专题10 平面向量【创新大课堂系列】高三数学全国名校名卷168优化重组卷

专题10平面向量 (时间：120分钟分值：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.(2025·新高考I卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海 学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中 船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速 实 大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 (风速的大小和向量的大小相同)，单位(m/s),则真风为 ( 等级 风速大小m/s 名称 3 视风风速 2 1.1~3.3 轻风 3 3.45.4 微风 船速 4 5.57.9 和风 2 8.0～10.1 劲风 3 图1 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 2.(2025·江苏南通一模)在△ABC中，AD=2DB,P为CD上一点，且AP=mA店+号AC,则实数m 值为 A方 c D 如 3.(2025·全国模拟预测)在△ABC中，点D为BC边的中点，点E为AD的中点.记AB=m,AC=n, 则BE= A.BE=3, 1 3 B.BE=- 1 m+4” C.BE=-1m D.B正-3m+n 1 4.(2025·山东淄博一模)已知O为坐标原点，向量OA,OB,OC(点A,B,C不重合)满足1OA1=1OB =OC=1,(OA-OB)·(OB-OC)=0,若平面内一点P满足1OP1=4,则1PA+PB+PC1的取 值范围是 ( A.[12,1] B.[11,13] C.(11,13] D.(12,14] 5.(2025·安徽合肥一模)在△ABC中，AB=AC=1,∠A=120°，D为△ABC所在平面内的动点，且 AC·AD=1,则BD最小值为 A c D.√7 —37 6.(2025·安徽阜阳一模)已知向量a=(2,1),b=(1,m),且a⊥(a十b),则|b的值为 A.2√2 B.2√3 C.5√2 D.√10 7.(2025·安徽安庆一模)已知a>0,b>0,向量m=(a+2b,-9),n=(8,ab),若m⊥n,则2a十b的最 小值为 () A.7 B.8 C.9 D.10 8.(2025·高三全国专题练习)已知向量m=(1,a),n=(1十a,2),若(m-2n)⊥(2m十n),则实数a= A.-1 B.-2 c是 n-8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.(2025·贵州黔西模拟)己知向量a=(2,m),b=(一3，n),则下列说法正确的是 A.若a∥b,则2n+3m=0 B.若a∥b,则2n-3m=0 C.若(2a+b)⊥b,则n2+2mn-3=0 D.若|2a+b|=√5，则2m十n=2 10.(2025·青岛质检)已知向量a=(1,W3),b=(x,1),则下列结论正确的是 A.3x∈(0，十∞)，使得(a-b)⊥b B.x∈(-∞，0)，使得(a+b)∥b C.Vx∈[0，+∞)，a,b>小于号 D.Hx∈(-，0]，|2a-√3b|>√7 11.(2025·河南模拟预测)设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当x1≥x2,且y1>y2时，则称 a>b;当且仅当x1<x2,且y1≤y2时，则称a《b,则下列结论正确的有 () A.若a>b且a>b,则≥入 B.若a=(2022,2024),b=(2023,2025),则a<b C.若a>b,则对于任意向量c,都有(a十c)>(b十c) D.若a<b,则对于任意向量c,都有a·c≤b·c 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(2025·高考全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a= 13.(2025·浙江杭州一模)已知e1,e2为单位向量，设向量a=3e1十e2,b=e1十e2,向量a,b的夹角为 0,若e1-2e2≤1，cos20的取值范围为 14.(2025·高三全国专题练习)如图，正方形ABCD的边长为2，M,N分别为AB,BC边上的动点，若 E为MN的中点，且满足|BE|=1,则DM·DN的最小值为 A D M 38 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)(2025·陕西榆林一模)已知向量a=(2,3),b=(2cosa,sina). (1)若a∥b,求b; (2)设m=(1-号)a+b(uR),若alb,当m取最小值时，求1的值。 16.(15分)(2025·广东惠州质量检测)已知平面直角坐标系中，向量a=(1,一2)，b=(一2,6). (1)若c∥(2a+b),且c|=3,求向量c的坐标； (2)若a与a十b的夹角为锐角，求实数入的取值范围. 17.(15分)(2025·湖北武汉模拟)对于任意两个非零向量a,b,定义新运算：a④b=a:b. (1)若向量a=(-1,5),b=(3,4),求(2a-b)⊕b: (2)若两个单位向量a,b满是(3a十b)①(a一2b)=-号，求a十b与b夹角的余弦值. —39 18.(17分)(2025·江苏常州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3,3),B(1,5),P(1,2),M为 直线OP上的动点， (1)若四边形APBQ是平行四边形，求点Q的坐标； (2)求MA·MB的取值范围. 19.(17分)(2025·辽宁大连期中)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该 问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家 托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120° 的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.已知 △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2B+cos2C-cos2A=1. (1)求A; (2)若bc=4,设点P为△ABC的费马点，求PA·PB+PB·PC+PC.PA; (3)设点P为△ABC的费马点，|PB|十|PC=tPA,求实数1的最小值. 40(3)由正弦定是A品B里6-1a-厅nA-。 由∠CB+∠A-竖>x,则不符合题意，合去， 得sinB-sinA=21,且a>b,则B为锐角， 所以∠CDB-∠DCB-径则∠CBD-吾 故cosB-月，故sm2B-2 sin BooB-5是 14 6+2 cos 2B=1-2sin2 B-1-2x 2112 11 4 在△CDB中，由正弦定理，得DC= 2 2 故sin(A+2B)=sin Acos2B十cos Asin2B= √5、111 53_4E 解得DC-=6-√2→AC-6+√2. 1 16.解(1)由a2-c2=bc,得a2=c2+bc, 又周为CE为∠ACB的平分线，所以铝-品-士 由余弦定理得a2-c2+b2-2 becos C-c2+bc,即b=c+2 ccos A,18.解(1)因为bcos B=2sin2B,所以beos B-=22sinB·cosB. 由正弦定理得sinB=sinC+2 sin Ccos A, 又△ABC为锐角三角形，故cosB≠0，则 所以sin(A+C)=sinC+2 sin Ccos A. 所以sin Acos C-cos Asin C=sinC,即sin(A-C)=sinC. sim B-2-sinA 所以A一C=C+2kπ或(A一C)+C=π十2kπ(k∈Z), 即A=2C+2kπ或A=π十2kπ(k∈Z). 因为a=2,所以sinA= 2 因为0<A<受，0<C<受，所以A=2C 又A∈(0，)放A-至 [0<A<受， (2)由正孩定理得BC-A-2, (2)因为△ABC为锐角三角形，所以 0<B<受，即 则b=2√2sinB,c=2√2sinC. 0<C π 由(1)知A=子则C=平-B 所以(5-1)b+√2c=22(3-1)sinB+4sinC f0<2c<, -(2后-2②snB+4sn(要-B）-26imB+2 B-- 0<-3C<受，解得吾<C<平 41 4Esim(B+吾） 0<c<, 因为△ABC为锐角三角形， 因为c=1,由正孩定理得4-sinA-sin2C-2cosC,所以a- sin C sin C <B<受 所以 所以于<B<受， 2cos C. 由正弦定理得b=:simB-C·sin(元-3C)-sin3C 0<平-B<受 = sin C sin C sin C sin 2Ceos C+cos 2Csin C 2sin Ccos2C+(2cos2C-1)sin C 所以<B+吾<晋， sin C sin C 所以当B+晋=受时，即B=子时，(厅-1)b十Ec的最大值 4cos2C-1, 故△ABC的周长a+b十c=4cos2C+2cosC 4V2. ：19.解(1)由题设及余弦边角关系有 1=sC,号<aC<9所以（） 2 2ac 2a 因为画数y-4+2=(+)-十在（9）上单两 所以a2+b2-c2=ab,则c2=(a+b)2-3ab, 递增， 且coc-+2-, 2ab 所以△ABC周长的取值范国为(2十√2,3十√3)， 17.解(1)由(b-√3c)·sin(A+C)=(a-c)·(sinA+sinC), 在三角彩中有simC-号又宁bmC-3,可得ab-12 故(b-√3c)·sinB=(a-c)·(sinA+sinC), 结合a+b=8,则c=√82-3X12=2√7； 所以(b-3c)·b=(a-c)·(a十c),所以b2+2-a2-3bc, (②①南1如mC-誓，剥A品B前C =b ⑧，所以 由余弦定理osA-+2-Q2-cE 2bc 2bc 2 a+b+c 85 因为0<A<,所以A=吾 sin A+sin B+sin C 3； ②由c2=a2+b2-ab=16≥ab,当且仅当a=b=4时取等号， (2)在△BAD中，由正弦定理得 1 所以SAANC=号C= ab≤4E,即△ABC面积最大值为 4√3： sn2系D·解得sn∠ABD-竖 2√2 ③由2-(a十b2-3ab-16≥a+)2,则c=44+b≤8. 又周为AD>BD,所以∠ABD=产或买 当且仅当a=b=4时取等号，所以△ABC周长a+b十c∈(8,12]. 专题10平面向量 当∠ABD-子时，∠CDB-登.因为BD-CB ·1.A由题意及图得，视风风速对应的向量为：n=(0,2)一(3,3)= -2.所以∠DCB-登 (一3，一1)，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行 风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真 当∠ABD-平时，∠CDB=竖周为BD-CB=2, 风风速对应的向量为n1,船行风速对应的向量为n2,n一n1十 2,船行风速：2=-[(3,3)-(2,0)]=(-1，-3)，.n1=n-n2 所以∠DCB-告， -(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),|m11=√/(-2)2+22= 2√2≈2.828，∴.由表得，真风风速为轻风.故选A 191 2.B:A市-2D成：A店=号AD,因此A护 :9.ACA,B选项：a∥b,则2·n-m·(-3)=0,即2n十3m=0,A 选项正确，B选项错误；C选项：由已知2a十b=(1,2n十n),又 -m花+合花-警婴茄+合花，因为 (2a+b)⊥b,即(2a十b)·b=-3十(2m+n)n=0,即n2+21-3 =0,C进项正确；D选项：|2a十b|=√1十(2n十n)2=√5，解得 P.CD三点共线，所以受+ 21, 2n十n=士2，D选项错误.故选AC. 10.AC因为a=(1,w3),b=(x,1),所以a-b=(1-x,3-1),令 “m=子，故选B (a-b)·b=x(1-x)+5-1=-x2+x+5-1=0, 3.B方法一：如图，由点D为BC边的中 因为△=12-4×(-1)×(5-1)=43-3>0，x1+x2=1>0 点，得励=武-合花-A,由点 且x1x2=1-5<0,所以x1与x2异号，故A正确； a+b=(1十x,√3十1)，若(a+b)∥b,则x+1=(3+1)x,解得 E为AD的中点，得成=号BA+ 前，所以B庇--A店+(AC 一号，即雪-时，a十b)/6:放B错误：设a与b的灸角为 3 0,则cos0= a·b =-是遮+AC=一是m+十m故选B =十5，若夹角0小于号，则合< ab2√2+1 方法二：将△ABC特殊化，假设△ABC为以角A为直角的等腰直 、 角三角形，如图，以点A为原点，AB,AC所 2源1屏释号月0+(9+） 2Wx2+1 在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标 所以Yx∈[0，+∞)，(a,b小于行，故C正确：因为2a-Bb= 系，则B(1,0),C(0,1),则AB=(1,0),AC 2(1,W3)-√3(x,1)=(2-√3x,√3)，所以|2a-3b= -(01,根据题意得D(合号） √(2-√3x)2+(√3)2-√3x2-4√3x+7,显然当x-0时，|2a O(A) ()所以庞-(-)- √5b|=√7，故D错误.故选AC. ；11.BC对于A,取a=(1,1),b=(-1,-1),满足a>b,取4=一1， -10+子010=-子+子=-子 1=2,则一a=(一1，一1)，2b=(一2，一2)，满足4a>b,但4入， m十4n.故 A错误；对于B,因为2022<2023,20242025，根据新定义可 选B. 知，a《b,B正确；对于C,设向量a=(x1,y1),b=（x2,y2),c= 4.B因为OA=OB1=OC1=1,所以A、B、C三点在以Q为圆 (x0,y%）,由a>b,得x1≥x2,且y1>2,则x1+x0≥x2十x0,且 心，1为半径的圆上，又(OA-OB)·(OB-OC)=0,所以BA·CB y十%>y2+yo,所以a十c>b+c.C正确；对于D,根据 =0,所以AB⊥BC,所以AC是圆O的直径，所以QA=一OC,所以PA a<b,取向量a=(-2,-2),b=(-1,-1),c=(-1,-1),则a· +PB+PC=IOA-OP+OB-OP+OC-OP|=|OB-3OP,设OB、 c=4,b·c=2,a·c>b·c,D错误， OP的夹角为0,0∈[0，π]，则1OB-30P1=√(oB-3Op)2= 故选BC. :12.√2a-b=(1,1-2x),因为a⊥(a-b),则a·(a-b)=0,则x+ √6i-60i·0币+90-√/02-60·0币+910平- 1-2x=0,解得x=1.则a=(1,1),则|a=√2.故答案为：W2. √145-24cos0,因为0∈[0，π]，所以cos0∈[-1,1]，所以145 24c0s0e[121,169],所以1O成-30前∈[11,13]，即1P+P店+1 [器】e+-停-w PC的取值范围是[11,13.故选B. 1,所以 5.A因为AC.AD=1,|AC=1,则AC.AD=AC-1,故AC. 4 -c0s(g)≤1，放≤0s(g%≤1， (AD-AC)=O,故AC.CD=O,所以AC⊥CD,所以当BD垂直于 又|a=√9e+6e1·e2+e吃=√/10+6cos(e1,e2), CD时，BD取得最小值.在△ABC中，由余弦定理得BC= |b=√e+2e1·e2+=√2+2cos(e1,e2), VAB+AC-2AB·ACcos A-√1P+1P-2X1X1X(-） 所以c0s20=(a·b} ab =3,在△BCD中，∠BCD=∠ACD-∠ACB=90°-30°=60°，由 3e+4e1·e2+e 直线外一点垂线段最短可知当BD垂直于CD时，BD取得最小 √10+6cos(e1,e2)·√2+2cos(e1,e2) 值，此时BD-BCsn∠BCD-厅·号=号，即前的最小值为 (4+4cos(e1,e2)2 4+4cos(e1,e2〉 2 (10+6cos(e,e2)(2+2cos(e1,e2万-5+3c0s(e,e2 4 8 8 号故速A 32 专15+9c0s(e1,》,而方≤15+9c0s(0e2≤6的，所以 6.C已知a=(2,1),b=(1,n),则a十b=(2+1,1+n)=(3,1十 m).因为a⊥(a+b),即a·(a+b)=0.即a·(a十b)=2×3+1× o[器小答案为：[器小 (1十m)=6十1十m=7+m=0,解得n=-7.由n--7,则b=14.8-4√2如图，以B为坐标原点，BC的 (1,-7).所以|b|=√/12+(-7)2=√1+49=√50=5√W2.故 方向为x轴的正方向，BA的方向为y轴 选C. 的正方向建立平面直角坐标系，则D(2, 7,B根据题意，向量m=(a十2b,-9),n=(8,ab),m⊥n,则m·n= 2 9 8a+20)-8ab=0,即8(a+20=9a6,度形可得古+兰=号，则 设M(0,y),V(x,0),其中x∈[0,2]，y 2a+6-号×号(2a+b)-号×（告+2）2a+b)-号×(5+ ∈[02]，则E(乞，)周为B- C& +碧）又自>0，b0则+碧-2（+）≥4：且收 1,所以（受）+()=1，即2+ =4,因为(x十y)2=x2+y2+2xy≤x2+y2+x2+y2=2(x2+ 当 y2)=8,当且仅当x=y=√2时等号成立.所以x十y≤2②.又DM 分是9即意时等岁成立，则0十6音☒5于 1 a=8 =(-2,y-2),DN=(x-2,-2),所以DM·DN=-2(x-2)+ (y2)×(-2)=8-2(x+y)≥8-4√2，所以DM·DN的最小 器+兰)）≥号×(6+0=8，则2a+6的最小值为8，故选B 值为8一4√2.故答案为：8一4√2. a 15.解(1)若a∥b,则2sina-6cosa=0,即sina=3cosa, 8.C由m=(1,a),n=(1十a,2),得m-2n=(-1-2a,a-4), 2m+n=(3十a,2a+2),由(m-2n)⊥(2m十n),得(m-2n)·(2m 又na十cos2a-1,解得sma-品cos2a一0 十n)=0,因此(-1-2a)(3十a)十(a-4)(2a十2)=0，整理得 -13a-11-0,所以a=一岩长连C +g=130 所以bl-=4cos2a+ina/4×0+0=10 192 (2)若a⊥b,则a·b=4cosa十3sina=0, 又5ma十cosa-1,所以sma-碧coa-贵， 9 得…9+…+ 2 所以b1-ma+ma小X号+票-2y国 之c=2,整理得十yg十x 8 3 5 则pA.p店+P店.p元+p:P元-xy 又a=(2,3),所以|a=√13， ()十·(-)+·(-) 所m[(-吉小加+】 ×8E__4E 2 3 3 /-g）。2+2(-ab+8 (3)由(1)知A=90°，故由点P为△ABC的费马点得∠APB= ∠BPC=∠APC=120°， (-吉)+ PBI=mPAl.PCI=nPAl,PA=m>0>0 则由|PB+|PC=tPA|得n十n=t; 由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2-2n.x2cos120°=(m2+n十 √-a+6√[-1+. 1)x2, |AC2=x2+n2x2-2ix2cos120°=(n2+n+1)x2, 所以当1=1时，|m取得最小值. |BC2=m2x2+n2x2-2m1x2cos120°=-(m2+2+mn)x2, 16.解(1)设c=(x,y),由题意知2a十b=(0,2), 故由AC2+|AB2=|BC2得(n2+n十1)x2+(m2+m+1)x2 因为c∥(2a十b),所以2x=0Xy→x=0, =(n2+n2+n)x2, 又因为|c|=3=√r2十y2,所以y=士3， 所以c=(0,3)或c=(0,-3). (2)由题意a=(1,-2),b=(-2,6), 空++2-m,5n>00减+叶2-m≤() 则a+Ab=(1-2λ，-2+6A), 当且仅当n=i,结合十n十2=n,解得n=n=1十√3时，等号 当a与a十b共线时，1×(-2十6λ)=-2×(1-2A)→λ=0 成立， 因为a与a十b的夹角为锐角， 又m十n=t,即有是-41-8≥0，解得≥2+25或t≤2-2√3（含 所以a·(a+b)=1×(1一2入)-2×(-2+6A)>0, 去)， 解得<品且0。 故实数t的最小值为2十2√3. 所以a与a十b的夹角为锐角，实数入的取值范国为（一∞，0）U 专题11数列 1.B 设等差数列{au的公差为d,则由题可得 (0品) 17.解(1)2a-b=(-5,6), +-。2 ∴(2a-b)⊕b=2a-b)·b--5,6)·(3,4_-15+24 所以S6-6a1+15d-6×5+15×(-3)=-15.故选B. 25 25 2.C周为S=-+81,所以当n=1时a1=51元-1十81 7,当n≥2时，an=Sm-Sm-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n 1)门=-21十9，经检验，a1=7满足上式，所以an=-2n十9(n∈ （23a+b8(a-2b)=-号→8at0092边- 5 N*）,令an=-2m十9≥0→n≤4，an=一2n十9≤0→n≥5，设数列 {|an|}的前n项和为Tn,则数列{|an|}的前4项和为T4=S4= (a-2b)2 3 1-5a·b -42+8×4=16,数列(lan1}的前12项和为T2m=|a1|+a2+ 5-4a·b …+|a12=a1+a2十a3+a4-a5-a6-…-a12=2S4-S12=2× 16-(-122+8×12)=80.故选C. :(a+b·b-ab叶1-号a十6-a+b-V2叶ab.C设数列中第项数列(6十中第须相网.则3 1=6j+5,所以i=2j十2，即数列{3n一1}中的第4项，第6项，第8 +3西 (a+b)·b 5 项，…是相同的，均被别除，所以数列{an}的前10项为：2,5,8,14， 5 cos(a+b,b)- a+b·b 3@.1 20,26,32,38,41,50.所以数列a前10项的和为5+2生50×9 5 239. 3√10 故选C 10 4.A因为a1十a=a1十a1十4d-0,得到a1=一2d,所以an=a1十 故a十b与b夹角的余弦值为3四 (n-1)d=(n-3)d,对于选项A,因为a6=3d,ag=6d,a15=12d, 10 18.解(1)设Q(m,n),由A(3,3),B(1,5),P(1,2), 又dD0,所以-三=2，则a6aga5构成等比数列，故选项A a6 ag 则PA=(2,1),BQ=(m-1,n-5), 正确：对于选项B,因为a6=3d,ag=6d,a12=9d,又d>0,但≠ 6 由四边形APBQ是平行四边形，则PA=BQ, 即”子每释。 2,所以选项B错误：对于选项C,因为a1=0,a6=3d,ag=6d,所 g (n=6 以a3,a6,ag不构成等比数列，故选项C错误；对于选项D,因为 即点Q的坐标是(3,6). (2)由P(1,2),故直线OP的方程为y=2x,设M(t,2t) a4=d,a6-3d,a=6d,又d>0,但≠a,所以选项D错误.故 则MA=(3-t,3-2t),MB=(1-t,5-2t), 选A. 故MA.M店=(3-)(1-1)+(3-21)(5-21)=2-4+3+425.A设正项等比数列{am}的公比为g(9>0),由4a1,之a3,3a2成 -16t+15 =52-201+18-5(1-2)2-2≥-2， 等差数列，可得2×2ag=u1十3a2,即a92=4a1十3a19,所以 故MA.MB∈[-2，+∞) 19.解(1)由已知△ABC中cos2B+cos2C-cos2A=1, =4+3g,解得g=-1(舍去)或g=4,所以十@=“，十4 a6十a7a4g2+a5q p1-2sin2 B+1-2sin2 C-1+2sin2 A=1, g16故选A 11 故sin2A=sin2B十sin2C,由正弦定理可得a2=2十c2, 故△ABC是直角三角形，即A=90° 6.D由已知a1十a2=1,数列{an十an+1}是公比为2的等比数列， (2)由(1)A=90°，所以三角形ABC的三个角都小于120° 所以am十an+1=2-1,n≥2时，an-1十an=2”2.两式相减得 则由费马点定义可知：∠APB=∠BPC-∠APC=120°， aa+1-an-1=2-2,所以a2g025=41十(ag-a1)+(a3-a)十…+ 设PA|=x,|PB|=y,|PC|-z,由S△APB+S△即C+S△APC （a20w-a2023)-0+20+22+…+202-1-4102_2024-1 1-4 3 =S△ABC, 故选D. 193