微专题01 三次函数4大热点题型（高效培优专项训练）高二数学北师大版选择性必修第二册

微专题01 三次函数 题型一：三次函数的切线 2 题型二：三次函数的零点 3 题型三：三次函数的拐点 3 题型四：三次函数的综合题型 4 【题型方法指导】 一：三次函数的切线 1.基本性质 设三次函数为：（且），其基本性质有： 性质1 1.定义域为 2.值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值 3.单调性和图像：求导即证 图像：先增后减再增，有两个极值点 图像：单调递增，无极值点 图像：先减后增再减，有两个极值点 图像：单调递减，无极值点 2.曲线在某点处切线方程的求法 总结引例解题思路，可得求曲线在某点处切线方程的一般步骤： 1.第一步，计算函数的在曲线上该点处的导函数 2.第二步，运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率 3.第三步，利用直线的点斜式方程写出切线的方程： 3.过一点求曲线的切线方程 由引例的变式，可得求曲线过某点的切线方程一般步骤： 1.第一步，设切点，切线斜率为， 2.第二步，列方程 3.第三步，解方程，得 4.第四步，利用直线的点斜式方程写出切线的方程： 二：三次函数的零点 1.三次方程的实根个数 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数 其导函数为二次函数： 判别式为： 设的两根为，结合函数草图易得： 1.若，则恰有一个实根； 2.若，且，则恰有一个实根； 3.若，且，则有两个不相等的实根； 4.若，且，则有三个不相等的实根. 说明： 1.含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数(或两极值同号)，所以(或，且)； 2.有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且； 3.有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号，所以且. 2.对三次函数，如果其存在三个实根，则有 称为三次方程根与系数关系. 证明： 由待定系数法可得： 三：三次函数的拐点 1对称性 三次函数是中心对称曲线且对称中心是 （1）原因奇函数的导数是偶函数偶函数的导数是奇函数周期函数的导数还是周期函数三次函数其导函数为二次函数易知导函数的对称轴即为三次函数对称中心横坐标 （2）是函数的导数若方程有实数解则称点为函数的“拐点”任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心 题型一：三次函数的切线 1．（山西省大同市2026届高三年级第一次模拟考试质量监测数学试题）曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【分析】先求出导函数，进而得出切线斜率，再代入求参数，最后应用点斜式得出切线方程. 【详解】因为，所以，所以， 又当时，， 所以在点处的切线方程为，即得. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数与的图像都过点，且在点P处有公共切线，则________，________． 【答案】 【分析】根据点在函数图象上代入求参数得出，再根据公切线得出斜率相等即可求解参数，得出解析式. 【详解】因为的图像过点，所以， 所以，所以． 因为的图像过点，所以． 又， 所以，所以，所以． 综上可知，． 故答案为：． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）求过点与曲线相切的直线方程． 【答案】，． 【分析】设为切点，根据题意求出切线方程，再代入点和点求解和即可. 【详解】设为切点，则切线斜率为， 故切线方程为．① 在曲线上，．② 又在切线上， 将②式和代入①式得， 解得或， 或． 故所求的切线方程为和， 即和． 4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 . (1)求函数的图像在处的切线方程； (2)求函数的图像经过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，利用点斜式可求得切线方程. （2）分点为切点和不为切点两种情况讨论可求得函数的图像经过点的切线方程. 【详解】（1）由，有. 又由. 可得函数的图像在处的切线方程为，整理为， 故函数的图像在处的切线方程为. （2）①当点为切点时，由（1）可知所求切线方程为. ②当点不为切点时，设切点为（其中）， 所求切线方程为. 代入点的坐标，有， 可化为， 可化为， 可化为，可化为， 解得或 (舍去). 由，可得所求切线方程为，整理为 由上知函数的图像经过点的切线方程为或. 5．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知直线与函数的图象相切，且它们仅有一个公共点，则直线的方程为_____ 【答案】 【分析】利用导数的几何意义结合因式分解计算函数的零点即可. 【详解】设切点为，则， 所以的方程为，即， 又直线与只有一个交点， 即只有一个根， 整理得，解之得， 要满足题意需，所以. 故答案为：. 6．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】利用给定的切线斜率及极值点求出，进而利用导数求出指定区间上的最小值. 【详解】由求导得， 依题意，，解得，函数， ，由，得或；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取到极大值，因此，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，所以函数在上的最小值为. 