专题17 双曲线【创新大课堂系列】高三数学全国名校名卷168优化重组卷

16k2 代入1+920十行1= 32k2-8 2k2+1’ 1EP_染-g=2,所以km,=am(x-∠PF,F)= tan∠PFF=TF2p-2a2a 有k1十k2=0,故命题得证. -tan∠PF2F=一2.故选A ()由(1)知直线AF平分∠PFQ,即 6.D设A(x1,y1)、B(x2,y2),若AB⊥x轴，则线段AB的中，点在x ∠AFP=∠AFQ. 轴上，不合乎题意，因为线段AB的中点坐标为(6，一2)，则 因为△APS的面积等于△FQS的面积， xiyi 故S△APs十S△sPF=S△FQs十S△sPF,即 jx1十x2=12 =1 a22 S△APF=S△mQ, 山十为=一4则 鱼=1 两式相减得二道好一道 a2 62 故PF∥AQ. a2 2 故∠AFQ=∠AFP=∠FAQ,|AQ|=|FQI, Q在线段AF的垂直平分线上 0,则当二2.当+业。听-yb -2-0 x1一x2 x1十x2 x号-x号a2 周为兴写 x1-x2 易知线段AF的垂直平分线为y= 号，与C的方程联立有x27, -2,所以， a2 -为·--2×=号，所以 x1一x2x1十x2 故Q的坐标为（行号）我(-厅号)】 告-号 解得a215 专题17双曲线 (c2=a2+b2=25 子{-10，因此，双曲线E的标准方程为 1,D设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c,由题知，b=√Fa,于 15一i0=1.故选D 是a2+b2-c2-a2+7a2=8a2,则c=22a,即e= =2V②.故！7.A设A(工1，y),B(x2,y2),AB中点为M,由题设易知xM 选D. -2,故w=-3,因为- 2.A由FM.F2M=0,得FMLF2M,而 a2 -1，- =1,故 62 IME,-2ME,△M,的面积为9， (x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+2) =0, 所以 a2 剥Sa听g-M,-9.E5-MF,P (x1-x2)X(-4)(y1-2)X(-6) =0,而kg=二2=1. x1-x2 +M13-5MF,P-g,令双南线C的 +是-0，长20-302=2-24，t兰- 故一 2 0,故选A 2 半发距为c,则2-RB,-罗即心2十 8C设双曲线的右焦点为F,连接PF,过O 作OQ⊥MN,垂足为Q,则IOM=|ON|=a, -空，直线OM方程为y-女，ta∠M-2- MF, 1,而 所以|MQ|=|NQL.因为|F1M=PN|,所 以|FQ=|PQ,即Q为线段F1P的中，点 M01=1F,O,则么=tan∠MOF2=tan2∠MF,F,- 因为O为F1F2的中点，所以OQ∥PF2,所 以PF2⊥PF1,PF2|=2OQ|.设|MN|= 2m,则|F1M=|PN=m,所以|PF,|=4n, 4 MQ=1NQ=,PF2=PF1-2a=4n-2a,所以OQ= 2 ，联立2+-要解得a2-1,2=15, -() 9 9,所以双曲 2m一a.在△MOQ中，由勾股定理得|OQ2+|MQ|2=|OM2,即 线C的方程为-器-1，就选 (2m-a)2+m2=a2,解得m=5a,所以|0Q=2n-a=号a, 8 3.D因为∠APQ=60°，所以点P在C的右支 FQ=2m= 0.在△F0Q中，由勾股定理得10Q12+1F,Q12 上，由对称性设P在第一象限，设P(x,), x>0,%>0,则Q(-x0,%),由AP⊥AQ, =o()‘+() -2,屏得-厘所以e- 5 ∠APQ=60°，得 xo-a =压递C kAQ一一a 3 = 3 !9.ACD不妨设渐近线为y- ，M在第 解得{二所以S6m-专X2 一象限，N在第三象限，对于A,由双曲线 yo=√3a, 的对称性可得A1MA2N为平行四边形， =x0y0=2W3a2=6√5，所以a2=3,即a=5,因为P(x00)在C 的右支上，所以2a)2(3a)2 故∠AMA,=一要-否，故A正确：对 =1,所以2=a2=3,设C的半焦 于B,方法一：因为M在以F,F2为直径 b 的圆上，故F1M⊥F2M且|MO|=c,设 距为c(c>0),则c2=a2+b2=6,即c=√6，所以焦距为2√6.故 1x6+6=c2 选D. 4.D由PF,-PF2=2a可得号PF2- (xo a (yo=b* 2a,故|PF2|=3a=3,|PF1|=5a=5,又 故MA,LAA,由A得∠A,MA-吾，故MA:=MA1×号 F1F2|=2c=4,故|PF2|2+F1F2|2= PF12,即PF2⊥F1F2,故△PF1F2的面积 即MA1-2y31MA2l,故B错误：方法二：在△OMA,利用余弦 为PR,·RE,1=×3X4-6 定理知，1MA22=1OM12+|OA22-2|OM1· 故选D. 1OA2lcos∠MOA2,即|MA212=c2+a2-2ae·4=b2,则|MA2 5.A如图所示，以F1F2为直径的圆与双曲 线在第一象限内的交点为P,可得 =b,剥△A1A2M为直角三角形，且∠A1MA=,则2MAg= ∠EPF-受，又因为Q为PF1的中点 5|MA1|,故B错误；对于C,方法一：因为MO= O为F1F2的中点，所以OQ∥PF1, a∠Qor-，tam∠PF,,-，所 之(MA+MA),故4M-MA+2MA·MA+MA,由B a 以sin∠PF,B=名os∠PE,B=名，又 b 可知1MA=b,MA,-2,故4e=+号+2xb×2, FF2|=2OF11=2c,得|F2P|=2a,F1P|=2b,由双曲线的定 ×怎-是-号(2-)脚e2-13a,故病心率t-v瓜.黄C 23 义可得|F1P|-|F2P|=2b-2a=2a,所以b=2a,所以 208 确：字责二：用为一会之-2则 |NF|-23,当且仅当M,N,F三点 a 共线时，|MN|一|MF|取得最大值 √1+点-+(2-，截C正确：对于D,当a=厄时，由 62 |NF|-2√5.，点N是圆x2+(y 2)2=3上的动点，∴x2+(y-2)2=3 C可知e=√I3,故c=26,故b=2√6，故四边形NA1MA2为 圆心设为D(0,2),半径r=√5，.NF 2S△wMA-2X号×26X2E-8厅，故D正确.故遮ACD, |DF|+r=2√2+√3，.|MN| 10.AD由题设F2(c,0),且渐近线为y= IMF≤1NF'I-25≤2√E-√5 土么x,若1垂直于y-x,则MN:y 故答案为：2√2-√3. 13.√3+1设双曲线C的实半轴、虚半轴、半焦距分别为a,b,c,由双 (y= 曲线的定义可知|PF1|一|PF2|=2a,结合题千条件|PF1|=3 分(x-c, ,可得 PF2I,解得|PF1|=(3+3)a,PF2|=(5+1)a,又∠F1PF2 90°，F1F2=2c,由勾股定理可得[(W5+3)a]2+[(√5+1)a]2 a2+b2 ·x= ·x=→x=2,同理 (2c)2,解得离心率e=3+1.故答案为√/3+1. :14.4√2设双曲线C的左焦点为F1,连接 PF1,PD.由题知，实轴长2a=2√2，F1(一√6， 理得3a2-2-0,可得e=名=E,B错：所以2-2-a2=2u2, 0),D0,2√3)，由双曲线定义知，PF=2a+ PF1I=2√2+|PF1I,则|MP|+|PF≥|PD 故渐近线方程为y=士Ex,A对：P(2,√②)在双曲线上，则 +|PF|-√2=|PD-√2+2√2+|PF|= PD+PF1十√2，当P,D,F1三点共线时， 产--1p-,制E专-号-1.所以r(-3.0 MP|+|PF|取得最小值，且最小值为 上：80则mn号×鸟-台C错：点P处的初线为 DF1|=√TOF12+ODP=√6+12+√E=4√E.故答案为： 4② y-②-k(x-2),联立2x2-y2=6,得2x2-[k(x-2)十巨]2=15.解(1)由双曲线的方程知a=1,c=√1+2， 6,所以(k2-2)x2+(2√2k一4k2)x+4k2一4√2k+8=0,则△= √1+6 (22k-4k2)2-4(k2-2)(4k2-4√2k+8)=0,所以k2-4√2k 因为离心率为2，所以￡= =2,得b=√5 1 +8=0,则k=2√2，故切线为y=2√2x-3√2，令y=0,则x1= 是+ (2)言b-2时，双向线r23誉-1，且A:10 -3D对.故选AD. 因为点P在第一象限，所以∠PA2M为钝角. 3-2 又△MA2P为等腰三角形，所以|A2P|=A2M=3. 11.ABD记双曲线C的焦距为2c,则F1(-c, W(x0-1)2+%-3, 0),a2+2=2.因为AF2|=DF2= 设点P(x0%),且x0>0,y0>0,则{ 子E-子 7 得∫n2 由OF=,DF=2,可解得：OD T{w-2E所以P2,2②. D (3)由双曲线的方程知A1(一1,0)，A2(1,0),且由题意知Q,R关 √9-- “2c,如图过A作x轴垂 于原点对称. 设P(x1),Q(x2y2),则R(-x2,-y2). 线，垂足为M,则可得：OD|=AM,OF2|=|F2M,所以 由直线PQ不与y轴垂直，可设直线PQ的方程为x=my一2. 9-0 （x=ny-2, A(2,）则一2号故接项A正 联立 特A()代入议线号-1，将- 消去x,得(2m2-1)y2-42my+3b2=0,且2m2-1≠0，即 a2 4b2 =1.再1 42m 将c2=a2+b2代入，解得b=√3a. ㎡≠分得十g。%m气 3b2 以C的满心率为：√层平√ =√1+3-2. A1R=(-x+1,-y2),A2P=(x1-1y1) 由A1R·A2P=1,得(-x2+1)(x1-1)-y1y2=1. 故选项B正确；因为点D到渐近线y=士√x的距离为d= 所以(x2-1)(x1-1)十y1y2=-1,即(m2-3)(my1-3)十 √5×0- 36 y12=-1, 2 35e-35Va+-35√0+3a 整理得(m2+1)yy2-3m(y十y2)+10=0, √1+3 所以㎡+·与-3·铅+10=0， 32 3,5a,所以选项C错误：由b-尽，有c=2a,且双曲线C方程 2 基理释a+3形-10-0，以-写(o,] 化为3x2-y2=3a2.由F2(2a,0),A(4a,35a),得L的方程为 1010b2 y-35(x-2a.将y-3y5(x-2a)与3r-y=3a2联立，消 又≠，所以≠ 2 2 + 362+1,解得62≠3， 去y,整理得11x2-60ax十64a2=0.记B(x1,),所以x·4a a2,得-片。-品所以1A:B1-2-号，所 8c3 所以2∈03U(3号]又b>0 c一11 以选项D正确 故6的取值范因是0U(,@] 故选ABD. 12.2厄-万度双自我E:号-=1的右然点为F,则F(-2.0 故6的最大值为回 F2,0,由双曲线定义可得MF-MF'1=2a=2尽，即MF16.解(I)设双曲线C的方程为 b2 =|MF'|+2√5.∴.|MN|-|MFI-|MN|-|MF|-25≤： (a>0,b>0),c为双曲线C的半焦距， 209 「c=25 :17.解(1)依题意B(-3,0),A(3,0), 由题意可得 )=5 (c=2V5 a ,解得{a=2· 又12×子=4，即PB-PA=4 b=4 c2=a2+b2 故P在以A(3,0)、B(一3,0)为焦，点的双曲线右支上， 所以双曲线C的方程为，一石一1， 设双曲线方程为2一y =1(a,b>0)(x≥0)，则c=3且2a=4, (2)解法一 设M(x1,),N(x2,y2),直线MN的方程为x- 所以b=√2-a2=5, my-4, 则x1=my1-4,r2=n2一4. 所以双向线方粒为号一苦 =1(x≥0). (x=my-4 联立x2V2 得(4m2-1)y2-32my+48=0. (2)因为∠ABC-120°且|BC=4,所以yc=|BC|sin60°-2V5, (416=1 xc=--3-|BCI cos60°=-5， 因为直线MN与双曲线C的左支交于M,N两点，所以4m2-1 所以C-5,23, ≠0，且△>0. 32m 因为PB|=|PC,所以点P在线段BC的垂直平分线上， 由根与系数的关系得 y1+为=4m2-1 48 所以y1十2=2”、 2√5 y1y2=4m2-1 因为kc=-5-(-3) =-5,BC中点D-43, 因为A,A2分别为双曲线C的左、右顶点，所以A(一2， 0),A2(2,0). 所以直线D的方数为)一后=十. 直线MA的方程为升-产2直钱NA。的方程为 x2-2 1加AP在号专-1≥0上 x-2 y--5(x+4 3 y =1 所以9十2 9-2)y=x-2.m9-6)n 45 y x+2'(my1-2)y2 r2-2 x-2 ,得1+22 解得∫r8 =5后负值已含去)，所以P(8,5. myy2-6y1r-2 my13y2-22x+2 因此kpA=93=3,则tan∠PAx=3,所以∠PAx=60 因为m1”-6_2-6(y十2)+62 故炮击的方位角为A的北偏东30 myi y2-2y2 myi y2-2y2 1功-6：2受n为+6 18,解(1)由题意，得么=尽，则b=尽a①， -3myy2+6y2 myy2-2y2 my13y2-2y2 =-3 将点P后…6代人双南线方，得号是-1@， 所以一2 x+2 =一3，解得x=-1, 联之①©解得{仔二：款P的方程为2-号-1 62=3, 所以，点P在定直线x=一1上 (2)若直线！的斜率不存在，则直线【与双曲线右支只有一个交 解法二由题意得A1(一2,0)，A2(2,0). 点，不符合题意，故直线【的斜率存在. 设M(x1,y1),N(x2,2),直线MN的方程为x=my-4 则语-1，即4-听=16， 设直线1的方程为)y一2-x一10，与2-苦-1联主得3-的2 +(2k2-4k).x-k2+4k-7=0. 如图，连接MA2, M 3-k2≠0， 以·姚·产产 △=12(7-4k)>0, 4x7-16 设B(x1y1),C(x2y2),由题意，得 十-发二兰>0标传 =4①. x号-4 1x2= 2-4k+1>0, 后-1.得-9-15，一-2》 k2-3 k<-尽. +2]2-y2=16, k2-2k 4(.x-2)2+16(x-2)+16-y2=16,4(x-2)2+16(x-2) (1)因为H为BC中点，所以工H-ke-3 -y2=0. 由x=my-4,得-2=my-6my-(x-2)=6,[my 由S%0m-合1AQ115H-1-25-1-7,得76e+2k-24 k2-3 =(7k-12)(k+2)=0. (x-2)]=1.4(x-2)2+16(x-2)·言[my-(x-2)]-y2=0, 又k<一√3，解得k=一2，所以直线L的斜率为一2， 4x-22+(x-20my-8(-22--0. (i)证明：设直线AB的方程为y y1 -y1 两月时除以（一2得号+婴·产一（产）=0， -D,令x=0,得n片 一yH 一y2 同理可得EH一气 因为E为DF中点，所以2yE=yD十， u以产产 y1 即2yH xH-1 x-1E-1 又因为点B,C,H都在直线L上， 由根与系数的关系得A·4,-一子 ②. 由①②可得kMA=-3kA,· 所以2[k(xH-1)+2] H-1 lMA y=kva (r+2)=-3kNA,(x+2),lNA.y=kNa,(r-2). [k(x1-1)+2](x2-1)+[k(x2-1)+2](x1-1) 化华， （x1-1)(x2-1) 整理，得2k十4 2(x1十x2)-4 所以点P在定直线x=一1. =2k+1-· 210 代入市达定现，得n一费子所以ym=一1D+2 -6 即(9+t2m-1)x-(9-t2n-1)y-9t-1(1+t)=0. 易知点P如+2到直线PP十1的距离 因为3xH-2yH=3· 装-2·装 -66k-9 =3,所以点H 1(9+12m-).9+2+2 21w+1 -(9-42m-1).9-12+ 21m+1 ,-9"-1(1+t)| 恒在定直线3x-2y-3=0上. d 19.解直线与双曲线的位置关系十等比数列十三角形的面积 √(9十tmT)+(9-tm)产 |9N-2(t-1)2(t+1) (1)将点P1(5,4)的坐标代入C的方程得52-42=m,解得m= 9,所以C:x2-y2=9. √(9+2m1)2+(9-t2m1)2 )过点P(6,)且外年=号的直线方程为y合（x一5)十4， /9+t2m9+t2m-2 又1PP+11=√（2 -2-1十20-9二1”2 2”-1 与C的方程联立，消去y化简可得2一2x一15=0， √1-1)[(9-21)]+(9+121)T 即(x-5)(x十3)=0， 2 所以点Q的横坐标为-3，将x=一3代入直线方程，得y=0, 因此Q1(-3,0),从而P2(3,0), 则S,-2·1PP.+1l·d=9-1)9+-363 42 (1-2)2,即S 即x2=3,y2=0. (2）解法一 为定值，所以Sn=S+1· 由题意，Pn(xn,yn),P+1(x十1， 解法二由(2)知，数列(xm-ym}是首项为工1一y=5-4=1,公 yn+1）,Q（一xn+13ya+1). 设过点Pn(xnyn)且斜率为k的直线为ln:y-k(x-xm)十ym,将 北为甘的等比列。 Ln的方程与C的方程联立，消去y化简可得(1一k2)x2+(2k2xn -2ky)x-(kx-y)2-9-0, 令1一告会由0<1可知>1，则一- 2k2 xn-2kyn 9 9 由根与系数的关系得一工n+1十工n= 1-k2 又后-听=9，所以十，一’ 226+,十2 可得x,-9十2 9-t2m-2 所以xn+1 1-k2 1-k2 2-1,yn= 21-1 又Q(-x+1y+1)在直线n上， 所以P /9+2m-29-2m-2\ ,P+1 /9+2m9-t2m 所以n+1=k(-xa+1一xn)十yn=一kxn+1一kxn十yn 、20-1,28-1 2021 从而工a+1一ya+1=工n+1十k红+1十kxn一ym=(1十k)x+1十kxn Pn十2 /9十12m+29-t2n+2 (9+2m+49-2m+4 =1+6.色2丝+--}资红-小 2+2 1-k2 9+2+49+t2m-2 易知一，0，所以纸列红。一是公北为岂会的等北纸列。 所以n+3 2h+2 20-1 9-2m+1工n+2一xn+1」 yn+3一yn 9-t2m+49-12m-2 9+2mF'yn+2一yn+1 解法二 由题意，Pn(xnyn),Pn+1(xw+1yn+1),Q（-xn十1， 2+2 2-1 yn十1). 9十t2m+29+2m 由点P。Qn所在直线的斜率为k,可知k=y一山 2+7 2 _9-t2m+1 xn十xn十1 9-12n+29-2 9+07,即二型--五 yn+2一yn+1 yn+3一yn 又点P.Q。都在C上，所以{一呢=9 2h+1 x+1-y呢+1=9 所以PnPn+3∥Pn+1Pn+2, 即{xnn)(xn十yn)=9 所以点Pm和点Pm+3到直线Pn+1Pn+2的距离相等， (xn+1-ya+1)(xa+1+ya+1)=9 因此△PnPn+1Pa+2和△Pa+1Pn+2Pa+3的面积相等， 易知xn一yn≠0， 即S。=Sn+1… 1+y一a+1 专题18抛物线 则告 cn十xn十1cn十xn+1十yn一yn+1 1-y+1x+x+1一yn十y+ 1.C对lBF:y=一2x十2，令y=0,则x=1, xn+xn十1 所以F(1,0),p=2即抛物线C:y2=4x,故 B 1-+1十 9 抛物线的准线方程为x=一1，故B(一1,4)， 则yA=4,代入抛物线C:y2=4x得xA=4. n-y十n1-一a+ 9 所以AF到=AB=A十号=4+1=5.故 选C cn一ya [(x+1-ya+1)(xn-y)+9] !2.B由抛物线x2=8y可知准线为y=一2， a+1w中[x。-)+1-w+1)+9 设M(xo,yo),根据抛物线的定义可知MF =y%十2=6，即y0=4,由抛物线方程可得 xn+1一yn+1 x=8yo=32,即|x0|=4√2，所以M到y轴 xa一yn 的距离为4√2.故选B. 印列，一是公比为甘的等比载列。 !3.C抛物线C:y2=8x的准线方程为x=-2,又点M(x。,yo)在C (3)解法一 由(2)知，数列{xn一yn}是首项为x1一y1=5-4= 上且|MF>4,则|MF|=x0十2>4，所以x>2,即x0∈(2，十∞)， 1,公比为甘会的等比数列。 故A错误，C正确；文=8x0,所以y∈(16，十∞)，所以 y∈(4，十∞)U(-∞，-4)，故B、D错误.故选C. 令1岂兰由0K<1可知>≥1，则，-=1， 1B抛物线Cy-言2，即2-8其焦点 为F(0,2),准线方程为1：y=一2，易知 又x号一y后=9，所以xn十yn= 9 、9 xn一ynt- A(2,2)在抛物线的内部，点B即为焦，点F 可得工n一 9+2n-2 9-t2n-2 如图所示，过点P作PQ⊥1于点Q,则|PB 21-1yn= 2-1 =PQ,PA+PBI=PA+PQ, 所以P(929-22 显然当P,A,Q三点共线时PA十PB最 2-1,2-1,Pn+19.1—,。11 -2 小，最小值为2一（一2）=4，即|PA|十PB的最小值为4.故选B. 力 :5.C由已知可得抛物线的准线方程为x=一 P十2 19+t2m+29-2m+2 ，抛物线上的点到 210+121+1T +1=2， 焦点的距高等于到准线的距离，所以MF一号十1一号 所以直线PPm+1的方程为x一xn yn十1一yn 解得p=2.故选C. 211专题17 双曲线 (时间：120分钟分值：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.(2025·新高考I卷)若双曲线C的虚轴长为实轴长的√7倍，则C的离心率为 A.2 B.2 C.7 D.2√2 2已知双曲线C一 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,M为双曲线的渐近线上的点，满 足FM.F,M=0,且Mr,=2MP,△M,r。的面积为号，则双曲线C的方程为 ( A2器=1 c需-y2=1 3.已知A为双曲线C:之 =1(a>0,b>0)的右顶点，P为C上一点，P关于y轴的对称点为Q,AP ⊥AQ,∠APQ=60°，△APQ的面积为6√3，则C的焦距为 ( A.3 B.√6 C.23 D.2√6 4设F,R:分别是双面线2-专-1的上、下焦点，双确线上的点P满是3PR=5PF:,则 △PF1F2的面积等于 ( A.12√3 B.12 C.65 D.6 玉设双线等一 =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线在第一 象限内的交点为P,直线PF1与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q.若点Q恰好为线段PF1 的中点，则直线PF2的斜率的值为 如 A.-2 c-号 D- 已知双由线E花一Q20->0)的右焦点为F6,0),过点F的直线交双线E于AB 若AB的中点坐标为(6，一2)，则E的方程为 ( A 20 三1 c号--1 7.已知双曲线 63 =1与直线y=x一1相交于A,B两点，其中AB中点的横坐标为一2，则该双曲 厨 线的离心率为 λ厚 B c D. 8在平面直角坐标系0中，已知双血线E名@>0，b>0)的左焦点为F,过乃的直线/交质 2+=a2于点M,N,交E的右支于点P,若FM=PN=号MN,则E的离心率为 ( A.36 B.4 c3 D.40 5 5 65 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 ®(2025·高考全国Ⅱ卷)双由线C:号岁1(Q>0,b>0)的左，右焦点分别是乃、F2·左、右顶点 别为A1,A2,以FP2为直径的圆与C的一条新近线交于M,N两点，且∠NAM=,则(） A.∠AMA2=若 B.MA=2MA2 C.C的离心率为13 D.当a=√2时，四边形NA1MA2的面积为8√3 10双线系一 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作渐近线的垂线1，垂足为N,1 与另一条渐近线交于点M,且M,N都在x轴上方，MN=2NF2,点P(2,√2)在E上，则() A.双曲线的渐近线方程为y=士√2x B.双曲线的离心率e=2 C.直线PF1与PF2的斜率之积是2 IF D.双曲线在点P处的切线与x轴交于点I,则P3 1已知双前线C后 =1(a>0,b>0)的左、右焦点别为F1,F2,过点F2的直线l与C在第一、四 象限的交点分为A,B,与y轴的交点为D,AF,=DP2=子1FF2,则 A.直线AP,的斜率为 B.C的离心率为2 C.D到C上最近点的距离为35。 4 a D.AF2:|BF2=11:3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2,已知双曲线E:y21的左焦点为E,点M是E有支上的动点，点N是圆2十(v=2)2三3上 的动点，则|MN一|MF|的最大值为 13.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FPF2=90°，|PF1|=√3|PF2|,则C的 离心率为 14.已知护是双曲钱C:号-苦-1的右焦点P是C左支上一点，M是圆Dr2+)一2=2上一 点，则MP|十|PF的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.13分已知双曲线r:2-芳-1(6>0)，左右顶点分别为AA过点M(一2,0)的直线交双曲 线Γ于P,Q两点， (1)若T的离心率为2，求b: (2)若6一2，△MA,P为等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标： (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交T于点R,若A1R·A2P=1,求b的最大值. 66 16.(15分)(2023·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（一2√5,0），离心率为√5. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象 限，直线MA1与NA2交于点P,证明：点P在定直线上. 17.(15分)(2025·上海期中)已知A、B、C是我方三个炮兵阵地，A地在B地的正 东方向，相距6km;C地在B地的北偏西30°，相距4km.P为敌方炮兵阵地.某 时刻A地发现P地产生的某种信号，12s后B地也发现该信号（该信号传播速 A 度为三km/s).以BA方向为x轴正方向，AB中点为坐标原点，与AB垂直的 方向为y轴建立平面直角坐标系. (1)判断敌方炮兵阵地P可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若C地与B地同时发现该信号，求从A地应以什么方向炮击P地？ -67 18,17分)(2025·山东日照楼叔预测)已如双曲线r后-芳-1(a>0,>0)过点P5W⑤，渐近线 方程为y=土√5x. (1)求Γ的方程； (2)已知点A(1,0),过点Q(1,2)作动直线1与双曲线右支交于不同的两点B,C,在线段BC上取异 于点B,C的点H, (ⅰ)当H为BC中点时，△AQH的面积为7，求直线l的斜率； (i)直线AB,AH,AC分别与y轴交于点D,E,F,若E为DF中点，证明：点H恒在一条定直 线上. 19.(17分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上，k为常数，0<k <1.按照如下方式依次构造点Pm(n=2,3,…):过Pm-1作斜率为k的直线与C的左支交于点 Qm-1,令Pn为Qm-1关于y轴的对称点.记Pm的坐标为(xm,ym). （1)若=求22： 2)证明：数列{，一，是公比为十的等比数列： (3)设Sn为△PnPm+1P,m+2的面积.证明：对任意正整数n,Sm=Sm+1 68