专题4 基本不等式【创新大课堂系列】高三数学全国名校名卷168优化重组卷

专题4基本不等式 (时间：120分钟分值：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.(2025·高三全国专题练习)已知0<<2，求：(1-)的最大值为 1 A.2 B号 c 0 4 在 2.(2025·云南照通一模)已知0<<号，则函数y=x(1-3)的最大值为 A品 B c号 D -2 3.(2025·重庆一模)已知a,b∈R+,且ab十2a+b-一3=0，则a十b的最小值为 A B号 C.25-3 D.2√6-3 4.(2025·浙江杭州一校)已知>0，y>0十名-1，则2+y-三的最小值为 xy A号 B.5 C.2+22 D.2+√2 5.(2025·山东日照一模)点A(2,1)在直线1：mx十y=1上，且mm>0,则1十2的最小值为（ A.4 B.6 C.8 D.10 6.（2025·湖北十握模拟)函数f八)=16+十2的最小值为 A.4 B.2√2 C.3 D.42 7.(2025·吉林统考二模)已知a>0,b>0,若直线l1:a.x十by-2=0与直线l2:2x十(1一a)y十1=0垂 直，则a+2b的最小值为 () A.1 B.3 C.8 D.9 8.(2025·高三全国专题练习)已知a>0,b>0.且a+2b=2,若32—≤0+2恒成立，则实数1的取 值范围是 A号川] B[-1,] c.[-] D[-1,] 二选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分 9.(2025·广东深圳一模)已知x、y都是正数，则下面结论正确的是 A十4针，的鼓小值为2 B.若2x十y=4,则xy的最大值为2 C,平的最大值为分 naxt≥2@ 13 10.(2025·福建三模)下列函数最小值为4的是 A.y=x2-2x+3 B.y=2x+22-x C.y=1,+1 sin2c cos2x D.y=2l0g2a+log,4(a>1) 11.(2025·石家庄一模)若a,b,c∈R,且ab十bc十ca=1,则下列不等式成立的是 A.a+b+c≤√3 B.(a+b+c)2≥3 C+6+≥25 D.a2+b2+c2≥1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(2025·广东深圳一模)若x>3,则2-X-二3的最大值为 13.(2024春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)若关于x的不等式x2十bx十c≥0(b> D的舒集为R则的最小值为 14.(2025·高三全国专题练习)已知a>0,b>0,a十b=2,则p=3a2++3士0的最小值为 1+b11+a 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)(2025·江西宜春一模)已知：x,y>0,xy十x十y=8. (1)求x十y的最小值； （2)十十号≥a2一2a,但成立，求实数a的取值范围. x y -14 16.(15分)(2025·山西晋中模拟)已知a>0,b>0,且a十2b=3. (1)若十》≥上+2恒成立，求x的取值范围： (2)证明：（后+）a3+)≥9， 17.(15分)(2025·江苏徐州一模)如图，某房地产开发公司要在矩形地块 D M C ABCD上规划出一块五边形ABCEF地块建造住宅区.住宅区不能占用 文物区，文物区可看作以∠MPN为直角的等腰直角△PMN,设计时过 P作了一条直线EF,与CD交于E,与AD交于F;由实地测量知：AB= 4 B 240m,AD=180m,DM=MN=60m. (1)设CE=xm,将住宅区ABCEF的面积S表示为x的函数，并注明定义域； (2)应如何设计，可使住宅区ABCEF的面积最大？并求出最大面积. -15 18.(17分)(2025·福建期中)函数f(x)=一2x十1的图象经过第一象限的点A(m,n),过点A分别作 x轴和y轴的垂线，垂足分别为B,C (1)若不等式k2一4十3≤+2恒成立，求实数k的取值范围： (2)求四边形OCAB(O为坐标原点)面积的最大值. 19.(17分)(2025·山东潍坊模拟)设y=mx2+(1-m)x+m-2. (1)若不等式y≥一2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)在(1)的条件下，求m2+2+5的最小值， m+1 (3)解关于x的不等式y<m一1. -16不等支u2+-3》0等价于a6a十3二十3》8.C由ab+2a+b-3-0将a-9即a+b-+6-产2+b 0,即x+1Dar一a-3)≤0，所以-1<r≤6+县，由题意得8 5 <6+吕<0，解得1<a<号， -1一十2十6+2)-3≥25-3，当且仅当a-5-1.b-5-2 取到等号.故选C 综上所连a的取佳范国为(，是] 4.C由题意得r=1-兰，且x>0,y>0,所以y>2,所以2+xy t (2)若a>0,由(1)得原不等式可化为ax2十（一5a-1)x十5<0，· 2=2y+y(y-2)2y xy y-2 y 2++g品 即(ax-1)(x-5)<0, y(y-2)y-2 当0<a<号时，不等式解条为(5：） 品=2+9-2)+品3≥2+ 2+(y-2)+4 2 2 当a=行时，不等式解集为⑦， 2-2·高-2+2区，含且仅室y-2-吕2即y-2+顶 当号<<4时，不等式解条为（日，） 时取等号，所以2+y-号的最小值为2十2E.故选C 5.C因为点A(2,1)在直线l:mx十y=1上，可得2m十n=1.则 若a<0,原不等式等价于ax2十bx十c≥2的解集为{x2≤x≤3} 且ax2+bx+c≤3的解集为R, 品+号-（品+号）2m+)-2+品++2-4+品+0 所以方程ax2+bx十c一2=0的根为2和3， 则2+3=-么，2X3=一2，所以b=-5a,c=2+60, 周mm>0,则片+0≥2√朵×兴 卫×4m=2n=4,当且仅当 71 2n+1=1, 1 不等式a.x2+bx+c=a.x2-5ax十6a+2≤3恒成立，故25a2 如“时等号成立，即当m一子一时，六十取得 4a(6a-1)0,解得-4a0, (m n 不等式ar2+(6-1)x+5=(ax-1)(x-5)<0,解得x< 小值为8.故进C a 6A月为16+>2√-2X2,当且仅当16-即-0 /162 或x>5, 上所，当-a<0时，解条为{<日或x>5} 时等号成立，2×2+5=2×2十是—≥2=4，当且仅当2必 当0<a<行时，不等式解集为{5<r<}： 2=是，即x=0时等号成立，所以f(x)的最小值为4，故选A 当a=号时，不等式的解集为☑； 7.D由题可知，两条直线斜率一定存在，又因为两直线垂直，所以 当行a<1时，不等式的解集为{日5} 斜率案积为-1，即一云×（己=-1，即2a十6=a6基理可 19.解(1)由题意得a.x2十3x十b=0(a<0,a,b∈R)有两个不等实： 根为a,3, 得号+日-1：以+0-a+20(+）+1+1+ 3 b ≥5+2√6Xa (2a=2b 所以△=9-4ab>0,a十3= a /20×亚=9，当且仅当云-日，即a-=3时，等号 由a-l=1得(a-3)2=1,即(a十3)2-43- 9_4地=1， （2a+b=ab a2 a 成立.因此a十2b的最小值为9.故选D. 所以9-4ab=a2,即a2+4ab=9(a<0,a,b∈R). 8D已知>06>0，则号>0，>0，周为+号-台+ b (2)由(1)得a2+4ab=9,因为a,b均为负整数， 所以a=一1 a8十w-成8十2-+2-g -台+后+2≥2侣·名+2-4当且收声会-台时学号成 显然后两种情况不合题意，庭合去，从而有8十一0 主，由{8+。2，解得a=-号.故台+号的最小值为圆为 1a=b>0 解得a=-1,b=一2. 32-合+号恒成立，所以3-K4,即(31-40+1)≤0，解 故所求函数解析式为f(x)=一x2+4x-2. (3)由题意得x1十x2= - 4 得-1≤≤专即[-1，吉]故选D 9.BC对于A选项，因为x>0,则x2十4>4，令1=x2+4>4,则 又由a<1<K2,得e8--是<3，g-<2，故-<1 2+1十中计片，调为对均画数)=+片在.十四让 所以(x1十1)(x3十1)=+十+1=么-4+1<2+4 a a 单调超培则0=+>4计片-只所以户+4计 1一无 4 +1=7. 最小值，A错；对于B选项，因为工、y都是正数且2x十y=4,由基 专题4 基本不等式 本不等式可将4-2江十≥2四，整现可得≤分，当且仅当 1.B因为0<x<2,所以x>0,1- >0,所%(1-) {位z十=4时，即多行，学号成之即y的大位为2B 不司0到 对时于C连项，因为工布是正数，则 1一≤ 工+义 =竖，当且仅当专=1一兰，即工=1时等号成立，因此 =2,当且仅当号-之(x>0y>0)时，即当x=y √(-受)取到最大位盟故选B 时，等子成立，即的最大值为分，C对时于D德项，查0< 2.A当0<x<3时，y=x1-3x)=3·3x(1-3x)≤3 <1时，lh<0,此时.lnr+品<0，D储，放选BC 3x+1-3x 2 -立当且仅当3x-1-3,即-日时等号成 10.BCDA.y=x2-2.x+3=(x-1)2+2≥2，不符合；B.y=2+ 2-x≥2√2x·22x=4,当且仅当2x=22-x→x=1时等号成 立，特合：Cy十cosin roi2z剥sm2x长 1 1 立，所以0<x<号时y-x1-3)的最大值为2故遮A —177 (0,1],故y≥4，符合；D.y=2log2a+log4=2(1og2a+1og2)且 a>1,故log2a+logn2≥2√1og2a·loga2=2,所以y≥4，当且仅 2(日+合)+8)=d2+4w+g+g≥2++ b 当a=2时等号成立，符合.故选BCD. 11,BD由基本不等式可得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥ √会·答-a2+4+4ab-(a+20=9.当且仅当号-g a 6t 2ca,.2(a2+2+c2)≥2(ab+bc+ca)=2 .a2十b2+c2≥1， : 即=a时，等号成立，所以（日+合）口+的）≥9， 当且仅当8-6--士9时，等号成立 117.解(1)过，点P作PQ垂直于CD, D 垂直为Q, ∴.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3， 在等腰Rt△PMN中PQ=QM ∴.a+b十c-√3，或a+b十c≥√3. QN=30,DE=240-x,QE=150 若a-b-e-9,则+号+-3<2瓜周此，A.C -I 错误，B,D正确.故选BD. 由Q/DF得器-器即品 12.-8周为2-=-(3)3-1=[x-3)+ )50-,故DF-30(240-卫 240-x 150-x 二]-1，x>3,由蒸来不等式得（红-3）十点≥ 折以SAm=号DEX DF-15X20≥2 150-x x∈(0,120]. 2一3)·=2，当且仅当x一3=之3即=4时，等号 所以S-SARCD-S△DEm=4320-15240-x2 150-x (2)令1=150-x∈[30,150)， 成2业2=-【水一+]1213 则S=43200- 15(90+t)2 =43200-15(+8100+180）.≤ t 故答案为：一3， 13.8因为不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集为R,则△=b-4c≤： 48200-15×(180+2VFx80] t =37800, 0p≥午，周为6>1，所以61>0+2+≥1 当且仅当t=90,即x=60时，取“-” b-1 b-1 答：当CE=60m时，住宅区ABCEF的面积最大，最大值 6-1)2+46-D+4=(b-1)+ ”+4≥ 为37800m2 b-1 !18.解(1)由函数f(x)=一2x十1的图象经过第一象限的点A(m,n), 2√-DX高+-8，当且仅当61-青即6-3时，取到 则2m十n=1,且m>0,>0, 等号.1+2牛4些的最小值为8.故答案为-8. 则片+兰-(m十)（+）=4++ b-1 14.4令a=1十+，b=1-1,-1<1<1,则p=3a2+b+38+e ≥4+2√·-8 1+b 1+a 3(1+02+1-1+3(1-02+1+1_32+51+4+372-51+4 (2m+n=1, 2-t 2+1 2-t 2+t 当里权当2十如时，即m一子m一合时，等号成立，所以 (m n 3(2-02-17(2-0+26+3(2+)2-17(2+)+26 2-t 2+t 上十2的最小值为8， m n 26 26 3(2-0729十32+0=17市-2+注+0 因为2-4+3≤+二恒成立，即2-4十3≤8恒成立，即 9所以P-2+2票·票-22+是>-2+ k2一4k一50恒成立， √/4-2 由k2-4k-5=(k-5)(k十1)≤0，解得-1≤k≤5， 52-4,因此当且仅当1=0，即u-b-1时，P-3a2++32+a 即实数k的取值范围[一1,5]. 1+b 1+a (2)由题意，过，点A(m,n)分别作x轴和y 取得最小值为4.故答案为：4. 轴的垂线，垂足分别为B,C, 15.解(1)，x>0,y>0,xy十x十y=8, 可得B(n,0),C(0,n),则四边形(OCAB为 矩形， “x十y≥2√-2V8-x-y,当且仅当{r=y (xy=x+y=8' 所以面积为S=n1, 即x=y=2时等号成立， 因为2m十n=1,且n>0,1>0, .(x十y)2+4(x+y)-32≥0， 可得1=2m十n≥2√2mm,当且仅当 ∴.x十y≥4或x十y≤一8（舍去）， (2n=n 1 则x十y的最小值为4. {2m+11即n=子，n=合时，等号 成立， 2+}+号-告+受-8，+号-+号-1≥ 所以2V2mm<1,解得0<m≤号，所以回边形OCAB面积的最 -1=3, 当且权当层一号 即x=y=2时等号成立，“上十1十 大值为合 x (xy+x+y=8 :19.解(1)由y≥-2恒成立得：nx2+(1一n)x+n≥0对一切实数 3. x恒成立. 当n=0时，不等式为x≥0，不合题意： 即a2-2a≤3，解得-1a≤3. a∈[-1,3]. 时公-n-m0年得m≥ 16.解1已知>0.b>0,且u+20=3.则+易=子a+20) 综上所选：实量m的取值范国为[合十） (信+品)(++2+器)≥(+层·品) (2):m≥ 3,m+1≥4 2,·22十2n十5一十1)2士4=m+1 m+1 m+1 兰，当且仅当兰器时，取到最小值号所以9≥x+21,即 a 26 +≥2m+…w石=4.（当且仅当m+1=,即 4 -9<x+2≤9，解得-号≤<号所以z的取值范国 n=1时取等号)， :m十2m+5的最小值为4， [警] m+1 (3)由mx2+(1-m)x+m-2<m-1得： m.x2+(1-m)x-1=(nx+1)(x-1)<0; 178 因点合10行：中不号支新赛有二：6D香与使了和)=一吉十上单调延坊所以 ②当m≠0时，令x2十(1-n)x-1=0,解得：x1=1,x2= 1 n f)-2*-与在1，+∞)上单调递增，又5>5>区，故f⑤ 1D-<0，即m>0时，不等式解集为（品，小 >f(√3)>f(√2)，即c>b>a.故选D. r1-a<0 4一8一1 a>I 2》当0品<1-1时，不等式套为(-，品).A由超意 a2 n 2 ,解得 3 (1,+∞)： 1-≤1-(4-a)+2a-1 a≥ -1 3》当-1=1，即m=-1时，不等式可化为2-2x十1=(x-1)2 >0, 即受≤4≤2，所以素数a的取位范得为[受小]式选 x≠1，∴.不等式解集为（一∞，1）U(1,十o): :8.A因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)=f(一x).已知 )当-1>1，即-1<m<0时，不等式解集为(-，1)U f(x)十f(4-x)=6,将x换为-x,可得f(-x)十f(4十x)=6,又 因为f(x)=f(一x),所以f(x)十f(4十x)=6.由f(x)+f(4一x) (品+） =6和f(x)+f(4十x)=6可得f(4-x)=f(4十x).令t=4-x, 则x=4一t,那么f(t)=f(8一t),又因为f(x)=f(一x),所以 综上所述：当n=0时，不等式解集为(-o∞，1)； f(8一t)=f(1一8)，即f(x)=f(x一8)，所以函数f(x)的周期是8， 所以f(10)=f(8+2)=f(2).在f(x)+f(4-x)=6中，令x=2, 当m>0时，不等式解条为(-立： 可得f(2)十f(4一2)=6，即2f(2)=6,解得f(2)=3,所以f(10) 、n =3.故选A. 当m<-1时，不等式解集为一∞，一 1 U(1,+o∞)： 9.ABD 对于A,由fx)=2-(）可得f1)=2-fID→f1) 当m=-1时，不等式解集为(-∞，1)U(1,十∞)； 当-1m<0时，不等式解集为(-0，U(品+) =1:对于B,由f(x)=2-f )可得f)+f()-2，即 f(2)十f(2)=2,所以f(2x)关于点(0,1)中心对称，故B正 专题5函数 确：对于C,由f(x)= (程)可得f2)=2,所以f2关 1.A由题知f(x)=f(-x),f(x十2)=f(x)对一切x∈R成立，于 于-号轴对称，成C错送：对于D,由f)-f(）中合x-】 是（是）=f()=()=5-2×兴-合故遵A 2.B方法一：设2+log2t=3+log3y-5+1og3之=m,所以令m= 可释f)-2)-1,设g)-f2)-f(是)-1-0.0 2,则x=1y=31-了=53=此时x>y>2,A有可能： 又g(x)=f(2)=2- f()=2-g(-x,® 由①②可得 令m=5,则x=8,y=9,之=1，此时y>x>x,C有可能：令m=8, g(1-x)=2-g(-x),所以g(1十x)=2-g(x),即g(x+2)=2 则x=26=64,y=3=243,x=53=125,此时y>x>x,D有可能；1 g(x+1)=2-[2-g(x)门-g(x),所以f(2x)=f(2x+2),所以 故选B. f(2)=f(22)=f(23)=…所以f(2)+f(22)+f(23)+…+ 方法二：设2+lo%x=3+1og3y=5 f(210)=10,故D正确.故选ABD. 十log5之=m,所以，x=2m-2,y= 3m-3,之=5m-5 10.ABD f()=2x1+1=2x-1+1=2-2-1+1' 根据指数函数的单调性，易知各方程 J=2 只有唯一的根，作出函数y=2-2, 函数y-2号=21+1，则>1， y=33,y=5-5的图象，以上方程 1=5- 又内层画数1一21十1在R上单调递增，外层函数y-2-2在 的根分别是函数y=22,y=3r3, /=3 y=5x5的图象与直线x=m的交点 (1,十∞)上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数f(x)单调递增，故A 纵坐标，如图所示： x=m 正确； 易知，随着n的变化可能出现：x>y>之，y>x>之，y>>x,之>y 2 2 >x.故选B. 因为21+1>1，所以0<2+1<2，则0<22+<2， 3.C因为函数f(x)=ar十2cosx≤0， {ar2x-2a-4,x>0在R上单调造减，所 所以函数f(x)的值域为(0,2)，故B正确： 22-x 2 以当x≤0时，f'(x)=a一2sinx≤0恒成立，则a≤(2sinx)min= f2-)=2+2+22x+1f2-x+f(x)=2.所 一2：当x>0时，由f(x)=ax2一x-2a一4在(0，十oo)上递减，若 以函数f(x)关于，点(1,1)对称，故C错误，D正确.故选ABD. 1a0 a=0,f(x)=-上-4，符合题意，若a≠0，则})<0a<0,故a≤ :11.ACD根据题意，f(x十y)十f(x-y)=2f(x)·f(y),取x=y= 2a 0,得2f(0)=2f(0),因为f(0)≠0，所以f(0)=1,A正确：取 0:又分段，点处也要满足递减的性质，所以一2a一4≤2，解得a≥i x-合y-号，得f1)+f0)=2P(号)，所以f() 一3.综上所述，a∈[-3，一2].故选C. 4.B因为fx)=ex-1+1,所以f(2-x)=e2-x-1+1=e1-! 十1=f(x),即函数f(x)关于x=1对称，当x≥1时，f(x)=e心1 士，B错误：取x=0,y=x,得f代x)十f(-x)=2(x),即f(x) 2 十1单调递增，所以函数f(x)在（一∞，1）上单调递减，在(1，十∞)！ =f(一x),所以f(x)为偶函数，C正确：取y=1,得f(x十1)= 单调递增，因为f(x一1)<f(一x),所以|x一1-1|<|一x-1|, -f(x-1),所以f(x十2)=-f(x),f(x十4)=-f(x十2)= f(x),即4为函数f(x)的一个周期，D正确.故进ACD. 解得>，即x的取维范国关（侵十）故选B :12.-2 由题设，f(n号）-f(-1n2)=-f0n2,又1n2>0,所 5.B由log2(2-2.x)≥0且x2-2.x>0,得2-2x≥1，即x≤1-√2或 x≥1十2，所以函数f(x)=√1g(x2-2x)的定义域为(-o∞，1-厄] ）=-e血2=-2.故答案为：-2. U[1十E,十∞)，因为y=2-2x=（x-1)2-1在(-01-E]13.（-0,-2)U(0,2）构造函数g(x)=f四，其中x≠0，则 上单调递减，在[1十√瓦，十∞)上单调递增，又函数y-log2x为增 函数，所以函数y=l10g2(x2-2x)在(-∞，1一√2上单调递减，在： g(一x)=f二2-f卫=g(x,所以，函数g(x)为偶函数，对任 [1十√2，十∞)上单调递增，又函数y=√x为增函数，所以函数· 意的对任意x1、∈（0，十∞)，且x1≠x2,都有 f(.x)=√/1og2(.x2-2.x)的单调递增区间为[1十√2，十∞).故选B.: f()-f》<0,不坊设<n,则x1f(x)<f(x1), x2-x1 179