专题01 排列与排列数（8大题型专项训练）数学苏教版选择性必修第二册

专题01 排列与排列数（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、排列数的计算 1 题型二、用排列数公式证明 1 题型三、排列数方程和不等式（重点） 2 题型四、全排列问题 3 题型五、元素（位置）有限制的排列问题（重点） 3 题型六、相邻问题的排列问题（重点） 4 题型七、不相邻排列问题（重点） 4 题型八、定序问题 5 B综合攻坚・能力跃升 5 题型一、排列数的计算 1．可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 2．下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 3．排列数（   ） A．20 B．10 C．60 D．66 4．__________（用数字作答）. 5．可表示为（    ） A． B． C． D． 题型二、用排列数公式证明 6．（多选）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（1）证明：； （2）化简：． 8．证明下列等式． (1)； (2)． 9．求证： (1)； (2). 题型三、排列数方程和不等式 10．已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 11．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）满足不等式的x的值可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．解关于正整数n的方程：． 14．（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 题型四、全排列问题 15．A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 16．10名学生排成两排照相，第一排6人，第二排4人，共有__________种不同的排列方式． 17．一个数阵有行5列，第一行中的5个数互不相同，其余行都由这5个数以不同的顺序组成，如果要使任意两行的数字顺序都不相同，那么的最大取值为_____________ 18．，中，、、是中的不同元素，则所有满足条件的一元二次方程共有__________个． 19．已知学生会中有人，若没有人同时担任两种职务，那么从这人中选出名主席、名副主席的选法共有______种． 题型五、元素（位置）有限制的排列问题 20．从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人且至少有1名男生，则不同的选取方法有（   ） A．72 B．96 C．108 D．114 21．某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（   ） A．720 B．120 C．144 D．192 22．某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（    ）． A．72种 B．66种 C．42种 D．36种 23．6个人排成一排，若甲必须站在排头或排尾，而乙不站在两端，那么不同站法总数为______（用数字作答）. 24．王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 25．从0~7这8个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 题型六、相邻问题的排列问题 26．甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（   ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 27．已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 28．现有5个女生和10个男生要排成一排，要求女生都站在一起，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 29．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 30．新一年复旦中学高二的戏剧展演又将来临，这次全年级共准备了个节目，邓老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中班和班都要表演《哈姆雷特》；因此需要分开排，班和班节目需要相邻出现，则邓老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 31．某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有___________种． 题型七、不相邻排列问题 32．将五张数字牌按序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为__________. 34．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 35．宁德市举办大黄鱼产业推介会，某展台需要展示“清蒸大黄鱼“黄鱼鲞”“黄鱼饺”3道菜品和“大黄鱼鱼丸”“大黄鱼鱼松”2种加工制品，若要求2种加工制品在展台上不相邻摆放则不同的摆放方案有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．120种 36．现组织高二（1）班师生一起看话剧，总共有4位教师和8位学生坐在一排，一排有12个座位，要求4位教师必须坐在8位学生中间，并且4位教师不可以坐在一起，总共有______种不同的坐法（用排列数作答）． 题型八、定序问题 37．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 38．春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 39．用数字组成没有重复数字的五位数，在所组成的五位数中任选一个，则这个五位数中数字按从小到大的顺序排列的概率为（    ） A． B． C． D． 40．育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有_____种插入方法（用数字作答）. 41．现有6人排队，其中要求甲、乙、丙三人的先后顺序固定，则共有不同排法______种． 42．三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 3．（2025·广东广州·模拟预测）将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 4．（2025·海南三亚·一模）三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有（    ） A．10 B．12 C．16 D．24 5．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川·三模）甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（   ） A．144种 B．168种 C．192种 D．216种 7．（2026·广东梅州·一模）已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 8．（2025·陕西西安·模拟预测）电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（用数字作答）_____ 9．（2025·河北保定·三模）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于10或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束的概率为_____. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 排列与排列数（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、排列数的计算 1 题型二、用排列数公式证明 2 题型三、排列数方程和不等式（重点） 3 题型四、全排列问题 5 题型五、元素（位置）有限制的排列问题（重点） 6 题型六、相邻问题的排列问题（重点） 7 题型七、不相邻排列问题（重点） 9 题型八、定序问题 11 B综合攻坚・能力跃升 13 题型一、排列数的计算 1．可表示为排列数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 2．下列数中，与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．对于选项A，． 对于选项B，． 对于选项C，． 对于选项D，． 故选：B． 3．排列数（   ） A．20 B．10 C．60 D．66 【答案】C 【详解】 4．__________（用数字作答）. 【答案】24 【详解】， 故答案为：24 5．可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中总共有个数连乘， 故． 故选：A 题型二、用排列数公式证明 6．（多选）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 7．（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】（1）证明：； （2）原式． 8．证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 9．求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）左边右边； （2）左边右边. 题型三、排列数方程和不等式 10．已知，则等于（    ） A．12 B．7 C．6或13 D．6 【答案】D 【详解】由题意，，即， 化简可得，即，解得或 因为，所以，故 故选：D. 11．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式中，，化为， 整理得，解得，因此， 所以不等式的解集是. 故选：A 12．（多选）满足不等式的x的值可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】ABC 【详解】由可得：，即， 由化简得：， 即，解得或， 综上可得，又，故x的值可能为3，4，5，6，7. 故选：ABC. 13．解关于正整数n的方程：． 【答案】 【详解】由排列数的定义，有由此解得． 此外，原方程可化为， 再化简，可得， 即，即．舍去非整数的根， 故． 14．（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 题型四、全排列问题 15．A，B，C，D，E五个人站成一排照相留念，不同的排法种数有（   ） A．240 B．120 C．96 D．60 【答案】B 【详解】根据题意，只需将5人作全排列，故共有种排法. 故选：B 16．10名学生排成两排照相，第一排6人，第二排4人，共有__________种不同的排列方式． 【答案】3628800 【详解】由题意，相当于把10人作全排列，则有. 故答案为：3628800. 17．一个数阵有行5列，第一行中的5个数互不相同，其余行都由这5个数以不同的顺序组成，如果要使任意两行的数字顺序都不相同，那么的最大取值为_____________ 【答案】120 【详解】第一行中的个数互不相同，所构成的顺序有种情况， 所以这个数可组成种不同的排列顺序， 若要使任意两行的顺序都不相同，则的值最大为． 故答案为：. 18．，中，、、是中的不同元素，则所有满足条件的一元二次方程共有__________个． 【答案】24 【详解】因为集合中任意三个元素之间都是互质， 所以所有满足条件的一元二次方程共有个， 故答案为：24 19．已知学生会中有人，若没有人同时担任两种职务，那么从这人中选出名主席、名副主席的选法共有______种． 【答案】 【详解】本题相当于从10个不同元素中选出2个不同元素进行排列，所以共有种选法. 题型五、元素（位置）有限制的排列问题 20．从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人且至少有1名男生，则不同的选取方法有（   ） A．72 B．96 C．108 D．114 【答案】B 【详解】从6人中选3人，安排担任数学、物理、化学学科课代表，有种选法， 其中全部为女生的安排方法有种，则有120-24=96种安排方法. 故选：B. 21．某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（   ） A．720 B．120 C．144 D．192 【答案】D 【详解】由题意可得数学一共有种排法， 体育一共有种排法， 剩下的4科共有种排法， 所以一共有种排法. 故选：D. 22．某辩论小组有5位成员，要从中选出4位依次作为一辩、二辩、三辩、四辩参赛，若选中甲，甲只能作为一辩或者四辩，则不同的安排方法有（    ）． A．72种 B．66种 C．42种 D．36种 【答案】A 【详解】若没有选甲，不同的安排方法有种；若选甲，则有种安排方法，故一共有种安排方法. 故选：A 23．6个人排成一排，若甲必须站在排头或排尾，而乙不站在两端，那么不同站法总数为______（用数字作答）. 【答案】192 【详解】甲必须站在排头或排尾有种， 乙不站在两端，乙在中间4个位置选一个，有种站法， 其余4人没有限制，有种站法， 所以不同站法总数为. 故答案为：192. 24．王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 【答案】144 【详解】总共有人，王老师必须站在中间，即第 4 个位置，只有1种选择， 甲必须与王老师站在一起，只能在第 3 或第 5 个位置，有 2种选择， 乙不能站在左右两端（第 1、7 位），此时已占用 2 个位置（王老师和甲），剩余 5 个位置中排除 2 个端点， 有 个可选位置，即3种选择， 剩下的 4 名同学可以在剩余的 4 个位置上全排列，有种方式. 因此，共有种站法. 故答案为：144. 25．从0~7这8个数字中取出4个数字，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】(1)1470 (2)750 【分析】 【详解】（1）首位不排0，共个； （2） 个位为0的四位数偶数：； 个位不为0的四位数偶数：， 总计个． 题型六、相邻问题的排列问题 26．甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（   ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【详解】当丙在最左端时，则甲只能站在从左至右的第二个位置， 则有种； 当丙不在最左端时，则只能丁、戊站最左端， 甲、丙必须相邻，将甲、丙捆绑， 则有种， 所以共有种不同的站法. 27．已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 【答案】D 【详解】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有个， 故选：D. 28．现有5个女生和10个男生要排成一排，要求女生都站在一起，则不同的排法数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】先把5名女生捆绑在一起，看成一个整体，内部有种排法， 再把这个整体与另外10名男生进行排列，有种排法， 所以不同的排法数为． 故选：B 29．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 【答案】B 【详解】由题意，“礼”排第二只有一种排法，若“数和书”排第三，第四时有两种排法， 乐、射、御全排列，有种次序，由分步乘法计数原理有种次序； 同理可得若“数和书”排第四，第五和排第五，第六时各有种次序； 所以由分类加法计数原理可得“六艺”讲座不同的次序共有种. 故选：B． 30．新一年复旦中学高二的戏剧展演又将来临，这次全年级共准备了个节目，邓老师需要根据各个班的表演剧目排定出场顺序；其中班和班都要表演《哈姆雷特》；因此需要分开排，班和班节目需要相邻出现，则邓老师能排出______种不同的方案（用数字表示） 【答案】 【详解】把班和班捆绑为个整体，内部有种排列顺序， 除去班、班，剩下的元素为：班和班整体加上其余个节目，共个元素， 全排列有种排法， 个元素排好后共产生个空位，从个空位中选个插入班和班，共有种排法， 总方案数为各步骤乘积：种. 31．某学校读书节活动中，甲、乙、丙3个班级各有2位同学获奖，现将这6人排成一排拍照，则同一班级的两位同学均站在一起的排法共有___________种． 【答案】48 【详解】将每个班的2人捆绑，然后全排列，故总的排法有, 故答案为：48 题型七、不相邻排列问题 32．将五张数字牌按序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为__________. 【答案】 【详解】总排列数：， 两个相邻的排列数：， 两个相邻的排列数：， 两个相邻且两个相邻的排列数：， 由容斥原理得：. 故答案为： 33．（河南驻马店市2025-2026学年高二下学期3月内部练（北师大版）数学试题）3名男越野爱好者和4名女越野爱好者排成一队进行越野活动，若要求队头与队尾都是男越野爱好者，且男越野爱好者不相邻，则不同的排法种数为（   ） A．720 B．432 C．228 D．114 【答案】B 【详解】先从3名男越野爱好者中选2名排在队头和队尾，有种排法， 再将4名女越野爱好者进行全排列，有种排法， 排好队头和队尾的2名男越野爱好者和4名女越野爱好者后，形成3个空位（女越野爱好者之间的空位）， 将剩余的1名男越野爱好者插入这3个空位中，有3种插法， 根据分步计数原理，可得共有种不同的排法. 34．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 35．宁德市举办大黄鱼产业推介会，某展台需要展示“清蒸大黄鱼“黄鱼鲞”“黄鱼饺”3道菜品和“大黄鱼鱼丸”“大黄鱼鱼松”2种加工制品，若要求2种加工制品在展台上不相邻摆放则不同的摆放方案有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】C 【详解】道菜的全排列数为种； 排列好后，它们之间会形成个空隙(包括两端)； 从个空隙中选2个来放加工制品，排列数为：种； 总方案数为：种. 故选：C 36．现组织高二（1）班师生一起看话剧，总共有4位教师和8位学生坐在一排，一排有12个座位，要求4位教师必须坐在8位学生中间，并且4位教师不可以坐在一起，总共有______种不同的坐法（用排列数作答）． 【答案】 【详解】8位学生的座位排列方法有种， 4位教师必须坐在8位学生中间，所以不能将教师安排在学生首尾两端的空隙中，只能安排在8位学生之间的7个空隙中， 如图．将4位教师的座位插入8位学生间隔的7个空位中，全排列有种坐法，    由分步乘法计数原理可得，座位的排列方法总共有种． 故答案为： 题型八、定序问题 37．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种， 然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种， 由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为. 故选：C. 38．春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【答案】D 【详解】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 39．用数字组成没有重复数字的五位数，在所组成的五位数中任选一个，则这个五位数中数字按从小到大的顺序排列的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：组成没有重复数字的五位数有个； 若这个五位数中数字按从小到大的顺序，所以符合题意的五位数有个， 所以所求的概率为. 故选：C. 40．育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有_____种插入方法（用数字作答）. 【答案】 【详解】对全部的9个节目全排列，有种，已排定顺序的5个舞蹈节目的全排列数有种，所以满足题意的插入方法有（种）. 故答案为：. 41．现有6人排队，其中要求甲、乙、丙三人的先后顺序固定，则共有不同排法______种． 【答案】120 【详解】根据定序元素的个数进行计算即所有人的全排列除以定序人数的全排列. 先将6人全排，即为，再将甲、乙、丙三人全排，即为， 故有种排法． 故答案为：120. 42．三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．350 B．140 C．560 D．280 【答案】C 【详解】 将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为， 问题等价于8只气球排列， 其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球， 则有种. 故选：C 1．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当个位数是时，有种； 当个位数是或时，有种， 所以组成的四位数的偶数共有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，比大的偶数有种； 当千位数是时，个位是且比大的偶数有种， 个位是且比大的偶数有种， 所以比大的偶数共有种， 所以所求概率为. 2．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. 3．（2025·广东广州·模拟预测）将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 【答案】C 【详解】由每行中任意两个相邻数字之和为偶数， 即一个数为奇数，则另一个数需为奇数，或一个数为偶数，则另一个数需为偶数， 因为共有6个数字，其中3个奇数、3个偶数，所以分两种情况： ①第一行为奇数，第二行为偶数， ②第一行为偶数，第二行为奇数， 所以共有（种）不同的填法． 故选：C． 4．（2025·海南三亚·一模）三亚某校举办“海洋环保”主题活动，邀请1位教师与3位学生代表站成一排合影留念，为体现“教师引领、学生主体”的理念，要求教师不站在两侧，则不同的站法有（    ） A．10 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【详解】根据题意，先在中间的两个位置中选一个位置站老师，其余的进行全排列， 可得不同的站法有种. 故选：B. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 6．（2025·四川·三模）甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（   ） A．144种 B．168种 C．192种 D．216种 【答案】C 【详解】如图所示，甲坐位置①，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法； 甲坐位置②，乙有2种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法； 甲坐位置③，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法， 所以不同坐法种数共有种． 故选：C 7．（2026·广东梅州·一模）已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 【答案】30 【详解】每2个站点之间都需要准备2种车票，从6个站点中任取2个站点，共种. 8．（2025·陕西西安·模拟预测）电视台有6个不同的节目准备当天播出，每半天播出3个节目，其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出，则不同播出方案的种数为（用数字作答）_____ 【答案】144 【详解】因为上午要播出某电视剧和某专题报道，所以有种排法， 其他4个节目有种排法 根据分步乘法计数原理， 不同播出方案的种数为. 故答案为：144 9．（2025·河北保定·三模）甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于10或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束的概率为_____. 【答案】 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束相当于从6张卡片中抽取了5张，且甲抽取的三张卡片数字之和为10，乙抽取的两张卡片数字之和不为10， 则总的情况相当于从6张卡片中抽取了5张并进行排列，即共种排法， 其中三张卡片数字之和为10的组合有1，3，6；1，4，5；2，3，5共3种情况， 两张卡片数字之和为10的组合有，一种情况， 当甲抽取的数字为1，3，6；1，4，5时，乙在剩余的3个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为2，3，5时，若乙抽取的两张卡片数字可能为4，6，此时不合题意， 此时共有种， 所以符合题意的排列总数为种，可得所求概率为. 故答案为：. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $