考点04 二项式定理（专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

考点04 二项式定理 考点一：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 考点二：二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 考点三：二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 题型一：二项式定理的正用、逆用 （1）的二项展开式有项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n． （2）逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 正用易错：搞错通项下标、符号、指数，漏算系数。 逆用易错：看不出二项式结构，缺项强行套用，混淆系数与二项式系数。 1．（1）求的展开式； （2）化简：． 【解析】法一： ． 法二：． （2）原式． 2．求的二项展开式． 【解析】法一： ， 法二： ， ， ． 3．求多项式的展开式． 【解析】， ． 4．化简下列式子： (1)； (2)． 【解析】（1） . （2） . 5．根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 【解析】（1）因为 ， 所以. （2）因为 ， 因为 ， 所以 . 题型二：二项式系数与项的系数 （1）二项式系数都是组合数，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念． （2）第项的亲数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为． 二者混淆，漏符号、指数算错。 1．的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的展开式中的第4项为. 故选：A. 2．的展开式中常数项为（   ） A．-15 B．15 C．-20 D．20 【答案】C 【解析】该二项式展开式通项为. 令，则，所以. 故选：C. 3．已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】二项式的展开式的通项为， 令，即，由于，故必为的倍数，即的可能取值为. 故选：C 4．的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 5．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 题型三：展开式中的特定项 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）． （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 通项公式写错，r 取值算错，指数运算出错，混淆常数项、有理项、中间项，漏符号，忽略系数正负。 1．展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【解析】展开式中的系数为． 故选：B 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知， 令，则，代入原式得：， 因此：， 根据二项式定理：， 我们需要项的系数，即时：， 计算得：， 所以. 故选：A. 3．在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】通项公式为， 易知当或或或时， 即或或或时，可得有理数项， 所以有理数的项的个数是4， 故选：A 4．在的展开式中，系数为整数的项数是（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】根据题意有：， 因为，所以，所以系数为整数的项为：1，4，7，故有3项 故选：C. 5．已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项为，即，其中． 当为有理项时，必为偶数． 当时，，． 其中，当的值分别为时，为有理项，共有3项． 故的最小值为4． 故选：B． 题型四：求两个多项式积的特定项 求多项式积的特定项的方法：“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况． 漏乘对应项、指数相加出错，混淆系数与次数，多类项合并时重复或遗漏，忽略符号，未按目标指数精准配对。 1．在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【解析】由题意得的展开式的通项为， 而， 令，解得，不符合题意；令，解得， 所以含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 2．的展开式中的系数为______ 【答案】 【解析】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为： 3．展开式中含项的系数为_____ 【答案】20 【解析】展开式的通项公式为， ， 展开式的一般项为 由，得，符合题意； 展开式的一般项为 由，得(舍去)， 所以含项的系数为. 故答案为：20. 4．若展开式中的系数为，则_________. 【答案】 【解析】由题意可得，，展开式的通项公式为，所以含的项的系数为，则，即，解得. 故答案为：. 5．的展开式中的系数为____________. 【答案】15 【解析】展开式的通项为， 则的展开式中项有两种情况： ①当时，展开式中含项为，系数为； ②当时，展开式中含项为，系数为. 所以的展开式中项的系数为15. 故答案为：15 题型五：系数的最值问题 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项． 二项式系数最大项只看，中间项最大；系数最大项要算实际系数（含正负、常数），需列不等式比较，易直接用中间项致错。 1．的展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 【答案】 【解析】因为， 令，得各项系数的和， ．又． 因为展开式各项的系数与二项式系数是相等的， 由二项式系数的性质得系数最大的项为． 故答案为： 2．已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【答案】210 【解析】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 故答案为：210. 3．在的展开式中，最大的二项式系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】当时，最大的二项式系数为. 故答案为：. 4．在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______． 【答案】 【解析】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则， 所以的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即 解得，而，所以，， 所以展开式中系数最大的项是, 故答案为：. 5．的展开式中，所有二项式系数之和为，则二项式系数最大的项是_____． 【答案】 【解析】所有二项式系数之和为，， 二项式系数最大项是第四项， 即， 故答案为：. 题型六：余数和整除的问题 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 底数拆错、忽略低次项、余数必为正，混淆整除与余数，符号处理错误，漏算常数项。 1．已知，设，若今天是星期一，则天后是星期__________. 【答案】四 【解析】由， 令，得，即， 令，得， 则 ， 其中，除了都能被7整除， 而 ， 其中，除了4都能被7整除，因此除以7余3，则除以7余3， 若今天是星期一，则天后是星期四. 故答案为：四. 2．若是正整数，则除以8的余数是___________． 【答案】7 【解析】根据二项式定理可知，， 又 所以除以8的余数为7. 故答案为： 7 3．已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________． 【答案】5 【解析】 因为能被整除， 所以除以的余数是，故的最小正整数为. 故答案为：. 4．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是______． 【答案】5 【解析】由于， 所以， 所以, 所以. 由于 ， 所以 ， 因为. 所以被除后余数为，由，则正整数的最小值为. 故答案为：. 5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，则的值可以是______． 【答案】9的整数倍加8 【解析】 , 因为被整除与，且， 所以的值可以是9的整数倍加8， 故答案为：9的整数倍加8. 题型七：二项展开式的系数和问题 二项展开式中系数和的求法 （1）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可． （2）一般地，若，则展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为． 混淆二项式系数与系数，赋值漏常数项，符号算错。 1．（多选题）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 【答案】ABD 【解析】对于A：因为，因此，故A正确； 对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C：令，可得； 再令，可得， 将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为，故C错误； 对于D：令，则， 再令，可得， 所以，故D正确． 2．（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A选项：当时，得，即，故A正确； B选项：当时，得， 即，故B错误； C选项：当时，得， 故，即C正确； D选项：， 故D错误； 故选：AC 3．（多选题）的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（    ） A．第项的二项式系数最大 B．所有奇数项的系数和为 C． D． 【答案】AC 【解析】由已知可得，，所以. 对于A项，根据二项式定理的性质可知，A项正确； 对于B项，令可得，； 令可得，. 两式相加可得，， 所以，故B项错误； 对于C项，令可得，； 令可得，， 所以，故C项正确； 对于D项，易知均为负数，均为正数. 所以，. 又，， 所以，， 所以，，故D项错误. 故选：AC. 4．（多选题）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 5．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则， 所以，故B正确； 对于C，令，则， 由B可知， 所以， 即，，所以，故C错误； 对于D，令，则， 所以，故D正确； 故选：ABD 题型八：三项式及多项式展开问题 通项法 强行套用二项式通项，未先分组转化；漏项、指数分配错误；多组乘积配对混乱，算错次数与系数，忽略符号。 1．的展开式中，的系数为______ 【答案】 【解析】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 2．在展开式中，的系数为______． 【答案】180 【解析】，若满足题意可知其展开式为， 其的展开式中通项，令可得， 所以系数得180， 故答案为：180． 3．在的展开式中，的系数为______． 【答案】120 【解析】的展开式中，含的项为， 而的展开式中，含的项为， 含的项为， 因此项的系数为． 故答案为：120 4．（1）在的展开式中，含的项为________． （2）在的展开式中，的系数为________． 【答案】 30 【解析】（1）解法1：， 二项式的通项为， 令，则，可求得含的项为. 解法2：， 则通项为， 令，即时，可求得含的项为． 解法3：表示4个相乘，每个相乘时有三种选择， 选x或或． 设选a个， b个，则选的有个，其中， 相乘后x的次数为， 由，解得或， 即在4个相乘时，选2个x、2个，或选3个x、1个， 故含的项为． （2）解法1：，含的项为， 其中，中含的项为，所以的系数为． 解法2：为5个相乘，每个相乘时有三种选择， 选或x或y． 设选a个，选b个，则选y的有个，其中， 根据次数关系可知，解得， 即选的有2个，选的有1个，则选y的有2个，所以的系数为． 故答案为：； 5．展开式中含项的系数为____________． 【答案】 【解析】展开式中含项的为，则其系数为. 故答案为：. 1．已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【解析】由题知，，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，所以的系数为. 故选：B. 2．已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（   ） A． B．97 C．96 D． 【答案】C 【解析】法一：因为， 所以的系数为，由题意得，解得． 设，令，得． 即展开式中所有项的系数和为. 故选：C. 法二：的展开式的通项为. 由乘法分配律知，的展开式中含的项为. 所以展开式中的系数为， 所以，解得. 设， 令，得． 故选：C． 3．的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【解析】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 4．已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由二项式的展开式的二项式系数之和为，可得，解得， 又由二项展开式的通项为， 令，可得，所以含项的系数为． 故选：C. 5．若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 【答案】B 【解析】, ． 故选：B 6．（多选题）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 【答案】BC 【解析】对于A，二项式的展开式的各项系数之和为， 由已知，， 故有或（舍去）， 二项式的奇数项的二项式系数和为，故A错误； 对于B，通项公式为，故当时，系数最大，即第6项的系数最大，故B正确； 对于C，令，求得，可得该二项式存在常数项，故C正确； 对于D，令为整数，可得，故该二项式存在6个有理项，故D错误， 故选:BC. 7．（多选题）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．除以2的余数为1 【答案】ABD 【解析】对于A选项，根据二项式定理可知，，故正确； 对于B选项，令得，故正确； 对于C选项，令得；令得， 两式相加得：，即， 令得，所以，故错误； 对于D选项，，除以2的余数为1，故正确. 