专题9 解三角形【创新大课堂系列】高三数学全国名校名卷168优化重组卷

专题9解三角形 (时间：120分钟分值：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.(2025·高考全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2,AC=1+√3，AB=√6，则A= A.459 B.60 C.120° D.135 2.(2025·江苏苏州常熟中学质量检测)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且cos∠ACB= 1 ,边AB上的角平分线CD的长度为1，且AD=2BD,则= 4.37 2 B C.3 D.2或3 3.(2025·山西大同质量检测)△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则如下命题中，不正确 的是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形 C.若△ABC为锐角三角形，则sinA十sinB+sinC>cosA+cosB+cosC D.若△ABC是直角三角形，则cos2A十cos2B十cos2C=1 4.(2025·湖北模拟)设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，若B=C≠A,且a(b2十c2-a2)= b2c,则A= A晋 B哥 c. D.号 5.(2025·株洲二模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2√3 acos C-3 bcos C= 如 3 ccos B,则角C的大小为 A晋 B牙 c 6.(2025·四川宜宾教科所三模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2-3c, sin(B-A)=2 sin Acos B,则边c= A.3 B.6 C.9 D.12 7.(2025·广西钦州高三校考阶段练习)如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚 某处B的距离(AB垂直于水平面)，研究人员在距研究所D200m处的观测点C 处测得山顶A的仰角为30°，山脚B的俯角为15°.若该研究员还测得B到C处的 距离比到D处的距离多80m,且∠BCD=60°，则AB= B A.280√3m B.280√6m C.420m D.4205m 8.(2025·辽宁实验中学质量检测)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足b2= a(a十c),则十S的取值范围为 ( A.(1,5) B.(√2+1,5) C.(1,3+2) D.(√2+1，√3+2) 33 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.(2025·江苏镇江校联考)△ABC中，内角A,B,C对边长分别为a,b,c,下列选项的三角形有两解 的是 () A.a=14,b=7√3，B=45° B.a=15,b=20,A=30° C.b=47,c=38,B=50° D.b=25,c=13,C=23° 10.(2025·辽宁铁岭一模)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 ( A.a=bcos C+ccos B B.若(a+b十c)(a+b-c)=3ab,且2 cos Asin B=sinC,则△ABC为等边三角形 C.若sin2A=sin2B,则△ABC是等腰三角形 D.在△ABC中，a=1,b=x,∠A=30°，则使△ABC有两解的x的范围是(1,2) 11.(2025·新高考I卷)已知△ABC的面积为子，若cos2A+cos2B+2sinC=2,cos Acos Bsin C= 子则 A.sin C=sin2A+sin2B B.AB=√2 C.sinA十sinB=⑥ 2 D.AC2+BC2=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(2025·四川内江质量检测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,btan B十btan A= -2 ctan B,且a=2√6，△ABC的面积为2√3，则b+c的值为 图，.2025·山西晋城模拟)在△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,66,若号-名，网 △ABC是 三角形 14.(2025·浙江省潮州丽水衡州三地二模)在△ABC中，D为AB的中点，若CD=1,∠ACD=, cos∠BDC-号，则AD ,sin∠BCD= 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)(2025·天津卷)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B=3 bcos A, c-2b=1,a=√7. (1)求A的值： (2)求c的值； (3)求sin(A十2B)的值. 34 16.(15分)(2025·高三全国专题练习)已知△ABC为锐角三角形，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, a2-c2=bc. (1)求证：A=2C; (2)若c=1,求△ABC周长的取值范围. 17.(15分)(2025·重庆沙坪坝一模)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且(b一3c)· sin(A+C)=(a-c).(sin A+sin C). (1)求A; (2)若BC=2,在AC边上存在一点D,使得AD=2√2，BD=2,∠ACB的平分线交AB于E点，求 能的值。 -35 18.(17分)(2025·安徽马鞍山一模)记锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 a=2,bcos B=√2sin2B. (1)求A; (2)求（√3-1）b+√2c的最大值. 19.(17分)(2025·山东德州模拟)在△ABC中，a=ccos B+2b. (1)若a+b=8,△ABC的面积为3√3，求c; (2)若c=4, sinA+sinB+sinc的值： ① a+b+c ②求△ABC面积的最大值； ③求△ABC周长的取值范围. 3619.解（1)函数f()-4sin(r+登)o(or+是)+1-：A>受-B>0,故sinA>sm(受-B=cosB,同理可得sinB> 2sin(2wr+F）+1. cosC,sinC>cosA,三式相加得sinA+sinB+sinC>cosA+ cosB十cosC,故C正确；对于D,若△ABC是直角三角形，不妨设 若f()≤f)≤f(),l-nm= A为直角，则a2=b2+c2,由正弦定理可得sin2A=sinB十sin2C, 所以1-c0s2A=1-cos2B十1-cos2C,所以cos2B+c0s2C 则x1与x2是相邻的最小值点和最大值点， 所以f(x)的最小正周期为2X受=， co2A-1,又A-交，所以c0sA-0,则co2B+cos2C+eos2A-1, 同理可证B或C为直角时cos2B十cos2C十cos2A=1也成立，故D 由无-x,解得=1 正确，故选B. 2g)-f(e-若)）-2sm[2(-若)+吾]+1- :4,B因为a(2+2-a2)=2c,所以2aX+2-a2=b,即6= 2bc 2 acos A,所以sinB=2 sin Acos A=sin2A,所以B=2A或B+2A 2n(2a+2+1()-2ain(+）+1- =元.若B十2A=π则B=C=A.这与题设不合，故B=2A,又B= 2(肾+)十1-0m(+)--合，所以管+ π C,所以A十B+C=5A=x,即A=于，故选B i5.A由正弦定理得2√3 sin Acos C-3 sin Bcos C=3 sin Ccos B,即 晋+2kxk∈2)受+-号+2xk∈D. 23sin Acos C=3 (sin Bcos C+cos Bsin C)=3sin (B+C)= 解得w=3+6k(k∈Z)或w=5十6k(k∈Z),又2<w<4,得0=3， 3sin A, 所以gx)=2sn(6x一吾)十1，画教最小正周期T-吾=子， 因为si血A≠0，所以cosC-5】 2 5 令g(x)=0,即sim6x-6) 又因为C∈(0，)，所以C=吾故选A 6.B .'sin(B-A)=sin Bcos A-cos Bsin A=2sin Acos B,.'.3sin A D或x=2严(k,∈Z, cos B=sin Bcos A,.'.4sin Acos B=sin Boos A+cos Bsin A=sin(A+ 若g(x)在[m,]上恰好有4个零点，要使n-m最小，则n,n恰 B》=n(x-C)=mC,由正、余弦定理得：a,心十- -=c,即 2ac 好为g(x)的零，点， 2(a2-2+c2)=c2,又a2=b2-3c,.2(c2-3c)=c2,即c2-6c= 所以一m的最小值为子十- 0,解得：c=0(舍)或c=6.故选B. (3)由题意u(x)=h(x十g0)=sin(2x+9+29u), 7.B设BD=t,则BC=80+t,CD=200,∠BCD=60°，则在 因为u(x)1,h(x)1, △BCD中由余弦定理可得：t2=2002+(80+t)2一2×200×(80+ 所以y=10)+lgh(x)≤10，当且仅当u(x)=1,h(x)=1时取 )×号，解得：=760(m),则BD=760(m),BC=840(m),过点C 等号， 又因为函数y=10(x)十lgh(x)的最大值为10， 作CE⊥AB, 所以(x)=1,h(x)=1同时取得最大值1， ,研究人员在距D研究所200m处的观测点 所以20=2kπ，k∈N“,所以%=kπ，k∈N", C处测得山顶A的仰角为30°，山脚B的俯角为 所以满足条件的90的最小值为元 15°，∴.∠ECB=15°，∠ACE=30°，则sin∠ECB= sin15°=sin(45°-30)=sin45°cos30° 专题9解三角形 1.A由题意得cosA=A十AC-BC-)2+1+2-22 cos45sim30°-6-2 C6- 4 2AB·AC cos∠ECB=cos15°-cos(45°-30)=cos45° 2×W6×(1+√3) 学，又0<A<180,所以A=45.故选A cos 30sin 45'sim 30BE840 4 2.A由cas∠ACB-合，周为∠ACB∈(0，，可得∠ACB- ×5-E(m,CE-810×E+E(m,则AE-840x6+E× 3 4 4 又由边AB上的角平分线CD,所以∠ACD=∠BCD=吾，在 A-AE+BE-6D×(5-E+E×号）-20万 4 △ADC中，可得mAm=n2ACD在△BDC中，可得gm,故选B b AD 18.D由余弦定理可得a2+ac=b2=a2十c2一2 accos B,整理可得 sin∠BDC=sinBCD,因为sin∠ADC=sin∠BDC,sin∠ACD= BD a=c-2 acos B,由正弦定理可得sinA=sinC-2 sin Acos B=sin(A +B)-2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-2cos Bsin A=sin B sin∠BCD,且AD=2BD,所以么-AD a BD =2,即b=2a,在△ABC cosA-cos Bsin A=in(B-A,因为B,A∈（0，受）则-受<B 中，由余弦定理可得c2=a2十b2-2 abcos.∠ACB=a2+b2十ab= 7a2,所以c=√7a,又由S△ABc=S△AC 一A<受，因为正孩画数y=smx在(-一受，受)上单调递增，所 以，A=B-A,所以，B=2A,则C=π-B-A=π一3A,因为△ABC 十宁asim吾，周为b=2a,可得2d× A f0<A< ×夏+au×9中2a 为锐角三角形，则0<2A<受，解得若<A<子，则E< 可得1=号，所以--3故选A 0<-3A<受 2 2 3a 2cosA<3,所以，6+c=-sinB+sinC=sin2A+sin3A 3.B对于A,若A>B,则a>b,结合正弦定理得sinA>sinB,故A sin A sin A 正确：对于B,若acos A=bcos B,由正弦定理可得sin Acos A=t -2sin Acos A+sin Acos 2A+cos Asin 2A sin A sin Bcos B,所以sin2A=sin2B,故2A=2B或2A+2B=π，即1 A-B或A十B-受，故三角形ABC是等腰三角形或直角三角形， sinA(2co A+2coA-1+2cosA)-(2cos A)+2cos A-1. sin A 故B错误：对于C,若三角形ABC为锐角三角形，则A十B>受→ 令1=2cosA∈(W2,W3),则函数y=2+1-1在(W2,W5)上为增函 数，故中-(2cosA)2+20sA-1∈(E+1W5+2).故选D. a 189 9.ABD易知A、BC∈(0，π)，A十B十C=180°，对于A,由正弦定理 可知nA一号mB-∈(9)由正徐品数的周象与性质 不坊设A<B,则2A-吾，2B-晋。 (2+3)1 可得45°<A<60°或120°<A<135°，又a>b→A>B,则A有两个 即A=音B-登 由两角和差的正弦公式可知s加是 A 解，即A正确：对于B,同上sinB= (2+6)H 30°<B<45°或135°<B<150°，又a<b→A<B,则B有两个解，即 -26E-9C选项确 +sin 12 4 4 B正确，对于C.同上得smC=合smB-得sn50<sin650,且c< 47 由两角布的正切公式可得am登-2十厅。 b→CB→C50°，故C只有一解， 设BC-t,AC-(2+√尽)1，则AB=(V2+√6)1. 即C错误：对于D,如图所示AD⊥ BC,则易知25sim23°<25<13< 25 2 由5ar-2+-号周-学返-()则 4 25,即此时有两解，即D正确.故C23 B D B =1 进ABD. 2 l0.ABD对于A,a=beos C+ceos B即sinA=sin Bcos C+sinC 于是AB=(√+√②)1=√2，B选项正确，由勾股定理可知，AC2十 cosB,即sinA=sin(B+C),因为sin(B十C)=sin(π-A)= BC2=2,D选项错误.故选ABC 血A.武原式底主，武A压度：时于子B,o十+ea十a12.4E由加mB+amA=一2amB,可得会。-品票由正孩 则(a+b)2-2=3ab,即a2+b-2=ab,故cosC-2+2-2 2ab 总-号由Ce0,)可得C-子 定理可得，nB品Cm而snB>0,基理得B cos A+cos Bsin A=-2sin Ccos A,p sin(A+B)=-2sin Ccos A, 又2 cos Asin B=sinC可得2 cos Asin B 。“”” ,A十B=π-C,.sin(A+B)=sinC≠0，所以上式变为cosA= sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,#p sin Acos B-cos Asin B=0,sin(A- 言又0<AKA=,月为Sa-2瓜，所以宁-besin A= B)=0,由A,B∈(0，π)可得A=B.故 2√5，解得bc=8,又由余弦定理可得，b2十c2一24=2bc× A-=B=C-号，则△ABC为等边三角 （号）每得8+e2-16o叶e2=护+2+2x-326+c 形，故B正确：对于C当A=吾，B =4√2.故答案为：4√2. :13.等腰或直角 石时，满足sin2A=sin2B,则2A=2B或2A十2B=元，所以A= 由余孩定理，0sB=2+-止，则a十2- 2ac B或A十B=受，故△ABC不一定为等腰三角形，故C错误：对于 2 B,同理可得，2+2-a2-2 ebecos A,由g-2+c2- 12-2+c2-a D,要使△ABC有两解，则需a<bKnA,故1<b<2,即1<r< 可得-ac0sB,化简得，acos A=beos B,由正孩定理得imA b22bccos A' 2,故D正确.故选ABD. cosA=sin Bcos B,则sin2A=sin2B,而A,B,A十B∈(0，π)，则 11.ABC cos2A+cos2B+2sinC=2,由二倍角公式，1-2sim2A+11 得2A=2B或2A+2B=元，即A=B或A+B=受，放△ABC是 -2sin2B十2sinC=2,整理可得，sinC=sin2A十sin2B,A进项正 确；由诱导公式，sin(A十B)=sin(π-C)=sinC,展开可得sinA 等腰三角形或直角三角形，故答案为：等腰或直角 s B+sin Beos A-sinA+sin B,sin A(sin A-cos B).5. 本题主要利用正余弦定理进行解答。 sinB(simB-cosA)=0,下证C-乏. ,cos∠BDC= 3 方法一：分类讨论 5 .sin∠ADC= 4 若A十B=受，则inA=c0sB,inB=c0sA可知等式成立；若 A十B<受，即A<受一B,由谤导公式和正弦函数的单调性可 ·simA=sin[x-至-∠ADC]= 知，sinA<cosB,同理sinB<cosA,又sinA>0,sinB>0,于是 sinA(sinA-cosB)十sinB(sinB-cosA)<0,与条件不符，则 (子+∠ADC-号.在△ACD AD A十B<受不成立；若A十B>受，美似可推导出sinA(simA- 中，由正弦定理得sin/ACD sin A·AD=CDs1n∠ACD= sin A 5,在△BCD中，CD-1,BD=AD=5,cos∠BDC=号，.CB2 3 c0sB)十simB(simB-c0sA)>0,则A十B>2不成立.综上讨 论可知，A十B=受，即C-受 BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC(余弦定理)=1+25-2X1 BC 方法二：边角转化 X5×号-20，BC-25,由正孩定理得：m2BD0 sinC=sin2A+sin2B时，由C∈(0，π)，则sinC∈(0,1]，于是1×i sinC=sin2A十sin2B≥sin2C,由正弦定理，a2+b2≥c2,由余弦定 uct-25k答案为5,25. BD 理可知，osC0,则Cc(0,受]若C(0:受）小则A+B>:16,解已知aB=csA,由正张定理AnB D 得asin B=bsin A=√3 bcos A,显然cosA≠0，得tanA=√3，由 受，注意到os Acos Bsin C-子，则cosAcos B>0,于是cosA> 0<A<π， 0,cosB>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A,B∈： 故A= (0,乏）结合A+B>台A>受-B,而A,受-B都是锐角， (2)由1)知c0sA-立，且c-2h+1a-厅， 则nA>sn(受-B）-osB>0,于是anC-smA+2B> 由余弦定理a2=b2十c2-2 becos A, oB+simB=1,这和sinC≤1相矛盾，故C∈(0，受）不成立， 则7=P+(2b+1)2-2X合6(2b+1)=3b2+36+1, 解得b=1(b=-2舍去)， 则C- 故c=3. 190 (3)由正弦定是A品B里6-1a-厅nA-。 由∠CB+∠A-竖>x,则不符合题意，合去， 得sinB-sinA=21,且a>b,则B为锐角， 所以∠CDB-∠DCB-径则∠CBD-吾 故cosB-月，故sm2B-2 sin BooB-5是 14 6+2 cos 2B=1-2sin2 B-1-2x 2112 11 4 在△CDB中，由正弦定理，得DC= 2 2 故sin(A+2B)=sin Acos2B十cos Asin2B= √5、111 53_4E 解得DC-=6-√2→AC-6+√2. 1 16.解(1)由a2-c2=bc,得a2=c2+bc, 又周为CE为∠ACB的平分线，所以铝-品-士 由余弦定理得a2-c2+b2-2 becos C-c2+bc,即b=c+2 ccos A,18.解(1)因为bcos B=2sin2B,所以beos B-=22sinB·cosB. 由正弦定理得sinB=sinC+2 sin Ccos A, 又△ABC为锐角三角形，故cosB≠0，则 所以sin(A+C)=sinC+2 sin Ccos A. 所以sin Acos C-cos Asin C=sinC,即sin(A-C)=sinC. sim B-2-sinA 所以A一C=C+2kπ或(A一C)+C=π十2kπ(k∈Z), 即A=2C+2kπ或A=π十2kπ(k∈Z). 因为a=2,所以sinA= 2 因为0<A<受，0<C<受，所以A=2C 又A∈(0，)放A-至 [0<A<受， (2)由正孩定理得BC-A-2, (2)因为△ABC为锐角三角形，所以 0<B<受，即 则b=2√2sinB,c=2√2sinC. 0<C π 由(1)知A=子则C=平-B 所以(5-1)b+√2c=22(3-1)sinB+4sinC f0<2c<, -(2后-2②snB+4sn(要-B）-26imB+2 B-- 0<-3C<受，解得吾<C<平 41 4Esim(B+吾） 0<c<, 因为△ABC为锐角三角形， 因为c=1,由正孩定理得4-sinA-sin2C-2cosC,所以a- sin C sin C <B<受 所以 所以于<B<受， 2cos C. 由正弦定理得b=:simB-C·sin(元-3C)-sin3C 0<平-B<受 = sin C sin C sin C sin 2Ceos C+cos 2Csin C 2sin Ccos2C+(2cos2C-1)sin C 所以<B+吾<晋， sin C sin C 所以当B+晋=受时，即B=子时，(厅-1)b十Ec的最大值 4cos2C-1, 故△ABC的周长a+b十c=4cos2C+2cosC 4V2. ：19.解(1)由题设及余弦边角关系有 1=sC,号<aC<9所以（） 2 2ac 2a 因为画数y-4+2=(+)-十在（9）上单两 所以a2+b2-c2=ab,则c2=(a+b)2-3ab, 递增， 且coc-+2-, 2ab 所以△ABC周长的取值范国为(2十√2,3十√3)， 17.解(1)由(b-√3c)·sin(A+C)=(a-c)·(sinA+sinC), 在三角彩中有simC-号又宁bmC-3,可得ab-12 故(b-√3c)·sinB=(a-c)·(sinA+sinC), 结合a+b=8,则c=√82-3X12=2√7； 所以(b-3c)·b=(a-c)·(a十c),所以b2+2-a2-3bc, (②①南1如mC-誓，剥A品B前C =b ⑧，所以 由余弦定理osA-+2-Q2-cE 2bc 2bc 2 a+b+c 85 因为0<A<,所以A=吾 sin A+sin B+sin C 3； ②由c2=a2+b2-ab=16≥ab,当且仅当a=b=4时取等号， (2)在△BAD中，由正弦定理得 1 所以SAANC=号C= ab≤4E,即△ABC面积最大值为 4√3： sn2系D·解得sn∠ABD-竖 2√2 ③由2-(a十b2-3ab-16≥a+)2,则c=44+b≤8. 又周为AD>BD,所以∠ABD=产或买 当且仅当a=b=4时取等号，所以△ABC周长a+b十c∈(8,12]. 专题10平面向量 当∠ABD-子时，∠CDB-登.因为BD-CB ·1.A由题意及图得，视风风速对应的向量为：n=(0,2)一(3,3)= -2.所以∠DCB-登 (一3，一1)，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行 风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，设真 当∠ABD-平时，∠CDB=竖周为BD-CB=2, 风风速对应的向量为n1,船行风速对应的向量为n2,n一n1十 2,船行风速：2=-[(3,3)-(2,0)]=(-1，-3)，.n1=n-n2 所以∠DCB-告， -(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),|m11=√/(-2)2+22= 2√2≈2.828，∴.由表得，真风风速为轻风.故选A 191