故答案为： 7．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________． 【答案】和 【分析】考点：导数的几何意义（切线斜率）、过定点的切线问题（定点未必是切点）．利用导数表示切线斜率，设出切点坐标；将定点代入切线方程，求解所有可能的切点（需注意存在多个切点的情况）；结合不同切点，得到对应的切线方程． 【详解】曲线的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 切线方程为； 将代入切线方程，整理得， 因式分解得，解得或． 当（切点为），斜率为12，切线方程为； 当（切点为），斜率为3，切线方程为． 故答案为：和． 8．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义及平行关系求出切线方程，进而求出最大距离. 【详解】函数，求导得， 依题意，，即，解得， 则两条切线的斜率为，对应的两个切点为， 切线方程为和，即和， 切线过定点，切线过定点， 所以两平行线之间距离的最大值为. 故答案为：. 题型二：三次函数的零点 9．（25-26高三上·北京·开学考试）设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则______ ① ②函数的对称中心为 ③过引曲线的切线，有且仅有1条 ④若成等差数列，则 【答案】①②④ 【分析】对①，求导，判断的单调性，求出极值，由得解；对②，计算，即可求得对称中心；对③，根据为切点和不为切点，结合的图象，利用图象分析判断；对④，由题可得，展开得，结合成等差数列，运算得解. 【详解】由，令可得或，令可得， 在上单调递增，在上单调递减. 对于①，若有3个零点，则， 即，解得：，故①正确； 对于②，令，则 ，由可知函数的对称中心为，故②正确； 对于③，当函数的零点为切点时，此时有一条切线； 当零点不为切点时，由图知此时函数有一条经过点的切线， 即过引曲线的切线不只一条，故③错误； 对于④， ， （*） 若成等差数列，则，则， 代入（*）得：，故④正确. 故答案为：①②④. 10．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知有三个零点，则的范围是________________． 【答案】 【分析】根据题意转化为方程有三个实根，设函数，利用导数研究函数性质，结合图象得解. 【详解】函数有三个零点， 等价于关于x的方程有三个实根．显然， ∴方程有三个实根． 设函数， 则． 当和时，，在和为减函数； 当时，，在为增函数； ∴在时取极小值3， 当时，， 当时，，当时，， 如图，    所以的范围是. 故答案为： 11．（25-26高一上·广东·期末）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__ ． 【答案】 【分析】求导可得的单调性，由题意得，求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，；当时，； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为， 又时，，又时，， 要使函数有3个零点，则，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 12．（25-26高三上·重庆·月考）函数在区间内存在零点，且该零点不是的极值点，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】将问题转化为和的函数图象在上有交点，且在交点处不相切，利用导函数研究的单调性，结合图象可得. 【详解】因在区间内存在零点，且该零点不是的极值点， 则和的函数图象在上有交点，且在交点处不相切， 因， 令，则，则在上单调递增， 因，则当时，，；当时，，，故在上单调递减，在上单调递增， 因， 其图象如图： 故，故实数的取值范围为. 故答案为： 13．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数，若是函数的导函数的两个不同零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，然后根据导函数的零点性质，结合等差数列和等比数列的条件，建立关于和的方程，进而求解. 【详解】因为，所以， 所以为两个不等的负数， 不妨设，则必有或成等差数列， 或成等比数列， 所以，，解得， 所以，所以. 故答案为： 14．（25-26高二·全国·假期作业）函数的图象与直线恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可得到、、的关系表，从而求出函数的极值，画出函数图象，结合图象即可判断. 【详解】由，可得， 令，解得或． 当变化时，的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以当时函数取得极大值且极大值为，当时函数取得极小值且极小值为． 则的图象如下所示： 因为函数的图象与直线恰有三个不同的交点， 根据题意结合图形可知的取值范围为． 故答案为： 15．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题可以求并讨论其在上的正负，根据在上的单调性判断函数的值域，从而求出在上没有零点时的取值范围. 【详解】由题得，令，即， 解得或. 根据与大小进行分类讨论如下： (1)当，即时，在区间上，， 所以在上单调递增，又，所以在上没有零点，满足条件； (2)当，即时，在区间上，，即单调递减， 在上，，即单调递增， 所以在处取得极小值，也即是区间上的最小值. 