专题02 导数与函数的单调性、极值、最值（专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

专题02 导数与函数的单调性、极值、最值（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用导数求函数的单调性、极值、最值（不含参） 1 题型二、利用导数讨论函数的单调性、极值（含参） 4 题型三、根据函数的单调性求参 6 题型四、根据函数的极值求参 7 题型五、根据函数的最值求参 9 题型六、根据零点个数求参 12 题型七、利用导数性质比较大小 15 题型八、导函数图像与函数性质 18 题型九、恒成立问题 21 题型十、存在性问题 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用导数求函数的单调性、极值、最值（不含参） 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 2．（25-26高二上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)求的极值及在上的值域． 3．（25-26高二上·山西长治·期末）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值. (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 题型二、利用导数讨论函数的单调性、极值（含参） 1．（2026高三·天津·专题练习）已知函数，，求函数的单调区间和极值. 2．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数，讨论的单调区间和极值. 3．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数. (1)求的单调区间与极值点； (2)讨论的零点个数. 题型三、根据函数的单调性求参 1．（25-26高二下·全国·课后作业）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 题型四、根据函数的极值求参 1．（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知函数，记的非零极值点为，则取最大值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·上海·期末）已知函数在处取得极值0，则______. 3．（25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型五、根据函数的最值求参 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________． 题型六、根据零点个数求参 1．（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若恒成立，则的取值范围是 C．若有两个零点，则的取值范围是 D．若有两个零点，则 题型七、利用导数性质比较大小 1．（25-26高三上·广西·期末）已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，，，则的大小关系为（        ） A． B． C． D． 题型八、导函数图像与函数性质 1．（多选）（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 2．（多选）（2025·湖南衡阳·模拟预测）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（   ） A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．的解集是 3．（25-26高二上·浙江杭州·期末）定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（   ）    A．函数的增区间是， B．函数的减区间是， C．是的极大值点 D．是的极大值点 题型九、恒成立问题 1．（2026高三·全国·专题练习）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东青岛·期末）不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南南阳·期末）若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十、存在性问题 1．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·河南南阳·专题练习）设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．（2025高二·全国·专题练习）若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·山西长治·期末）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值. (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，讨论函数的单调性. 4．（25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数单调递增，则实数的取值范围为________ 6．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数有极大值，则实数c 的值为_____________ 7．（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．可能有三个极值点 B．若，则在上单调递减 C．若，则的极大值点为 D．若，则 8．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数（）.若存在实数，使得函数有三个不同的零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2026高三上·广东中山·专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数与函数的单调性、极值、最值（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用导数求函数的单调性、极值、最值（不含参） 1 题型二、利用导数讨论函数的单调性、极值（含参） 4 题型三、根据函数的单调性求参 6 题型四、根据函数的极值求参 7 题型五、根据函数的最值求参 9 题型六、根据零点个数求参 12 题型七、利用导数性质比较大小 15 题型八、导函数图像与函数性质 18 题型九、恒成立问题 21 题型十、存在性问题 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用导数求函数的单调性、极值、最值（不含参） 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是； (2)极大值为，无极小值 (3)最大值；最小值． 【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的单调区间； （2）结合（1）问，即可求出极值； （3）结合（1）问，在上递增，在上递减，分别求出，比较大小即可求解. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 令，得， 列表如下： 2 + 0 - 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）极大值为，无极小值 （3）， ， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值． 2．（25-26高二上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)求的极值及在上的值域． 【答案】(1)． (2)极大值为，极小值为； 【分析】（1）先对原函数求导得到导函数表达式，再利用基本不等式求出导函数的最小值. （2）通过导函数的正负判断原函数的单调性以确定极值，再计算区间端点与极值点的函数值，从而确定值域范围. 【详解】（1）由题意得的定义域为，求导得，由基本不等式，可知，当且仅当时等号成立； 所以的最小值为. （2）由（1）知． 令，得，或，令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以的极大值为，极小值为， 又，， 显然，，所以在上的值域为． 3．（25-26高二上·山西长治·期末）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值. (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，求出区间端点的函数值，即可求出函数的最值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 由，解得或，由，解得， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为． 则在处取得极大值，且， 在处取得极小值，且， 综上可得的单调递增区间为，；单调递减区间为； ，. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在上的最小值为， 又，函数在上的最大值为． ∴函数在上的最小值为，最大值为． 题型二、利用导数讨论函数的单调性、极值（含参） 1．（2026高三·天津·专题练习）已知函数，，求函数的单调区间和极值. 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，分和两种情况讨论函数的单调性，进而求解极值. 【详解】因为函数，， 则， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，解得，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，函数取极小值，无极大值， 综上：当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取极小值，无极大值. 2．（25-26高二·全国·假期作业）已知函数，讨论的单调区间和极值. 【答案】答案见解析 【分析】先求，根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调区间和极值. 【详解】由题意得函数的定义域为， 可得， 当时，，所以在上单调递增，无极值. 当时，令，得，令，得. 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值， 得到， 综上，当时，在上单调递增，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值. 3．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数. (1)求的单调区间与极值点； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合极值定义分类讨论进行求解即可； （2）根据函数的零点定义，运用转化法，把函数零点问题转化为函数与函数图象的交点问题，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）， 当时，在恒成立， 所以的单调增区间是，无单调减区间，无极值； 当时，令得，所以的单调增区间是， 得，单调减区间是， 的极大值点是，无极小值点； （2）令，即，得，令， 即讨论直线与函数的图象的交点个数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 而当时，恒有， 在同一坐标系内作出直线与函数的 图象，如图所示： 所以 当时，直线与函数的图象有1个交点，即有1个零点； 当时，直线与函数的图象有2个交点，即有2个零点； 当时，直线与函数的图象有1个交点，即有1个零点； 当时，直线与函数的图象无交点，即有0个零点. 题型三、根据函数的单调性求参 1．（25-26高二下·全国·课后作业）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【详解】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A 2．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)，且 【分析】（1）对求导，使有解即可； （2）在上单调递减，转化为时，恒成立，计算其最值即可 【详解】（1）， ． 在上存在单调递减区间， 当时，有解，即有解．设只要即可． 而． 故a的取值范围是，且． （2）在上单调递减， 时，恒成立， 即恒成立，，而， ．． 故a的取值范围是，且． 题型四、根据函数的极值求参 1．（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知函数，记的非零极值点为，则取最大值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】求导，令，得出，设，再求导分析单调性，则可得的最大值，以及此时的值. 【详解】， 令，得或，则. 设，，则， 当时， ，单调递增， 当时， ，单调递减， 由的单调性可知，当为整数时，最大值在或处取得， 又， 故. 故选：B. 2．（25-26高二上·上海·期末）已知函数在处取得极值0，则______. 【答案】24 【分析】根据极值点和极值可得关于参数的方程组，求出其解后再检验可得参数的值，从而可求. 【详解】函数，则， 又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，，则. 故答案为：. 3．（25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数极小值点的范围，再利用导数求极小值的值域即可得解, 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B 题型五、根据函数的最值求参 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可. 【详解】，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：. 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导确定函数单调性与极大值点，通过分析极值点必须位于区间内，结合开区间端点函数值趋势与极大值的比较，即当右端点函数值不超过极大值时，最大值才能在区间内取到，从而解得参数的范围. 【详解】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 3．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，再结合函数在给定区间既有最大值又有最小值，建立不等式，求解. 【详解】，令，即， 解得或， 要使函数在上既有最大值，又有最小值， 则必须满足两个极值点都在内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值； 若，此时，则需要，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即， 解得， 所以； 若，此时，则需要，解得； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即，无解； 若，则恒成立，所以函数在上单调递增， 无最大值和最小值， 综上所述：的取值范围为. 故答案为： 题型六、根据零点个数求参 1．（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 2．（26-27高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，根据导数极值列不等式组计算即可. 【详解】，则， 当时，则恒 成立，函数单调递增，至多一个零点，不合题意； 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，，当，， 所以，在，上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：C. 3．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若恒成立，则的取值范围是 C．若有两个零点，则的取值范围是 D．若有两个零点，则 【答案】C 【分析】对求导，由极值点的定义可判断A；将转化为，求出的取值范围可判断B；要使有两个零点，则即可判断C；利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证，可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， ， 因为，，令，解得：， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值点，故有1个极值点，故A错误； 对于B，若恒成立，则， 由A选项知，，解得：，故B错误； 对于C，当趋近正无穷，趋近正无穷，当趋近，趋近正无穷， 所以由A选项知要使有两个零点，则， 则，故C正确； 对于D，在和各有一个零点， 所以， 为判断D选项的真伪，下面证明， 要证，即证， 因为，即证， 又因为，故只需证， 即证 即证， 下面证明时，， 设， 则， ， 设， 所以，而， 所以，所以， 所以在单调递增， 即，所以， 令， ， 所以在单调递减， 即，所以； 综上， ，所以.故D错误. 故选：C. 题型七、利用导数性质比较大小 1．（25-26高三上·广西·期末）已知正实数a，b满足和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知两等式两边取对数，整理后构造函数，利用导数判断其单调性，即由推得，再利用不等式性质推得，再将其变形后借助于指数函数单调性推出即可. 【详解】由，两边取对数，，即， 又由，两边取对数，，即， 令，，则， 由，可得在上单调递增，则，故； 又由可得，则，故. 故选：A. 2．（多选）（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知（且），若，且（e为自然对数的底数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先判断，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断A；令，即可判断B；令，利用导数说明函数的单调性，得到，即可判断C；令，，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】由，可知或， 又，因同正，两边同除以可得， 令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当且，此时与题意不符合； 当且时，，故． 令，则， 当时，，在上单调递减， 又，所以，所以， 所以，故A正确； 令，则， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因为，所以当时，， 即，即，故B错误； 令，则， 记，则， 所以，则，所以在上单调递增， 所以，即，即， 所以，即，故C正确； 令，， 则， 令，，则，即在上单调递增， 所以，，在上单调递增， 所以，即，故D正确． 故选：ACD． 3．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，，，则的大小关系为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，利用导函数可知在上单调递增，由可得，代入得，再根据的单调性可知，结合和的单调性可比较的大小，同理. 【详解】由已知可得，，，且， 若，则，，此时，故，同理， 构造函数，其中，， 则原等式等价于，，， 对求导得， 因为且，所以，，， 所以，即在上单调递增， 由可得， 所以， 令，则， 由指数函数和对数函数的单调性可得，， 所以，单调递增，所以， 所以， 因为且在上单调递增，所以， 同理由可得， 所以， 同理可得， 因为且在上单调递增，所以， 综上， 故选：A 题型八、导函数图像与函数性质 1．（多选）（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 【答案】ACD 【分析】根据的图象，分析的单调性、极值、最值、零点即可. 【详解】根据的图象，可得： 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以A正确； 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不是函数的最小值，所以B不正确； 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增. 所以函数仅在处有极大值，所以C正确. 由函数的单调性，知函数图象与直线最多有三个交点，所以至多有3个零点，所以D正确. 故选：ACD. 2．（多选）（2025·湖南衡阳·模拟预测）函数的图象如图所示，设是函数的导函数，则下列结论正确的是（   ） A．的解集是 B． C．时，取得最大值 D．的解集是 【答案】BC 【分析】根据图象可得出以及的解集，根据图象的上升下降可得以及的解集．由此可判断A、D项：由图象分析可知，1和3是函数的两个极值点，所以有以及，代入可判断B项，联立即可得到的关系，代入导函数整理可得到，即可判断C项． 【详解】对于A项，由图象可得，函数在上单调递增， 所以的解集是，故A项错误； 对于B项，因为．又由图象知，函数在处取得极小值， 所以有，故B项正确； 对于C项，由图象知，当时，单调递增，则； 当时，单调递减，则； 当时，单调递减，则． 所以的解集为，的解集为． 又为二次函数，根据二次函数的图象可知． 因为函数在以及处取得极值， 所以有，即，所以， 所以， 因为，所以时，取得最大值，故C项正确； 对于D项，由可得或． 由图象知，当时，． 又的解集为．所以由可得； 由图象知，当时，． 又的解集为． 所以由可得． 所以，的解集是，故D项错误． 故选：BC． 3．（25-26高二上·浙江杭州·期末）定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（   ）    A．函数的增区间是， B．函数的减区间是， C．是的极大值点 D．是的极大值点 【答案】C 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值． 【详解】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值. 故ABD错误，C正确． 故选：C． 题型九、恒成立问题 1．（2026高三·全国·专题练习）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到和，然后化简所求表达式并求导，判断单调性，进而求出结果. 【详解】因为函数，且恒成立，函数与都是增函数， 所以两函数的零点重合，假设零点为，则由得：， 由得：，所以， 所以令，求导得， 令得，令，则， 所以是增函数，所以． 故选：C． 2．（25-26高三上·山东青岛·期末）不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式因式分解，原问题等价于对任意恒成立，分离变量，求导可得答案. 【详解】不等式 ， 可化为， 当，有 ， 因此原不等式恒成立等价于对任意恒成立， 因为，所以对任意恒成立， 设 ，则需 . ， 故 在 上单调递增， ， 因此，. 故选：A 3．（25-26高三上·河南南阳·期末）若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用同构思想变形不等式，构造函数，利用单调性可得，再构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】不等式 ，令函数，显然函数在上单调递增， 依题意，不等式恒成立，即， 令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，，， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 题型十、存在性问题 1．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域，根据题意可得两函数值域的关系，可得关于的不等式组，解不等式即可. 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， 的对称轴为，，， 且在上单调递减，所以， 记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 2．（2025高三上·河南南阳·专题练习）设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分离参数构造函数，求导分析单调性，结合有唯一整数解判断即可. 【详解】若存在唯一的整数，使得，即存在唯一的整数，使得， 所以有唯一的整数解. 令，，所以， 令，即，解得， 所以在上，，单调递减， 在上，，单调递增， ，，，当时，. 若，，会有多个整数解，舍去； 若，需满足，且， 所以. 故选：D． 3．（2025高二·全国·专题练习）若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数导数与函数单调性的关系，以及直线过定点的概念，作出函数图像，对参数进行分类讨论，列出不等式组，求出结果. 【详解】由题意可得，即有唯一整数解， 可知恒过， 设函数，则， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 可知，， 当时，且， 当时， ， 则函数和函数图像如下图所示， 若，由函数图像可知，恒成立，则必有无数个整数点，不满足； 故，若在轴右边有整数解，只能是成立，不成立， 即，即， 若在轴左边有整数解，只可能在成立，不成立， 即，即， 所以实数a的取值范围为. 故选：B． 1．（25-26高二上·山西长治·期末）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值. (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，求出区间端点的函数值，即可求出函数的最值. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 由，解得或，由，解得， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为． 则在处取得极大值，且， 在处取得极小值，且， 综上可得的单调递增区间为，；单调递减区间为； ，. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在上的最小值为， 又，函数在上的最大值为． ∴函数在上的最小值为，最大值为． 2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程； （2）求导，对参数分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即． （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，分情况讨论时函数的单调性，进而求出对应的单调区间. 【详解】对函数求导得， 当时，，此时在上单调递增. 当时，方程的判别式. ①当时，，恒成立，所以，此时在上单调递增； ②当时，令，解得，. 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 所以在和上单调递增，在上单调递减。 综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 4．（25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则只需即可， 当时，由反比例函数的性质得单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是， 故选：B 5．（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数单调递增，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】由恒成立，使用分离参数方法，再利用基本不等式求得的取值范围即可. 【详解】依题意知， 因为函数在单调递增， 所以，即对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 又因为（当且仅当时取“”）， 所以. 故答案为： 6．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数有极大值，则实数c 的值为_____________ 【答案】6 【分析】对函数求导，令导数为0，求出极值点，分情况讨论函数的单调性，得出相应的极值点并结合已知极大值计算求解． 【详解】， 求导得，令，解得或， 若，则在上，函数单调递增；在上， 函数单调递减；在上，函数单调递增； 在处取得极大值，在处取得极小值， ，即，解得； 若，则在上，函数单调递增；在上， 函数单调递减；在上，函数单调递增； 在处取得极小值，在处取得极大值， ，不符合题意； 若，则，函数单调递增，无极值，不合题意； 综上，实数． 故答案为：6． 7．（多选）（25-26高三上·河北邢台·月考）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．可能有三个极值点 B．若，则在上单调递减 C．若，则的极大值点为 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据导数的图象研究函数的单调性，结合极值点的概念和单调区间，逐项判定，即可求解. 【详解】由图可得，0，2是的零点，当时，有3个变号零点， 所以可能有三个极值点，A正确． 若，，由图可得当时，，单调递减，B正确． 若，，由图可得当时，， 当时，，所以的极大值点为，C正确． 若，则，由图可得， 得或，所以或，D错误． 故选：ABC 8．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知函数（）.若存在实数，使得函数有三个不同的零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将零点问题转化为需有两个极值点的问题，再令，求导判断单调性即可. 【详解】令，即，故， 又有三个不同的零点，故有3个不同的正根， 令，定义域为，则需有两个极值点，则需有两个不同的变号零点， 令，则，令得， 令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增， 又的极小值为，且当时，. 要使有两个不同的零点，则直线与函数的图象需有两个不同的交点， 故，即，解得. 故要想有两个不同的变号零点，需满足，此时存在实数，使得有3个不同的正根，的取值范围为， 故选：D. 9．（2026高三上·广东中山·专题练习）已知函数，若恒成立，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数单调性的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 【详解】函数的定义域为， ，显然单调递增且有唯一零点，令有， ∵当时，单调递减；当时，单调递增， 的极小值也是最小值为，而由题知恒成立， ，即有， 令时，，单调递减； 时，单调递增， 的极小值也是最小值为， ，又. 故选：A. 10．（2025·河北沧州·模拟预测）若方程在上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $