1.4《线段的垂直平分线》课后巩固练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2026年春季北师大版八年级（下） 第一章三角形的证明 1.4线段的垂直平分线 一、选择题 1.(25-26·黑龙江期末)如图，在△ABC中，通过尺规作图，得到直线 DE和射线AF,仔细观察作图痕迹，若∠B=42°，∠C=50°，则∠EAF的度数为 ) A.20°B.23°C.28°D.30 2.(25-26·山东月考)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，AB的垂 直平分线MN交AC于点D,则∠DBC=i( ). D A.40°B.30°C.50°D.35 3.(25-26期末)如图，在△ABC中，BC=9,AB的垂直平分线分别交AB BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,则△AEG的周长为 第1页共8页 B A.10B.9 C.8D.7 4.(25-26·浙江期末)如图，△ABC的边AB,BC的垂直平分线交于点P, 若PA+PB=18,则PC的长为( ) A.7B.8 C.9D.10 5.(25-26·湖北月考)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=14,BC=DC, ∠A=60°，点E在AD上，连接BD,CE相交于点F,CE/iAB.若CE=12,则CF 的长为( A.9 B.6C.7D.10 6.(25-26月考)如图，已知在△ABC中，CD平分∠BCA,DE垂直平分 AB,DF⊥CA交CA的延长线于F,连接BD,若∠BCD=a,则∠BDE可以表示为 第2页共8页 A.90°-a B.2ac90'-an.30+n 7.(25-26·福建月考)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=146°， ∠B=∠E=90°，在直线BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小， 此时∠MAN的度数为() E A.112° B.104° C.96°D.849 8.(25-26·浙江月考)如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线 AD与边BC的垂直平分线MD相交于D,DE⊥AB交AB的延长线于E,DF⊥AC 于F,下列结论：①DE=DF;②DE+DF=AD;③DM平分∠EDF;④ AB+AC=V3AD;正确的是( A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④ 二、填空题 第3页共8页 9.(25-26·山东月考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6, AB=8,分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于D,E 两点，连接DE交AC于点F,则AF的长为· B C 10.(25-26期末)如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AD=2, △ACE的周长为8，则△ABC的周长为 D 11.(25-26·山西期中)△ABD和△BCD按如图方式摆放，其中AB=AD, CB=CD,点E为AD上一点，连接CE交BD于点F,∠EFD=∠ABD.若AD=9, CE=6,则CF的长为 第4页共8页 12.(25-26·安微月考)如图，AC平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交 BC于点E,若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为 13.(24-25·北京期中)如图，△ABC周长为16cm,AC=6cm, AD⊥BC,EF垂直平分AC,BD=DE,则DC=U cm. 14.(25-26·陕西期末)在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°， AB=AC=4,E为BC上一点，BE:BC=1:4,DE/UAB,交AC于点D,点F为直 线DE上一点，则△BAF周长的最小值为 F B E 三、解答题 第5页共8页 15.(25-26期末)已知：线段a,b. 求作：△ABC,且AB=AC,使BC=a,BC边上的高AD=b.(保留作图痕迹， 不写画法) a b 16.(25-26·山西期末)如图，在△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一点， 且OB=OC.求证：AO平分∠BAC. 17.(25-26期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC 垂足分别是E,F,连接EF,EF与AD相交于点G.求证： G (1)△AEF为等腰三角形. (2)AD是EF的垂直平分线. 18.(25-26期末)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点 E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED上，∠BAF=∠EAD 第6页共8页 (1)求证：△ABC=△AFD: (2)连接CF,若BE=FE,请探究∠FCD与∠FDC之间的数量关系，并说 明理由、 19.(25-26期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D 在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于 点F,连接DE (1)判断DE与DP的位置关系，并说明理由； (2)若AC=6,BC=8,PA=2,求DE的长. 20.(25-26·江苏月考)已知，AB=AC=AD=13,BC=10,点D在直线 AC右侧. 图3 备用图 第7页共8页 (1)如图1，若AD1iBC,请直接写出∠C和∠D之间的数量关系： (2)如图2，若∠CAD=∠BAC,则∠C和∠D有怎样的数量关系？证明 你的结论. (3)如图3，若∠CAD>∠BAC,点E为BD的中点，连接AE并延长交BC 的延长线于点F,连接DF. ①若DF⊥BF,求DF的长： ②BD=24,求DF的长. 第8页共8页2026年春季北师大版八年级（下） 第一章三角形的证明 1.4线段的垂直平分线 一、选择题 1.(25-26·黑龙江期末)如图，在△ABC中，通过尺规作图，得到直线 DE和射线AF,仔细观察作图痕迹，若∠B=42°，∠C=50°，则∠EAF的度数为 A.20°B.23°C.28°D.30 【答案】B 【解析】本题主要考查了作图一基本作图、线段垂直平分线的性质、角平 分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键。 由作图可知，DE为线段AB的垂直平分线，AF为∠EAC的平分线，则 AE=BE,∠EAF=号∠EAC,从而得到∠BAE=∠B=42°由三角形内角和 定理求出∠EAC=46°，即可得到答案. 【解答】解：由作图可知，DE为线段AB的垂直平分线，AF为∠EAC 的平分线， .AE=BE,∠EAF=∠EAC, 2 ∴.∠BAE=∠B=42°， .∠EAC=180°-∠B-∠C-∠BAE 元180°-42°-50°-42°=46， 第1页共25页 ·∠EAF=号∠EAC=23. 故选：B. 2.(25-26·山东月考)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，AB的垂 直平分线MN交AC于点D,则∠DBC=(( A.40°B.30°C.50°D.35° 【答案】B 【解析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，线段垂直平分 线的性质，根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠ABC的度数，根据线 段垂直平分线的性质可得AD=BD，根据等边对等角得到∠ABD的度数， 据此可得答案， 【解答】解：AB=AC,∠A=40 .∠ABC=∠C=180∠A=70, 2 ,'AB的垂直平分线MN交AC于点D, ∴.AD=BD, ∴.∠ABD=∠A=40°， ∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°， 故选：B. 3.(25-26期末)如图，在△ABC中，BC=9,AB的垂直平分线分别交AB BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,则△AEG的周长为 第2页共25页 A.10 B.9 C.8D.7 【答案】B 【解析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性 质是解题的关键， 根据线段垂直平分线的性质可得出AE=BE,AG=GC,则可求出△AEG的周 长等于BC,从而可求出△AEG的周长. 【解答】解：'DE垂直平分AB,FG垂直平分AC, ∴.AE=BE,AG=GC, ∴.△AEG的周长=AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC=9. 故选：B. 4.(25-26·浙江期末)如图，△ABC的边AB,BC的垂直平分线交于点P, 若PA+PB=18,则PC的长为( A.7 B.8 C.9D.10 【答案】C 【解析】本题考查三角形中求线段长，涉及垂直平分线的性质，熟记垂直 平分线的性质是解决问题的关键.由题意，结合垂直平分线的性质得到 第3页共25页 PA=PB=PC,再结合PA+PB=18即可得到答案， 【解答】解：：△ABC的边AB,BC的垂直平分线交于点P, ∴.PA=PB=PC, .PA+PB=18, ∴.PC=PA=9, 故选：C 5.(25-26·湖北月考)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=14,BC=DC, ∠A=60°，点E在AD上，连接BD,CE相交于点F,CE/UAB.若CE=12,则CF 的长为( A.9 B.6 C.7D.10 【答案】D 【解析】本题考查了等边三角形的性质和判定，中垂线的判定和性质，熟 练运用等边三角形的判定是本题的关键.连接AC交BD于点O，由题意可 证AC垂直平分BD,△ABD,△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形，作 差计算即可 【解答】解：连接AC交BD于点O 第4页共25页 B ,AB=AD=14,BC=DC,∠BAD=60° '.AC垂直平分BD,△ABD是等边三角形 ∠CAB=∠CAD=∠BAD=30°，∠ADB=60, .CE/i AB ∴.∠BAD=∠些i60°=∠ADB, ∠CAB=∠ACE=∠CAD=30 ∴.△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形，AE=CE=12, ∴.DE=EF=AD-AE=2, ∴.CF=CE-EF=10. 故选：D 6.(25-26月考)如图，已知在△ABC中，CD平分∠BCA,DE垂直平分 AB,DF⊥CA交CA的延长线于F,连接BD,若∠BCD=a,则∠BDE可以表示为 D A.90°-a B.2aC.90-.3 【答案】A 【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接DA,过D作 DG⊥BC于G,利用角平分线的性质得出DG=DF,进而证明△DBG与 第5页共25页 △DAF全等，进而解答即可. 【解答】解：连接DA,过D作DG⊥BC于G, .CD平分∠BCA,DF⊥CA交CA的延长线于F, ∴.DG=DF, .DE垂直平分AB, ∴.DB=DA,∴.∠BDA=2∠BDE, 在Rt△DBG与Rt△DAF中， DB=DA DG=DF .RtADBG≌RtADAF(HL), .∠BDG=∠ADF, ∴.∠BDG+∠GDA=∠GDA+∠ADF, 即∠BDA=∠GDF=180°-∠BCA=180°-2a=2∠BDE, ∴.∠BDE=90°-a, 故选：A 7.（25-26·福建月考)如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=146°， ∠B=∠E=90°，在直线BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN的周长最小， 此时∠MAN的度数为() 第6页共25页 A.112 B.104° C.96°D.84 【答案】A 【解析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，延长AB至点F,延 长AE至点G,连接FG,MF,NG,推出MB垂直平分AF,NE垂直平分AG,得到 FM=AM,GN=AN,进而得到△AMN的周长dAM+MN+AN=FM+MN+NG, 得到当F,M,N,G四点共线时，△AMN的周长最小，根据等边对等角，三角形 的内角和定理，求出∠MAN的度数即可. 【解答】解：延长AB至点F,延长AE至点G,连接FG,MF,NG, 则：AB=BF,AE=EG, :∠ABC=∠AED=90° .∴.MB垂直平分AF,NE垂直平分AG, ∴.FM=AM,GN=AN, '.△AMN的周长iAM+MN+AN=FM+MN+NG, ∴.当F,M,N,G四点共线时，△AMN的周长最小， .FM=AM,GN=AN, 第7页共25页 ∴.∠AFM=∠FAM,∠NAG=∠NGA, :∠BAE=146' .∠FAM+∠NGA=∠AFM+∠NAG=180°-146°=34' .∠MAN=∠BAE-∠FAM-∠GAN=112 故选A。 8.(25-26·浙江月考)如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线 AD与边BC的垂直平分线MD相交于D,DE⊥AB交AB的延长线于E,DF⊥AC 于F,下列结论：①DE=DF;②DE+DF=AD:③DM平分∠EDF;④ AB+AC=V3AD;正确的是( B A.①② B.①③ C.①②③D.①②④ 【答案】D 【解析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知∠EAD=∠FAD=30 ,故此可知ED=AD,DF=号AD,从而可证明@正确：若DM平分∠EDF, 则DM⊥EF,与MD⊥BC矛盾，可得③错误；连接BD、DC,然后证 明△EBD=△DFC,从而得到BE=FC,AB+AC=AE+AF=V3AD,从 而证明④. 【解答】解：，.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .ED=DF, .①正确： 第8页共25页 :∠EAC=60,AD平分∠BAC .∠EAD=∠FAD=30°， .DE⊥AB,∠EAD=30, ·ED=3AD, 同理： DE-AD, .'DE+DF=AD, ∴.②正确： .ED=DF, ∴.若DM平分∠EDF,则DM⊥EF,与MD⊥BC矛盾， ∴③错误： 如图所示：连接BD、DC, D ,DM是BC的垂直平分线， .'DB=DC, 在Rt△BED和Rt△CFD中， DE=DF BD=DC ∴.Rt△BED≌RtACFD(HL), ∴.BE=FC, .AB+AC=AE-BE+AF+FC=AE+AF, 第9页共25页 :RIAAED中，ED=号AD,R△AFD中，DF=号AD, 12 ..AE=AF=AD2- 93 AD ∴.AB+AC=AE+AF=3AD, .④正确： 综上可知，正确的有①②④， 故选D. 二、填空题 9.(25-26·山东月考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6, AB=8,分别以点A和点C为圆心，大于号AC的长为半径画弧，两弧交于D,E 两点，连接DE交AC于点F,则AF的长为5. E F 【答案】5 【解析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质及尺规作线段垂直 平分线：掌握尺规作线段垂直平分线是关键：由勾股定理可求得AC=10,由作 图知，DE⊥AC,AF=CF,即可得AF的长. 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6,AB=8, 第10页共25页