1.5《角平分线》课后巩固练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2026 年春季北师大版八年级(下) 第一章 三角形的证明 1.5角平分线 一、选择题 1.（25-26·贵州期中）某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（     ） A.三条高线的交点处 B.三条角平分线的交点处 C.三条中线的交点处 D.以上都不对 2.（25-26·江苏期末）如图，点在的角平分线上，于点，．若，，则的面积等于（      A.2 B.4 C.6 D.8 3.（25-26·浙江期末）如图，平分，垂直于点，的面积等于，，则的长为（     ） A. B. C. D. 4.（25-26·山西期末）如图，在中，，为延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，连接．若，则的度数为（       ） 5.（25-26·全国月考）如图两条笔直的公路、相交于点，公路的旁边建三个加工厂、、，已知，，村到公路的距离为，则村到公路的距离是（    ） A. B. C. D. 6.（25-26·安徽期末）如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（       ） A. B. C. D.不能确定 7.（25-26·河北月考）如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（     ） A.若，则 B.若，则 C.CF平分 D. 8.（25-26·广东月考）如图，在Rt 中，平分．边的垂直平分线分别交于点，以下说法正确的是（     ） ①；②CD ；③DE ；④． A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④  二、填空题 9.（25-26·海南期中）点在内，且到三边的距离相等，若，则___________． 10.（25-26·广东月考）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有__________个． 11.（25-26·江苏月考）如图，在中，，平分，过点作于点，若，则________． 12.（25-26期末）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为________． 13.（25-26·辽宁月考）如图，在与中，，，，连接和交于点，连接．则___________（用含的代数式表示）． 14.（25-26·浙江期末）如图，，点在内部，线段，，，分别是射线，上的动点（不与重合），连接，分别作，的平分线交于点，连接．则线段的最小值为________． 三、解答题 15.（25-26·山东月考）电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄、的距离必须相等，且到两条高速公路、的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置，并说明理由． 16.（25-26期末）如图，平分，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 17.（25-26·湖北月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD． （1）求证：CF＝BE （2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长 18.（25-26·广东期中）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分∠ADC； （3）若，，，且，求的面积． 19.（25-26期末）如图，在中，，点在边上，连接，过点作于点，连接，垂直平分线段，点在边上． （1）求证：平分； （2）若． ①试判断与相等吗？并说明理由； ②若，求的长． 20.（25-26·上海月考）在中，点、分别在、边上，连接、，于，且． （1）如图，求证：； （2）如图，若，于，连接交于，求证：； （3）如图，在的条件下，若，，求的长． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春季北师大版八年级（下） 第一章三角形的证明 1.5角平分线 一、选择题 1.(25-26·贵州期中)某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的 三角形平地上修建一个度假村，如图所示.要使度假村到三条公路的距离相等， 这个度假村应修建在() A.△ABC三条高线的交点处B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条中线的交点处D.以上都不对 【答案】B 【解析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角 平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答， 【解答】解：：度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， 度假村应该在△ABC三条角平分线的交点处， 故选：B. 2.(25-26·江苏期末)如图，点E在∠A0B的角平分线上，EC⊥OB于点C, EC=2.若EF//OB,∠EFA=30°，则△OFE的面积等于( A.2B.4 C.6D.8 第1页共25页 【答案】B 【解析】本题主要考查了角平分线、含30°角直角三角形、等腰三角形的 判定和性质以及平行线的性质；过点E作ED⊥OA,交OA于点D,根据 角平分线的性质可得ED=EC和∠BOE=∠AOE,再根据含30°角直角三角 形的性质计算求得EF的长，利用平行线的性质证明∠OEF=∠EOF，求得 EF=OF,利用三角形面积公式即可解答 【解答】 解：如图，过点E作ED⊥OA,交OA于点D,如图所示： B DA 由条件可知ED=EC=2∠BOE=∠AOE :∠AFE=30°，ED⊥OA ·EF=2ED=4 EF IIOB, ÷∠BOE=∠OEF=∠AOE, :EF=OF=4, :△OFE的面积是OP×ED=4 故选：B 3.(25-26·浙江期末)如图，BD平分∠ABC,DE垂直AB于点E,△ABC的 面积等于90，AB=18,BC=12,则DE的长为() B A.15B.3 C.6D.9 第2页共25页 【答案】C 【解析】本题考查了角平分线的性质；根据角平分线上的点到角的两边的距 离相等的性质可得点D到BC的距离等于DE,然后根据△ABC的面积=△ABD 的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解， 【解答】解：：BD平分∠ABC,DE垂直于AB于E点， ·点D到BC的距离等于DE的长度， "AB=18,BC=12 SAABC=SAABD+SABCD =号×18·DE+号×12·DE =DE(18+12=15DE, :△ABC的面积等于90， ·15DE=90, 解得DE=6 故选：C 4.(25-26·山西期末)如图，在△ABC中，AB=AC,E为BA延长线上一 点，∠EAC的平分线与∠EBC的平分线交于点D,连接DC.若∠BAC=70°，则 ∠ADC的度数为() A.55°B.62.5°C.65°D.70 【答案】B 【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性 质以及判定，解题的关键是正确作出辅助线求解. 第3页共25页 过点D分别作直线AC,BC,AB的垂线，垂足为G,E,H，先由等边对等角以 及三角形内角和定理求解∠ABC=∠ACB=55°，以及可求∠HAC=110°， 再证明CD平分∠ACF,然后由角平分线的定义求解 ∠DAC=寺∠HAC=55,ACD=克∠ACF=62.5°，再由三角形内角和定理求解 即可 【解答】解：如图，过点D分别作直线AC,BC,AB的垂线，垂足为 G,F,H H :∠BAC=70,AB=AC, ÷∠HAC=180°-∠BAC=110, ∠ABC=∠ACB=18C-,BAC=55, ·∠ACF=180°-∠ACB=125, :∠EAC的平分线与∠EBC的平分线交于点D,DH⊥BA,DG⊥AC,DF⊥BC ·∠DAC=∠HAC=55,DH=DG,DH=DF, ·DG=DE,:CD平分∠ACF, ACD=ACF=62.5, ·∠ADC=180-∠DAC-∠ACD=62.5, 故选：B. 5.(25-26·全国月考)如图两条笔直的公路1、2相交于点0，公路的旁边 建三个加工厂A、B、D,已知AB=AD=62kam,CB=CD=58am,C村到公路 l1的距离为5am,则c村到公路2的距离是() 第4页共25页 D A.6.2km B.5.8km C.5.4km D.5km 【答案】D 【解析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相 关知识点是解题的关键 证明△ABC兰△ADC,可得∠BAC=∠DAC,根据角平分线的性质，即可得C村 到公路2的距离 【解答】解：在△ABC和△ADC中， AB=AD CB=CD AC=AC ·△ABC兰△ADC, ·∠BAC=∠DAC, ·AC为∠BAD的角平分线， :点C到l的距离与点C到l2的距离相等， :C村到公路l的距离为5am, :C村到公路2的距离是5kam: 故选：D 6.(25-26·安微期末)如图，△ABC的三边AB,AC,BC的长分别是10， 15,20,0是△ABC内一点，且S2A0B:S△oc:S2Bc=2:3:4,则 ∠1+∠2+∠3等于() 第5页共25页 A.60°B.90°C.120°D.不能确定 【答案】B 【解析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理，解题的关键是 掌握以上知识点， 如图所示，过点0作OD L AB于点D,过点0作OE1AC于点E,过点0作 OF1BC于点E,根据S△AoB:S△A0c:S△BOc=2:3:4得到OD=OE=OP, 求出∠1=∠0AC=专∠BAC,∠2=∠OBA=克∠ACB,∠3=∠0CB=∠ABC，然 后利用三角形内角和定理求解即可. 【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D,过点O作OE⊥AC 于点E,过点O作OF⊥BC于点F, B :△ABC 的三边 AB,AC,BC 的长分别是10,15,20，且 SAAOB:SAAOC:SABOC=2:3:4, ABOD 2专AC0E AGOE 3BCOF ×100D ×150E ×150E 岁×200F ÷OD=OE,OE=OE OD=OE=OF, 又：OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC ·∠1=∠0AC=克∠BAC, L2=LOBA=支∠ACB, 23=20CB=ABC ·∠1+L2+3=(LBAC+ACB+ABC)=×180°=90 故选：B 第6页共25页 7.(25-26·河北月考)如图，已知△ABC中，∠ACB为钝角，分别以边AC ,BC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ACD和△BCE,线段BE与AD相 交于点F,CE交AD于点G,CD交BE于点H,连接CP.下列说法不一定正确的是 () -B A.若∠ACB=150,则∠BFD=60°B.若∠ECD=90°，则∠ACB=150 C.CF平分AFB D.AF=CF +EF 【答案】D 【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的 判定。根据对称得到△ABC兰△ADC,△ABC兰△EBC,则AC=EC, CD=CB AD=AB=BE ∠D=∠ABC=∠EBC ACD=∠ACB=∠ECB,∠E=∠CAB=∠CAD,据此逐个判断即可。 【解答】解：：以边AC,BC所在直线为对称轴作△ABC的对称图 形△ACD和△BCE, ·△ABC兰△ADC,△ABC兰△EBC, :∠ACB=150, A.若∠ACB=150°，则∠ACD=∠ACB=∠ECB=150, ·∠CAD+∠EBC=∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=30, ·∠BFD=∠FAB+∠FBA=∠CAD+∠EBC+∠CAB+∠CBA=6O°，故A正确： B.若 ∠ECD=90°，设 ∠ACD=∠ACB=∠ECB=,则 ∠ACE=∠ACD-∠ECD=Q-90°， :∠ACE+∠ACB+∠ECB=360°， a《-90++=360, 解得《=150 ·∠ACD=ACB=∠ECB=Q=150°，故B正确； 第7页共25页 C.:△ABC兰△ADC,△ABC兰△EBC, ·SAABC=SAADC=SAECB AD=BE, :△EBC的边BE与△ADC的边AD上的高相等，即点C到AD和 BE的距离相等， ·CF平分∠AFB;故C正确： D.在AF上截取FQ=FC,连接CQ, 由∠A=∠E,AC=CE,不能证明△ACQ兰△ECF,故无法证得AQ=EF 不能确定AF=AQ+FQ≠CF+EF,故D错误； 故选：D 8.(25-26·广东月考)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90,∠ABC=30,CD平分∠ACB.边AB的垂直平分线DE分别交CD,AB 于点D,E,以下说法正确的是() ①∠BAC=60';②CD=2BE:③DE=AC:④V2CD=BC+AB A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④ 【答案】C 【解析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、角平分线的性 质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键， 第8页共25页 连接DBDA,过点D作DML BC于M,DN L CA交CA的延长线于 N, (1)根据三角形内角和定理可得∠BAC=60°： ②，由等腰直角三角形的性质可得CD=V2CN,由Rt△DMB兰Rt△DNA 进一步得∠BDA=∠DN=90°，可知2BE=AB=V2AD,因为 CN=DN<AD,所以CD<2BE; ③，由等腰直角三角形的性质可得DE=AE=专AB=AC; ④，由等腰直角三角形的性质可得V2CD=V2V2CN=2CN,由 △DMB兰△DNA得BM=AN,所以BC+AB=CM+AN+AC=2CN,所 以V2CD=BC+AB· 【解答】解：连接DB、DA,过点D作DM LBC于M,DN⊥CA交CA的延长线 于N, Rt△ ABC中 ∠ACB=90 ,∠ ABC=30° ·∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=60, 故①正确； :CD平分∠ACB,∠ACB=90° .∠NCD=∠MCD=45 又：DM⊥BCDN⊥CA, ·△DMC△DNC是等腰直角三角形， .CD=V2CN,CN=ND=DM=MC, :∠N=∠NCM=∠CD=90, ÷∠MDN=90, ,DE垂直平分AB, 第9页共25页 :DB=DA, 又：DM=DN :RtDB兰R tADNA(HL, &∠BDM=∠ADN :∠BDA=∠DN=90, ·△ABD是等腰直角三角形， 2BE=AB=2AD, 'CN=DN<AD,·CD<2BE 故选项②错误： :△ABD是等腰直角三角形，DE⊥AB, DE=AE=AB, 又：AC=AB, .DE=AC, 故选项③正确； :△DNC是等腰直角三角形， CD=2CN,2CD=2CN, :RtADMB≌Rt△DNA, BM=AN, :BC+AB=CM+AN+AC=2CN, 2CD=BC+AB, 故选项④正确： 故选：C 二、填空题 9.(25-26·海南期中)点0在△ABC内，且到三边的距离相等，若 ∠A=60°，则∠B0C=120 【答案】120 第10页共25页