因为在上没有零点，所以， 又，于是， 解得，结合，此时. 综上所述. 故答案为：. 16．（24-25高二下·江西·期末）若函数恰有2个零点，则实数的值是_____. 【答案】或6 【分析】求导，分、和三种情况，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析零点，运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又因为， 令，解得或， 若，则在上单调递增，有且仅有1个零点，不合题意； 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则或，解得（舍去）或； 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则或，解得或（舍去）； 综上所述：或. 故答案为：或6. 17．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在上有两个零点，则的取值为（   ） A．0或 B． C．4 D．0或4 【答案】A 【分析】由题可得或，据此可得答案. 【详解】，， ，则在上单调递增，在上单调递减. 为使在R上有两个零点， 则或，得或， 从而或. 故选：A 18．（25-26高三上·湖北孝感·月考）已知(-3x)，若有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的单调性和奇偶性，将问题转化为的图象与直线有三个不同的交点，利用导数求解的单调性，即可得解. 【详解】的定义域为， 且，所以是奇函数， 又， 而函数均为单调递增函数， 故为单调递增函数， 则为单调递减函数，结合为单调递增函数，故单调递减， 有三个零点， 等价于方程有三个不相等的实数根， 又是奇函数，可得，又单调递减， 所以有，即， 所以问题等价于方程在上有三个不同的实数根， 即函数的图象与直线有三个不同的交点， 由，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极大值为，极小值为， 要使的图象与直线有三个不同的交点， 则，即. 故选：A 题型三：三次函数的拐点 19．【多选题】（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点且与曲线相切的直线恰有两条 【答案】ABD 【分析】对于A，分析函数的单调性即可得出极值点个数；对于B， 利用函数的极值与零点存在定理可得出零点个数；对于C，通过检验是否恒成立即可判断；对于D，利用导数的几何意义写出切线方程，由求出的切点个数即可判断. 【详解】对于A，由求导得． 令，得或，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以和2是函数的两个极值点，故A正确； 对于B，由A项分析，在时取得极大值，在时取得极小值， 且当时，，当时，，故函数在定义域上有三个零点，故B正确； 对于C，由， 因为， 故曲线关于点不成中心对称，故C错误； 对于D，设切点为，则切线的方程为， 代入，可得，化简得，解得或． 故过点且与曲线相切的直线恰有两条，故D正确． 故选：ABD. 20．【多选题】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知有如下定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.若三次函数，则下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C．点是曲线的对称中心 D．若方程有三个不同实根，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据题意，求得和，得到函数的单调区间和极值，以及的根，结合选项，逐项分析判定，即可求解. 【详解】由函数，可得，且， 对于A：当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 且当时，，当时，， 所以函数的值域为，所以A正确； 对于B，函数在单调递减，在单调递增，所以B错误； 对于C，令，可得，解得，且， 所以点是曲线的对称中心，所以C正确； 对于D，由在单调递增，在单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值为，极小值为， 且当时，，当时，， 要使方程有三个不同实根，即方程有三个不同实根， 即函数与的图像有三个不同的交点，所以， 所以实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ACD. 21．【多选题】（2026·四川遂宁·一模）已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 【答案】AC 【分析】计算即可判断A，求导得，令，即，求判别式即可判断B，先判断的单调区间，进而根据零点存在定理即可判断C，先判断在上的单调性即可判断D. 【详解】对于A： ， 所以的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B：，令，即， 所以， 所以当时，方程有两个根，即有两个极值点，故B错误； 对于C：由，解得， 显然当时，， 由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 当，所以对于任意有三个零点，故C正确； 对于D：当时，在单调递减，又， 所以在单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故D错误； 故选：AC. 22．【多选题】（2026·陕西渭南·一模）设函数，则（   ） A．点是图像的对称中心 B．当时，函数有三个零点 C．当时，直线不是曲线的切线 D．若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【分析】对于A计算即可判断，对于B由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可判断，求切线方程即可判断C，结合零点的定义代入计算，即可判断D， 【详解】对于A：由， 所以是图像的对称中心，故A正确； 对于B：当时，，所以， 令，得或，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以函数有三个零点，故B正确； 对于C：当时，，所以，由，， 所以在处的切线方程为：，故C错误； 对于D：设的三个零点为， 所以， 对比项的系数有：，故D正确； 故选：ABD. 23．【多选题】（2025高三·全国·专题练习）（多选）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（   ） A． B．函数既有极大值又有极小值 C．函数有三个零点 D．过可以作两条直线与图像相切 【答案】ABD 【分析】根据“拐点”的定义与的对称中心，建立方程求出可判断A，，根据的单调性及的极值可判断BC，根据导数的几何意义求出的切线方程，从而转化为切点个数问题即可判断D． 【详解】因为，所以， 从而，由题意，即，解得，故A正确； 因为，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在与处取得极大值与极小值，故B正确； 又，，即的极大值与极小值大于0， 所以函数不会有3个零点，故C错误； 设切点为，则切线方程为， 又切线过，则， 化简得，即，解得或， 即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故D正确． 故选：ABD． 24．【多选题】（24-25高二下·四川资阳·期末）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则（   ） A．存在拐点 B．若，则 C．当，且有极值时， D．当，，且函数有三个零点时， 【答案】BCD 【分析】对于A令，验证即可判断，对于B由得，当，即可求，对于C令得，由即可判断，对于D当时，，利用导数研究单调区间进而得零点情况即可判断. 【详解】由题意有，，所以， 令，所以，，所以不存在拐点，故A错误； 当时，由，解得，，故B正确； 由，令有：，由， 当时，，所以，故C正确； 当时，，所以， 当时，由有或，有，所以的单调减区间为，单调增区间为， 因为 要使函数有三个零点， 只需，又，所以，故D正确. 故选：BCD. 25．（23-24高二下·河北邢台·期末）设函数的导函数为，的导函数为，的导函数为．若，且，则点为曲线的拐点． (1)已知函数，求曲线的拐点； (2)已知函数，讨论曲线的拐点个数． 【答案】(1)点为曲线的拐点 (2)答案见解析 【分析】（1）根据拐点的定义求解即可；、 （2）对函数二次求导后，可知，由可得的零点个数等于函数的图象与直线的交点个数，函数的图象与直线均经过点，然后按，和或分析讨论即可. 【详解】（1）由题意得，，． 由，得或． 因为，，， 所以点为曲线的拐点． （2）由题意得，，．易得． 令，得，则的零点个数等于函数的图象与直线的交点个数， 易知函数的图象与直线均经过点． ①如图，当时，函数的图象与直线只有一个交点， 因为，，所以点为曲线的拐点． ②如图，当时，直线与函数的图象相切，只有一个交点， 因为，，所以曲线没有拐点． ③如图，当或时，直线与函数的图象有两个交点，其中一个交点为， 设另外一个交点的横坐标为，则，即． ，，所以点为曲线的拐点． ，， 设函数，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，得，即， 所以点为曲线的拐点． 综上所述，当时，曲线的拐点个数为1；当时，曲线的拐点个数为0；当或时，曲线的拐点个数为2． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 26．【多选题】（23-24高二下·四川成都·期末）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 【答案】BCD 【分析】利用导数研究的单调性，根据零点的定义与存在性定理即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；根据拐点的定义即可判断C；根据数形结合的思想即可判断D. 【详解】由得， 令或， 所以在单调递减，在、单调递增. A：因为， 所以在存在1个零点，故在R上有2个零点，故A错误； B：的极大值点为，极小值点为， 所以有2个极值点，故B正确； C：令，得，， 所以是的拐点，进而是的对称中心，故C正确； D：因为的极大值为，极小值为， 作出直线与函数的图象，如图， 由图可知，直线与函数的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实根，故D正确. 故选：BCD 题型四：三次函数的综合题型 27．【多选题】（2026·福建福州·模拟预测）设函数，则下列说法中正确的有（   ） A．函数是奇函数 B．在区间上单调递增 C．直线，与曲线的公共点个数不相等 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】ACD 【分析】A选项运用奇函数的定义进行运算判断即可；B选项根据函数的导函数的正负性进行判断即可；C选项根据函数的单调性，结合B的结论进行判断即可；D选项根据函数的导函数解析式，结合配方法进行判断即可. 【详解】对于A，， 令，函数定义域为R， 因为， 所以函数是奇函数，所以A选项正确； 对于B，， 当时，单调递减，所以B选项不正确； 对于C，因为， 所以当时，单调递减， 当，或时，单调递增， 因为，当时，， 当时，， 所以直线，与曲线的公共点个数分别为和， 所以C选项正确； 对于D，设斜率为-12的直线方程为， 联立，消去得， 即， 令，， 当且仅当时取等号，所以在R上单调递增， 当时，；当时，， 根据单调函数的性质，与轴有且仅有一个交点， 所以斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点，所以D选项正确. 28．【多选题】（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为的极大值点 B．若，且，则 C．若，则对，都有 D．对，，使得有3个零点 【答案】ABD 【分析】对于选项A，通过求导判断函数的单调性，进而可确定其极大值点； 对于选项B，根据导函数的二次函数的对称性即可判断； 对于选项C，通过计算，即可判断； 对于选项D，结合函数的单调性和极值情况即可判断其零点个数. 【详解】由，可得， 对于A选项，令，可解得或， 因为，所以当时，恒成立，函数单调递增， 当时，恒成立，函数单调递减， 当时，恒成立，函数单调递增，所以为的极大值点，故A正确； 对于B选项，因为，为开口向上的二次函数，对称轴为， 又，且，所以根据二次函数的对称性，可得，故B正确； 对于C选项，当时，， 则， 所以， 当时，即，可得，故C错误； 对于D选项，由前面分析可得，当时，为极大值点，为极小值点， 所以，， 当时，；当时，， 所以， 因为，所以，即， 所以对，，使且，所以有3个零点，故D正确. 故选：ABD 29．【多选题】（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 B．当时，函数为奇函数 C．若过点有三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 D．若函数有3个零点，则这3个零点之和为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，由， 当时，没有极值； 当时，令，可得或，可得函数的减区间为，增区间为，此时为函数的极大值点； 当时，令，可得，可得函数的减区间为，增区间为，此时为函数的极小值点，故A选项错误； 对于B选项，由， 有，可得函数为奇函数，故B选项正确； 对于C选项，设切点为，可知， 可得函数在点M处的切线方程为 ，代入有，整理为， 若过点有三条直线与曲线相切，可得关于m的方程有且仅有3个根， 显然，上述方程可化为. 令，有， 令，即，解得， 可得函数的减区间为， 令，即，解得或， 所以函数增区间为， 又由.可得，可得，故C选项正确； 对于D选项，显然，设， 又由，可得， 同理可得， 将上面两式作差，得， 整理可得，故D选项正确. 30．【多选题】（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数，则（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，，都有 C．当时，有三个零点 D．当时，有极大值3 【答案】BC 【分析】对于A，求，，利用点斜式求切线方程，判断A，对于B，根据幂函数的单调性判断结论，对于C，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数即可判断，对于D，利用导数判断函数的单调性，结合极大值定义求极大值即可判断. 【详解】对于A，， 当时，，， 切线斜率，又切线过点， 故曲线在点处的切线方程为，即，A错误， 对于B，，函数为增函数， ，都有，故，B正确， 对于C，， 当时，，， 函数在上单调递增，又，， 所以在上有一个零点， 当时，，， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，，， 所以函数在区间上有一个零点，在区间上有一个零点， 所以时，函数有三个零点，C正确， 对于D，， 当时，， 函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，函数在上没有极值， 当时，，， 令，可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以时，函数取极大值，极大值为，D错误. 31．【多选题】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数有两个极值点，则（   ） A． B．当时，有三个零点 C．当时，仅有一个零点 D． 【答案】BCD 【分析】求导，根据函数有两个极值点，可得，计算可判断A；分和两种情况讨论可判断BC；利用韦达定理可得，计算可判断D. 【详解】对于A，由，得， 因为函数有两个极值点， 所以有两个不等的实数根， 即有两个不等的实数根， 所以，解得或，故A错误； 对于B，当时，二次函数与轴有两个不同的交点，开口向上， 当时，；当，；当，， 所以是极大值，是极小值，又，则可得有三个零点. 同理可得当时，有三个零点，故B正确； 对于C，当时，由B可知是极小值，又，所以， 此时极大值，所以函数在，函数从递增到有1个零点， 其余区间内无零点， 同理可得当时，函数仅有一个零点， 综上所述：当时，仅有一个零点，故C正确； 对于D，由韦达定理可得， ， 又， 所以，故D正确. 故选：BCD. 32．【多选题】（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（   ） A．a的取值范围为 B． C．若，则 D．函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0 【答案】ACD 【分析】由有三个零点，得函数至少有两个极值点.因为，所以有两个不相等的实数根.根据，可得a的取值范围，判断A；通过判断的零点与方程的根的关系，判断B；化简，可得关系，判断C；分别求出函数在三个零点处的切线斜率，从而求得其倒数之和，判断D. 【详解】对于A，因为有三个零点，得函数至少有两个极值点. 因为，所以有两个不相等的实数根. 所以，解得，所以A正确. 对于B，的两个不相等的实数根为. 由，且关于对称. ∴，与的大小关系不能判断，无法比较大小，所以B错误. 对于C， ，所以，所以，所以C正确. 对于D，由题得，其简图如下： ， 所以， 同理， 故 ．所以D正确. 故选：ACD. 33．【多选题】（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数，是的一个极值点，则（   ） A． B．的图像在点处的切线方程为 C．若方程有一个解，则 D． 【答案】BCD 【分析】利用极值点的定义可判断A；利用切线的方程的求法可判断B；利用三次函数图象的特点可判断C；代入作差，可判断D. 【详解】求导得 ， 由题意得，解得 或 ， 由 得 ，故 A 错误； 由 得 ，， ， 点处的切线斜率， 所以切线方程为 ，即 ，B 正确； 令，得或， 当 时， ，所以函数单调递增， 当 时， ，所以函数递减， 当 时， ，所以函数递增. 所以的极大值为， 的极小值为. 为三次函数，要使只有一个解，只需的极小值或 的极大值. 所以或，故C正确； 易知，则. 即 恒成立，故D 正确. 故选：BCD 34．【多选题】（25-26高二上·山西运城·期末）已知是函数的极大值点，则 （    ） A． B．若函数有三个零点，则实数的取值范围为 C．若函数在区间存在最小值，则实数的取值范围为 D．过点存在3条直线与曲线相切 【答案】AB 【分析】对函数求导，并根据极值点解得或，经检验可得符合题意，因此A正确，利用函数与方程思想可得函数与有三个交点，画出函数图象求出其极值可得B正确，由区间上存在最小值得出不等式可解得，因此C错误，设出切点坐标求出切线方程并代入点得出方程，求出方程根的个数可判断D错误. 【详解】对于A，易知， 依题意可得，解得或； 当时，，当时，当或时， 可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增； 显然是函数的极小值点，不合题意； 当时，易知， 当时，当或时， 可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增； 此时是函数的极大值点，所以，即A正确； 对于B，若函数有三个零点，即方程有三个不相同的实数根， 也即函数与有三个交点，根据已有分析可知在处取得极大值，在处取得极小值, 画出函数的图象如下图：    结合图象可知，即B正确； 对于C，若函数在区间存在最小值，则需满足且； 解得，因此C错误， 对于D，设过点的直线与曲线相切于点， 易知切线斜率为， 所以切线方程为， 代入点并化简可得, 也即，所以， 即，显然或， 因此只存在两个切点，所以过点存在2条直线与曲线相切，即D错误. 故选：AB 35．【多选题】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知曲线：，则下列结论正确的是（   ） A．曲线关于点对称 B．直线与曲线的公共点个数不等于直线与曲线的公共点个数 C．直线与曲线的所有公共点的横坐标的平方和等于 D．过点可作三条直线与曲线相切 【答案】AC 【分析】利用函数对称性定义计算判断A；求出方程的根判断B；利用方程根的意义列式计算判断C；利用导数求出切线方程，进而确定方程解的个数判断D. 【详解】令函数， 对于A，，因此曲线关于点对称，A正确； 对于B，由，，即， 得，解得或， 由，得或，因此直线与曲线的公共点个数 等于直线与曲线的公共点个数，都为两个，B错误； 对于C，由，得，设方程的根为， 则，有， 因此，C正确； 对于D，，设切点，切线为， 由切线过，得，即， 令，求导得， 当或时，，当时，，函数在上单调递增， 在上单调递减，，，函数图象与轴只有一个交点， 因此过点可作一条直线与曲线相切，D错误. 故选：AC 36．【多选题】（2026·江西·一模）已知函数有两个极值点.设，点为曲线上一点，则（    ） A． B．若直线的倾斜角为，则 C．有最值 D．若存在使得，则 【答案】BD 【分析】A将问题转化为有两个零点求解；B求出，再根据斜率公式计算；C结合B选项求出，结合函数的单调性即可；D求出线段的垂直平分线的方程，将问题转化为在区间有零点，利用导数求出最大值即可. 【详解】由题意知，有两个零点，则，则，故A错误； 由得或；得， 则在，上单调递增，在上单调递减， 则，， 则 ， 因为直线的倾斜角为，所以，得，则B正确； 由B选项可知，直线的斜率为， 则， 易知函数在单调递减， 当时，；当时，， 故的值域为，无最值，因此也无最值，则C错误； 因为，所以，， 则线段的中点为， 因为直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为， 若存在使得，则与有交点， 因为，所以的定义域为， 则在区间有零点， 得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即， 因为，所以解得，则D正确. 故选：BD. 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 三次函数 题型一：三次函数的切线 2 题型二：三次函数的零点 3 题型三：三次函数的拐点 3 题型四：三次函数的综合题型 4 【题型方法指导】 一：三次函数的切线 1.基本性质 设三次函数为：（且），其基本性质有： 性质1 1.定义域为 2.值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值 3.单调性和图像：求导即证 图像：先增后减再增，有两个极值点 图像：单调递增，无极值点 图像：先减后增再减，有两个极值点 图像：单调递减，无极值点 2.曲线在某点处切线方程的求法 总结引例解题思路，可得求曲线在某点处切线方程的一般步骤： 1.第一步，计算函数的在曲线上该点处的导函数 2.第二步，运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率 3.第三步，利用直线的点斜式方程写出切线的方程： 3.过一点求曲线的切线方程 由引例的变式，可得求曲线过某点的切线方程一般步骤： 1.第一步，设切点，切线斜率为， 2.第二步，列方程 3.第三步，解方程，得 4.第四步，利用直线的点斜式方程写出切线的方程： 二：三次函数的零点 1.三次方程的实根个数 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数 其导函数为二次函数： 判别式为： 设的两根为，结合函数草图易得： 1.若，则恰有一个实根； 2.若，且，则恰有一个实根； 3.若，且，则有两个不相等的实根； 4.若，且，则有三个不相等的实根. 说明： 1.含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数(或两极值同号)，所以(或，且)； 2.有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且； 3.有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号，所以且. 2.对三次函数，如果其存在三个实根，则有 称为三次方程根与系数关系. 证明： 由待定系数法可得： 三：三次函数的拐点 1对称性 三次函数是中心对称曲线且对称中心是 （1）原因奇函数的导数是偶函数偶函数的导数是奇函数周期函数的导数还是周期函数三次函数其导函数为二次函数易知导函数的对称轴即为三次函数对称中心横坐标 （2）是函数的导数若方程有实数解则称点为函数的“拐点”任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心 题型一：三次函数的切线 1．（山西省大同市2026届高三年级第一次模拟考试质量监测数学试题）曲线在点处的切线方程为______. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数与的图像都过点，且在点P处有公共切线，则________，________． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）求过点与曲线相切的直线方程． 4．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数 . (1)求函数的图像在处的切线方程； (2)求函数的图像经过点的切线方程. 5．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知直线与函数的图象相切，且它们仅有一个公共点，则直线的方程为_____ 6．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则在上的最小值为__________. 7．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知曲线，则曲线过点的切线方程为________． 8．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数.若函数在和的切线互相平行，则两平行线之间距离的最大值为__________. 题型二：三次函数的零点 9．（25-26高三上·北京·开学考试）设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则______ ① ②函数的对称中心为 ③过引曲线的切线，有且仅有1条 ④若成等差数列，则 10．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知有三个零点，则的范围是________________． 11．（25-26高一上·广东·期末）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__ ． 12．（25-26高三上·重庆·月考）函数在区间内存在零点，且该零点不是的极值点，则实数的取值范围为_____. 13．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知函数，若是函数的导函数的两个不同零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则________． 14．（25-26高二·全国·假期作业）函数的图象与直线恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是_______． 15．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____． 16．（24-25高二下·江西·期末）若函数恰有2个零点，则实数的值是_____. 17．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在上有两个零点，则的取值为（   ） A．0或 B． C．4 D．0或4 18．（25-26高三上·湖北孝感·月考）已知(-3x)，若有三个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：三次函数的拐点 19．【多选题】（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点且与曲线相切的直线恰有两条 20．【多选题】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知有如下定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.若三次函数，则下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C．点是曲线的对称中心 D．若方程有三个不同实根，则实数的取值范围为 21．【多选题】（2026·四川遂宁·一模）已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 22．【多选题】（2026·陕西渭南·一模）设函数，则（   ） A．点是图像的对称中心 B．当时，函数有三个零点 C．当时，直线不是曲线的切线 D．若有三个不同的零点，则 23．【多选题】（2025高三·全国·专题练习）（多选）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心，已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（   ） A． B．函数既有极大值又有极小值 C．函数有三个零点 D．过可以作两条直线与图像相切 24．【多选题】（24-25高二下·四川资阳·期末）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知三次函数的对称中心为，则（   ） A．存在拐点 B．若，则 C．当，且有极值时， D．当，，且函数有三个零点时， 25．（23-24高二下·河北邢台·期末）设函数的导函数为，的导函数为，的导函数为．若，且，则点为曲线的拐点． (1)已知函数，求曲线的拐点； (2)已知函数，讨论曲线的拐点个数． 26．【多选题】（23-24高二下·四川成都·期末）对于三次函数 ，现给出定义: 设 是函数 的 导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函 数 的 “拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都 有 “拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且 “拐点” 就是对称中心. 已知函数 ，则（    ） A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极值点 C．点 是曲线 的对称中心 D．方程 有三个不同的实数根 题型四：三次函数的综合题型 27．【多选题】（2026·福建福州·模拟预测）设函数，则下列说法中正确的有（   ） A．函数是奇函数 B．在区间上单调递增 C．直线，与曲线的公共点个数不相等 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 28．【多选题】（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则为的极大值点 B．若，且，则 C．若，则对，都有 D．对，，使得有3个零点 29．【多选题】（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为 B．当时，函数为奇函数 C．若过点有三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 D．若函数有3个零点，则这3个零点之和为 30．【多选题】（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数，则（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，，都有 C．当时，有三个零点 D．当时，有极大值3 31．【多选题】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数有两个极值点，则（   ） A． B．当时，有三个零点 C．当时，仅有一个零点 D． 32．【多选题】（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（   ） A．a的取值范围为 B． C．若，则 D．函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为0 33．【多选题】（25-26高三上·山东青岛·期末）已知函数，是的一个极值点，则（   ） A． B．的图像在点处的切线方程为 C．若方程有一个解，则 D． 34．【多选题】（25-26高二上·山西运城·期末）已知是函数的极大值点，则 （    ） A． B．若函数有三个零点，则实数的取值范围为 C．若函数在区间存在最小值，则实数的取值范围为 D．过点存在3条直线与曲线相切 35．【多选题】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知曲线：，则下列结论正确的是（   ） A．曲线关于点对称 B．直线与曲线的公共点个数不等于直线与曲线的公共点个数 C．直线与曲线的所有公共点的横坐标的平方和等于 D．过点可作三条直线与曲线相切 36．【多选题】（2026·江西·一模）已知函数有两个极值点.设，点为曲线上一点，则（    ） A． B．若直线的倾斜角为，则 C．有最值 D．若存在使得，则 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $