专题25 条件补充题【创新大课堂系列】高三数学全国名校名卷168优化重组卷

专题25 条件补充题 (时间：60分钟分值：60分) 解答题：本题共4小题，60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 新 1.(15分)(2025·广西贺州一模)在①S。-3a1=0,②S,=14,③-73这三个条件中任选一个，补充 S69 在下面的问题中，并解答。 设{an}是递增的等比数列，其前n项和为Sn,且a2=4, (1)求{an}的通项公式； 是 (2)若数列{bn}满足bn= (2n一1，n为奇数 求数列{bn}的前2n项和T2m: (an,n为偶数 (注：若选择多个解答，按第一个解答计分) 签 -93 2.(15分)(2025·北京大兴模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是 P 边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA=PC,M为PA中点，PC=3NC. M (1)设平面PAB∩平面PCD=1,求证：AB∥l; (2)从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥P-ABCD存 Ai.N D 在且唯一确定， (i)求平面MND与平面ABCD所成角的余弦值； (i)平面MND交直线PB于点Q,求线段PQ的长度. 条件①：平面PAC⊥平面ABCD; 条件②：PB=PD; 条件⑧：四棱锥P-ABCD的体积为45 3 -94 3.(15分)(2025·山东德州三模)已知函数f(x)=2√5 sin wxcos wx+2cos2wx,(w>0)的最小正周期 为元 (1)求w的值； (2)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.c为f(x)在[0，]上的最大值，再从条件 ①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a一b的取值范围.条件①：acos B十bcos A 2 ecos C,条件②：2 asin Acos B-+bsin2A=3a;条件③：△ABC的面积为S,且S=5(a2+b2-c2) 4 (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.) 95 y2 45分(2025·河北石家庄一摸)已知点P(4,3)在双曲线C:无片1(a>0,b>0上，过 轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M,N两点，PM·|PN|=4. (1)求双曲线C的方程： (2)若直线：y=k.x十m与双曲线C交于不同的两点A,B,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,从 下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线1过定点. ①k1+k2=1;(2)k1k2=1. 962.C由a1一c1=|PF|,a2-c2=|PF|,得a1一c1=a2一c2,故①符！8.A函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称且f(一x)= 合题意；由图可知a1>a2,c1>c2,a1十cG>a2十c2,故②不符合题 意a-a--aia(（-）a(-号a>4a 受(。华十）-f(,f()为偏画数，故A错误，B正确： :e>0,e普>0f(x)≥号X2We·eF=a,当且仅当 1一日<1-号心号>品t①不特合题意@行合题意，故 e兰=e兰时，即x=0取等号，故C正确；因为a>0,对于函数y= 选C. 3.B设各层的小球个数为数列{an},由题意得a1=ab,a2=(a十1) e兰，因为y=二在定义城R上单调递增，y=。在定义城R上单 (b+1),a3=(a+2)(b+2),an=(a十n-1)(b+n-1),因为a= b+1,可得a1-b(b+1)-b2+b,a2=(b+1)(b+2)=b2+3b+1× 调递增，所以y=e“在定义域R上单调递增，且当r<0时0<e 2,a3=(b+2)(b+3)=b2+5b+2×3,…,a7=(b+6)(b+7)=b2 <1,当x>0时e兰>1：又对勾函数y=x十在(0,1)上单调递 +13b+6×7,则S7=72+49b+(1×2+2×3+…+6×7)=7b2 十49b十112，因为前7层小球总个数为168，所以7b2十49b十112= 减，在(1，十∞)上单调递增，所以f(x)= 168,即b2十7b-8=0,解得b=1或b=-8(舍去)，所以a=b十1= 2,可得ab=2,即该垛积的第一层的小球个数为2个.故选B. : 分(+)在（一，0）上单调递减，在(0，十四)上单调递增， 4.D如右图所示：圆锥PO的高和底面半 径为9，平行于圆锥PO底面的截面角圆 即f(x)的单调增区间为[0，十∞)，故D正确.故选A. 锥PO的母线PB于点C,设截面圆圆心 为，点O,且OO=h,则PO)=PO-O) 9.4-(12）设o0,的*径为R易知R-号，00 2 =9-h,易知△POCn△POB,则 B PO 的半径为号R,即R1-号R所以民多是以R,一号为首缓。 2 即。-09，可得0C-g-所以，藏面昌图0的丰径 OC 为公比的等比数列故R-R()-(号)°-（侵）广， 2 为9一h,圆O的面积为π(9一h)2,又因为S(h)=π(9一h)2,根据： 祖暅原理知，该“睡美人城堡”的体积与一个底面圆半径为9，高为 得到⊙0，的面积为S,=R:=x(侵)=票，又第n次载剪操作 9的圈维的体积近似相等，所以该“睡美人城堡”的体积约为号Xπ 3 ×92×9=243π.故选D. 的正方形边长为2R=(合）故第n次栽操作载掉的面积 5.A由题意知：kCM=-1,又C(-10,3),直线CM方程为：y-3= -(x+10),即x+y+7-0.由{++7-0 {x+10)2+(0y-3)2-128得： 为(2Rn)2- 1 {-点{g8,即M-2,-)或M-18,1D.:M为套近 第m次剪操作后，栽掉的面积之和为(4一)（十正十…十 y轴的切点，∴M-2,一5)；设飞行轨迹的抛物线方程为：y=ax2 十c,则y=2ax,,在点M处的切线斜率为1，∴.一4a=1,解得： 1 = -5=-十×4十c,解得e=-4y=-2-4,即 1-2 抛物线方程为：x=一4(y十4).故选A 6.C由题可知1=子=2子×=2××× 次操作后，所有被栽部分的面积之和为(1一x)（1一2晒）哉答 案为：(4-x(1-2） 3 10.一8[一8-8√2,8十8√2]当P位于半圆孤AD中，点时 （号）广所以么=a.=(号)，为61-6，=a+ ∠PAD=平，而∠DAC=于，所以∠PAC=受，|AP=2E, (号)-专（学）广-（学）八[学a+2-] AP.P元=AP.(AC-AP)=AP.AC-AP2=-8.以AC,BD 为x,y建立平面直角坐标系，如图，由已知A(一2√2,0)， 合（号）广（-2+4+2.令-2++2-0.解得-2+5， C(2√2,0)，D(0,2√2)，因此半圆孤AD的方程为(x十√2)2+ 2=2-√6（舍），由此可知n≤4时ba+1-bn>0;n≥5时bu+1-ba (y一√②)2=4（在直线AD上方的部分），P(x,y)在半圆孤AD(包 <0,故b的取值最大，故选C 括端点)上，则-√2-2≤x≤0，AC 7,AA选项，由双曲线号-苦-1，则c-干6-3，离心争6 (42,0),OP=(x,y),AC·Op (4V2,0)·(x,y)=42x,又-2-2≤ 二-是-原，A错误：B选项，根搭题意，A(3,2满足双曲线方 x≤0，所以-8-8√2≤AC·OP≤0，由 a√3 对称轴，当P在半圆孤CD(包括端点) 程，点A在双曲线上，kAM=√3，所以LAM:y=√3(x一1)，与双曲线1 上时，0AC·OP8+8√2， 方程号-=1联立，得到(x-3)2=0,可知该直线与双曲线只 同理当P在半圆孤AB(包括端，点)上时 有-8-8√2≤AC·OP≤0，在半圆孤 有一个交点，即直线AM为双曲线在A点处的切线，根据题中条 件“过双曲线上任意一，点的切线平分该点与两焦，点连线的夹角”可 BC(包括端点)上时有0≤AC·OP≤8+8V2,综上，AC·OP∈ 知，∠F1AM=∠F2AM,故B正确；C进项，kAM=√3，因为直线 [-8-82,8+8√2]，故答案为：-8：[-8-8√2,8+82. F,H垂直于直线AM,所以kH= -3.因为F1(-3,0),可求得 专题25条件补充题 3 1.解(1)由{an}是递增的等比数列，a2=4,得数列{an}的公比9> Ir,H :y=- (x+3).联立 y=5(x-1) 1,且a19=4 3 -9+ ,解出H(0,-√5)， 选择条件①，S2-3a1=0,则a1十a2一3a1=0,即a2=2a1,于是 故C正确： a1=q=2,所以{an}的通项公式是an=2。 D选项，根据题中条件分析可知，反射光线所在直线的斜率介于两！ 选择条件②，S3=14,即a1十a19十a1g2=14,由q>1,解得g=2, 条渐近线斜率之间.焦点在x轴上的双曲线渐近线斜率k=士么 a1=2,所以{an}的通项公式是an=2". =士√2，斜率的取值范围应为（一√②，√2），故D正确.故选A. 选择条件，茶-侣到·中女 1-9a(1-g)1+g 221 g21,解得=8，即有g=2,41=2,所以@n}的道项 可得sinC-2 sin CeosC,且C∈(0，受）则sinC≠0， an =2n (2)由(1)知，当n为奇数时，bn=21-1,当n为偶数时，bn=an= 可得c0sC=，所以C=， 2",所以T2a=(b1十b+b5十…十b2m-1)+(b2十b4+b6+…+ b 3=25, b2m)=(1+5+9+…十4n-3)+(4+42+43+…+4”)= 由亚弦定理可得sin Asin Bsin C5 1+0-3》+41二42=2-+4+}-4 2 2 1-4 3 可得a=2√5sinA,b=2√3sinB, 2.解(1)证明：在四棱维P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的 菱形，则AB∥CD,而AB中平面PCD,CDC平面PCD,于是AB∥平 则a-b=25inA-25sinB=25simA-25sim(A+于） 面PCD,又ABC平面PAB,且平面PAB∩平面PCD=l,所以AB∥L.: (2)选条件①③，平面PAC⊥平面ABCD,四棱锥P-ABCD的体 =26smA-2(A+A） 积为4，连接AC和BD文于点0，连接PO,显然O是AC中点， =5nA-3c0sA=25sim(A-哥） 由PA=PC,得PO⊥AC,而平面PAC∩平面ABCD=AC,POC 平面PAC,POL底面ABCD,SABCD=2S△ABC=2X号AB2sin60° 0<A< 因为△ABC锐角三角形，则{ 解得<A<受， -26,VnD-号Sn·P0-29p0-15解得P0=2. 0<-A<受 3 3 可得一 若<A-<，则-<sm(A-子）<，可得- 选条件②③，PB=PD,四枝维P-ABCD的体积为45，连接AC 3 <b-a<5 和BD交于点O,连接PO,显然O是AC中点，由PA=PC,得PO 所以a一b的取值范围为（一√3，√3）： ⊥AC,又O是BD中点，由PB=PD,得PO⊥BD,而AC,BDC平 若条件②：因为2 asin Acos B+bsin2A=√5a, 面ABCD,则PO⊥底面ABCD,SARCD=2S△ABC=2X 由正弦定理可得：2sim2 Acos B+sin Bsin2A=√5sinA, 合ABsn60=25.Vnn-号San·P0-2p0-1 则2sin2 Acos B+2 sin Bsin Acos A=√3sinA, 3 3 解得PO=2. 因为A∈(0，受）则sinA≠0， 若进条件①②，平面PAC⊥平面ABCD,PB=PD,此2条件均可 证明PO⊥底面ABCD,,点P的位置不确定，即四棱锥P一ABCD 可得2 sin Acos B+2 sin Bcos A=2sin(A+B)=2sinC=√5. 存在，但不唯一，因此条件①②不可选. 即血C-9且ce(0,受）所以C-受， (1)以O为原，点，直线OA,OB,OP分别为 x,y,之轴建立空间直角坐标系O一xy贮， b 3 如图， 由正弦定理可得sinA一sin B sin C3 =2√3 2 则A(0,-1,0),B(√3,0,0)，C(0,1,0), 可得a=2√5sinA,b=2√5sinB, D(-√/5,0,0)，P(0,0,2),所以DM= A 5时=(6号号) 则a-b=25inA-25si血B=25sinA-26sim(A+等） x B 1 设平面MND的法向量为n=(x,y, -26mA-25(宁mA+9osA） 心)，则 n成i--+-0 -nA-3cosA-25sim（A-号） {a…成-+号+号=0 -，得m=(-1-子》 (0<A<2 因为△ABC锐角三角形，则 0<-A< ,解得吾<A<受， 平面ABCD的法向量为m=(0,0,1),因此cos(m,n〉= m·n m n 7 -2 可得-吾<A-吾<，则-<sim（A-），可得- 7√65 丽1 65 <b-a5 2 所以a一b的取值范国为（一√3，√5）： 所求平面MND与平面ABCD所成角的余弦值为？y丽 若选：因为S=Ba+-2),则÷inC-BX2 abeos C, 65 (i)平面MND交线段PB于点Q,由(1)知，PB= 整理得tamC=,且Ce(0,受)，所以C=子， √(-)2+22=√7， 设P0=aPB,则D0=DP+P0=(W5+31,0,2-2λ)，由D0·n =3=2, 由正孩定理可得品AiC =0,得X-号，所以PQ- 2 5 可得a=2√3sinA,b=2√5sinB, 3.解(1)由题意可知：f(x)=2√3sinw.rcos a.x十2cos2w.x= 则a-b=25nA-25simB=25sinA-25sim(A+于）】 5in2wx+cos2ax+1=2sn(2ax+吾）+1， 因为函数f(x)的最小正周期为x,且w>0,所以m一2示 -2mA-2(mA+9sA =5sinA-3cosA=25sim(A-号） 2)由1)可知：fx)=2in(2x+吾)十1， 0<A<哥 因为x[0,受]则2x+吾∈[若，] 因为△ABC锐角三角形，则 -A< ,解得<A<, 0 可知当2x十吾-受即一吾时，f)取到最大值3，即6=3 可得一 若条件①：因为acos B十bcos A=2 ccos C, <A-吾<，则-<n(A-子)下2， 由正弦定理可得sin Acos B十sin Bcos A=2 sin Ccos C, 可得-√5<b-a<√5， 又因为sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sinC, 所以a一b的取值范围为(-√3，√5). 222 L解D由随高可知：点P4,3)在双曲线上，所以宁-是-1： i2.B因为函数f(x)=er-alnx在区间(1,2)单调递增，所以f'(x) 过P微工轴的平行线y-3,与y=土么r相交于M,N两点，哪么 =e'-4≥0在区间(1,2)上恒成立，即xe≥a, 令g(x)=xe,x∈(1,2)，则g'(x)=(x+1)e2>0,所以g(x)= MN两点可求：M(3)N(-碧3所以-引 xe2在(1,2)上单调递增，则g(x)>g(1)=e,故e≥a,即a的最大 值为e,故选B. 13.A 由题意可得f(x)=cost,sin二， 代入16 9 =1,可知b-, 设g(x)=rcos x-sinx,则g(x)=cosx-rsin x-cosr =一rsin r, 所以双南我的方权为号 =1. 因为0<x<1, 所以g'(x)<0恒成立，故g(x)在(0,1)上单调递减， (2)选①：由题意可知，直线L与双曲线C交于不同的两，点A,B, 所以g(x)max<g(0)=0, 设A(x1y1),B(x2y2) 所以当x∈(0,1)时，f(x)0,f(x)为减函数， 联主方程：-苦-1 所以n1>n2,即a>b.故选A Cy=kx十n 得(3-4k2)x2-8kmx-4n2-12=0, 4.D由函数f(x)=a(lnx-a1),可得f(x)=2-a1na, 所以3-4k2≠0，△=(-8km)2-4(3-4k2)(-4m2一12)>0，即 因为f(x)在(1，十∞)上单调递减，所以f(x)≤0在(1，十∞)上 m2+3-4k2>0: 恒成立， 8km x1十2= 3-4k21x2= -4m2-12 3-4k2 令g(x)=f(x）=4-alna,则g'(x)=- r? -a2(lna)2<0, 由条件角1十-1，所以一3+2二3 所以g(x)在(1，十∞)上单调递减，所以g(x)<g(1)=a一alna, 即f(x)a一alna 所以(x2-4)(k1+m-3)+(工1-4)(kx+m-3)=(工-4)(x2-4), 整理可得2kx1x2十(m-3-4k)(x1+x2)-8(m-3)=x12 则a一alna≤0，解得a≥e,即实数a的取值范国是 e,+o∞）故 4x1+x2+16, 选D. 代入韦达定理得n十2km一8k2一6k-6n十9=0， 5.C当x≤0时，fx)=x+2) ,此时f(x) 即(m一2k一3)(m+4k一3)=0， =fx) 解得m=2k十3或m=-4k+3: -x(x十2) 当n=2k十3时，y=kx+m=kx十2k+3=k(x+2)+3,则直线1 er 过定点(-2,3)： 则x一2时，f'(x)<0,f(x)单调递减：一2 当m=-4k+3时，y=kx十m=kx一4k十3=k(x一4)十3，则直线： <x<0时，f(x)>0,f(x)单调递增， -20 1过定，点P(4,3),不合题意； 所以，当x=一2是f(x)的极小值，点，作出 综上可得，直线L过定点（一2,3）. 如图所示的函数f(x)的图象， 进②：由题意可知，直线l与双曲线C交于不同的两点A,B, 函数y=[f(x)]2一af(x)有5个不同的零点，则方程[f(x)]2- 设A(x1y1),B(x2y2),联立方程：4 --1 af(x)=0, 3 即f(x)[f(x)一a]=0有5个不相等实数根， y=k.x+m 也即是f(x)=0和f(x)一a=0共有5个不相等实数根， 得(3-4k2)x2-8km.x-4m2-12=0, 其中f(x)=0有唯一实数根x=一2， 所以3-4k2≠0,4=(-8km)2-4(3-4k2)(-4m2-12)>0,即 只需f(x)一a=0有4个且均不为一2的不相等实数根，由图可知 m2+3-4k2>0: 1a<4, x1十x2= 3-121=二4m2-12 8km 即实数a的取值范国为(1,4).故选C, 3-4k2 6.D 由条件k1k2=1,得3.2二3-1， 对于A,由西鼓解析式可得2二之0，解得0<上<2，因此画数 x1-4x2-4 f(x)的定义域为(0,2)，显然A正确：对于B,当a=0,b=0时f(x） 即kx1十m)(kx2十m)-3[(kx1十m)+(kx2十m]+9 =1, =lnx-ln(2-x),易知函数y=lnx单调递增，y=ln(2一 (x1-4)(x1-4) =n2 基理可得“乡十km(☒十)+m2-3k(十)-6m十9 x)单调递减，所以函数f(x)在定义域上单调递增，B正确；对于C, =1 x1x2-4(x1+x2)+16 代入韦达定理，整理可得7n2十32km+16k2一18n一9=0， 令gx)=n2若g2-x)=1h2,,g()+g(2-r）=0,因此 即(7m十46+3)(m十4地-3)=0，解得m=-+3或m-4 g(x)的图象关于点(1,0)中心对称，易知f(x)=g(x)十a(x-1)+ 7 a十b(x-1)3满足f(x)十f(2-x)=2a,可得f(x)的图象关于点 +3, 当m-一时y一虹十m=k缸-生=（一号）-号，则 1a)中心对称，可得C正确：对于D.b=0时，f(x）=ln2产十 7 7 a,其中x0,2》.则f)=+2a=2ta.0.2. 2. 直线1过定点（分，号）： 因为x(2-x)≤ (2-x十x) =1,当且仅当x=1时等号成立，故 当m=一4k十3时，y=k.x十m=kx-4k十3=k(x-4)十3，则直线L过 2 定点P4,3,不合题意，综上可得，直线1过定点（分，一号） f(x)mim=2十a,而f(x)≥0成立，故a十2≥0，即a≥-2，所以d 的最小值为一2，即D错误.故选D. 第二部分 热考专题 7.BA选项，m=4时，f(x)=x3+3x2+4x-3,f(x)=3x2+6.x+ 4=3(x十1)2十1>0恒成立，故函数f(x)在R上单调递增，A正 热考（一）函数与导数 确；B选项，f'(x)=3x2+6x+n,当m=3时，f(x)=3x2十6x3 =3(x十1)2≥0恒成立，此时f(x)在R上单调递增，无极值，B错 2(a 1.D由已知，得函数f(x)的定义域为(0，十∞)，f(x)=- 误；C选项，显然(0,1)不在y=fx)上，设切点为M(n,3+3n2+ 1n)+(（+)片≥0(x>0,整理，得。-1≤-nxx>0 mm-3),因为f(x)=3x2+6.x十m,所以f(n)=3n2+6n十m,故 切线方程为y-(n3+3n2十m-3)=(3m2+6n十m)(x-n),又切 设函数g(x)=r-1nx(x>0,则g(x)=二，由g(x)<0,得 线过点(0,1)，故1一(m3+32+m1一3)=一(32+61十m),整理 得23+3m2十4=0，设h(n)=2i3+3n2十4，则h'(n)=6i2+61 0<x<1,由g(x)>0,得x>1,所以g(x)在(0,1)上单调递减，在 令h'(n)=0得n=0或一1，令h'(n)>0得n>0或n<-1:令 (1,十∞)上单调递增，故g(xmm=g(1)=1,所以a-1≤1，解得： h(n)0得-1<<0，故h(n)=23+32+4在(-∞，-1)，(0， a2.故选D. 十∞)上单调递增；在（一1,0）上单调递减，其中h(一1)=一2十3 223