专题03 导数常考大题归纳（专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题03 导数常考大题归纳（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、导数与单调性、极值（不含参） 1 题型二、导数与单调性、极值（含参讨论） 3 题型三、根据极值点个数求参 6 题型四、零点问题求参 14 题型五、恒成立问题求参 17 题型六、能成立问题求参 22 题型七、证明不等式 26 题型八、极值点偏移 30 题型九、其他双变量问题 35 题型十、导数结合数列 42 B综合攻坚・能力跃升 题型一、导数与单调性、极值（不含参） 1．（25-26高二上·湖南长沙·期末）设函数，曲线在点处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数的极值点. 2．（2026高三·北京·专题练习）已知函数，求的单调区间. 3．（25-26高二上·福建厦门·月考）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 题型二、导数与单调性、极值（含参讨论） 1．（2026高三·天津·专题练习）已知函数，，求函数的单调区间和极值. 2．（2026高三·北京·专题练习）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 3．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 题型三、根据极值点个数求参 1．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； (3)若，有三个极值点，求实数的范围. 2．（2026·山东·模拟预测）已知函数． (1)求的定义域； (2)当时， （i）若，证明：； （ii）若存在三个极值点，求实数的取值范围． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数在处的切线经过，求的值； (2)若函数存在两个极值点，求的取值范围； 题型四、讨论零点（解）的个数 1．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 2．（25-26高三上·北京朝阳·月考）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极值点， （i）证明：的取值范围是的子集； （ii）求在区间内的零点个数. 3．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)判断函数在上的零点个数，并说明理由. 题型四、零点问题求参 1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若方程在上恰有2个实数根，求m的取值范围． 2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围． 3．（25-26高三下·甘肃白银·月考）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 题型五、恒成立问题求参 1．（2026·河北衡水·模拟预测）已知，，． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，（），其中是自然对数的底数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若存在，使得成立，求a的取值范围 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若，且，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若，且对任意，均有，求b的取值范围. 题型六、能成立问题求参 1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，（），其中是自然对数的底数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若存在，使得成立，求a的取值范围 3．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； (3)若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 题型七、证明不等式 1．（2026·贵州贵阳·一模）已知函数，． (1)令，求在点处的切线方程： (2)讨论在上的单调性； (3)证明：（i）当时， （ii）． 2．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 3．（2026·云南大理·二模）已知函数． (1)当时，求的定义域； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围； (3)当时，证明：若，，则．（参考数据：，，） 题型八、极值点偏移 1．（2026·广东梅州·一模）（1）求函数在区间上的值域； （2）设函数. ①求证：当时，有唯一零点； ②，分别是的两个不相等的极值点，求证：. 2．（2026高二·全国·专题练习）已知函数 有两个极值点 且 . (1)求实数 的取值范围； (2)证明: . 3．（25-26高三上·河北·期中）已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点，求证：. 题型九、其他双变量问题 1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数， (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若且，求证：． 2．（2025·陕西汉中·一模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)当时，若，且，证明：． 3．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数. (1)当时，讨论的单调性. (2)设. （ⅰ）若，使不等式成立，求的取值范围. （ⅱ）若，且，比较与的大小，并证明你的结论. 题型十、导数结合数列 1．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数 (1)求函数，的零点个数; (2)记在上的零点为，求证; （i）是一个递减数列 （ii）． 2．（2026·湖南岳阳·一模）已知实数，函数． (1)当时，试比较和的大小，并说明理由： (2)若时，，求的取值范围； (3)设正项数列的前项和为，若，且，求证：． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 1．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·月考）已知函数． (1)求函数在上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的，均有，求的取值范围． 2．（2026高三·上海·专题练习）已知 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围. 3．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在原点处的切线方程； (2)若在内有两个极值点，求实数的取值范围； (3)时，讨论关于的方程的根的个数． 4．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 5．（25-26高三上·天津·开学考试）已知函数，的导函数记为为自然对数的底数，约为. (1)判断函数的零点个数； (2)设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明： ①； ②. 6．（2026高三·天津·专题练习）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 7．（25-26高二上·浙江衢州·期末）设函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若有解，求实数的取值范围. 8．（25-26高三上·山东滨州·期末）已知函数． (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)若函数有三个零点，，，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)若存在不等实数和，满足，且，求的取值范围． 10．（2026·江苏南通·一模）已知函数． (1)当时，求的零点； (2)给定数集，任给，对应关系使函数的零点与对应． ①证明：是函数，并讨论该函数的单调性； ②若数列满足，证明：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数常考大题归纳（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、导数与单调性、极值（不含参） 1 题型二、导数与单调性、极值（含参讨论） 3 题型三、根据极值点个数求参 6 题型四、零点问题求参 14 题型五、恒成立问题求参 17 题型六、能成立问题求参 22 题型七、证明不等式 26 题型八、极值点偏移 30 题型九、其他双变量问题 35 题型十、导数结合数列 42 B综合攻坚・能力跃升 题型一、导数与单调性、极值（不含参） 1．（25-26高二上·湖南长沙·期末）设函数，曲线在点处取得极值. (1)求实数的值； (2)求函数的极值点. 【答案】(1) (2)极大值点为2，极小值点为 【分析】（1）对函数求导，代入极值使导函数等于0，求实数，最后验证. （2）代入第一问，对函数求导，令导函数等于0，根据单调性验证极值. 【详解】（1）函数的定义域为，导函数， 因为在点处取得极值， 所以，所以，解得， 当时，，， 当时，，当时，， 所以为函数的极值点，满足题意，， 所以. （2）由（1）可知，，则， 当时，，函数在区间上单调递减； 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减， 故的极大值点为2，极小值点为. 2．（2026高三·北京·专题练习）已知函数，求的单调区间. 【答案】增区间为和；减区间为 【分析】先求出函数的导数，再根据函数的正负来确定函数的单调区间即可. 【详解】，的定义域为， 则， 令，得或， 单调递增； 单调递减； 单调递增. 所以的增区间为和；减区间为. 3．（25-26高二上·福建厦门·月考）设函数，曲线在点处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)， (2)单调递减区间为，单调递增区间为和 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及切点坐标列方程组求解即可. （2）求出导函数，解导函数不等式即可求解单调区间. 【详解】（1）因为，，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以，； （2）由（1）得， 令，解得或2，易知恒成立， 所以令，解得，在上单调递减； 令，解得或，在，上单调递增； 则的单调递减区间为，单调递增区间为和. 题型二、导数与单调性、极值（含参讨论） 1．（2026高三·天津·专题练习）已知函数，，求函数的单调区间和极值. 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，分和两种情况讨论函数的单调性，进而求解极值. 【详解】因为函数，， 则， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，解得，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，函数取极小值，无极大值， 综上：当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取极小值，无极大值. 2．（2026高三·北京·专题练习）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 【答案】(1). (2)当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 【分析】（1）先求出函数在该点的导数，再结合该点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程； （2）先求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极小值点. 【详解】（1）由题意得，， 则， ，即切线的斜率为， 又， 所以切线方程为，即. （2），， 时，定义域为，，无极小值； 当时，定义域为. 令，即，则， 所以， 解得或， 当时，，解得或， 在区间和上， 单调递增； ，解得且， 在区间和上， 单调递减， 的极小值点为. 当时，在区间和上， 单调递减； 在区间和上， 单调递增， 的极小值点为. 综上，当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 3．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线. （2）求导，分，讨论导函数的单调性. （3）结合（2）的结论，确定函数的极小值，在根据极小值的取值范围求的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 所以，. 所以在处的切线方程为：，即. （2）因为，. 所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由，由. 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数. （3）由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值. 由， 由， 结合，得. 故的取值范围为. 题型三、根据极值点个数求参 1．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； (3)若，有三个极值点，求实数的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由导函数几何意义求出切点和切点处的导数即可由点斜式得解； （2）利用导数工具研究函数单调性即可求最值； （3）将题设等价转换成函数在区间上有三个不同的变号零点，作出直线与函数的图象，数形结合即可得解. 【详解】（1）由题，， 所以， 所以的图象在点处的切线方程为即. （2）由（1）可知， 因为，所以， 当时，，， 当时，，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为. （3）因为 要使函数在区间上有三个极值点， 则函数在区间上有三个不同的变号零点， 令， 则， 当时，令或或或， 故存在使得即， 所以当时；当时；当时， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 作直线与函数的图象如图所示： 2．