，再根据落在以为端点的直径上，得到，在中由勾股定理，结合是圆外点的条件，推导出“径上点”满足，最后计算各点到原点的距离，验证是否符合该范围即可判断是否为“径上点”． ②设直线上点的坐标为，用两点间距离公式表示出，结合“径上点”的范围，先分析得出对任意实数恒成立，再解不等式，将其整理为一元二次不等式，因式分解后求解该不等式，即可得到点横坐标的取值范围． （2）类比（1）的推导过程，得到的“径上点”满足，即；先求出直线与轴、轴的交点、，设线段上任意一点，用两点间距离公式表示并整理为开口向上的二次函数，根据其对称轴的位置分类讨论，求出在时恒成立的取值范围；再根据开口向上的二次函数当或时，取得最大值，得到的不等式组，解不等式组，再与的的范围结合，即可得到最终的取值范围． 【小问1详解】 ①解：根据题意，的半径，过点作的切线，切点为，由切线的性质得． 将点绕旋转得到，由旋转的性质得，． ∵，， ∴在直线上． ∵落在以为端点的的直径上， ∴，即． 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，即． 又∵是外一点， ∴，即． 对于，，不符合，不是“径上点”； 对于，，符合，是“径上点”； 对于，，不符合，不是“径上点”； 对于，，符合，是“径上点”； 综上，关于切点的“径上点”是，； ②解：设点的坐标为，由“径上点”的要求得， 由，得， ∴为任意实数． 由，得，即， 因式分解得， ∴或， 解得， 即点横坐标的取值范围为； 【小问2详解】 解：的半径，同理可得，的“径上点”满足，即 对于直线，令，得，令，得， ∴，， 设线段上任意一点，则， 则， 这是开口向上的二次函数，对称轴为． 先求当时，一定成立， ①当，即， 当时，函数随着的增大而增大， 当时，取得最小值，为， ∴，解得(舍去)； ②当，即， 当时，取得最小值，为， ∴，解得(舍去)， ∴； ③当，即， 当时，函数随着的增大而减小， 当时，取得最小值，为， 此时，解得， ∴． 综上，或． 再求当时，一定成立， ∵函数开口向上， ∴当或时，取得最大值， ∴， 解得； 综合和，的取值范围或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中新定义问题的理解与转化，圆的切线性质、旋转的性质，勾股定理与平面内两点间距离公式的应用，一次函数的图象与坐标轴交点求解，二次函数的图象与性质(开口方向、对称轴、取值范围内的最值)，一元二次不等式与含参数二次函数恒成立问题的求解，核心考查了几何条件向代数条件的转化能力．关键是准确解读“径上点”的新定义，结合切线、旋转的几何特征推导出点到圆心的距离取值范围，将几何问题转化为代数的函数与不等式问题求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $