专题19 排列、组合【创新大课堂系列】高三数学全国名校名卷168优化重组卷

.y1+y2=4n,y1y2=-4t,.yg=-(y1+y2)=-4n, :5.B根据题意，先在编号为2、3、4的3个班级中分别分配1、2、3个 1+普+普-3得听+号+号-(+0为2-2(+ 名额，编号为1的班级里不分配：再将剩下的6个名额分配4个班 级里，每个班级里至少一个，由隔板法可得共C=10种放法，即可 y2)y3-2yy2=12, 得符合题目要求的方法共10种.故选B. 即322+81=12,8m2+21=3,t=-4n2+3 , 6.D8个人国成一圈，有。=A种，其中甲、乙、丙三人相邻，看微 n∈R0心1≤号，即1的取值范调为(0，号] 一个整体，由A·A.所以甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为 A-A·A.故选D. 19.解(1)M1(x1,2)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点， :7.C按题意5的上方和左边只能从1,2,3,4中选取，5的下方和右 2 得工=p1 边只能从6,7,8,9中选取.因此填法总数为4×3×4×3=144.故 选C 而MF-2,则十号-2脚号十台-2，解得B-2 8.D由M到V的最短路径需要向右走四段路，向上走三段路，所 以有C=35条路，由M到A的最短路径需要向右走两段路，向上 所以C的方程为y2=4x. 走一段路，所以有C=3条路，由B到N的最短路径需要向右走 (2)点Mn(工n,yn)关于x轴的对称点为Nm-1(xn,一yn),直线 一段路，向上走两段路，所以有C=3条路，所以由M到N不经 Mn-1Na-1的斜率k<0, 过AB的最短路径有C一CC=26.故选D. 则xn≠xn-1, 一m一yn旦=k,即yn十yn-1=-k(xm一x-1), !9,D对于选项A,因为A同学在最先或最后进行测试，安排方法一 xn一-1 共有AA=2A种，所以选项A正确：对于选项B,因为A,B,C 又点M。1N。-1都在C上， 三名同学需要相邻，先将A,B,C三名同学当成一个整体与剩余5 于是了=4 ,两式相减得（一a-1)(十a-1)=4(工一 人进行全排，有A种排法，再对A,B,C三名同学进行全排，有 (7-1=4红w-1 A种排法，由分步计数原理知，安排方法一共有A8A,故选项B xn-1）, 错误；对于选项C,A,B,C三名同学都不相郎，先排其余5人，有 因此yn一a-1= -冬餐列子是首项为2公差为一合的等差 A种排法，再将A,B,C三名同学三人插入6个空中，有A种排 法，由分步计数原理知，安排方法一共有AA种，所以选项C正 数列，通项公式为=2冬(m一0. 确：对于选项D,因为A,B两名同学既不在最先也不在最后进行 (3)要证S。-Sa+1,只需证明 y 测试，安排方法一共有A?A=30A8,又A8-2A号A=56A8 Mn+1Mn+2∥MnMn+3. M 4A8=52A8≠30A8,所以选项D错误.故选D. 直线MnMn十a的斜率kMM :10,B由题意可先排除b之外的其余四个字母，有A种排法，再从 yn+3一yn yn+3一yn 这四个字母排完后的5个空中选2个放入b,有C种放法，故字 M tn+3一xn 母b不相邻的排列方法共有AC号=24×10=240（种）. O !11.C根据题意可知，可以安排在周一到周五的4天，3天或2天 4 4 中，如果安排4天，有C=5(种)方法，如果安排3天，有CC= N yn+3十yn yn+1十yn+g 30(种)方法，如果安排2天，有C%=10(种)方法，于是由分类加 直线Mn+1Mn+2的斜率kM+M+a 法计数原理得，安排身体锻炼时间的不同方法有5+30十10=45 = ym+2一yn+L= yn十2二yn十1 N (种).故选C xn十2一xn十1 ya+2_y%+山 :12.C由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，则每位 4 4 同学每年所修课程数为1,1,2或0,2,2，先将4门学科按1,1,2 4 分成三组，有··C种方武，再分到三个学年，有A种不同 yn+1十yn+2 A 因此kM,M士3 =kM.M.,即Ma+1Ma+2∥MnMa+3, 所以Sn=Sm+ 方式，由分步计原理得，不同选修方式共有C·C·C.A A 专题19排列、组合 =36种.同理将1门课程按0,2,2分成三组，再排列，有C,C A号 1.D由题意，从后排9人中抽2人调整到前排，有C号中不同的取{ ·A=18种，所以共有36+18=54种.故选C 法，将前排5人和后来两人看成七个位置，把两个人在七个位置中13.C5个班去A,B,C,D四个劳动教有基地进行社会实践，每个班 进两个位置进行排列，完成调整，有A号中不同的排法，所以不同 去一个基地，每个基地至少安排一个班，如果是只有高一(1)班被 调整方法的总数是C?A号种.故选D. 安排到A基地，那么总的排法是CA=36种，如果是还有一个 2.A显然a,b,c,d均为不超过5的自然数，下面进行讨论.最大数 班和高一(1)班一起被安排到A基地，那么总的排法是CA= 为5的情况：①25=52+02+02十02，此时共有A=4种情况；最 24种，故高一(1)班被安排到A基地的排法总数为36十24=60 大数为4的情况：②25=42十32+02十02，此时共有A=12种情1 种.故选C 况；③25=42+22十22十12，此时共有A?=12种情况.当最大数为：14.D先停入货车甲，若货车甲不靠边，共有4种停法，则乙车有3 3时，32+32+22+22>25>32+32+22+12，故没有满足题意的1 种停法，除甲、乙外的其他四辆车共有A种停法： 情况.综上，满足条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是4十12十12= 若货车甲靠边，共有2种停法，则乙车有4种停法，除甲、乙外的 28.故选A. 其他四辆车的排法共有A种停法. 3.B根据题意，分以下两步进行：①在6个小球中任选2个放入相 故共有4×3×A+2×4×A=480种停法.故选D. 同编号的盒子里，有C=15种选法，假设选出的2个小球的编号：15.32依题意，排A,B,A,B相邻且站在正中间，有A号种站法；再 为5、6：②剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里，对于 排C,D,C,D不相邻，而A,B两侧各有2个位置，即C,D不在同 编号为1的小球，有3个盒子可以放入，假设放入的是2号盒子， 侧，在A,B两侧各取1个位置再排列C,D,共有CCA号种站 则对于编号为2的小球，有3个盒子可以放入，对于编号为3、4的 法，最后排E,F有A号种站法，所以不同的站法共有 小球，只有1种放法.综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的！ ACC}A号A号=32（种）.故答案为：32. 放法种数为15×3×3=135种.故选B. !16.84由题知共分两种情况：第一种情况：风、火灵珠选出一个，水、 4.D因为甲和乙都不能去A公司，对A公司去的学生人数进行分 雷、土三种灵珠均被选出，共有C·A4=2×4×3×2=48种法 类讨论：若去A公司只有1个人，有3种情况，然后将剩余4人分 阵组合；第二种情况：风、火灵珠均被选出，水，雷、土三种灵珠选 为两组，再将这两组分配给B,C两个公司，此时有3(C+C3C 出两个，先从水、雷、土三种灵珠中选出两个进行排列，共有A= A号 3×2=6种方法，再将风、火灵珠进行插空，共有A=3×2=6种 A号=42种不同的安排方式：若去A公司有2人，有C号=3种情况， 方法，则共有6×6=36种法阵组合.所以共有48十36=84种法 然后将剩余3人分为两组，再将这两组分配给B、C两个公司，此！ 阵组合，故答案为：84. 时有3C号A号=18种不同的安排方式：若去A公司有3人，只需将17.60根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种进 甲、乙两人分配给B、C公司即可，每个公司1个人，此时有A号=2 择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可 种不同的安排方式.由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种 以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总 数为48+12十2=62种，故选D. 共有10×6=60种方法.故答案为：60. 一 214 18.30法一：若高二(1)班有家长发言，共有CC号种，若高二(1)班！11.BD对于选项A,(4x一1)12的展开式的通项为T,+1= 没有家长发言，共有C种， C2(4x)12-r·(-1)r=(-1)r·412-r·C2·x12-,r=0,1,2, 所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有： …,12,令r=9,可得T4=(-1)9·43·C2·x2=-43XC32 CC号+C=30种. ·x3, 法二：若从7名家长中任选3人，共有C种情况，高二(1)班2名 所以a3=-43×C2,故A错误： 家长都发言的情况有CC种， 对于选项B,因为n=12为偶数，可知二项式系数的最大值为 所以发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数共有： C2,故B正确： C-C号C=30种 对于选项C,令x=0,可得a。=1: 故答案为：30. 令x=1,可得a0十a1十a2十…十a12=312; 专题20二项式定理 所以a1十a2十ag十…十a12-312-1,故C错误； 对于选项D,因为f(5)=(20一1)12， 1.A因为(1十x)”的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等， 且(20-1)12的展开式的通项为T6+1=C2·2012-·(-1), 所以CC②，解得：n11.所以奇数项的二项式系效和为号-)} k=0,1,2,…,12, 21 可知当=0,1,2，，11，T+1均为20的倍数，即个位数为0， =210.故选A. 当k=12时，T13=1,所以f(5)的个位数字是1，故D正确.故 2,A由二项式定理得C3025-2C25十2C号05-23C号25十…+ 选BD. 2024C38-22025C号器=C8025·12025+C025·12024·(-2)十12.AD因为(2-x)8=a0十a1x十a2.2十…+a8x8,令x=0,则 C号025·12023.(-2)2+…+C38·11·(-2)2024+C3、. a0=28,故A正确；令x-1,则ao十a1十a2十…十ag=(2-1)8= (-2)225=(1-2)2025=(-1)225=-1.故选A. 1,所以a1十a2+…+a8=1-28,故B错误：令x=-1,则 3.A因(1+x)0=(-2+1-x)10,其通项公式为：C(-2)10(1-x), ao-a1+a2-ag+…+ag=38,所以|a+a2|+|a3+…+ 令k=8,可得：ag=C5(-2)2=180.故选A ag=38-28,故C错误；对(2-x)8=a0十a1x十a2x2+…+ B由(+左)-(-[丁 agx8两边对x求导得-8(2-x)7=a1+2a2x十3a3x2十…十 8agx,再令x=1得a1十2a2十3a3+…+8ag=一8，故D正确 故选AD. E1),又(E-1)的展开式T+1=C%(F)8r(-1)r-13.-20(x-1)°晨开式的通项公式为T1=Cx（-1): 当r=3时，T4=C8x3·(-1)3=-20x3,即(x-1)展开式中 (一1yC:车，所以（丘+店一2）的展开式的道项公式为 x3的系数为一20 故答案为：一20. 工，十-一1)C-（一1)yC2,所以当工的指数不为14.一90由题意知，展开式中所有项的二项式系数和为32：金 x=1得，展开式中所有项的系数和为(a一1)5，由题意知它们相 整数时，该项为无理项，而当r-13,5,7时，2-乞不为整数，所以 等得，(a一1)5=32→a=3,再根据展开式通项公式：T+1 展开式中无理项的项数为4.故选B 5.C因为V2-x=ao十a1x十a2x2+…十a10x10,令x=1得 时，解得=3，所以展开式中的常数项为T4=C33-3·(一1)3- 一90.故答案为：一90. 10 (2-1）=a+a1+a+ag+…+a0,令x=-1得(2+115.2 由多项式（二+加）(-)的展开式中严y的系数为 =a0-a1+a2-a3十…十a10,所以(a十a2十…十a10)2-(a1十a3 -15,可得C(-1)4+m·C号(-1)3=-15，即5-10m=-15, 十…十ag)2=(a0+a1+a2+ag+…十a10) 解得m=2.故答案为：2. a-a1+a-a+…+ao)=（E-1）·（E+1） !16.(1)9(2)一672(1)依题意，第3项的二项式系数是第2项的 二项式系数的4倍，即C%-4C以，即u",D-4,解得n=9.故答 2 [(E-·(E+门=1=1故选C 案：(1)9：(2)-672 6.B令x=1,则2-512，解得a=9,（1-十2x 的展开式中！ 含：1项为g×()×cg×1+c×()xCx2 （-2xr-(-2r·Cg·宁，令3,9=0，解得r=3,故常敦项 2 为(-2)3·C8=-672. -一18.x7,所以展开式中含x7项的系数为一18.故选B. .D因为x8-「(x+1)-178,所以「(x+1)-178=a。+!17.(1)42o2(2)1二7202 (1)令1十x=0即x=-1,则[1-3× 2 a1(x+1)+…十a7(x+1)7+a8(x+1)8,所以(x+1)3-C(x+1)3: (-1)]223=ao十a1×0十a2X0十+aggX0,即a=422. ·(-1)5=-56(x十1)3，即a=-56.故选D. (2)令1+x=1即x=0时有(1-0)2023=12023=a0十a1十a2十 8.B由广义杨辉三角，得(x2+x+1)5=x10+5x9+15x8+30x7+1 …十a2023①，令1十x=-1即x=-2时有(1+6)2023-72023= 45x+51x5+45.x4+30.x3+15.x2+5x+1,因此(1+a.x)(x2+x+ a0-a1十a2+…-223②，①-②有1-7223-2(a1十a3十a5+ 1)5的展开式中，x7项为30x·1十45x·a.x=(30+45a)x7,所 以30十45a=-15,即a=-1.故进B. +a2,即a1+a3十ag+…+a22g-172购 2—,故答案为： 9.ACD对于A,由题意，二项式系数和为64，则2m=64,解得n=6, 故A正确；对于B,通项公式为Tk+1=C路26(-1)x6-2,令6一 (1)42023;(2)1-7202 2 2k=0,得k=3,则第四项为常数项，故B错误；对于C,二项式系数18.1(1十ax)(a>0)的通项公式Tk+1=C哈(a.x)=C·ax,若 最大项为中间项第四项，所以为C=20,故C正确；对于D,令x= 第一个括号是1，则第二个括号必须是x2相乘，若第一个括号是 1则系数和为(2一1)6=1，故D正确.故选ACD 一x,则第二个括号必须是x相乘，则x2项的系数为C号·a2 Ca-15a2-6a=9,即5a2-2a-3=0,得(a-1)(5a+3)=0,得 10.AD（丘-)的展开式的第r+1项T+1=C() a=1或a=-子（合去）.故答案为：1. .C3 =0，则=2，含项为C()-15×-只故A正 确：当r=0,2,4,6,展开式中有有理项，所以有理项有4项，故D 画片子解释2双就卷金务36,27 n. 正确.故选AD. 12！(1-12)1 215专题19 排列、组合 (时间：60分钟分值：90分) 一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.有14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人 的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 A.CA? B.C号A3 C.CA D.C号A 2.数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任 意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数12=32+12+12十12=22+22十22 在 +02.设25=a2+b2+c2+d2,其中a,b,c,d均为自然数，则满足条件的有序数组(a,b,c,d)的个 数是 A.28 B.24 C.20 D.16 3.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两 个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为 A.90 B.135 C.270 D.360 4.某高校要在假期安排甲、乙等5名大学生到A、B、C三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大 学生去，且甲和乙都不能去A公司，则不同的安排方式有 ( A.50种 B.56种 C.60种 D.62种 5.学校决定把12个参观航天博物馆的名额给三(1)、三(2)、三(3)、三(4)四个班级.要求每个班分别的 名额不比班级序号少，即三(1)班至少1个名额，三(2)班至少2个名额，…，则分配方案有( A.8种 B.10种 C.165种 D.495种 6.现有8个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为 A.A8·A3 B.A8-A8·A C.Ag·A8 D.A7-A·A 7.“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填 到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格 如 已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从 大到小排列的，则不同的填法种数为 5 A.72 B.108 C.144 D.196 8.夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一 段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在 M处，学校在N处，AB段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有 条 ( N A.23 B.24 C.25 D.26 73 9.在体育课上，某项体育测试需要对A,B,C在内的8名同学依次进行测试，下列说法不正确的是 ( A.A同学在最先或最后进行测试，安排方法一共有2A?种 B.A,B,C三名同学需要相邻，安排方法一共有AA种 C.A,B,C三名同学都不相邻，安排方法一共有AA种 D.A,B两名同学既不在最先也不在最后进行测试，安排方法一共有(A一2A号A)种 10.(2025·河北邢台校联考模拟预测)将英文单词“rabbil'”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻 的排列方法共有 () A.120种 B.240种 C.480种 D.960种 11.(2025·四川成都11月期中)作为当代大学生，应当具有较强的健身意识，应当把提高自身的身体 健康素质作为终身追求的目标和对个人、家庭、社会乃至整个民族的一种责任.某大一新生甲准备 在每周一到周五的下午安排自己的锻炼时间，甲规定自己每周必须完成4个小时的锻炼，每天最多 锻炼一次，每次锻炼1个小时或2个小时，则甲在某一周的周一到周五安排身体锻炼时间的不同方 法有 () A.25种 B.35种 C.45种 D.55种 12.(2025·湖南长郡中学一模)教育的目标是立德树人，是为新时代具有中国特色的社会主义培养全 面发展的接班人，某初中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展决定每天减少了一节学科 类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了传统武术，舞蹈，书法，小提琴四门选修课程，要求每 位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有 ( A.60种 B.78种 C.54种 D.84种 13.(2025·广东二模)某校安排高一年级(1)~(5)班共5个班去A,B,C,D四个劳动教育基地进行社 会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一(1)班被安排到A基地的排法总 数为 () A.24 B.36 C.60 D.240 14.(2025·河南郑州期末)有6辆车停放7个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并 且乙车不与货车甲相邻停放，则不同的停法共有 () A.192种 B.288种 C.360种 D.480种 二、填空题：本题4小题，每小题5分，共20分 15.数学竞赛中，某校有A,B,C,D,E,F共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设A, B两人必须相邻且站在正中间，C,D两人不能相邻，则不同的站法共有 种， 16.《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画 电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌 人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式 .(用数字作答) 17.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一 ●32 定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓 方式的种数是 4 18.(2025·宁夏吴忠期中)学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二(1)班 56 有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则 发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为 —74