（2026·山东·模拟预测）已知函数． (1)求的定义域； (2)当时， （i）若，证明：； （ii）若存在三个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）根据真数大于零，结合余弦函数性质，即可得答案. （2）（i）利用导数求出的单调区间和极值，分析即可得证. （ii）分别讨论和两种情况，导数求出的单调区间，进而可得其极值点个数，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）由，解得， 所以的定义域为 （2）当时， （i）证明如下：若，则， 所以， 令， 则， 因为， 而，且， 则，所以函数在区间上单调递减， 又，则当时，， 当时，， 故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． 于是. （ii）由题意可知， 若，当时，由（i）可知， 再由为奇函数可知， 当时，． 于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 此时存在唯一的极大值点． 若，令， 则， 令，函数， 则，故在上单调递增． 因为，故存在使得． 当时，； 当时，． 记且，则当或时，单调递减； 当时，单调递增． 又因为， 当时，，当时，， 再由为奇函数可知， 存在，使得． 当或时，单调递增； 当或时，单调递减， 此时存在两个极大值点和和一个极小值点，共三个极值点． 综上所述，实数的取值范围为． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数在处的切线经过，求的值； (2)若函数存在两个极值点，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数几何意义得到切线方程为，再代点求即可； （2）根据有两个极值点，即有两个解，即有两个解，令，求导分析函数单调性及最值即可确定的取值范围； 【详解】（1）由题知函数的导数为，，， 所以切线方程为，又因为切线过，所以， 解得． （2）由题知函数定义为，，函数存在两个极值点，所以在有两个解， 即在有两个解，令， 则，解得， 所以当时，，在上单调递增： 当时，，在上单调递减， 则，又时，时， 所以的取值范围是． 题型四、讨论零点（解）的个数 1．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【详解】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 2．（25-26高三上·北京朝阳·月考）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极值点， （i）证明：的取值范围是的子集； （ii）求在区间内的零点个数. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）2个. 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）（i）根据是函数的极值点求出，设，根据的单调性、零点存在定理可得答案； （ii）求出，设，分、讨论，利用导数判断出单调性可得答案. 【详解】（1）由题意可知：，所以，， 所以曲线在处的切线方程为； （2）（i）易知， 则，由题意， 得，设，则有， 又，且在上单调递增， 根据零点存在定理得，即的取值范围是的子集； （ii）由（i）知，所以，得， 即是一个零点； 易知，设，则， 当时，，故，单调递增， 所以，故函数单调递减，， 故函数在上无零点； 当时，， 设，则， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且，，， 故存在，使， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 故，， 故函数在上有1个零点. 综上所述，在区间内的零点个数为2. 3．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性； (3)判断函数在上的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，上单调递减 (3)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，最后根据切线与横轴、纵轴的交点坐标进行求解即可； （2）当时，对进行求导，利用导数的性质，得到的单调性； （3）分离参数得，设，利用导数求最值，从而得解. 【详解】（1） 当时，， 则，切点为， ， 切线方程为：，化简得，； （2）当时，， 当时，，所以， 所以，函数在上单调递增， 当时，，所以， 所以，函数在上单调递减； （3）令， 当时，，即不是函数的零点， 当时，可得， 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，设， 则， 则在上单调递减，故， 从而，所以在上单调递增， 故， 综上所述，当时，函数有2个零点， 当时，函数有1个零点， 当时，函数无零点. 题型四、零点问题求参 1．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若方程在上恰有2个实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算法则进行求解即可； （2）把问题转化为直线与函数图象的交点个数问题，结合导数性质、数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）， 因为， 所以函数在处的切线方程为； （2）方程在上恰有2个实数根， 等价于直线与函数的图像在上有两个不同的交点， 由， 所以直线恒过定点，且斜率为， 由（1）可知， 当时，，单调递增， 所以函数的图象如下图所示： 设函数的切线过点，切点为，斜率为， 所以切线的方程为， 把点的坐标代入，得， 因为，所以解得，即斜率为， 由数形结合思想可知：当时，即时，直线与函数有两个不同的交点， 即方程在上恰有2个实数根，此时m的取值范围为. 2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）将函数求导后，对和分成两种情况，讨论函数的单调性. （2）结合（1）的结论，首先分析当时不合题意，再通过分析时得到，再设新函数求导得其单调性即可解出不等式. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，，可知在上单调递减； 当时，由得；由得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）当时，在上单调递减，则其最多有一个零点，不合题意，舍去，则； 由（1）可知当时在单调递减，在单调递增. 当时，，当时，. 若有两个零点，只需， 设，，因为在上单调递增， 则在上单调递增，且，则当时，， 当时，. 综上所述，当时，有两个零点. 3．（25-26高三下·甘肃白银·月考）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据导函数判断函数的单调性即可； （2）将问题转化为直线与曲线有两个交点，利用导函数求出的单调性和取值范围即可. 【详解】（1）当时，，则， 当变化时，的变化情况如下表所示： 1 0 0 单调递增 单调递减 0 单调递增 当时，函数取得极大值，极大值为， 当时，函数取得极小值，极小值为0． （2）由题意知方程有两个根，即有两个根， 则直线与曲线有两个交点， 设，则， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 则， 当时，，当时，． 综上，的取值范围是． 题型五、恒成立问题求参 1．（2026·河北衡水·模拟预测）已知，，． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）通过导数，结合分类讨论，即可判断单调性； （2）通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性证明即可； （3）通过不等式变形，构造函数求导，结合单调性，求出端点值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，则在上单调递增； 当时，由可解得：， 由可解得：或. 则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，则在区间上单调递增，在区间，上单调递减. （2）当时，要证明，即证明， 因为，所以原不等式可变为，即. 令，则只需证在恒成立即可. . 因为，所以，，，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 因此，当时，. （3）分离参数：，因为，所以. 构造函数，，只需求恒成立即可. 令 当时，且（令，则，故）， 故，所以. 所以在上单调递增，所以， 故，单调递增. 当时，，所以， 故. 因此. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，（），其中是自然对数的底数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若存在，使得成立，求a的取值范围 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）构造函数，由导数得出单调性并结合零点存在性定理进行求解； （2）由得出，令，构造函数，结合函数的单调性及最值求解即可. 【详解】（1）（）的定义域为. 令得，， 当时，，无零点， 当时，令，则， 令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以， 当，即时，，函数在上无零点， 当，即时，，函数在上有唯一零点， 当，即时，， 又，， 所以函数在，上各有一个零点. 综上，当时，函数在上无零点， 当时，函数在上有唯一零点， 当时，函数在上有两个零点. （2）由得，， 即，也即， 令，则在上有解， 令， 当时，，不合题意； 当时，则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以，即， 所以，即a的取值范围为. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若，且，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若，且对任意，均有，求b的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出导函数，利用列不等式求解即可； （2）为证明函数图象的中心对称性，可取图象上任意一点，验证其关于对称中心的对称点是否在函数图象上即可； （3）由可得，设，则有在上恒成立，多次求导，利用导数研究的单调性，解不等式即可求解. 【详解】（1）时，，则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即， 所以的最小值为. （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为，可得，依题意在上恒成立， 设，则， 则有在上恒成立， 因为，可设， 所以 ①当时，由知，，所以， 所以在单调递增. 1.当，即时，对任意都成立， 所以在上单调递减，则； 2.当，即时，而当时，， 所以，使，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以舍去； ②当时，所以在上单调递增，则，所以舍去； ③当时，与在上都单调递增， 所以在上单调递增，则，所以舍去. 综上，. 题型六、能成立问题求参 1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导并对进行分类讨论，即可求得函数的单调区间； （2）根据（1）中的结论分类讨论函数在上的单调性，求出其最小值的表达式，令最小值满足，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】（1）易知函数的定义域为，且， 易知， 所以当时，，此时，即在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得； 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上可知时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）可知①当时，在上单调递增， 若，可知即可，可得， 解得； ②当时，在上单调递增，即可得在上单调递增， 此时需满足，即，此时无解； ③当时，结合（1）中结论可知在上单调递减，在上单调递增； 所以满足即可，即， 令， 则，易知在上为单调递减； 又，所以存在唯一满足， 因此可得时，，当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时不满足，不合题意； ④当时，在上单调递减，即可得在上单调递减； 所以只需满足，即，解得； 综上可知或. 即的取值范围为 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，（），其中是自然对数的底数. (1)讨论函数的零点个数； (2)若存在，使得成立，求a的取值范围 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）构造函数，由导数得出单调性并结合零点存在性定理进行求解； （2）由得出，令，构造函数，结合函数的单调性及最值求解即可. 【详解】（1）（）的定义域为. 令得，， 当时，，无零点， 当时，令，则， 令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以， 当，即时，，函数在上无零点， 当，即时，，函数在上有唯一零点， 当，即时，， 又，， 所以函数在，上各有一个零点. 综上，当时，函数在上无零点， 当时，函数在上有唯一零点， 当时，函数在上有两个零点. （2）由得，， 即，也即， 令，则在上有解， 令， 当时，，不合题意； 当时，则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以，即， 所以，即a的取值范围为. 3．（25-26高三上·河南信阳·期末）已知函数. (1)若函数在上不单调，求实数a的取值范围； (2)求函数在上的最大值； (3)若，关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）先求导，对a的正负性进行讨论即可；（2）利用导数研究函数的单调性，进而可得最大值；（3）对化简变形，构造函数，则问题转化为在上有解，利用导数求出函数的最小值，列不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 因为恒成立，所以的符号与一致. 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，令得，因为，所以，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，因为函数在上不单调，所以，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知： 当时，在上单调递增，. 当时，在上单调递增，. 当时，若，即，在上恒成立，函数在上单调递增，； 若，即，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以. 因为时，最大值2也满足， 所以当时，；当时，. （3）因为，，所以， ，即，不等式两边均为正数， 不等式两边同时取自然对数得，即. 令，则问题转化为在上有解， ，因为，，所以， 所以在上单调递增，所以， 又在上有解，所以，即，解得. 所以实数a的取值范围是. 题型七、证明不等式 1．（2026·贵州贵阳·一模）已知函数，． (1)令，求在点处的切线方程： (2)讨论在上的单调性； (3)证明：（i）当时， （ii）． 【答案】(1) (2)在单调递增． (3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）根据复合函数求导得，进而二阶求导，根据函数的单调性可判断单调递减，进而可得单调递减，即可求解, （3）构造函数，即可求导得函数的单调性求证（i），根据（i）的结论可证明，即可结合求证（ii）. 【详解】（1），则，，， 所以在点处的切线方程为，即． （2），则 ， 记， 故 设，则 当时，，单调递减，所以，即，所以单调递减， 所以，故在单调递增． （3）证明：（i）令，则， 所以在上单调递增，所以，即当时， 所以当时，； （ii）由（i）可知当时，，故， 由于,则，故， 由（2）可知在单调递增，在单调递减，故在单调递减，即在单调递减， 故，所以． 2．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)证明见解析 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 3．（2026·云南大理·二模）已知函数． (1)当时，求的定义域； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围； (3)当时，证明：若，，则．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域； （2）求出，根据题干可知在恒小于等于零，观察的表达式，得出的分子必须恒小于等于零，求其单调性列不等式求解即可； （3）利用导数，研究在和上的最值，以此分别求出、的范围，证明题干结论即可． 【详解】（1）由题设，则，故定义域为． （2）由，则有，， 由在区间上单调递减，则在上恒成立， 令且，则， 在上，则单调递增，故，解得． （3）当，则，且， 设，则， 当，则，当，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， ①当，，当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增，所以； ②当，，， 故，使， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减， 所以， 由①②得． 题型八、极值点偏移 1．（2026·广东梅州·一模）（1）求函数在区间上的值域； （2）设函数. ①求证：当时，有唯一零点； ②，分别是的两个不相等的极值点，求证：. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）因为要求闭区间上函数的值域，所以先对求导，利用导数判断函数在区间上的单调性，因为函数的最值出现在极值点或区间端点处，所以求出导数为0的点，再计算该点和区间端点的函数值，进而确定值域； （2）①：当时，先化简，对其求导，利用导数判断的单调性；结合单调性证明零点唯一；②：因为是的极值点，所以，先对求导，得到关于的等式；要证，可先对等式变形，构造关于的对称式，再利用极值点偏移的相关方法，如构造函数、换元法等进行证明. 【详解】（1）解：对函数求导，得. 由，得， 当，，在上单调递减； 当，，在上单调递增， 所以. 因为， 所以. 故在上的值域为. （2）证明：①当时，，， 则. 令，，则. 由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即， 因此在上单调递增. 而， 当时，；当时，； 所以在上有唯一零点. ②对函数求导，得，. 结合①，可得在上单调递减，在上单调递增，则 因为，；，， 所以要使得有两个不等的极值点，即有两个不等的零点， 则，即. 不妨设，则，， 即，. 要证，即证. 下证：. 令，， 则. 令，，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以在上单调递减， 则，即. 因为，所以， 即. 因为在上单调递增，且，， 所以，即证得. 2．（2026高二·全国·专题练习）已知函数 有两个极值点 且 . (1)求实数 的取值范围； (2)证明: . 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知可得有两个根，转化为函数与函数有两个交点，结合图象求解； （2）由，得，令，用表示，代入，构造函数证明. 【详解】（1）由已知可得， 因为有两个极值点，所以有两个根， 所以函数与函数有两个交点， 对函数，， 当时；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，；时，， 所以函数的图象如图所示，    所以若函数与函数有两个交点，则， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）可知，所以① ，② ， ①-②得， 令，则，所以， 所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以在上单调递增，所以， 即，得 又，所以， 即，得证. 3．（25-26高三上·河北·期中）已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当时，证明：； (3)函数有两个零点，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分、、三种情况讨论其单调性即可； （2）令，利用同构思想求证即可； （3）根据得出，将目标转化为求，再令，进而转化为求证，再构造函数求最值即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，， 当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点； 当时，即或时， 有两个不等的实数根， 当时，，，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则函数有一个极小值点，无极大值点； 当时，，得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点， 综上，时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证； （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以， 则，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 题型九、其他双变量问题 1．