8.3.1完全平方公式 课件 2025-2026学年沪科版数学七年级下册

沪科版数学7年级下册培优精做课件 8.3.1完全平方公式 第8章 整式乘法与因式分解 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年3月5日 2026年3月5日星期四12时53分33秒 2026年3月5日星期四12时53分34秒 复习回顾 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 多项式与多项式相乘 (a+b)(p+q) =ap+aq+bp+bq 多项式与多项式相乘的法则 一级标题：黑体， 2 计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？ 探究 (p+1)2= = ； (m+2)2= = . 观察上面的等式，你能发现什么规律？ p2+2p+1 m2+4m+4 (p+1)(p+1) (m+2)(m+2) 一级标题：黑体， 3 原算式有什么共同点？ 探究 (p+1)2= = ； (m+2)2= = . p2+2p+1 m2+4m+4 (p+1)(p+1) (m+2)(m+2) 均为两个数的和的平方. 一级标题：黑体， 4 探究 (p+1)2= = ； (m+2)2= = . p2+2p+1 m2+4m+4 (p+1)(p+1) (m+2)(m+2) m2+2·m·2+22 p2+2·p·1+12 原算式中的各项与它们结果中的各项有什么关系？ 两个数的和的平方，恰好是这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍. 一级标题：黑体， 5 探究 能否将发现的规律用式子表示出来？ 猜想 (a+b)2=a2+2ab+b2 (p+1)2= = ； (m+2)2= = . p2+2p+1 m2+4m+4 (p+1)(p+1) (m+2)(m+2) m2+2·m·2+22 p2+2·p·1+12 一级标题：黑体， 6 你能对发现的规律进行推导吗？ 探究 猜想 小组合作 1.独立思考，完成验证； 2.两人一组，交流思路，完善过程. (a+b)2=a2+2ab+b2 一级标题：黑体， 7 你能对发现的规律进行推导吗？ 探究 (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 多项式乘法法则 合并同类项 两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍. 猜想 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 完全平方公式 一级标题：黑体， 8 能类比两数和的完全平方公式的推导过程，表示两数差的完全平方吗？即：(a−b)2=？ 思考 法一： (a−b)2=(a−b)(a−b) =a2−ab−ab+b2 =a2−2ab+b2 法二： (a−b)2=[a+(−b)]2 =a2+2·a·(−b)+(−b)2 =a2−2ab+b2 两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍. 完全平方公式 (a−b)2=a2−2ab+b2 一级标题：黑体， 9 归纳 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 符号语言 文字语言 一级标题：黑体， 10 你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？ 思考 小组合作 1.独立思考，完成验证； 2.四人一组，交流思路，完善过程. 3.学生分组展示过程. 一级标题：黑体， 11 你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？ 思考 + a2 ab ab b2 = + (a+b)2=a2+2ab+b2 一级标题：黑体， 12 你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？ 思考 (a−b)2 = (a−b)b (a−b)b b2   a2−2(a−b)b−b2 (a−b)2= a2−2ab+b2 一级标题：黑体， 13 观察这两个公式，回答下面的问题： (1) 积的次数和项数分别是多少？ (2) 两个公式中的积有相同的项吗？与a、b有什么关系？ (3) 两个公式中的积中不同的是哪一项？与a、b有什么关系？它的符号与什么有关？ (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2 = a2−2ab+b2 观察 都是二次三项式 积中两项为a、b的平方和 一项为a、b的积的2倍，符号与a、b中间的符号相同 一级标题：黑体， 14 归纳 完全平方公式 公式的特征 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同； 公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2 = a2−2ab+b2 1 2 3 4 口诀： 首平方，尾平方； 积的二倍放中央， 符号与前一个样. 一级标题：黑体， 15 (a + b)2 = a2 + 2 a b +b2 利用乘法公式计算： (1) (2x + y)2； (2) (3a – 2b)2 (2x+y)2 = = 4x2+4xy+y2 (2x) 2+2·2x·y + y2 解：(1) 典型例题 (a – b)2 = a2 – 2 a b + b2 利用乘法公式计算： (1) (2x + y)2； (2) (3a – 2b)2 (3a – 2b)2 = (3a) 2 – 2· 3a· 2b + (2b)2 = 9a2 – 12ab + 4b2 典型例题 解：(2) 知识点1 完全平方公式的特征 1. 下列算式能用完全平方公式计算的是( ) B A. B. C. D. 2. 若是关于的完全平方式，则 ________. 或7 中考考法 18 知识点2 完全平方公式的几何解释 3. （1）如图，分别在图①、图②的相应位置写出各部分的 面积； 中考考法 19 （2）根据总面积与各部分面积之间的关系，写出两个等式. 由图①写出的等式是 ______________，由图②写 出的等式是 ______________. 中考考法 20 知识点3 完全平方公式的应用 4. 计算 的结果为( ) C A. B. C. D. 中考考法 21 5. 若，，则 ( ) C A. B. C. D. 【点拨】因为，，所以 . 中考考法 22 6. （1）已知，，则 ____； （2）已知，，则 ____； （3）已知 ,则 ___. 29 8 中考考法 23 名师点金 完全平方公式 的特点： 1.左边是两个数（或式子）的和（或差）的平方； 2.右边是这两个数（或式子）的平方和,再加上（或减去）这 两个数（或式子）乘积的2倍,可简记为“首平方，尾平方，首 尾2倍在中央”. . . . . 中考考法 24 7. 运用完全平方公式计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 中考考法 25 （3） . 原式 . 利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆 成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式： 一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整 千与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真分数 的和或差. . . . . . . 中考考法 26 8. [2025乐山] 先化简，再求值： ，其中 . 【解】 ， 当时，原式 . 中考考法 27 易错点 对完全平方公式的特征理解不透而致错 9. 已知，，则 ___. 1 10. 将多项式 加上一个整式，使它成为完全平方式， 则下列不满足条件的整式是( ) D A. B. C. D. 中考考法 28 11. （1）若,则 ___; 2 【点拨】已知等式两边平方得 ,则 . 中考考法 29 （2）设,,.若,,则 ____. 【点拨】 . 中考考法 30 12. 若,求 的值. 解：因为 ,所以 .所以， ，所以 ,.所以 . 中考考法 31 根据你的观察，探究下面的问题： （1）若,则 的值为____； 【点拨】原等式可化为 ,所以 ，.所以 .所以 . 中考考法 32 （2）试说明：不论， 取什么值，多项式 的值总是正数； 【解】 . 因为, ,所以 .所以不论， 取什么值，多项式 的值总是正数. 中考考法 33 （3）已知,,是不等边三角形 的三边长，满足 ，且是三角形 的最大边长，则 的取值范围为 ______________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________. 【点拨】因为 ,所以 .所以 .所以， .所以 ,.又因为三角形为不等边三角形且 是最大边 长,所以的取值范围为 . 中考考法 34 13. 【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平 方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数 的平方和. 【验证】 如 ，10为偶数，请把10的 一半表示为两个正整数的平方和. 【解】10的一半为5， . 中考考法 35 【探究】 设【发现】中的两个已知正整数为, ，请说明 【发现】中的结论正确. . 故两个已知正整数， 的和与其差的平方和一定是偶数，且 该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 中考考法 36 14. 两个边长分别为和 的正方形按如图① 所示的方式放置，其未叠合部分（阴影）的面积为 ，若再 在图①中大正方形的左下角摆放一个边长为 的小正方形 （如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）的面积为 .#1 中考考法 37 （1）用含,的代数式分别表示：________， _______________； 中考考法 38 （2）若，，求 的值； 中考考法 39 【解】 . 因为， ， 所以 . 中考考法 40 （3）当 时，求出图③中阴影部分的面积 （即 的值）. 中考考法 41 由题图③可得 ， ， 所以 . 因为 中考考法 42 ，所以 . 中考考法 完全平方公式的特征： 完全平方公式： 完 全 平 方 公 式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同； 公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 1 2 3 4 课堂小结 44 $