故选：ABD 8．（多选题）已知的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（   ） A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为45 【答案】BCD 【解析】由的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知． 又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，所以， 所以，其展开式的各二项式系数的和为， 则奇数项的二项式系数的和为，故A错误； 由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大， 因为与的系数均为1，所以展开式的各项的二项式系数与系数相同， 即第6项的各项的二项式系数相等且最大，故B正确； 若展开式中存在常数项，则展开式中存在的指数为0的项， 由通项， 可得当，即时，符合要求，故C正确； 由通项可得，当时，， 所以展开式中含项的系数为，故D正确． 故选：BCD 9．（多选题）已知的展开式中的系数为6，则（    ） A． B．展开式中各二项式系数之和为16 C．展开式中第4项为 D．展开式中不含常数项 【答案】ABD 【解析】展开式的通项为，， 由题意可得展开式中的系数为6，则，解得， 对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，故展开式中各二项式系数之和为16，故B正确； 对于C，展开式中第4项为，故C错误； 对于D，令，解得，故展开式中不含常数项，故D正确. 故选：ABD 10．已知，若．则实数________． 【答案】1或 【解析】的展开式的通项为， 令，得其常数项为，所以. 令，得，即， 所以，所以或． 故答案为：或． 11．设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 【答案】 【解析】由于， 所以； 由于被9除所得的余数为8， 故即的展开式为， 当时，常数项为． 故答案为：． 12．的展开式中的系数是________． 【答案】-3 【解析】法一：（双通项法）的展开式的通项为，的展开式的通项为， 则的展开式的通项为，其中，．令， 得，于是的展开式中的系数等于. 法二：， 于是的展开式中的系数为． 故答案为：-3. 13．若，则的值是______. 【答案】0 【解析】令，则， 令，则， 又含的项为，所以， 所以. 故答案为：0. 14．已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 【解析】（1）由二项式展开式的通项为， 因为第6项为常数项，即当时，，解得． （2）由（1）知：展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中含的项为． （3）由（1）知：展开式的通项为，其中， 令，可得，即， 因为，所以为偶数， 当时，可得，此时； 当时，可得，此时； 当时，可得，此时， 所以展开式的第3项，第6项与第9项为有理项，分别为，，． 15．求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 【解析】（1）各项二项式系数和为． （2）奇数项二项式系数和为. （3）偶数项二项式系数和为. （4），令，得各项系数和为4096． （5）令，得各项系数的绝对值和为. （6）令奇数项系数和为，偶数项系数和为． 令得；令得． ，． 所以奇数项系数和为 8390656 ，偶数项系数和为 −8386560. 16．已知． (1)求各项的系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)求二项式系数最大的项． 【解析】（1）令，各项的系数和： （2）设展开式中常数项为第项， 即， 令，得. （3）由题可得，展开式中最大的二项式系数为， ∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即， ∴二项式系数最大的项为． 17．已知的展开式中所有项的系数之和为729. (1)求； (2)求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） (3)求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 【解析】（1）令，得，得. （2）的展开式的通项. 设第项的系数最大， 则整理得 解得，则， 所以展开式中各项系数的最大值为. （3）中没有项，的展开式中的系数为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的系数为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 二项式定理 考点一：二项式定理 1、定义 一般地，对于任意正整数，都有： 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式． 式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 2、二项式的展开式的特点： （1）项数：共有项，比二项式的次数大1； （2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； （3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； 考点二：二项展开式的通顶公式 二项展开式的通项： 公式特点： （1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； （2）字母的次数和组合数的上标相同； 考点三：二顶式系数及其性质 1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大． （3）各二项式系数之和为，即； （4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即． 题型一：二项式定理的正用、逆用 （1）的二项展开式有项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n． （2）逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 正用易错：搞错通项下标、符号、指数，漏算系数。 逆用易错：看不出二项式结构，缺项强行套用，混淆系数与二项式系数。 1．（1）求的展开式； （2）化简：． 2．求的二项展开式． 3．求多项式的展开式． 4．化简下列式子： (1)； (2)． 5．根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 题型二：二项式系数与项的系数 （1）二项式系数都是组合数，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念． （2）第项的亲数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为． 二者混淆，漏符号、指数算错。 1．的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 2．的展开式中常数项为（   ） A．-15 B．15 C．-20 D．20 3．已知的展开式中存在常数项，则n的可能取值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 5．已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三：展开式中的特定项 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）． （2）对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． （3）对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 通项公式写错，r 取值算错，指数运算出错，混淆常数项、有理项、中间项，漏符号，忽略系数正负。 1．展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．在的展开式中，系数为整数的项数是（    ） A．9 B．4 C．3 D．2 5．已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四：求两个多项式积的特定项 求多项式积的特定项的方法：“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到的展开式中一般项为：，再依据题目中对指数的特殊要求，确定与所满足的条件，进而求出，的取值情况． 漏乘对应项、指数相加出错，混淆系数与次数，多类项合并时重复或遗漏，忽略符号，未按目标指数精准配对。 1．在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 2．的展开式中的系数为______ 3．展开式中含项的系数为_____ 4．若展开式中的系数为，则_________. 5．的展开式中的系数为____________. 题型五：系数的最值问题 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第(k＋1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k＋2)项的系数均不大于第(k＋1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定k的值，即可求出最大项． 二项式系数最大项只看，中间项最大；系数最大项要算实际系数（含正负、常数），需列不等式比较，易直接用中间项致错。 1．的展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 2．已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 3．在的展开式中，最大的二项式系数为______.（用数字作答） 4．在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______． 5．的展开式中，所有二项式系数之和为，则二项式系数最大的项是_____． 题型六：余数和整除的问题 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 底数拆错、忽略低次项、余数必为正，混淆整除与余数，符号处理错误，漏算常数项。 1．已知，设，若今天是星期一，则天后是星期__________. 2．若是正整数，则除以8的余数是___________． 3．已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________． 4．设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是______． 5．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，则的值可以是______． 题型七：二项展开式的系数和问题 二项展开式中系数和的求法 （1）对形如，的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可，对的式子求其展开式的各项系数之和，只需令即可． （2）一般地，若，则展开式中各项系数之和为， 奇数项系数之和为， 偶数项系数之和为． 混淆二项式系数与系数，赋值漏常数项，符号算错。 1．（多选题）若，则下列选项正确的有（   ） A． B．展开式中所有项的二项式系数的和为 C．奇数项的系数和为 D． 2．（多选题）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（    ） A．第项的二项式系数最大 B．所有奇数项的系数和为 C． D． 4．（多选题）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型八：三项式及多项式展开问题 通项法 强行套用二项式通项，未先分组转化；漏项、指数分配错误；多组乘积配对混乱，算错次数与系数，忽略符号。 1．的展开式中，的系数为______ 2．在展开式中，的系数为______． 3．在的展开式中，的系数为______． 4．（1）在的展开式中，含的项为________． （2）在的展开式中，的系数为________． 5．展开式中含项的系数为____________． 1．已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 2．已知的展开式中的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（   ） A． B．97 C．96 D． 3．的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 4．已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 5．若，则的值为（   ） A．10 B．45 C． D． 6．（多选题）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（   ） A．奇数项的二项式系数的和为256 B．第6项的系数最大 C．存在常数项 D．有理项共有7项 7．（多选题）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．除以2的余数为1 8．（多选题）已知的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（   ） A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为45 9．（多选题）已知的展开式中的系数为6，则（    ） A． B．展开式中各二项式系数之和为16 C．展开式中第4项为 D．展开式中不含常数项 10．已知，若．则实数________． 11．设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为___________． 12．的展开式中的系数是________． 13．若，则的值是______. 14．已知的展开式中，第6项为常数项． (1)求n； (2)求含的项； (3)求展开式中所有的有理项． 15．求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 16．已知． (1)求各项的系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)求二项式系数最大的项． 17．已知的展开式中所有项的系数之和为729. (1)求； (2)求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） (3)求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $