8.3.2平方差公式 课件 2025-2026学年沪科版数学七年级下册

沪科版数学7年级下册培优精做课件 8.3.2平方差公式 第8章 整式乘法与因式分解 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年3月5日 2026年3月5日星期四12时53分34秒 2026年3月5日星期四12时53分35秒 复习回顾 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 多项式与多项式相乘 (a+b)(p+q) =ap+aq+bp+bq 多项式与多项式相乘的法则 一级标题：黑体， 2 计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？ 探究 (x+1)(x1)= ； (m+2)(m2)= ； (2x+1)(2x1)= . x21 m24 4x21 观察上面的等式，你能发现什么规律？ 一级标题：黑体， 3 下列问题中相乘的两个多项式有什么共同点？ 探究 (x+1)(x1)= ； (m+2)(m2)= ； (2x+1)(2x1)= . x21 m24 4x21 均为相同的两个数的和、两个数的差的形式. 一级标题：黑体， 4 相乘的两个多项式的各项与它们积中的各项又有什么关系呢？ 探究 (x+1)(x1)= ； (m+2)(m2)= ； (2x+1)(2x1)= . x21 m24 4x21 两个多项式的积恰好是这两个多项式中相同的两个数的平方差. x212 m222 (2x)212 一级标题：黑体， 5 (2x)212 m222 x212 根据发现的规律你能得出什么结论吗？用式子表示出来. 探究 (x+1)(x1)= ； (m+2)(m2)= ； (2x+1)(2x1)= . 猜想 (a+b)(ab)=a2b2 一级标题：黑体， 6 典型例题 【例1】利用乘法公式计算： (1) 1999×2001； (2) (x+3)(x3)(x2+9). (1) 1999×2001 =(20001)×(2000+1) =20002 12 =3 999 999 解： (2) (x+3)(x3)(x2+9) =(x29)(x2+9) =x481. 一级标题：黑体， 7 典型例题 【例2】计算： (1) (a+b+c)2 ； (2) (ab)3. (1) (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 解： (2) (ab)3 =(ab) (ab)2 =(ab)(a22ab+b2) =a32a2b+ab2a2b+2ab2b3 =a33a2b+3ab2b3. 一级标题：黑体， 8 你能对发现的规律进行推导吗？ 探究 猜想 (a+b)(ab)=a2b2 小组合作 1.独立思考，完成验证； 2.两人一组，交流思路，完善过程. 一级标题：黑体， 9 你能对发现的规律进行推导吗？ 探究 猜想 (a+b)(ab)=a2b2 (a+b)(ab) =a2ab+abb2 =a2b2 多项式乘法法则 合并同类项 (a+b)(ab)=a2b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式 符号语言 文字语言 一级标题：黑体， 10 你能根据图中的图形面积说明平方差公式吗？ 思考 b a a b b 小组合作 1.独立思考，完成验证； 2.四人一组，交流思路，完善过程. 3.学生分组展示过程. 一级标题：黑体， 11 S1 S2 S3 S4 你能根据图中的图形面积说明平方差公式吗？ 思考 b a a b b a a b b S1 S3 S4 b a S1 S2 S2=S3 S1+S3 =a2b2 S1+S2 ab =(a+b)(ab) (a+b)(ab)=a2b2 几何意义 是否还有其它的剪拼方法来证明？ 一级标题：黑体， 12 归纳 平方差公式 (a+b)(ab)=a2b2 相同项 相反项 (相同项)2(相反项)2 平方差公式的特征 等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项. 等号右边是相同项的平方减去相反项的平方. 公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子. 一级标题：黑体， 13 做一做 判断下列式子是否能用平方差公式计算： (1) (a+2b)(a−2b) (2) (a−2b)(2b−a) (3) (2ab)(b+2a) (4) (a−3b)(a+3b) (5) (2x+3y)(3y−2x) 不能 不存在相同的项 不能 不存在相同的项 不能 不存在相反的项 能 a2−(3b)2  = a2+9b2 不能 不存在相反的项 符合平方差公式的特征才能运用平方差公式计算. 一级标题：黑体， 14 知识点1 应用平方差公式的条件 1. 下列式子中，和 相乘能用平方差公式进行计算的 是( ) A A. B. C. D. 中考考法 15 2. [2025池州期末] 下列各式中不能用平方差公式计算的是 ( ) B A. B. C. D. 中考考法 16 知识点2 平方差公式的几何解释 3. 如图，将大正方形通过剪、拼后分解成新的图形，利用等 面积法可验证某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能 够验证平方差公式的是( ) C A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②④ 中考考法 17 知识点3 平方差公式的应用 4. 计算: ________. 5. 若,,则 的值为___. 2 6. 已知，则 的值为 ( ) A A. 13 B. 8 C. D. 5 【点拨】因为,所以 所以 .所以 . 中考考法 18 7. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 中考考法 19 8. 计算： （1） ; 【解】原式 . （2） ; 原式 . 中考考法 20 （3） . 原式 . 中考考法 21 9. [2025湖南] 先化简，再求值： ， 其中 . 【解】 ， 当时，原式 . 中考考法 22 名师点金 1.平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个 二项式有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是左边的 相同项的平方减去互为相反数的项的平方. 2.公式中的字母, 可以是单项式， 也可以是多项式. . . . . . . 中考考法 23 易错点 对平方差公式的特征理解不透而出错 10. 下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 24 11. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的 平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如 ， ，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下 列结论中错误的是( ) D A. 20是“完美数” B. 最小的“完美数”是4 C. “完美数”一定是4的奇数倍 D. 小于30的所有“完美数”之和是60 中考考法 25 【点拨】 ，因此20是“完美数”，所以选项A不符 合题意；两个连续偶数的平方差最小为4，因此“完美数”最小 为4，所以选项B不符合题意；设两个连续偶数为 ， （为整数），则 ， 所以“完美数”一定是4的奇数倍，所以选项C不符合题意；小于30的所有“完美数”的和为 ，因此 选项D符合题意. 中考考法 26 12. 阅读材料，解答下列问题. 和 是我们 熟悉的两个乘法公式.将这两个公式变形，可得到一个新公 式： ，这个新公式形似平方差公式，我 们称之为“准平方差公式”.灵活、恰当地运用这个新公式将会 使一些数学问题迎刃而解. 中考考法 27 （1）利用新公式化简： ； 【解】原式 . 中考考法 28 （2）已知实数，，满足，且 ，试说 明： . 因为，所以.因为 ，所以 .所以 .所以 .所以.所以 . 中考考法 29 13. 阅读材料，解决问题.#1 小明遇到下面一个问题: 计算 . 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现 特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法 如下： 中考考法 30 .#1.1.2.6 中考考法 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1） ________； 【点拨】原式 . 中考考法 32 （2） _ _____； 【点拨】 原式 . 中考考法 33 （3）化简： . 【解】当 时，原式 中考考法 34 ； 当 时，原式 . 中考考法 平方差公式的特征： 平方差公式： 平 方 差 公 式 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项. 等号右边是相同项的平方减去相反项的平方. 公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子. (a+b)(ab)=a2b2 课堂小结 36 $