专题20 二项式定理【创新大课堂系列】高三数学全国名校名卷168优化重组卷

18.30法一：若高二(1)班有家长发言，共有CC号种，若高二(1)班！11.BD对于选项A,(4x一1)12的展开式的通项为T,+1= 没有家长发言，共有C种， C2(4x)12-r·(-1)r=(-1)r·412-r·C2·x12-,r=0,1,2, 所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有： …,12,令r=9,可得T4=(-1)9·43·C2·x2=-43XC32 CC号+C=30种. ·x3, 法二：若从7名家长中任选3人，共有C种情况，高二(1)班2名 所以a3=-43×C2,故A错误： 家长都发言的情况有CC种， 对于选项B,因为n=12为偶数，可知二项式系数的最大值为 所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有： C2,故B正确： C-C号C=30种 对于选项C,令x=0,可得a。=1: 故答案为：30. 令x=1,可得a0十a1十a2十…十a12=312; 专题20二项式定理 所以a1十a2十ag十…十a12-312-1,故C错误； 对于选项D,因为f(5)=(20一1)12， 1.A因为(1十x)”的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等， 且(20-1)12的展开式的通项为T6+1=C2·2012-·(-1), 所以CC②，解得：n11.所以奇数项的二项式系效和为号-)} k=0,1,2,…,12, 21 可知当=0,1,2，，11，T+1均为20的倍数，即个位数为0， =210.故选A. 当k=12时，T13=1,所以f(5)的个位数字是1，故D正确.故 2,A由二项式定理得C3025-2C25十2C号05-23C号25十…+ 选BD. 2024C38-22025C号器=C8025·12025+C025·12024·(-2)十12.AD因为(2-x)8=a0十a1x十a2.2十…+a8x8,令x=0,则 C号025·12023.(-2)2+…+C38·11·(-2)2024+C3、. a0=28,故A正确；令x-1,则ao十a1十a2十…十ag=(2-1)8= (-2)225=(1-2)2025=(-1)225=-1.故选A. 1,所以a1十a2+…+a8=1-28,故B错误：令x=-1,则 3.A因(1+x)0=(-2+1-x)10,其通项公式为：C(-2)10(1-x), ao-a1+a2-ag+…+ag=38,所以|a+a2|+|a3+…+ 令k=8,可得：ag=C5(-2)2=180.故选A ag=38-28,故C错误；对(2-x)8=a0十a1x十a2x2+…+ B由(+左)-(-[丁 agx8两边对x求导得-8(2-x)7=a1+2a2x十3a3x2十…十 8agx,再令x=1得a1十2a2十3a3+…+8ag=一8，故D正确 故选AD. E1),又(E-1)的展开式T+1=C%(F)8r(-1)r-13.-20(x-1)°晨开式的通项公式为T1=Cx（-1): 当r=3时，T4=C8x3·(-1)3=-20x3,即(x-1)展开式中 (一1yC:车，所以（丘+店一2）的展开式的道项公式为 x3的系数为一20 故答案为：一20. 工，十-一1)C-（一1)yC2,所以当工的指数不为14.一90由题意知，展开式中所有项的二项式系数和为32：金 x=1得，展开式中所有项的系数和为(a一1)5，由题意知它们相 整数时，该项为无理项，而当r-13,5,7时，2-乞不为整数，所以 等得，(a一1)5=32→a=3,再根据展开式通项公式：T+1 展开式中无理项的项数为4.故选B 5.C因为V2-x=ao十a1x十a2x2+…十a10x10,令x=1得 时，解得=3，所以展开式中的常数项为T4=C33-3·(一1)3- 一90.故答案为：一90. 10 (2-1）=a+a1+a+ag+…+a0,令x=-1得(2+115.2 由多项式（二+加）(-)的展开式中严y的系数为 =a0-a1+a2-a3十…十a10,所以(a十a2十…十a10)2-(a1十a3 -15,可得C(-1)4+m·C号(-1)3=-15，即5-10m=-15, 十…十ag)2=(a0+a1+a2+ag+…十a10) 解得m=2.故答案为：2. a-a1+a-a+…+ao)=（E-1）·（E+1） !16.(1)9(2)一672(1)依题意，第3项的二项式系数是第2项的 二项式系数的4倍，即C%-4C以，即u",D-4,解得n=9.故答 2 [(E-·(E+门=1=1故选C 案：(1)9：(2)-672 6.B令x=1,则2-512，解得a=9,（1-十2x 的展开式中！ 含：1项为g×()×cg×1+c×()xCx2 （-2xr-(-2r·Cg·宁，令3,9=0，解得r=3,故常敦项 2 为(-2)3·C8=-672. -一18.x7,所以展开式中含x7项的系数为一18.故选B. .D因为x8-「(x+1)-178,所以「(x+1)-178=a。+!17.(1)42o2(2)1二7202 (1)令1十x=0即x=-1,则[1-3× 2 a1(x+1)+…十a7(x+1)7+a8(x+1)8,所以(x+1)3-C(x+1)3: (-1)]223=ao十a1×0十a2X0十+aggX0,即a=422. ·(-1)5=-56(x十1)3，即a=-56.故选D. (2)令1+x=1即x=0时有(1-0)2023=12023=a0十a1十a2十 8.B由广义杨辉三角，得(x2+x+1)5=x10+5x9+15x8+30x7+1 …十a2023①，令1十x=-1即x=-2时有(1+6)2023-72023= 45x+51x5+45.x4+30.x3+15.x2+5x+1,因此(1+a.x)(x2+x+ a0-a1十a2+…-223②，①-②有1-7223-2(a1十a3十a5+ 1)5的展开式中，x7项为30x·1十45x·a.x=(30+45a)x7,所 以30十45a=-15,即a=-1.故进B. +a2,即a1+a3十ag+…+a22g-172购 2—,故答案为： 9.ACD对于A,由题意，二项式系数和为64，则2m=64,解得n=6, 故A正确；对于B,通项公式为Tk+1=C路26(-1)x6-2,令6一 (1)42023;(2)1-7202 2 2k=0,得k=3,则第四项为常数项，故B错误；对于C,二项式系数18.1(1十ax)(a>0)的通项公式Tk+1=C哈(a.x)=C·ax,若 最大项为中间项第四项，所以为C=20,故C正确；对于D,令x= 第一个括号是1，则第二个括号必须是x2相乘，若第一个括号是 1则系数和为(2一1)6=1，故D正确.故选ACD 一x,则第二个括号必须是x相乘，则x2项的系数为C号·a2 Ca-15a2-6a=9,即5a2-2a-3=0,得(a-1)(5a+3)=0,得 10.AD（丘-)的展开式的第r+1项T+1=C() a=1或a=-子（合去）.故答案为：1. .C3 =0，则=2，含项为C()-15×-只故A正 确：当r=0,2,4,6,展开式中有有理项，所以有理项有4项，故D 画片子解释2双就卷金务36,27 n. 正确.故选AD. 12！(1-12)1 215 20.1560由题意，(x2十3x十2)5=(1十x)5(2十x)5,因为(1十x)5:6.D记“甲被安排到冰壶项目”为事件A,记“乙被安排到短道速滑 的展开式的通项公式为T,+1=C写x',(2十x)的展开式的通项： 项目”为事件B, 公式为T6+1=C跨2x,所以(x2+3x十2)5的展开式中x3的 甲被安排到冰壶项目分为两类，甲一人被安排到冰壶项目的种数 项的系数是CC925+C号C2+CC号23+C9C22=320+800+! 为C号·A号，两人被安排到冰壶项目的种数为C·A, 400十40=1560.故答案为：1560. 所以P(A)= C号·A8+Cg·A号121 36=3: 专题21概率、随机变量的分布列 C2·A 甲被安排到冰壶项目且乙被安排到短道速滑项目的种数为 1.B对于A,根据正态分布对称性可知，P(X≤1一6)=P(X≥4十 1+C·C2=5, σ)，A说法正确；对于B,根据正态分布对称性可知，P(X<1)= P(Y<2)=0.5,B说法错误：对于C和D,相关系数r越接近0，！ 所以P(AB)=36, 相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确.故选B. 2.C记事件A]:取到的零件为甲车床加工的，事件A2:取到的零件！ 所以P(BA)=P(AB)_365 为乙车床加工的，事件A3:取到的零件为丙车床加工的，事件B:! P(A) 2故选D 6 取到的零件是次品，则P(BA1)=10P(BA,)=10P(BAg)7.CP(96<X<I12)=P(g<XC十3a)0,84,P(92<X< 108)=P(4-2a<X<4十2a)=0.9545,故所求概率P=0.84× -品P(A)-品P(A)-0P(A,)-品由现叶新公式可得。 3 3 0.9545=0.80178≈0.80，故选C. 8.C由题意可知，从220的11个真因数中取出一个奇数的概率为 36 PA IB)-P(A,B)P(AP(BIA) 10^100 4 ·取出一个偶数的概率为有：从280的5个真因数中取出一个 P(B) ∑P(A)PBA) 3、61451331 10×100+10×100+10×100 奇数的概率为号，取出一个偶数的概率为号若取出的两个数的 一，因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为 和为奇数，则取出的两个数为一奇一偶，所以取出的两个数的和为 是故选C 寺数的概奉P=音×号+×号-故选C 4 7 PA言X三所以选 1 1 3.A试验一：从中随机地无放回摸出2件产品，记次品的件数为X1, 则X1的可能取值是0,1,2，则P(X1=0) :PX-D- 9.AD对于选项A,因为P(BA)=PA) 3 受-器-品-警-后北文要名的数车含 项A正确：对于选项B,因为事件B,事件C相互对立，所以 C。 P(B1A)+P(CA)P(AB》+PCA-1,所以接项B不正 布列为： P(A1) X 确；对于进项C,由全概率公式知P(B)=P(A1)P(BA1)十P(A2) 1 2 P 8 2 PBA)+P(A)P(BIA),=号×号+×号+号×1=所以 选项C不正确：对于选项D,由选项C知P(B) -是，则P(AB) 则数学期望为：E(X1)-0×号十1×音+2×号-青，方差为： PMB)P(AP(BIA亨X三所以选项DE随 x)-（0-)·吉+(-)·是+(-)·品 P(B) P(B) 8 15 莞；试验三：从中随机地有放回摸出2件产品，则每次摸到次品的 故进AD 10.ACA由a+2a+30十4a-1,得10a=1,故A正确：B.P(0.3< 概率为品-号，则X(2,号)故数学期望为：B(X)=2×号 0.82=Pe=号)+P(=号）=0.2+03=0.5，故B正 -号方差为：DX)-2×号×是-号所以D0X)-器<莞 境：C由选项A知a-0.1,则P(-宁)=01P(e-) F是=D(X2,故E(X)=E(X2,D(X)<D(X2),故选A 0.2,P(=是)=0.3P(=1D=0,4,以E9=十×0.1+是 4.B由题得=85，o=10,所以4+。=95,4-6=75，+26=105， 4-2a=65,因为P(4-oX≤4十c)≈0.6827，P(4-2X≤4十· X0,2+是×0,3+×0.4=子，故C正确：D.由选项A知，a= 2a)≈0.9545，所以P(X>95)≈1-0.，6822-0.15865≈16%，根 0.1,则P(=1)=0.4,故D错误.故选ABC. 2 11.BCD由题意，从6名女生和8名男生中任选5人，则所选5人中 据比例成绩大于95分为优秀，因为P(85<X≤95)≈0.6821 女生的人数X和男生的人数Y服从超儿何分布，即X一H(14,6,5), 2 Y一H(8,5,14),所以选项A错误，选项B正确：又由超几何分布的 0.34135≈34%，根据比例成绩在85到95之间的为良好，P(75≤ x<85)≈06821-0.34135≈34%，根据比倒成绩在75到85之 均值公式.可得：E(X)-兴==9，E(Y)=义- 14 2 间的为合格，P(X<75)≈1-0.6821=0.15865≈16%，根据比 9所以EX)<En,E(X)+E=与+9=5，所以选项 2 C,D正确.故选BCD. 绮小于15分为基本合格，因为小张的数学成绩为92分，则他12.。设“小李周一去使身”为事件A,设“小李周二去健身”》 的等级是良好.故选B. 5.B由题意得a十c+十-1，即a十c-子①，E()-(-1)×a十 件B,则“小李周一、周二都去健身”为事件AB,由题意可知： 0X+1X6=-a,E(g)=(-1)2×a+0×}+12×c=c+a, P(A)=￥，P(B)=吾，且P(BA)=2P(BA),由全概率公式可 知：P(B)=PAPB不)+P(AP(BA).即吾-十PB万十 因为D(计2)=D()=2,所以D()=E()-[E()]=(C 兰P(BlA,代入PCB万)-2P(B1A),可解得P(BA)-号，所 a)-(c-a)2=号②，联立①，②，解得(c-a)2=十，所以c-a= 以P(AB)=P(AP(B1A)=子×号=子故答案为：宁 士号，当c一a=号时a=令c=营：当c一a=一号时a=营，1以.9由随机变量N1,产).副正态分车的商线的对称轴为g 1.又因为P(0)=P(≥t),所以0十t=2,解得1=2.当0x< ,故E(计1)=E()+1=c一a十1，解得E(计1)=立或 故选B. 2时，由基本不等式得号+2>2√号三=6，号(2-+ 216专题20二项式定理 (时间：90分钟分值：100分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.(2025·河北沧州一模)已知(1十x)”的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二 项式系数和为 () A.210 B.211 C.212 D.213 2.(2025·江苏镇江一模)C%025-2C025十22C3025-23C号025十…十22024C8-2025C38的值是 A.-1 B.1 C.0 D.22024 3.(2025·河北邢台一模)已知(1十x)10=a0十a1(1-x)十a2(1-x)2+…十a1o(1-x)10,则ag为 A.180 B.150 C.120 D.200 (202·山东芳译物中(+左2) 的展开式中无理项的项数为 A.3 B.4 C.5 D.6 5.设（√2-x)10=a0十a1x十a2x2+…十a10x10,那么(a0十a2十…十a10)2-(a1十a3十…十ag)2的值为 () A.0 B.-1 C.1 D.(√2-1)10 6.(2025·全国楼拟预测)已知(1-+2x 的展开式中的所有项的系数和为512，则展开式中含x7 项的系数为 A.-36 B.-18 C.18 D.36 7.(2025·湖南永州三模)若x8=a0十a1(x十1)十…十a7(x+1)7十ag(x十1)8，则a3= A.56 B.28 C.-28 D.-56 8.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)当n∈N时，将三项式(x2十x+1)”展开，可得到如图所示的三项展开式 和“广义杨辉三角形”： 广义杨辉三角 (x2+x+1P=1 第0行 1 (x2++1)'=x2+r+1 第1行 111 (x2+x+1)=x+2r2+3x2+2x+1 第2行 12321 (x2+x+1)=x+3x2+6r+7x+62+3x+1 第3行1367631 (x2+x+1)=r+4r+10r+16+19r4162+10x2+4r+1第4行14101619161041 若在(1十ax)(x2十x+1)5的展开式中，x7的系数为-15，则实数a的值为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.(2025·广西桂林一模)已知(2x-)” 的二项式系数和为64，则 A.n=6 B.常数项是第3项 C.二项式系数最大值为20 D.所有项系数之和等于1 75 10.(2025·甘肃白银模拟)对于二项式（丘-）°，下列说法正确的是 A.展开式中的常数项为 B.展开式中的常数项为5 2 C.展开式中的有理项有3项 D.展开式中的有理项有4项 11.(2025·山西三模)已知函数f(x)=(4x-1)12=a0十a1x十a2x2十…十a12x12,则 A.a3=43XC2 B.f(x)展开式中，二项式系数的最大值为C2 C.a1十a2十a3+…+a12=312 D.f(5)的个位数字是1 12.(2025·广东深圳二模)已知(2-x)8=a0十a1x十a2x2十…十agx8,则 A.a0=28 B.a1十a2+…十ag=1 C.a1l+a2+|a3|+…+la8|=38 D.a1+2a2+3a3十…+8ag=-8 三、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分 13.(2025·天津卷)在(x-1)6的展开式中，x3项的系数为 14,(2025·江苏苏州一模)已知(a反-会) (a为常数)的展开式中所有项系数的和与二项式系数的 和相等，则该展开式中的常数项为 15.(2025·山东聊城模拟预测)（号+mx-y)°的展开式中x2y的系数为-15，则m= 16.（2025·河北保定模拟)在（左2）” 的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的 4倍. (1)则n的值为 2)(后-2)”的展开式中的常数项为 17.(2025·山东聊城模拟)（结果可用指数幂的形式表示）设(1-3.x)2023=a0十a1(1十x)十a2(1十x)2 +…十a2023(1十x)2023(x∈R).求： (1)a0= (2)a1十a3十a5+…十a2023的值 18.(2025·名校联考二)若(1一x)(1十a.x)6(a>0)的展开式中x2的系数为9，则a= 19.在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右 的第1行第3个数是 ;若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为是，则n=一 第0行 第1行 第2行 2 第3行 133 第4行 1464 20.(x2+3x+2)5的展开式中x3的项的系数是 76