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数， (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求函数的定义域及导数，然后讨论函数的单调性，即可得到的最小值. （2）先根据题意构造函数，对其求导后，根据实数的不用取值进行分类验证，即可得到实数的取值范围. （3）先根据得到关于的方程，然后根据得到的方程将要证明的不等式转化为单变量不等式，再利用导数分析单调性即可证明. 【详解】（1）已知，对其求导可得， 令，解得. 当变化时，，的变化情况如下表： 极小值 所以， 故的最小值为. （2）设， 则. 令，则. （i）当时，因为，则，， 所以在上恒成立； （ii）当时，，所以在上递增， 所以，所以在上递增， 所以在上恒成立； （iii）当时，，所以在上递增， 因为，， 所以在上存在唯一零点，， 所以当时，，则当时，，不满足条件. 综上所述，实数的取值范围为. （3）证明：由得，则. 要证，可证 ， 即证. 令，即证， 即证. 先证明， 令，则只需证明， 又易证， 所以， 所以在上单调递减，则， 即. 再证明， 令，则只需证明. 因为， 所以在上单调递增，则， 即. 综上所述，. 2．（2025·陕西汉中·一模）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)当时，若，且，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后分、及讨论即可得； （2）由题意可得，构造函数后利用导数研究函数单调性，则可得该函数最小值，即可得解； （3）法一：通过讨论的正负可得，，结合（2）中所得可得，则可得，再得到即可得证；法二：由题意可得，则可得，，又，则可得，计算可得，，即可得证. 【详解】（1），令，解得或， 若，则，则在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 若，则当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. （2）当时，由，得，即， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 又， 则当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增； 所以， 所以，即的取值范围为. （3）（证法一）当时，，因， 若，，则，，与矛盾，，， 由（2）可知，则，则， 所以， 又， 所以. （证法二）当时，．由，得， 显然，不同时为负数，由可得，都为正数， 因为， 所以，所以， 又 ， 所以. 3．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数. (1)当时，讨论的单调性. (2)设. （ⅰ）若，使不等式成立，求的取值范围. （ⅱ）若，且，比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)（ⅰ）；（ⅱ），证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数与单调性的关系计算即可求解； （2）（ⅰ）由题意可得在上有解，令，求导，根据导数求得最小值后即可求解；（ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，在上恒成立，令，由题意可得，进而可得，对函数求导，再令，，求导，根据导数可得，即可得证. 【详解】（1）当时，，则其定义域为，. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）（ⅰ）. 由不等式可知，不等式在上有解， 即在上有解， 令， 则. 令， 则， 所以在上单调递增，且. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以，故的取值范围为； （ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，在上恒成立， 即当时，在上恒成立. 令. 由整理，得， 则，可得， 所以，同理. 故， 所以，即， 所以，. 当时，，单调递增. 当时，设， 则， 令，则， 所以在上单调递减，则，即， 所以在上单调递增. 又，， 所以存在，使得. 当时，，即； 当时，，即. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，， 故存在唯一的，使得， 所以当时，；当时，. 由上述分析知，，且，所以，即. 因为，所以. 又，所以，则， 即，所以. 综上可知，. 题型十、导数结合数列 1．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数 (1)求函数，的零点个数; (2)记在上的零点为，求证; （i）是一个递减数列 （ii）． 【答案】(1)有1个零点，有2个零点； (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数，结合零点的存在性定理可求解零点； （2）（i）易知，当时可得，利用的单调性解不等式可得，即可证明；（ii）由（i），求和可得，求和计算即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以函数在上单调递增，又，， 所以函数在内有唯一零点； ， 设， 则，函数在上单调递增， ，在内有1个零点，记作， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且，根据零点的存在性定理可有2个零点. 所以有1个零点，有2个零点； （2）（i）由（1）知，当时，在内的零点， 当时，，， 则， 故，所以数列是一个递减数列； （ii）由（i）知，当时，， 当时，， 有，所以， 求和可得，当且仅当时等号成立； 当时，即， ，当且仅当时等号成立； 综上，. 2．（2026·湖南岳阳·一模）已知实数，函数． (1)当时，试比较和的大小，并说明理由： (2)若时，，求的取值范围； (3)设正项数列的前项和为，若，且，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出和，并作差比较即可； （2）将原不等式等价于，设，求导后分、、三种情况讨论单调性，结合单调性判断即可； （3）根据，结合求出的通项表达式，再令，由（2）可得不等式，又令，可得，再结合裂项相消法证明即可． 【详解】（1）当时，，则， 所以， 所以， 所以． （2）由题可知，因为， 所以原不等式等价于，即， 设，因为，， 令，，， 当时，，所以在上单调递减， ，也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，又，令，解得， 则时，，所以在上单调递减， 又因为，所以必存在，使得时，， 也即在上单调递减，，所以不符题意； 当时，，则时，， 所以在上单调递增，， 也即在上单调递增，，所以符合题意； 综上所述，a的取值范围为． （3）因为，所以， 即，又， 所以， 也即当时，，又， 所以， 由（2）可知，当时，，也即， 令，则，即， 所以． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，函数，记为的从小到大的第个极值点． (1)当时，求； (2)证明： （i）数列是等比数列； （ii）若，则对一切恒成立． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再求出导函数的零点并判断单调性即可得极值点. （2）（i）利用导数求出函数的极值点，再求出并利用等比数列的定义推理得证；（ii）由（i）的信息，借助分析法证明，构造函数，利用导数求出最小值，转化证即可. 【详解】（1）函数， 求导得， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以. （2）（i）函数，求导得 ，其中， 令，得，解得， 当时，； 当时，， 则函数在上递增， 在上递减， 又，则， ，， 且，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （ii）欲证，即证， ，且， 则只需证，又， 则只需证，即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，则只需证，即证，于是当时，成立； 当时，，，又，则， 于是，即， 则当时，，即成立； 当时，，，，成立， 所以当，则对一切，恒成立. 1．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·月考）已知函数． (1)求函数在上的最值及其零点个数； (2)若对于任意的，均有，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为，最小值为，只有1个零点； (2) 【分析】（1）利用导数计算函数的单调性计算最值，再根据零点存在性定理确定零点个数即可； （2）构造函数，将问题化为函数定义域上单调递增，即恒成立，分离参数，再利用导数研究函数的单调性、最值计算即可. 【详解】（1）易知， 则定义域上恒成立， 所以在上单调递增，则， 即最大值为，最小值为， 又，根据零点存在定理和函数的单调性，则在上只有一个零点； （2）设，则对于任意的，均有， 即在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 令，则，即在上单调递增， 又，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. 2．（2026高三·上海·专题练习）已知 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)令，若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的值和实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)；. 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程即可； （2）先利用导数，求得，再结合求导判断函数的单调性，求得极值，判断函数图象趋势，利用函数与方程的思想即可求出的范围. 【详解】（1）当时，，则， 则， 故函数在处的切线方程为， 即. （2）依题意，在处有极值， 因， 由，解得， 则，， 由可得或， 由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在时取得极大值为， 在时，取得极小值为， 当时，，当时，. 由图可知，若关于的方程有3个不同的实根， 则必有，即， 故实数的值为，实数的取值范围为. 3．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在原点处的切线方程； (2)若在内有两个极值点，求实数的取值范围； (3)时，讨论关于的方程的根的个数． 【答案】(1) (2) (3)当时，关于 x的方程根的个数为0， 当时，关于x的方程根的个数为1， 当时，关于x的方程根的个数为2． 【分析】（1）根据导数的几何意义，曲线在原点处的切线斜率，结合点斜式求切线方程； （2）若在内有两个极值点，等价于在 上有两个不相等的实数根．令，分类讨论有两个变号根时 的范围； （3）化简原式可得：，分别讨论 和时的单调性，可得 的最小值，分类讨论最小值与0的关系，结合的单调性可以得到零点个数. 【详解】（1）因为，所以， 故， 故曲线在点处的切线方程为，即； （2）由（1）知，， 因为在内有两个极值点，所以 在内有两个不相等的实数根， 即在上有两个不相等的实数根． 设，则， ①当时，， 所以在上单调递增，不符合条件． ②当时，令得 ， 当，即时，， 所以在上单调递减，不符合条件； 当，即时，， 所以在上单调递增，不符合条件； 当，即时， 在上单调递减，上单调递增， 若要在上有两个不相等的正实根，则 ，解得． 综上所述，所以的取值范围为. （3）由可得，， 设， 令，则，所以 在上单调递增，在上单调递减． （ⅰ）当时，，则 ，所以． 因为，所以 ，因此在上单调递增． （ⅱ）当时，，则 ， 所以． 因为，所以，即 ， 又， 所以， 因此 在上单调递减． 综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时， ， 当，即 时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0， 当，即 时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1， 当，即 时， ①当时， ，要使，可令，即 ； ②当时，，要使 ， 可令，即， 所以，当时，有两个零点，故关于 x的方程根的个数为2， 综上所述：当时，关于 x的方程根的个数为0， 当时，关于x的方程根的个数为1， 当时，关于x的方程根的个数为2． 4．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出的单调区间. （2）把代入求出，再对所证不等式作等价变形，按分段并构造函数，利用导数证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，， 不等式， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此； 当时，，函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此， 所以. 5．（25-26高三上·天津·开学考试）已知函数，的导函数记为为自然对数的底数，约为. (1)判断函数的零点个数； (2)设是函数的一个零点，是函数的一个极值点，证明： ①； ②. 【答案】(1)1 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）对函数求导，根据函数的单调性可得其极值，进一步可得函数零点个数； （2）①由（1）可知，函数有唯一零点，且，利用导数研究的极值点所在区间，即可得出结论： ②要证，即证，构造函数，根据函数的单调性即可得证. 【详解】（1），令，解得， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 令，当时，可令，且 此时，易知时，， 所以当时，，， 又，则，所以在区间上无零点， 又， ， ，使得， 即在区间上有一个零点， 所以函数的零点个数为1个. （2）①由（1）可知，函数有唯一零点，且， 下面判断函数的极值点情况， ， 令，则， 当时，， 所以在区间上单调递增， 当时，在上单调递增， . 设，对称轴为， 在上单调递增， ， 在区间上单调递增. 综上，当时，在区间上单调递增. ， 令，则， 令，解得. ，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， ， 又， 设，对称轴为， 在上单调递增， ，即， 使得，即， 且当时，，当时，， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数存在唯一的极值点，且. 综上，. ②，要证， 即证， 令， 下证在区间上单调递增，即证恒成立， ， ，所以， 令， 则在区间上单调递增， ， 令， 则在区间上单调递增，且， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 当时，恒成立， 在区间上单调递增， ， ，原命题得证. 6．（2026高三·天津·专题练习）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对求导，再结合导数的几何意义求切线方程即可； （2）方法一：构造函数，结合导数分和两种情况进行讨论即可求得k的范围； 方法二：构造函数，只需在时恒成立即可 又，且所以要使当时，，必须满足，即，再根据这个结论进行验证即可； 方法三：利用参变分离的方法，构造函数，，最后需要结合洛必达法则求解. 【详解】（1）当时，，， ∴，又∴， ∴切线方程为. （2）方法一：设， 只需在时恒成立即可， 又，且， 所以要使当时，， 必须满足，即． 下面证明时满足题意： ①当时，由，， 令， 则，令，则， 当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以，所以当时，，即； ②当时，， 令，，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 方法二：设，则， 令，则， 当时，， ，在上单调递增， 即在上单调递增， 所以所以在上单调递增， 所以，所以符合题意； 当时，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即在上恒成立， 所以，所以符合题意； 当时，在上恒成立， 在上单调递增，即在上单调递增， 又因为，当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，， 综上所述，实数的取值范围是． 方法三：参变分离得：， 令，，则， 而， 且，， ∵，∴，∴在区间上单调递减， ∴，∴， ∴在区间上单调递减， ∴，∴， ∴在区间上单调递减，∴， 由洛必达法则可得， 综上所述，实数的取值范围是． 7．（25-26高二上·浙江衢州·期末）设函数. (1)当时，求的单调区间； (2)已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，无减区间 (2) (3) 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出导数得函数，再利用导数探讨函数性质，进而求出范围. （3）等价变形不等式并构造函数，再利用导数求出最大值，利用不等式有解列式求出范围. 【详解】（1）当时，，其定义域为，求导得， 令，求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以在上单调递增，无减区间. （2）依题意，， 由（1）得在上单调递减，在上单调递增，， 当，时，，则当有两个零点时，，解得， 所以实数的取值范围是. （3）不等式有解， 即有解，令， 求导得， 由，得；由，得 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 8．（25-26高三上·山东滨州·期末）已知函数． (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)若函数有三个零点，，，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)(ⅰ) ;(ⅱ)见解析 【分析】（1）首先分和两种情况去绝对值，再根据导数的几何意义求解； （2）（ⅰ）首先将方程转化为，转移为与的图象交点个数求的取值范围，去绝对值后利用导数分析的单调性和图象，即可求解； （ⅱ）利用分析法将所证明不等式转化为证明，根据函数零点的方程转化为证明，再根据，转化证明，再通过构造，换元，则，，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证明不等式. 【详解】（1）当时，，，， 当时，，，， 由条件可知，. （2），得， 设， ，，所以在区间上单调递减， 当时，，当时，， ，，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，取得极大值，当时，， 画出函数的图象， 与的图象有3个交点，则； (ⅱ)由（ⅰ）可知，， 要证明，只需证明， 又，，即证，所以上式等价于证明， 由，，得，即， 所以只需证明， 即证， 令，则，上式等价于证明， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即. 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求实数a的取值范围； (3)若存在不等实数和，满足，且，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）求出函数的定义域，再利用导数分类求出单调区间. （2）利用导数求出函数的单调区间，再将给定不等式等价转化并分离参数，构造函数并利用导数求出最值即可. （3）由给定等式可得，令，将表示为的函数，再利用导数求出的范围，结合函数的单调性即可求出范围. 【详解】（1）函数中，当时，；当时， 当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为， 求导得，令，解得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）函数，求导得，当时，；当时，， 函数在单调递增，在单调递减，而， ，则， 而，因此当时，恒成立， 令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上递减，在上递增， ，令函数，求导得， 函数在上单调递增，当时，，则， 所以a的取值范围为. （3）由，得，则，即， 令，则，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，， 因此，函数在上单调递增，则， 由函数的单调性可知，其在上单调递减，则， 即，所以的取值范围是. 10．（2026·江苏南通·一模）已知函数． (1)当时，求的零点； (2)给定数集，任给，对应关系使函数的零点与对应． ①证明：是函数，并讨论该函数的单调性； ②若数列满足，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析，在上单调递减；②证明见解析 【分析】（1）根据导数得出函数单调递增结合求解； （2）①应用导函数得出在上单调递增结合，应用零点存在定理证明；方法一：应用构造应用导数得出单调性结合单调性定义证明单调递减；方法二：两边对求导化简得出恒成立证明函数单调性； ②根据①得，构造，应用导函数得出在上单调递减得出，结合数列求和证明不等式. 【详解】（1）当时，， 由，得在上单调递增． 因为，所以的零点为． （2）①当时，， 所以在上单调递增． 设，， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以，即，当时取等号， 因为，， 所以，使得，所以存在唯一零点， 所以对于任意一个的值，都有唯一零点与之对应， 所以是函数． 下面讨论该函数的单调性： （方法一）在任取，且． 设， 所以，且， 所以． 因为，所以． 设， 当时，，所以在上单调递增． 因为，所以， 所以函数在上单调递减． （方法二）由，两边对求导， 得，所以， 所以恒成立，所以， 所以函数在上单调递减． ②由①知，． 由得， 由及可得，解得， 所以，解得， 所以． 由，得， 所以． 设，所以， 所以在上单调递减，所以，所以． 因为，所以 ． 所以得证． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $