考点02 排列（专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

考点02 排列 考点一：排列 1、排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2、排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 3、排列数公式 ，其中，且． 4、阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!． 规定：． 5、排列数公式的阶乘式： 所以． 考点二：排列的常见类型与处理方法 1、相邻元素捆绑法 2、相离问题插空法 3、元素分析法 4、位置分析法 题型一：排列的概念 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 从n个不同元素中取出m个按一定顺序排成一列，叫从n个中取m个的排列，有序是核心。 1．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（   ） A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 【答案】C 【解析】根据题意，从甲、乙、丙三人中选两人站成一排， 若选甲乙两人，则站法为甲乙，乙甲； 若选甲丙两人，则站法为甲丙，丙甲； 若选乙丙两人，则站法为乙丙，丙乙， 所以所有站法为“甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙”. 故选：C. 2．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 【答案】B 【解析】A.选出3名学生后，哪位同学参加哪门竞赛需再排序，故属于排列问题，故A错误； B. 分组无顺序，故不属于排列问题，B正确； C. 如和是不同的，即哪个数作指数和底数是不同的，故属于排列问题，故C错误； D. 如和是不同的点，故属于排列问题，故D错误. 故选：B. 3．下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 【答案】B 【解析】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误； 对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确； 对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误； 对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误． 故选：B 4．下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 【答案】B 【解析】对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，因为工作内容不一样，故有顺序，属于排列问题，故A不满足题意； 对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，没有顺序，所以不属于排列问题，故B满足题意； 对于C，从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表，因为科目不相同，故有顺序，属于排列问题，故C不满足题意； 对于D，从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数，数字所在位置有顺序，属于排列问题，故D不满足题意. 故选：B 5．下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 【答案】B 【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序， 因而不是排列问题，不合题意； 选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人， 是排列问题，适合题意； 选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点 即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意； 选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果， 这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意. 故选：B． 题型二：排列数公式的应用 排列数公式的选择 （1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． （2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 混淆有序与无序；忽略特殊元素 / 位置；重复 / 遗漏；阶乘计算错误。 1．可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A. 2．满足不等式的的值可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，可得， 由题意可得且，故或. 故选：A. 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 4．已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【答案】D 【解析】由题意，，即， 化简可得，即，解得或 因为，所以，故 故选：D. 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A 题型三：与排列数公式有关的证明问题 对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一般用阶乘式． 混淆上下标，阶乘化简出错，漏写限制条件，错用组合数替代，未验证 m、n 范围，递推时下标处理不当。 1．证明下列等式． (1)； (2)． 【解析】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 2．（1）证明：； （2）化简：． 【解析】（1）证明：； （2）原式． 3．求证： 【解析】， ， ， 综上，. 4．证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 【解析】（1）证明：由可得， 则. 所以 （2）因为， 所以. 5．证明，并用它来化简． 【解析】证明，即证. 题型四：相邻问题 相邻问题捆绑法 捆绑后整体算 1 个元素，易漏算内部排列；相邻与不相邻混淆；多组相邻时重复计算。 1．若有5个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种.（用数字作答） 【答案】24 【解析】因为甲、乙必须相邻，故将甲、乙捆绑到一起算作一个“个体”，内部有种排列方法，此时共有4个“个体”， 若丙不能站在两端，则丙只能站在中间两个位置中的一个，共2种排列方法，其余3个“个体”全排列，共有种排列方法， 故共有种排列方法. 故答案为：24. 2．将2位穿红衣服的同学和1位穿蓝衣服的同学随机排成一行，若要求2位穿红衣服的同学相邻，则有______种排法. 【答案】4 【解析】将两位红衣服同学视为一个元素，与蓝衣服的同学进行排列，此时相当于排列两个元素，则其排列数为， 复合元素内部的两位红衣服同学可交换位置，则排列数为，所以共种. 故答案为：4. 3．若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为_________. 【答案】 【解析】将3名女生看成一个整体有种排法，再和其他5名男生排成一排有种排法，所以一共有种方法. 故答案为： 4．有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为____________． 【答案】 【解析】将2名医生看成一个整体，和4名护士站成一排有， 两名医生内部有种站法， 所以两名医生相邻，不同的排法总数为， 故答案为： 5．三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有________种．（用数字作答） 【答案】 【解析】将两个空位视为一个整体与三个人排列，又两个空位没有区别，故共有种排法. 故答案为：. 题型五：不相邻问题 不相邻用插空法：先排无限制元素，再插空。 先插后排致重复，多类不相邻混淆，空位数算错，忽略元素是否相同。 1．7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有___________种不同安排方式. 【答案】1200 【解析】甲乙两人相邻的情况：将甲乙捆绑，再与其他5人作全排列， 所以共有种情况， 其中甲乙、甲丙都相邻的情况：乙丙在甲的两侧并作捆绑，再与其他4人作全排列， 所以共有种情况， 所以甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻共有种. 故答案为： 2．有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有_____种不同的站法（用式子作答）. 【答案】 【解析】8名学生排成一排有种方法，此时产生9个空， 再把2位教师插入有种方法， 所以有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有种不同的站法， 故答案为： 3．4名女同学和2名男同学站成一排照相，要求2名男生互不相邻，共有_________种不同排法. 【答案】480 【解析】先排4个女生，有种排法； 女生排好后，连同两端在内，有5个空位置，从中选两个，排入男生，有种排法； 所以满足条件的排法有种. 故答案为：480 4．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有______种.（用数字作答） 【答案】144 【解析】第一步，先排甲班和丙班的同学，将甲班的2人捆绑视为一个整体，这个整体与丙班的2人（共3个元素）进行全排列，有种方法；甲班两人内部有种排法，故共有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空位，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故答案为：144 5．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有______种． 【答案】144 【解析】先将“射”和“御”“捆绑”视为一个元素，再与“乐”和“数”一起排列， 有种不同的次序， 再将“礼”和“书”排到所得排列的空隙中（“射”和“御”中间不能排），有种不同的次序， 最后将“射”和“御”交换位置，有种不同排序， 根据分步乘法计数原理可知“六艺”讲座不同的次序共有种． 故答案为：. 题型六：定序问题 定序问题用缩倍法 误当全排列算，多除或少除，混淆定序与无序，元素不同却按相同处理，忽略其他元素排列。 1．从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有______；（用数字做答） 【答案】120 【解析】先将“捆绑”看成一个元素，与另外四人在五个位置上进行全排， 再考虑在的左边，最后“解绑”，故有种方法. 故答案为：120. 2．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有_______种. 【答案】60 【解析】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，共有种排法， 其中甲在乙的左边和乙在甲的左边一样多， 所以甲在乙的左边的不同的站队方式共有. 故答案为：. 3．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有______种． 【答案】30 【解析】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 4．“灯笼”是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要从下往上依次取下，每次取1盏，则不同取法总数为___________.    【答案】 【解析】对于6盏不同的花灯进行取下，可先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种排法， 因为取花灯每次只能取一盏，且只能从下往上取， 又因为每串花灯先后顺序已经固定，所以除去重复的排列顺序， 所以共有种不同的取法. 故答案为：. 5．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为____________（用数字作答） 【答案】 【解析】由题意可知，与相邻，则将与捆绑， 然后要求在的左边，在的右边， 由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为种. 故答案为：. 题型七：间接法 至少或至多问题用间接法 总数算错，对立面找反，多减或漏减重复部分，未排除不符合条件，混淆 “至少”“至多” 逻辑，忽略元素限制。 1．将甲、乙等6人排成一排，则甲不在最左边，乙不在最右边的不同排法共有______种.（用数字作答） 【答案】504 【解析】人的全排列的方法数为, 甲在最左边，剩下人的全排列的方法数为, 乙在最右边，剩下人的全排列的方法数为, 甲在最左边且乙在最右边，剩下人的全排列的方法数为, 则符合题意的排列数为. 故答案为： 2．、、、、五人排成一排，如果必须站在的右边，且、不相邻，则不同的排法共有__________种． 【答案】36 【解析】站在的右边的排法有， 、相邻且站在的右边的排法有， 所以必须站在的右边，且、不相邻， 则不同的排法共有种. 故答案为：36. 3．3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有_________种站法 【答案】96 【解析】由题意排除两名男生相邻且排在两端即得结果，排法数为． 故答案为：96. 4．某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有__________（用数字作答）种. 【答案】144 【解析】6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻的安排方式有（种）， 6名同学排成一排照相，其中甲、乙相邻，丙在队伍两头的安排方式有（种）， 所以6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有（种）. 故答案为：144. 5．将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有___________种. 【答案】504 【解析】根据题意将排成一列，有种排法， 而在首位，有种排法，同理在末位，有种排法， 当在首位，同时在末位有种排法， 则不在首位且不在末位的排法共有种. 故答案为：504. 1．2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【解析】把2个男生看作一个整体，内部有种排列方式 将这个男生整体和2个女生一起排列，相当于3个元素，有种排列方式, 所以，根据乘法原理，总的排法有：种不同排法. 故选：A 2．要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 【答案】B 【解析】不考虑限制条件有种选法， 若当副组长，有种选法， 故不当副组长，有（种）选法． 故选：B. 3．用0，1，2，3，4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不正确的是（   ） A．共有96个数 B．偶数有60个 C．大于31000的数有24个 D．数字2和数字4不相邻的数有60个 【答案】C 【解析】对于A，首位不能为，故共有种；剩下的4个数全排列共有种，一共有种，故A正确， 对于B，末位为0时，剩下的4个数全排列共有种； 末位为2时，首位不能为，故共有种，剩下的3个数全排列共有种，一共有种； 末位为4时，首位不能为，故共有种，剩下的3个数全排列共有种，一共有种； 总计有种，故B正确， 对于C，首位为4时，剩下的4个数全排列共有种； 首位为3时，千位为，剩下的3个数全排列共有种，一共有种；千位为，剩下的3个数全排列共有种， 总计有种，故C错误， 对于D，一共的排列共有96个数，数字2和数字4相邻的数共有种，0在首位的情况有种， 数字2和数字4不相邻的数有种，故D正确. 故选：C. 4．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（   ） A．12 B．24 C．72 D．48 【答案】D 【解析】由题意知：则“土、水”相邻的排法种数为. 故选：D. 5．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 【答案】C 【解析】先排乙班和丙班的学生，有（种）， 又甲班的2名同学不相邻，利用插空法得（种）， 综上，共有（种）. 故选：C. 6．从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（   ） A．120种 B．96种 C．72种 D．48种 【答案】C 【解析】分两步：首先从除甲乙之外的3人中选1人去上海游览，共有种， 其次从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种， 共有种， 故选：C 7．含甲、乙、丙在内的6人站成一排，其中甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为（   ） A．24 B．48 C．96 D．192 【答案】C 【解析】将乙丙看作一个整体，内部有种排列， 此时可看作5个元素排成一排，甲站两端， 先排甲，有，剩下4个元素全排列有， 故由乘法原理可得， 即甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为， 故选：C 8．某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（    ） A．480种 B．504种 C．360种 D．288种 【答案】B 【解析】由6名演员站成一排表演，共有种排法， 甲站在最左边，有种排法，乙站在最右边，有种排法， 甲站在最左端且乙站在最右端，有种排法， 所以甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有种排法. 故选：B. 9．（多选题）将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 【答案】AC 【解析】对于A：首先将名女生排在中间的三个位置，再将名男生排在其余四个位置， 则有种排法，故A正确； 对于B：首先排两个男生在头尾、其余人全排列，则有种排法，故B错误； 对于C：首先将名男生全排列，再将名女生插空排列，则有种排法，故C正确； 对于D：女生甲在女生乙右边属于定序问题，则有种排法，故D错误； 故选：AC 10．某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）. 【答案】 【解析】依题意，完成这件事共分两步完成， 第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法； 第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法， 由分步乘法计数原理得一共种排法． 故答案为：. 11．王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 【答案】144 【解析】总共有人，王老师必须站在中间，即第 4 个位置，只有1种选择， 甲必须与王老师站在一起，只能在第 3 或第 5 个位置，有 2种选择， 乙不能站在左右两端（第 1、7 位），此时已占用 2 个位置（王老师和甲），剩余 5 个位置中排除 2 个端点， 有 个可选位置，即3种选择， 剩下的 4 名同学可以在剩余的 4 个位置上全排列，有种方式. 因此，共有种站法. 故答案为：144. 12．从八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数的系数，问： (1)共能组成多少个不同的二次函数？ (2)在这些二次函数中，图象关于轴对称的有多少个？ 【解析】（1）方法一：因为， 所以确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有种，所以共有个不同的二次函数． 方法二：当中不含0时，有个； 当中含有0时，有个， 故共有（个）不同的二次函数． 方法三：共可构成个函数，其中当时，有个均不符合要求， 从而共有（个）不同的二次函数． （2）依题意图象关于轴对称，即， 所以共有（个）符合条件的二次函数． 13．8个人排队： (1)排成一排共有多少种不同的排法？ (2)排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 【解析】（1）由排列的定义知共有种不同的排法． （2）8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数； 也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有种排法， 第二步：剩下的4人放在后排共有种排法， 由分步乘法计数原理知共有种排法． （3）同（2）的分析可知，共有（种）． 14．3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男女相间排列． 【解析】（1）分三步完成：第一步：3名男生必须站在一起是男生的全排列，有种排法； 第二步：4名女生必须站在一起是女生的全排列，有种排法； 第三步：全体男生、女生各视为一个元素，有种排法． 由分步乘法计数原理知，共有（种）排队方法． （2）因为三名男生全排列有种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有种排法． 故有（种）排队方法． （3）先安排女生，共有种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有种排法，故共有（种）排法． （4）先排男生有种排法，产生4个空然后让4名女生插空有种排法，共有（种）排法． 15．六人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 【解析】（1）法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法， 然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步乘法计数原理， 共有（种）站法． 法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有种站法， 然后其余4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有（种）站法． 法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有种站法， 从总数中减去这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有（种）． （2）首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有种， 再让其他4人在中间位置作全排列，有种，根据分步乘法计数原理， 共有（种）站法． （3）法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有种， 甲在左端且乙在右端的站法有种，共有（种）站法． 法二：以元素甲分类可分为两类：第一类，甲站右端有种； 第二类，甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有种， 故共有（种）站法． 16．某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数： (1)民族舞节目不能安排在第一个表演时段； (2)古筝演奏节目与相声节目必须相邻. 【解析】（1）先安排第一个表演时段，有古筝演奏、相声、吉他弹唱3种选择； 剩下3个时段，对剩下3个节目全排列，有种， 所以总数为种； （2）将古筝演奏和相声看作一个“整体”，内部有种排列方式； 再把这个“整体”和吉他弹唱、民族舞进行全排列，有种排法， 所以总数为种. 17．元旦假期，陕西各地举办丰富多彩、各具特色的活动，相关数据显示，西安入围全国十大热门目的地，西安本地热门景区前六名依次为秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆、西安城墙、大唐不夜城、华清宫、大唐芙蓉园，游客甲计划用六天时间参观这六个景区，每天参观一个景区. (1)求不同的参观顺序的方案数； (2)若甲第一天和第二天均不参观大唐不夜城和大唐芙蓉园，求不同的参观顺序的方案数； (3)若甲参观秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的顺序不相邻，求不同的参观顺序的方案数. 【解析】（1）六天时间参观这六个景区的不同的参观顺序的方案数为； （2）第一天和第二天不同的参观顺序的方案数为种； 后四天安排剩下的四个景区，共有种， 所以共有：种方案； （3）先排列除秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的另外四个景区， 有种方案，产生个空， 利用插空法：再安排秦始皇帝陵博物院和陕西历史博物馆， 所以共有种方案. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 排列 考点一：排列 1、排列的定义： 一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2、排列数的定义 从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示． 3、排列数公式 ，其中，且． 4、阶乘的概念： 把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!． 规定：． 5、排列数公式的阶乘式： 所以． 考点二：排列的常见类型与处理方法 1、相邻元素捆绑法 2、相离问题插空法 3、元素分析法 4、位置分析法 题型一：排列的概念 判断一个具体问题是否为排列问题的思路 从n个不同元素中取出m个按一定顺序排成一列，叫从n个中取m个的排列，有序是核心。 1．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（   ） A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 2．下列选项中，不属于排列问题的是（    ） A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法 B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案 C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂 D．从中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点 3．下列问题是排列问题的是（    ） A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法 B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法 C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线 D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 4．下列问题不属于排列问题的是（   ） A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 C．从班上30名学生中选出6人，分别担任6科课代表 D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个不同的数字组成一个两位数 5．下列问题是排列问题的是（    ） A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？ 题型二：排列数公式的应用 排列数公式的选择 （1）排列数公式的乘积形式适用于计算排列数． （2）排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 混淆有序与无序；忽略特殊元素 / 位置；重复 / 遗漏；阶乘计算错误。 1．可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 2．满足不等式的的值可以为（ ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型三：与排列数公式有关的证明问题 对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一般用阶乘式． 混淆上下标，阶乘化简出错，漏写限制条件，错用组合数替代，未验证 m、n 范围，递推时下标处理不当。 1．证明下列等式． (1)； (2)． 2．（1）证明：； （2）化简：． 3．求证： 4．证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 5．证明，并用它来化简． 题型四：相邻问题 相邻问题捆绑法 捆绑后整体算 1 个元素，易漏算内部排列；相邻与不相邻混淆；多组相邻时重复计算。 1．若有5个人排成一排，其中甲、乙必须相邻，而丙不能站在两端，则不同的排法共有______种.（用数字作答） 2．将2位穿红衣服的同学和1位穿蓝衣服的同学随机排成一行，若要求2位穿红衣服的同学相邻，则有______种排法. 3．若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为_________. 4．有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为____________． 5．三个人坐在一排5个座位上，空位相邻的坐法有________种．（用数字作答） 题型五：不相邻问题 不相邻用插空法：先排无限制元素，再插空。 先插后排致重复，多类不相邻混淆，空位数算错，忽略元素是否相同。 1．7个人站成一排照相，其中甲乙两人须相邻，甲丙两人不能相邻，则共有___________种不同安排方式. 2．有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有_____种不同的站法（用式子作答）. 3．4名女同学和2名男同学站成一排照相，要求2名男生互不相邻，共有_________种不同排法. 4．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有______种.（用数字作答） 5．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每“艺”安排一次讲座，共开展六次．讲座次序要求“射”和“御”必须相邻，“礼”和“书”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有______种． 题型六：定序问题 定序问题用缩倍法 误当全排列算，多除或少除，混淆定序与无序，元素不同却按相同处理，忽略其他元素排列。 1．从2024年伊始，各地旅游业爆火，兵马俑是陕西省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有______；（用数字做答） 2．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有_______种. 3．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有______种． 4．“灯笼”是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要从下往上依次取下，每次取1盏，则不同取法总数为___________.    5．某学习小组、、、、、、七名同学站成一排照相，要求与相邻，并且在的左边，在的右边，则不同的站队方法种数为____________（用数字作答） 题型七：间接法 至少或至多问题用间接法 总数算错，对立面找反，多减或漏减重复部分，未排除不符合条件，混淆 “至少”“至多” 逻辑，忽略元素限制。 1．将甲、乙等6人排成一排，则甲不在最左边，乙不在最右边的不同排法共有______种.（用数字作答） 2．、、、、五人排成一排，如果必须站在的右边，且、不相邻，则不同的排法共有__________种． 3．3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少与1名女生相邻，则共有_________种站法 4．某数学兴趣小组的6名同学排成一排照相，其中甲、乙两名同学必须彼此相邻，丙不在队伍两头的安排方式共有__________（用数字作答）种. 5．将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有___________种. 1．2个女生和2个男生站成一排合影，2个男生相邻的不同排法总数为（    ） A．12 B．24 C．36 D．72 2．要从,5个人中选出1名组长和1名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是（   ） A．20 B．16 C．10 D．6 3．用0，1，2，3，4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不正确的是（   ） A．共有96个数 B．偶数有60个 C．大于31000的数有24个 D．数字2和数字4不相邻的数有60个 4．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（   ） A．12 B．24 C．72 D．48 5．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学不相邻的站法种数共有（　　） A．120种 B．240种 C．480种 D．720种 6．从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（   ） A．120种 B．96种 C．72种 D．48种 7．含甲、乙、丙在内的6人站成一排，其中甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为（   ） A．24 B．48 C．96 D．192 8．某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（    ） A．480种 B．504种 C．360种 D．288种 9．（多选题）将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 10．某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）. 11．王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 12．从八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数的系数，问： (1)共能组成多少个不同的二次函数？ (2)在这些二次函数中，图象关于轴对称的有多少个？ 13．8个人排队： (1)排成一排共有多少种不同的排法？ (2)排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 14．3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男女相间排列． 15．六人按下列要求站成一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端． 16．某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复．请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案总数： (1)民族舞节目不能安排在第一个表演时段； (2)古筝演奏节目与相声节目必须相邻. 17．元旦假期，陕西各地举办丰富多彩、各具特色的活动，相关数据显示，西安入围全国十大热门目的地，西安本地热门景区前六名依次为秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆、西安城墙、大唐不夜城、华清宫、大唐芙蓉园，游客甲计划用六天时间参观这六个景区，每天参观一个景区. (1)求不同的参观顺序的方案数； (2)若甲第一天和第二天均不参观大唐不夜城和大唐芙蓉园，求不同的参观顺序的方案数； (3)若甲参观秦始皇帝陵博物院、陕西历史博物馆的顺序不相邻，求不同的参观顺序的方案数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $