专题7 任意角的三角函数及三角公式【创新大课堂系列】高三数学全国名校名卷168优化重组卷

专题7任意角的三角函数及三角公式 (时间：120分钟分值：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.(2025·高考全国Ⅱ卷)已知0<a<π，cos g=5 =号，则sin(a-)= A哥 B 3√2 5 C.0 n号 在 2.(2025·江西模拟预测)in70+3c0s70的值为 C0s220° A.1 B.2 C.-1 D.-2 3.(2025·河南省部分名校联考)已知3sin(2a+B)cosB=3cos(2a+B)sinB+1,且a∈ (，)则 tan(a+i)- A.-4 B.-2√2 C.-2 D.-√2 4(2025·江苏镇江-模)已知a9为锐角，e0se=分，n(e+创-55，则c0s月= 14 1 B.2 c n皮 5.(2025·江苏南通一模)已知a,3∈(0，元)，且tana= 7cosB=，则a= A B买 C. 2π D. 如 6.(2025·会国模叔预测)已知16c0s2号-3c0s20-3,则c0s0= ( ⑤ A.- c号 B号 7.(2025·高三全国专题练习)已知a,3均为锐角，sina=2 sin Bcos(a十β)，则tana的最大值为() A.5 B.√2 n号 8.(2025·江苏南京-模)已知角a,8∈(0,5)，且sin9=2cos(a十8)sina,当tanP取得最大值时， 角a= ( A受 B等 c D.晋 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.(2025·江苏南通阶段练习)已知角α的终边经过点P(3,一4)，则 ( A.sin a=5 B.cos 2a=- C.tan 2a=- 24 D.sin 2a=- 24 25 7 25 25 10.(2025·高三下河南阶段练习)下列函数中，最小值为1的是 1 1 A.f(x)=sin4x十cos2x B.f(x)- sin2 x+1'cos2 x+2 C.f(x)=2sin x+2cos x+sin xcos x+ 2 D.f(x)=sin x+cos xl 11.(2025·江苏徐州期中)在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过 下列两种三角函数：定义1一cos0为角0的正矢，记作versin0,定义1一sin0为角0的余矢，记作 coversin0,则下列命题正确的是 () A.versin 16x=1 32 B.rsin(经-)）=n0 C.若ein=2,则(covrsin-versin x)2= versin x-1 D.函数f(x)=wrsin(2020x-罗)十ersin(2020x+)的最大值为2+2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(2025·高一全国专题练习)已知0<a<g<2,函数f(x)=5sin(x-),若f(a)=f)=1,则 cos(B-a)= 13.(2025·上海满东新模拟)f)=0s-c0s2x+号在[0，]上的值域为 14.(2025·信阳模拟)如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形，若直角三角形中较小的内角为0，大正方形的面积是1，小正方形的 面积是号，则sin20-cos20的值是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)2025·安藏合肥一中校联考)已知fx)=n(e+)十co2x十号 (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若对Vx∈R,不等式2/()十sim≤2sin2x-号c0s2x十a恒成立，求实数a的取值范围。 -26 16.(15分)(2025·江苏苏州专题练习)已知函数f(x)=2 sin xcos x十2cos2x(x∈R). (1)求∫(x)的最小正周期，并求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合； (2)令g)=+)-1,若g()<a-2对于x∈[-否，]恒成立，求实数a的取值范围。 17.(15分)(2025·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=sin2x十2√3 sin xcos x-cos2x十m的最大值为3. (1)若∫(x)的定义域为[0，π]，求f(x)的单调递增区间； (2)若f()=5x∈[0，]，求cos2的值. -27 18.(17分)(2025·辽宁抚顺期中)已知函数f()=sinx十cosx8 7 (1)若9≠0，函数f(x十p)为偶函数，求|p的最小值； (2)若f(x)在(-否，m上恰有4个零点，求m的取值范围， (3)若不等式8f(x)十acos2x十≥0对任意的a∈[-8,8]恒成立，求cos4x的取值范围. 19.(17分)(2025·四川内江期中)若定义在A上的函数f(x)和定义在B上的函数g(x),对任意的x1 ∈A,存在x2∈B,使得f(x1)十g(x2)=1(t为常数)，则称f(x)与g(x)具有关系P(t).已知函数 f)=2cos(2x+)x∈[臣] (1)若函数g(x)=4sinx,x∈R,判断f(x)与g(x)是否具有关系P(2),并说明理由； (2)若函数g(x)=2x十a,x∈[-1,2]，且f(x)与g(x)具有关系P(4),求a的最大值； (3)若函数g(x)=cos2x-mcos x十5，x∈R,且f(x)与g(x)具有关系P(3),求m的取值范围. —28—故当m<t<1时，g'(t)g'(1)=0,所以g(t)在区间(n,1)上单：8.D已知sin3-2cos(a十3)sina,可得：sin3=2(cos acos3-sina 调递减. sin3)sina,sin3=2 cos acos3sina-2sin2asin3,可得：sin3+ 所以g(1)>g(1)=0,不符合题意： 2sin2 asin B-2cos acos Bsin a,:sin 1+2sin a)=2cos acos 8 sin a, c,当n≥1时，G(t)<0,所以g(t)在区间(0,1)上单调递减，故 g(1)>g(1)=0. 因为a,c（0,受）所以c0s≠0，sinB≠0，等式两边同时除以 所以g(t)在区间(0,1)上单调递增 故g(1)<g(1)=0,满足题意. cosg和1十2sin2a可得：tang=2 cos asin,上式可化为：tang 综上所述，m的取值范围是[1，十∞). 1+2sin2a sin 2a 专题7任意角的三角函数及三角公式 1+2sin2 a ,又因为sin2a=一c9s2g,代入上式可得：tan日= 2 sin 2a sin 2a 21 1.Dosa=2号-1=2×() 1=一3，因为0<a<π，则 1+2X1os22产os2a令1tana,则n2a1中6os2a 至<a<,则ina=V-oa -() 2t 1- sin 2a +2,代入tanB=2os2a可得：tan= 1+2 sim(-）=sin acos-sin子 2 1+12 竖-恶故选D 21+r)-(1-西1十37，因为a∈(0，受），所以>0，则n月 2t 2t 2.D sin70°+5cos70°_2sin(70°+60) 2sin 130 2t cos220° c0s(90°+130) -sin130° 22,.根据均值不等式对于有：31+≥2/3× 1+32 选D. 3.D因为3sim(2a十)cosB=3cos(2a+3)sinB+1,即3[sin(2a+3) cos8-cos(2a+3)sin3]=1,可得3sin[(2a+3)-8]=1,即3sin2a =25,当且仅当31=1，即2=1， 31一时等号成立.所以tan月 3 -1m2a-子国为a(至，受）则2a(受可得os2 2 。≤25=3，即当13时，n月取得最大值，因为 3 -√1-sin22a=- 3 2sin acos a=tan a, 2cosa 1 =。誓且6长(，受）所以。=吾当n取释溪大位 可得tana= sin 2a 1+cos 2a 1-2② -3+2E.所以tam(a+) 时，角一放选D 3 ana十tan平 0由题意，0P=√3十0-5，对于A项sm 51 3+22+1 =一√2.故选D. 1-tan ctan 1-(3+2√2) 故A项错：对于B项，cos2a=1-2-1-2×(合） 故B项正角：对于C项，因c0se=是，am8=一台，则 7 4.Ba为锐角，cosa三7∴sina=1=cos2a=1空.0<a< 7 受0<gK受0<a+K里e+9>a.!sin(e+0-0< 2tan a 2×(-） tan 2a-1-tan a 24 ,故C项错误：对于D项， s加a-1,画载y=nx在(0，受）上单羽递增小受<a+ 1-(-) π，∴.cos(a+g)=-√1-sin2(a+B)=- 11 14cos 8=cos[(a+8) m2a-2nsa-2×(）×是-一故D项正.故 25 选BD. --osa+:sa+ma+:ma-片×分+语x0D对于Afu-m十o-m一+1 4√51 7 之，故选B (sm2一受）广+导，其最小值为子，黄A错送：对于B,) 5.A周为a,ge0,里ana-7osg-号所以e(0,受）所 1/ 1 1. sin2 x+1'cos2x+2 (sinco2C(sin+ 1)+(cos2x+2)]= ++恶)(+ 4 n6血-0是×号-号×是-号周为a十9C(0,所以 /cos2x十2，sin2x+1) 2√mr+io+2） =1 a十B=无，故选A 当且仅当sin2x=1,cos2x=0时等号成立，故B正确； 6.B由16cs2号-30os20-3,将cos2号-1+0s0,eos20- 2 对于C,设1=sinx十cosx,1e[-反回，则sin rcos-,l 2 2cos20-1代入化简得8(1+cos0)-3(2cos20-1)=3,即3cos20: 所以y=2++子-+2+1. 2 一4cos0-4-0,解得cas0-2(合去)或cos0-一号.北选以 当1=-V2时，ymin=4-2√2，故C错误； 7.C由题可得sina=2sin3cos(a+3)=2sin3cos3cosa-2sina: 对于D,f2(x)=1十|sin2x≥1，又f(x)≥0， sin2B,因为a,3均为锐角，两边同时除以cosa得tana=2sin3cos3! -2 tan asin2g,所以tana-2sin3cos2_2sin3cos3 2tan B 所以当sin2x=0,即x-经，k∈乙时f(x)m=1,故D正确.故 1+2sin2 cos2 8+3sin28 1+3tan2 选BD. 2 1 3tan3十tan 因为a,3均为能角，所以m>0,ag>0,则山.BC对于A:cin号-1-1经-1-cos(5x十吾）-1十 3 2 tan a= cos号-号A错：对于B,(受-）-1co(受-） 1 3,当且仅当3tanB=H 3tan汁tan月2√3tan3·tam月 -1-sin0-cowersin0,B正确；对于C,osin二 versin r-1 tan月即anB3 时取等号.故选C 1-cos tan(coversin r-wrsin <)2-(1-sin 1-sin r-1 184 1+cos r)2=1-2sin xcos r=1- -1 2tan r tan2r+1 即a≥2snr+cos-2sn2r+2os2x+号 1-=.C正：对于D.:)=1-22)十1 3 5 令y=2sinx+cosx-2sin2x+号cos2x+号，x∈R, 则a≥y在x∈R上恒成立， n(2r+若）-2-[-受+(e2n+晋)门n(eo2r 令t=2sinx+cosx,x∈R, 则t=2sinx十cosx=√5sin(.x十g)∈[-√5,5， +看)=22n(2020r+看)当m(2020+看) =-1时， 2-(2sin r+cos x)2-3sin2.r+4sin rcos r+1, f(x)max=2十2=4，D错误.故选BC 故y=2sinx+cosx-4 sin c+号(2cos2x-1)+号 2 12一器周为f)-5sm(。-若)-1.可得sm(a-晋)-号同 -2sin x+cos r-4sin ccos r+3cos2r+1 理可得sm(-晋）方因为0Ka<K2x,所以，一吾<e =1-(2-3sin2x-1)+3cos2x+1=-t2+1+5= (-) 吾<-吾<所以，0<。-吾<受<-吾<，则 +兴 26 由t∈[-5,5，得= (e-)-√-(e-)-(） 时，画数取得量大位一头。 5 故实数a的取值范国 26 [學+） (g)√-m(晋)-√（告）-g. 16.解（)由题意，画数fx)=in2x+os2x+1-Em(2x+牙) 所以casg-a)=co[(g-晋)(e-吾)门-o(-吾) +1, @(。看）+i(看）n(e-吾)-x2+卡× 可得其最小正调期是了-受-x, 一器答案为：一器 当sin(2红+子）--1，可得2x+子=-登+2x,(∈Z),即 2 1a[]f-mss+9-n2x x=kx一晋（∈Z时， 函数f(x)的最小值为1一√瓦. s2-m(2-）[0晋]2-受[- 此时x的案合为{：一x-晋(k∈D} ][号]案为[] (2)由g(x)-f(+否）-1=Eim(2x+至+）-Ecos2x 14,一2石由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为 国为e【吾，]得2x[吾] cos0,短直角边为sim0,小正方形的边长为cos0-sin0, :小正方形的面积是元(os0-sin)2=2万， 则os2[小 :0为直角三角形中较小的锐角， 以ge-s2[号 cos0>sn0cos0-n0-吉 若ga-2对于[-吾，吾]恒成这，则 又：(cos0-sin0)2-1-2 sin0=25, a-2>g(r)max-2, 2 Rain o器1+2na0-号 所以a>2十√2，即求实数a的取值范国(2十√2，十)。 25’ :17.解（1)将f(x)化简可得 即(cos0叶sin0)2- o6时a0-子 251 f)=6sim2z-os2x-m=2sim(2a-吾）+m, .'sin2 0-cos2 0=(cos 0+sin )(sin 0-cos 0)=- 25故答案为： 因为f(x)max=2+m=3,所以n=1. 7 此时x)=2sn(（2x-吾）-1， 25· 15.解(1)由题意得， 当x∈[0，]时，2x- 吾[吾晋] fx)-in1+cos2)+-sim2x十 2 cos 2c 令-吾≤2x吾≤受得0<r≤吾 +1-号m(2x+）+1 令晋<2<，将晋<≤x 由-受十2kx≤2x十至≤十2x(k∈Z),得 所以)的单两适培区同为[，晋]+[晋] 警+长≤合+红e: 由受+2kx<2x+吾≤经+2kx(k∈z,得晋+x≤≤晋 .5π (2)由1)知fd)=2sm(2x-看）+1 十kπ(k∈Z). 由（受）号得2n(吾)+1-号。 故f)的单调递增区间为-晋+x,苓十x]k∈Z: 所以m(s-看）吾又用为[0] 单运减区间为[吾+，+小水∈ 所以一 [吾] (2)由f(x)= 号(2x+)+1 所以(。音)√1-m(一晋)-号 所以m[2(晋)]-2sm(-音)(。-看)-器 3 故原不等式为2sinx+cosx+号≤2sin2x-号cos2x十a, o[2()]=1-2(看)-六 185 所以cs2w=co[(-吾)+晋]-m(2a-晋)o音 若对称轴受≤-1，即m≤-2时，h(1)∈[h(1),h(-1)]= [m-3,-m-3] sm(2x。-子）sin号 则{”产部得m≤-4与m≤一2求交袭：特采为n≤ -4: 50 若受≥1，即m≥2时，h(0∈[h(-1),h1]-[-m-3,m-3], 18.(1)f(r)=(sin2 x+cos?r)2-2sin2 xcos2 r- 7 88 2 则∫m-3≥1 ×g-g+cs4, {仁m-3≤-2解得m≥4，与m≥2取交集，结果为m≥4： 若-1<空<0，即-2<m<0时， 则f(x十9)=- +o4r+4g 因为f(x十)为偶函数，所以4g=kπ(k∈ZD,解得p= 年（∈D,所 e[(受)]-【m-3.-2] 则4 以9的最小值为子 -2≥1，解得m≥25或m≤-25，与-2<m<0取交 m-3≤-2 集，结果为⑦； （2)冷fc)-0,得osr-号 若0≤g<1,即0≤m<2时， 由(音m小得(4m c[(-D4(受)]-[-m-3.学-2] 因为f)在(-吾m）上格有4个点，所以+2<m 则{ -2≥1 ,解得m≥25或m≤-25，与0≤m<2取交 ≤-+4 m-3≤-2 集，结果为⑦， 得晋<m<节，故m的取值范国为( 7π11π1 综上，m≥4或n一4. 1212 即m的取值范国是（一∞，-4]U[4,十∞）. (3)不等式8f(x)+acos2.x+6≥0，即为2cos4x十acos2x+5! 专题8三角函数的图象和性质 ≥0， 得4cos22x十acos2x+3≥0. 1.B根据正切函教的性质，一2m(。一吾）的对称中心横生标满足 当c0s2x=0时，不等式3≥0恒成立，符合题意： 当cos2x≠0时，函数y=4c0s22.z+acos2zx+3可看成关于a的 x一 一次函数， 制限起在得{什红 0）∈Z即a-吾+经4C乙又a>0,则-0时a最小，最小位是 即2cos2x+1)(2cos2x+3)≥0 晋即a=晋故选B 1(2cos2.x-1)(2cos2x-3)≥0 2.A设f(x)的最小正周期为T,根据题意有 因为2c0s2x+3>0,2c0s2x-3<0,所以{8c02x+1≥0 12cos2x-101 十9=受+2kx ,k∈Z),由正弦函数的对称性可知于 3 解得-号<os2r<号且eos2r≠0 (3w十华-nπ， 综上.-≤os2≤，尉-12cos2-1≤- -2m+1D工(m∈D,即天-2mtx,u=4n+2,又f(x)在 12 4 2w 即-1≤cas4≤-合放cos4的取值范国为[-1，一] 19.解(1)f(x)与g(x)是否具有关系P(2),理由如下： w≤2，w=2,则 9+26 e[臣]时，2+晋[登] 2π .9∈(-π，π)，.k=0,n=1时， 9=nπ一 3 故o(2z+音）[-1] -f)-sm(2+)小当[o,受]时，2+ f)=2os(2x+看)∈[-2,1， []由正弦西数的单阴楼可知（血=血经=一9 又g(x)=4sinx在x∈R的值域为[-4,4]， 故选A 由于4-2=2,1+1=2，即[1,4]是[一4,4]的真子集， 故对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)十g(x2)=2, a.B已知)=s2+cs2红，所以f-5sm(2 f(x)与g(x)是否具有关系P(2). (2)x∈[-1,2]时，g(x)=2x+a∈[-2+a,4+a], 晋）那么T-受=，所以选项A正确：若甸线y一f)关子点 由题意得，任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1)十g(x2)=4, 又)=2o(2x+若)∈[-2,1，-2+6=41+3=4， (a,0》中心对称，则fa)=0.计算f(子）-5sim(2×吾+后) 3[-2{行结g,每学 =皆+音）-n晋=×合-受≠0，所以商战y 故a的最大值为5. f)不关于点（子，0）中心对称，选项B错误：因为正孩函数s血0 (3)由题意得对任意的x1∈A,存在x2∈B,使得f(x1）十g(x2) =3, 的最大值为1，在f)=5sim(2x+看）中，f(x)x=5×1- 又fx)=2cos(2x+若）∈[-2,1， √3，选项C正确；若曲线y=f(x)关于直线x=b对称，则f(b)为 故[-2,1门二[3-g(x2)门的值域， 画的最值.计算f(合)-5sin(2×否+)-5im(子+ 43-g(x)=3-cos2 x+mcos r-5=-cos2 x+mcos r-2, x∈R, 晋)-in受-w是画数f)的最大所以由线y一f 令1=cosx,则1∈[-1,1]， 设h(t)=-2+mt-2,t∈[-1,1]， 关于直线x=否对称，选项D正确，故选B 186