专题3 不等式及其解法【创新大课堂系列】高三数学全国名校名卷168优化重组卷

专题3不等式及其解法 (时间：120分钟分值：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1(2025·高考会国Ⅱ卷)不等式二>2的解集是 A.{x|-2≤x≤1} B.{xx≤-2》 C.{x|-2≤x<1} D.l2>1) 实 2.(2025·河北保定专题练习)若0<1<1，则关于x的不等式(x-)(x-）<0的解集为 ( A{女2<4 B{>或< C.{<或x> D{<} 3.(2025·湖北随州一模)若0<m<1,则不等式(x-m)(一)<0的解集为 A.n B女>或r< C.{>m或<动} 4.(2025·山东济南一模)若3x∈R,m.x2十2(m-3)x十4≤0，则实数m的取值范围为 A.(1,9) B.(-∞，0) C.(-∞，1)U(9,+∞) D.(-∞，1]U[9,+∞) 5.(2025·云南昭通一模)已知不等式ax2十bx十c<0的解集为{xx<-1或x>3},则下列结论正确 如 的是 A.a>0 B.c<0 C.a+b+c>0 D.c2-a+a<0的解集为{-1<x<} 6.(2025·山东日照二模)若a,b,c为实数，且a<b,c>0,则下列不等关系一定成立的是 A.a+c<b+c C.ac-bc D.b-a>c 7.(2025·徐州质检)关于x的不等式(a.x-b)(x十3)<0的解集为(-∞，一3)U(1,十∞)，则关于x 的不等式a.x+b>0的解集为 A.(-∞，-1) B.(-1,+∞) C.(-o∞，1) D.(1,+o∞) 8.(2025·山东潍坊期中)某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为 a1,a2且a1≠a2.若他每次购买数量一定，其平均价格为b1;若他每次购买的费用一定，其平均价格 为b2,则 () A.b<b2 B.61>62 C.b=b2 D.b1,b2不能比较大小 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.(2025·河北保定一模)已知关于x的不等式a.x2十bx十c>0的解集为{x-3<x<2},则() A.a<0 B.a+b+c>0 C.不等式cr2+x+a<0的解集为{x<-专或x>} D.不等式cr2+x十a<0的解集为{-3<<} 10.(2025·山东日照模拟)若实数a,b,c满足a>b(b≠0)且a>0,c>0,则下列不等式正确的是 A长8 B.-ac<-bc C.eb atc a 11.(2025·深圳模拟)若a>b>0,d<c<0,则下列不等式成立的是 () A.ac>bc B.a-d>b-c c D.a2>62 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.(2025·山东泰安-模)不等式2+3 x+1 一x<-1的解集为 13.(2025·江西上饶一模)已知不等式ax2十bx十2>0的解集为{xx(-2或x》-1},则不等式2x2十 bx十a<0的解集为 14.(2025·云南玉溪一模)已知函数(x)=x2十mx-1,若对于任意m≤x≤m十1，都有f(x)>0成 立，则实数m的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)(2025·安徽阜阳一模)若二次函数f(x)满足f(0)=1,f(x十1)-f(x)=2x-1. (1)求f(x)的解析式； (2)若对于任意实数x,不等式f(x)≥ax恒成立，求实数a的取值范围. -10 16.(15分)(2025·陕西咸阳武功县普集高级中学统考二模)已知f(x)=2|x十1|一|x-m,m>1. (1)若m=2,求不等式f(x)>2的解集； (2)g(x)=f(x)一|x一m,若g(x)图象与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的取值 范围. 17.(15分)(2025·浙江温州期中)某公司有两款产品A,B,根据市场调研，最近30天，A产品每日收 人y(单位：万元)与时间x(单位：天)的函数为：y=√960一x2一2x(1≤x≤30)；B产品每日收人y (单位：万元)与时间x(单位：天)的函数为：y=√a.x2十2x十64(1≤x≤30)(a∈R).数据显示，在第 30天产品A,B的当日收入之和为32万元. (1)从第几天开始B产品的日收入超过A产品？ (2)在第几天产品A,B的总日收入最多？最多是多少万元？ -11- 18.(17分)(2025·江苏南京模拟)已知不等式2≤ax2十bx十c≤3的解集为{x2≤x≤3). (1)若a>0,且不等式ax2+(b-3)x-c≤0有且仅有10个整数解，求a的取值范围； (2)若a为非零实数，解关于x的不等式：a.x2十(b-1)x十5<0. 19.(17分)(2025·上海徐汇模拟)已知函数y=a.x2+4x十b(a<0,a,b∈R),设关于x的方程y=0的 两实根为x1,x2,方程y=x的两实根为a,B. (1)若a-3=1,求a与b的关系式； (2)若a,b均为负整数，且|a一3=1，求f(x)的解析式； (3)若a<1<B<2,求证：(x1十1)(x2十1)<7. -12-13.（-,十）若今题Vx∈[-3,2]2-2x-2a≥0”为假命 (2)因为A∩B≠必， 娇以{2千23发 3或{-5<2m+2≤-3 题，则命题“3x∈[-3,2]，x2-2x-2a<0”为真命题，由x2-2x 3m-2<2n+2 12n+2>-3 -2a<0曰a>号2-x,即3x∈[-3,2]a>合2-x成立，令 或{3n-2<-5 (3n-2<2n+2 y立2-x∈[-32]，由二次画数的性质知，数y=之x -x的对称轴为x=1,则画数y=号2-x,在[-3，)上单调递 3 所以-子<m<- 减，在1,2]上单调论增故-1时y-号×12-1-合 1 (3)若B={x|2n+1≤x≤3m-2},A={x|-5≤x≤-3}， 对Hx∈A,都有x∈B,则A二B, 因此可得。>-合放答案为（立+四） 所以2十)5，该不等式无解， 13n-2≥-3 14.[-o0,1]x2-3x+2>0台(x-2)(x-1)>0台x1或x>2,: 故命题p:“Hx∈A,都有x∈B”为真命题不可能. 则p命题对应集合为(-，1)U(2,十∞).x-a<0户x<a,则g!19.解(1)由题意得-x2十x十12≥0，解得-3≤x≤4， 命题对应集合为（一∞，a).因q的一个必要不充分条件是p,则q! 所以A={x|-3x4},当k=2时，B={x|3<x<5}, 命题对应集合为p命题对应集合的真子集，则a≤1.故答案为：！ 所以AUB={x|-3≤x<5}. 「-oo,1]. (2)若选①： 15.解(1)解不等式x2-8x-20≤0，得-2≤x10, 由“x∈B”是“x∈A”的充分条件，可得B二A, 即A={.x-2x10}, 由(1)知A={x-3≤x4}, 当n=2时，B=《x|1≤x≤3} 当B=⑦，即2k一1≥k十3，k≥4时，显然有B二A,满足题意； 所以A∩B={x1≤x3} k<4 (2)因为x∈A是x∈B的必要条件， 当B≠☑，即k<4时，由B二A可得，{2k一1≥一3，解得一1≤k 所以B二A, (k+34 济以{2停学一 1. 综上所述，一1≤k≤1或k≥4. 所以m的取值范国是[一1,9]. 即k的取值范围是[-1,1]U[4,十]. 16.解(1)由题意，方程m=4x2一x在(-1,1)上有解，令f(x)= 若选②： 由B∩A=B,可得，B二A.由(1)知A={x-3x≤4}， 42-x-（2x-) -是(-1<<1)，只需m在f(x)值 -6 当B=☑，即2k-1≥k十3，k≥4时，显然有B二A,满足题意； 当B≠必，即k<4时， 域内 1k<4 当x= g时，fx)m=-百，当x=-1时，f(x)=5, 由B二A可得，{2k-1≥-3，解得-1≤k≤1. (k+3≤4 所以fc)值城为[-言5 综上所述，一1k≤1或k≥4」 即实数k的取值范周是[一1,1]U[4,十o]. m的取值集合为M-{m-6≤m<5} 专题3不等式及其解法 (2)由题意，MCN,显然N不为空集」 1.C2即为0即{20-10，故-2≤<， x-1≠0 2-a< 16 故解集为[一2,1).故选C ①当a>2-a,即a>1时，N=(2-a,a), a≥5 ,a≥5； a>1 2.D当0<K1时，>1>>0，解不等式(x-)(x-）<0, ②当a=2一a,即a=1时，N=☑，不合题意舍去： ③当a<2-a,即a<1时，N=(a,2-a). 得1<<子，所以不等式(x-)(:-)<0的解集为 2-a≥5 16a≤-3. {Kr<}故选D. a<1 3.D当0<n<1时，n< 品，所以不等式的解集为 综上可得a≥5或a-3. 即a的取值范围是[一，一3]U[5,+∞]. {m<品}故选D 17.解(1)若A∩B=☑， 4.D 当A=☑时，有2m-1≥3n+2,即m≤一3； 当-0时，不等式为-3x+20,即≥号，2然-3x十2≤0 当A≠g时，有2m-1≤3m+2或2m-1<3m+2, 在x∈R有解，符合题意；m≠0，命题“3x∈R,mx2+2(m一3)x十 (2m-1≥5 13n+2-3 4≤0”为真命题，当m<0时，对于抛物线y=nx2+2(m-3)x十4， 5 解得m≥3或-3<m≤-3， 开口向下，显然mx2十2(m一3)x十4≤0在x∈R有解，符合题意： 当n>0时，对于抛物线y=nx2+2(n一3)x十4，开口向上，只需 综上所述，若A∩B=必，则实数m的取值范国 △=[2(n-3)]2-4×4×n≥0，解得m1或n≥9，又m>0,所以 为{mm≤-吾或m≥3} 0<n≤1或n≥9，综上，实数n的取值范国是n1或n≥9，即 m∈(-o∞，1]U[9,十∞).故选D. 所以当A门B≠时，实数m的取值范国为{m 3<m<3} 5 5.C由题意知，-1和3是方程ax2十bx十c=0的两根，且a<0,则 (2)因为p是g的充分不必要条件， 有-1+3=- 名，(-1)X3=合，放得b=-2ac=-3.对于 所以A是B的真子集， AB,由a0和b=一2a,c=一3a,可推得b>0,c>0,故AB均错 当A=功时，显然成立，即≤一3： 误：对于C,因1t{x|x<-1或x>3},故a+b十c>0,故C正确； 1n>-3 (n>-3 当A≠0时，有{2n一1≥一3或{2m-1>一3，解得一1≤n≤1， 对于D,由以上分析，不等式cx2-bx十a<0可化为a(3x十1)(x (3n+2<5(3m+25 1D>0,因a<0,故可解得-3<t<1,即cx2-bx十a<0的解集 综上所述，实数m的取值范围为{mn≤-3或一1≤m≤1}. 18.解(1)若AUB=B,则A二B,又A={xx2+8x十15≤0}={x 为{-号<<}故D错误.故进C 5≤x≤-3，B=(x3m-2<x<2m+21,所以{8m-2≤-5. 6.A对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上 12m+2>-3' (或减去)同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b→a十( 解得-号<m<-1. <b十c,A进项正确；对于B进项，由不等式的基本性质知，不等式 的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若=一2， 175 山一1，则日>，B选项错误：时于C选须，由不等式的基本性 即2m2+3m>0,郎得m<-是：(3)当m<-受<m十1时，即 质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不： 变，c>0,0<a<b→ac<bc,C进项错误；对于D进项，因为a<b→b! 号<m<0时m<0<m+1,由于f0》=-1<0:故f(-受) 一a>0,c>0,所以无法判断b一a与c大小，D选项错误.故进A. <0,不满足题意.综上，对于任意m≤x≤m十1，都有f(x)>0成 7.A由题意可得a0,且1，-3是方程(ax-b)(x十3)=0的 两根， 立时，则m< 是或m> 2 2 ∴.x=1为方程ax一b=0的根，.a=b, 则不等式ax十b>0可化为x十1<0， 故答案为：(-0，- 即x一1， )u(9+) ∴.不等式ax十b>0的解集为（一∞，一1）.故选A :15.解(1)因为f(x)是二次函数，所以设f(x)=a.x2+bx十c,a≠0 8.B假设每次购买这种物品的数量为， 因为f(0)=1,所以c=1,此时f(.x)=a.x2+b.x十1，因为f(x十1) 则平均价格b,-m1m-十；假设每次购买这种物品所 -f(x)=2x-1, 2m 2 所以a(x+1)2+b(.x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x-1, 花的钱为，则第一次购得该物品的数量为，第二次购得该物品！ 化简得2ax十a十b=2.x-1,对照系数得2a=2,a十b=一1， 1 解得a=1,b=一2，则f(x)=x2一2x十1，即f(x)的解析式为 的数量为二，则平均价格b2=2m一 2 2a1a2 f(x)-x2-2x+1. 上+工a+a (2)由(1)知f(x)=x2-2x十1，而对于任意实数x, al a2 a a2 由f(x)≥ax恒成立，得到x2-2x十1≥ax,即x2-(a十2)x十1 制--垫院 0， 只需△=(a十2)2一4≤0，解得-4≤a0. -（a1-a2)2 2@1十42)>0，所以4>bg.故选B. 综上，实数a的取值范国是[一4,0]. :16.解(1)当n=2时，f(x)=2|x十1|一|x-2|= 9.ABD ax2十bx十c>0的解集为{x|一3x<2},故a<0,且： （-x-4,x-1 (-3+2= b ,即{化06G对于Aa<0故A正：对于B. 31≤2，由fx)>2,可得-1 (x十4，x>2 -x-42或 {-1≤x≤2或x>2 3x>2 (x+4>2 a十b+c-a+a十(-6a)=-4a>0,故B正确；对于CD,不等式 cx2+bx+a<0,即-6a.x2+a.x+a0,又a<0,故-6.x2+x+1>1 解得K-6或>号 0:也即(3x+10(-2x+1>0,解得-号<<号，即不等式每柔 所以不等式f(x)>2的解集为{x -6成号} 为{一合<r<号}故C错误，D正肉，黄选ABD (2)由题意可得gx)=2(|x十1-|x-m)= (2(m+1),x>m 10B0时于A,若a=1,-1则日-1> =一1，所以A错误：： 2(2x+1-n),-1≤xn, -2(m+1),x-1 对于B,因为a>b,所以一a<一b,因为c>0,所以一ac<-bc,所！ 可得函数的大致图象如图所示， 以B正确：对于C,因为a>b,a>0,c>0,所以c(a-b)>0,a(a十c)>} 0,所以+-b_a6+c)=a+C_ca-D>0,所以+c> -3y=2(m+1) a十ca ala+c) a(atc) a+c x=-1 ---3=2(2x+1-m) 之，所以C正确：对于D,若a=1,6=-1,则+公 +p-1+1-2, 所以D错误.故选BC B 11.BD,a>b>0,c<0, x=m 3y=-2(m+1) ∴，acbc,故A错误； d<c<0, R调象与两坐标轴文于点A(号，0）B0.2-2m.0m> ∴.-d>-c>0,又a>b>0, a一d>b一c,故B正确； 济以sa-·g-2al-0,m> 2 :dK<0dk>0,<行故C错送： 依题意m,1D≤2，所以(m-12≤4，(m>1). 由a>b>0可得a2>b2,故D正确.故选BD. 2 所以1<≤3.故正数m的取值范国是(1,3]。 12.(-∞，-1) <-1化黄为+千1<7.据：00数0V00+2X0十丽-0. 不等式2+3 x+1 0,即得<0，所以<-1，所以解集为（一四，-1.故答案 .a=1,令√2+2x+64≥√960-x2-2x,则x2+2.x-448≥ 0,解得x≥√449-1≈20.2或x≤-√449-1（负根舍去）， 为：(-∞，-1) 所以从第21天起B的每日收入会超过A产品. } 13.{x-1K- 由题意，-2，-1为方程a2十bx十2=01 (2)A,B的总日收入w=√960-x2-2x+√x2+2x十64， 一2-1=-6 记t=x2十2x,则3≤t≤960，故w=√960一1+√+64，则w2= 的根，且a>0,则 -2X(-1)一2解得a-1,6-3,不等式2 a 1024+2√(960-t)(t+64), .·y=(t+64)(960一t)的对称轴为1=448， 当x=20时，t=440,当x=21时，t=483, +bx十a<0,即为2x2+3x+1<0,即(2x+1)(x十1)<0，解得 ∴.当x=20时，w取到最大值为wmax=6√十10√5. -1<x<- 豆，则不等式2x2+bx十a<0的解集为18.解（1)因为a>0,不等式2≤ar2+b虹十c≤3的解集为(x2≤x ≤3}， {-1长-}故答案为：{-1K<} 故a.x2十bx+c≤3的解集为{x|2x≤3}且a.x2+bx+c≥2的解 集为R, 1(四，受)U(号十）周为f)-r2+m-1对称轴 (2+3=-6 所以a.x2十bx十c=3的根为x=2,x=3,故{ 方程为x=一受，所以1)当-受≤m,即m≥0时f(x)=2+ mx-1在[n,n十1]上单调递增，故只需满足f(m)>0,即2m2 得b=-5a,c=6a+3, 1>0,解得m>竖：(2)当m+1<-受即m≤-号时= 又a.x2+bx十c=ax2-5ax十6a+3≥2的解集为R,即ax2-5ax 十6a十1≥0恒成立， x2+mx-1在[m,m十1]上单调递减，故只需满足f(m+1)>0,! 所以25a2-4a(6a十1)≤0，解得0<a≤4， —176 不等支u2+-3》0等价于a6a十3二十3》8.C由ab+2a+b-3-0将a-9即a+b-+6-产2+b 0,即x+1Dar一a-3)≤0，所以-1<r≤6+县，由题意得8 5 <6+吕<0，解得1<a<号， -1一十2十6+2)-3≥25-3，当且仅当a-5-1.b-5-2 取到等号.故选C 综上所连a的取佳范国为(，是] 4.C由题意得r=1-兰，且x>0,y>0,所以y>2,所以2+xy t (2)若a>0,由(1)得原不等式可化为ax2十（一5a-1)x十5<0，· 2=2y+y(y-2)2y xy y-2 y 2++g品 即(ax-1)(x-5)<0, y(y-2)y-2 当0<a<号时，不等式解条为(5：） 品=2+9-2)+品3≥2+ 2+(y-2)+4 2 2 当a=行时，不等式解集为⑦， 2-2·高-2+2区，含且仅室y-2-吕2即y-2+顶 当号<<4时，不等式解条为（日，） 时取等号，所以2+y-号的最小值为2十2E.故选C 5.C因为点A(2,1)在直线l:mx十y=1上，可得2m十n=1.则 若a<0,原不等式等价于ax2十bx十c≥2的解集为{x2≤x≤3} 且ax2+bx+c≤3的解集为R, 品+号-（品+号）2m+)-2+品++2-4+品+0 所以方程ax2+bx十c一2=0的根为2和3， 则2+3=-么，2X3=一2，所以b=-5a,c=2+60, 周mm>0,则片+0≥2√朵×兴 卫×4m=2n=4,当且仅当 71 2n+1=1, 1 不等式a.x2+bx+c=a.x2-5ax十6a+2≤3恒成立，故25a2 如“时等号成立，即当m一子一时，六十取得 4a(6a-1)0,解得-4a0, (m n 不等式ar2+(6-1)x+5=(ax-1)(x-5)<0,解得x< 小值为8.故进C a 6A月为16+>2√-2X2,当且仅当16-即-0 /162 或x>5, 上所，当-a<0时，解条为{<日或x>5} 时等号成立，2×2+5=2×2十是—≥2=4，当且仅当2必 当0<a<行时，不等式解集为{5<r<}： 2=是，即x=0时等号成立，所以f(x)的最小值为4，故选A 当a=号时，不等式的解集为☑； 7.D由题可知，两条直线斜率一定存在，又因为两直线垂直，所以 当行a<1时，不等式的解集为{日5} 斜率案积为-1，即一云×（己=-1，即2a十6=a6基理可 19.解(1)由题意得a.x2十3x十b=0(a<0,a,b∈R)有两个不等实： 根为a,3, 得号+日-1：以+0-a+20(+）+1+1+ 3 b ≥5+2√6Xa (2a=2b 所以△=9-4ab>0,a十3= a /20×亚=9，当且仅当云-日，即a-=3时，等号 由a-l=1得(a-3)2=1,即(a十3)2-43- 9_4地=1， （2a+b=ab a2 a 成立.因此a十2b的最小值为9.故选D. 所以9-4ab=a2,即a2+4ab=9(a<0,a,b∈R). 8D已知>06>0，则号>0，>0，周为+号-台+ b (2)由(1)得a2+4ab=9,因为a,b均为负整数， 所以a=一1 a8十w-成8十2-+2-g -台+后+2≥2侣·名+2-4当且收声会-台时学号成 显然后两种情况不合题意，庭合去，从而有8十一0 主，由{8+。2，解得a=-号.故台+号的最小值为圆为 1a=b>0 解得a=-1,b=一2. 32-合+号恒成立，所以3-K4,即(31-40+1)≤0，解 故所求函数解析式为f(x)=一x2+4x-2. (3)由题意得x1十x2= - 4 得-1≤≤专即[-1，吉]故选D 9.BC对于A选项，因为x>0,则x2十4>4，令1=x2+4>4,则 又由a<1<K2,得e8--是<3，g-<2，故-<1 2+1十中计片，调为对均画数)=+片在.十四让 所以(x1十1)(x3十1)=+十+1=么-4+1<2+4 a a 单调超培则0=+>4计片-只所以户+4计 1一无 4 +1=7. 最小值，A错；对于B选项，因为工、y都是正数且2x十y=4,由基 专题4 基本不等式 本不等式可将4-2江十≥2四，整现可得≤分，当且仅当 1.B因为0<x<2,所以x>0,1- >0,所%(1-) {位z十=4时，即多行，学号成之即y的大位为2B 不司0到 对时于C连项，因为工布是正数，则 1一≤ 工+义 =竖，当且仅当专=1一兰，即工=1时等号成立，因此 =2,当且仅当号-之(x>0y>0)时，即当x=y √(-受)取到最大位盟故选B 时，等子成立，即的最大值为分，C对时于D德项，查0< 2.A当0<x<3时，y=x1-3x)=3·3x(1-3x)≤3 <1时，lh<0,此时.lnr+品<0，D储，放选BC 3x+1-3x 2 -立当且仅当3x-1-3,即-日时等号成 10.BCDA.y=x2-2.x+3=(x-1)2+2≥2，不符合；B.y=2+ 2-x≥2√2x·22x=4,当且仅当2x=22-x→x=1时等号成 立，特合：Cy十cosin roi2z剥sm2x长 1 1 立，所以0<x<号时y-x1-3)的最大值为2故遮A —177