8.3 完全平方公式与平方差公式 第1课时 课件-2024-2025学年沪科版七年级数学下册

沪科版·七年级下册 完全平方公式 知识回顾 多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. (a + b)(m + n) = + bm am + an + bn 新课探究 (a + b)2 = _______________ (a － b)2 = _______________ a2 + 2ab + b2 a2 － 2ab + b2 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍. 观 察 完全平方公式，除了直接由多项式的乘法得到，还可以通过图形面积割补的方法得到. 观察下面的两幅图，写出所蕴含的等式. a b a b (a + b)2 a2 ab ab = + + (a + b)2 = a2 + 2ab +（ ） b2 a b a b (a － b)2 a2 = － + (a － b)2 = a2 －（ ）+ b2 b2 2ab 例 1 利用乘法公式计算： （1）(2x + y)2； （2）(3a －2b)2. 解 （1）(2x + y)2 = (2x)2 + 2·(2x)y + y2 ( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 = 4x2 + 4xy + y2 运用公式计算，要先识别 a，b 在具体式子中分别表示什么. 例 1 利用乘法公式计算： （1）(2x + y)2； （2）(3a －2b)2. （2）(3a －2b)2 = (3a)2 －2·(3a)(2b) + (2b)2 ( a － b )2 = a2 － 2 a b + b2 = 9a2 －12ab + 4b2 例 2 利用乘法公式计算：(－m－2n)2 . 解 (－m－2n)2 = [－(m + 2n)]2 = (m + 2n)2 = m2 + 4mn + 4n2 解 (－m－2n)2 = (－m)2－2·(－m)·2n + (2n)2 = m2 + 4mn + 4n2 看作一个整体，运用完全平方公式 (a－b)2 练 习 1. 利用乘法公式计算： （1）(3x + 1)2 ； （2）(a－3b)2 . 解 （1）(3x + 1)2 （2）(a－3b)2 = (3x)2 + 2·(3x)·1 + 12 = 9x2 + 6x + 1 = a2 － 2a·(3b) + (3b)2 = a2 － 6ab + 9b2 （3） ； （4）(－2x + 3y)2 . （3） （4）(－2x + 3y)2 = (－2x)2 +2·(－2x)·(3y)+(3y)2 = 4x2 －12xy + 9y2 2. 如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去 3 cm 宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形 的面积减少 84 cm2，求原正方形的边长. 设原正方形的边长为 a cm. 3 3 （单位：cm） 小正方形的边长为 (a－6) cm. a2－ (a－6)2 = 84 2. 如图，一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去 3 cm 宽的一条，那么所得小正方形的面积比原正方形 的面积减少 84 cm2，求原正方形的边长. a2 －(a－6)2 = 84 a2 －(a2－12a + 36) = 84 12a = 120 a = 10 3 3 （单位：cm） 答：原正方形的边长为10 cm. 课堂小结 完全平方公式 两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的 2 倍. $$