专题1 集合【创新大课堂系列】高三数学全国名校名卷168优化重组卷

第一部分专题专练 专题1集合 (时间：120分钟分值：150分) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.(2025·新高考I卷)设全集U={xx是小于9的正整数}，集合A={1,3,5},则CuA中元素个数为 A.0 B.3 C.5 D.8 2.(2025·高考全国Ⅱ卷)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B= A.{0,1,2} B.{1,2,8》 C.{2,8} D.{0,1}》 3.(2025·山东德州一模)若集合A={xx>3},B={x|x-1∈A},则AUB= A.xx>3) B.{x|x>-2} C.{xx>1或x<-2 D.{x|x>3或x<-2} 4(2025·高三全国专题练习)设集合M={女=夸·180+45，A∈2N={z=登·180+45， k∈Z,那么 A.M=N B.MCN C.NCM D.M∩N=☑ 5.(2025·山东潍坊一模)已知集合U={1,2,3,4,5},A={2,3),B={xx=2k,k∈Z,则(CA)∩B= A.{4》 B.{2,4) C.{1,2} D.{1,3,5} 6.(2025·高三全国专题练习)已知集合A={1,2,4,7},B={1,2,a2},若AUB=A,则实数a的所有 如 可能取值的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2025·高三全国专题练习)已知A={x|-2≤x5},B={x|m十1≤x≤2m-1},B二A,则m的取 值范围是 ( A.m≤2 B.m<2 C.m≤3 D.2<m≤3 8.(2025·河北廊坊一模)正交数组的概念在现代广泛应用.设集合A={(x1,x2,x3,x4)x:∈{一1， 1),i=1,2,3,4}.任取(a1,a2,a3,a4),(b1,b2,b3,b4)∈A,若a1b1十a2b2+a3b3+a4b4=0,则称(a1, a2,a3,a4)与(b1,b2,b3,b4)正交.若B二A,且B中任意两个元素均正交，则B中元素个数最多是 A.2 B.3 C.4 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.(2025·湖北宜昌一模)已知集合A={x|x2=4},B={x|a.x=1},若B二A,则a的可能取值为 A士 B.±1 C.0 D.±2 10.(2025·广州质检)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金 从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严 格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第 一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MUN= Q,M∩N=,M中每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割.试判断下列 选项中，可能成立的是 () A.M={xx<0},N={x|x>0}是一个戴德金分割 B.M没有最大元素，N有一个最小元素 C.M有一个最大元素，N有一个最小元素 D.M没有最大元素，N也没有最小元素 11.(2025·湖北武汉二模)已知n∈N*,记|A|为集合A中元素的个数，min(A)为集合A中的最小元 素.若非空数集A二{1,2，…，n},且满足|A≤min(A),则称集合A为“n阶完美集”.记am为全部n 阶完美集的个数，下列说法中正确的是 ( ) A.a4=7 B.将n阶完美集A的元素全部加1，得到的新集合，是n+1阶完美集 C.若A为(n十2)阶完美集，A>1且n十2∈A,满足条件的集合A的个数为am+1-n D.若A为(n十2)阶完美集，A>1且n十2年A,满足条件的集合A的个数为a+1-n-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.(2025·高三会国专题练习u,b←R,集合1，a+b,a-{0,名，}则a262+b晒- 13.(2025·上海一模)已知A={1,x,y},B={1,x2,2y},若A=B,则x-y= 14.(2025·贵州遵义一模)已知集合A={1,3,4,5},U={1,2,3,…,19},集合U的子集B={a1,a2, a3,a4,a5},若对于任意的1≤i<j≤5，i,j∈Z,都有|a;-a;|￠A,则符合条件的集合B的个数为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)(2025·浙江杭州一模)若关于x的不等式a.x2+3.x-1>0的解集是A {2<< (1)求a的值； (2)设集合B={x|2m<x<2一m},若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围. -2 16.15分)(2025·重庆一提)已知集合A=z2-5-6≥0：集合B={女2.2≤0} (1)若A∩B=⑦，求实数a的取值范围： (2)已知5∈B,4氏B,求实数a的取值范围. 17.(15分)已知集合A={xx2+(a十1)x+a2-4=0},B={xx2-3.x十2=0}. (1)若A∩B={1},求实数a的值； (2)若AUB=B,求实数a的取值范围. —3— 18.(17分)(2025·天津汉沽一中模拟)不等式5一2>1的解集是A,关于x的不等式x2-4mx一5m2 x十2 ≤0的解集是B. (1)若m=1,求A∩B; (2)若AUB=B,求实数m的取值范围； 1x2-x-6≤0 (3)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a>0,命题q:实数x满足 若p是q的 x2+2x-8>0 必要不充分条件，求实数a的取值范围. 19.(17分)(2025·浙江绍兴一模)已知集合A={1,2,3,4,5,6,7},B={x∈N|x2-11x十24≤0}，记 A∩B=S,AUB=T. (1)求集合S,T; (2)对于只含有四个正整数x1x2x3,x4的集合P,若x1x2一x3x4|的最小值是，则称集合P是 “k阶积差四元集” (1)若k=1,求“1阶积差四元集”C,且满足C二S; (ⅱ)若=2，是否存在“2阶积差四元集”M,N,使得MUN=T?若存在，求出所有集合M,N;若 不存在，说明理由， 4参芳答案与详解 第一部分 专题专练 13.十 :司{仁8不行合案合 因为A=B,当}v=2v解得：r一1 1 专题1集合 元木份玉异，当气仁标 2或{二0（结合集合元素 11 1.C因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CA={2,4,6,7,8},CA y4 中的元素个数为5.故选C 1 的互异性舍去)，所以x一y= 2.DB={xx3=x}={0,-1,1},故A∩B={0,1}.故选D. 故答案为： 3.D因为A={xx>3},B={x|x-1|∈A},所以B=(x|x-1|:14,30不妨设a1<a2<a3<a4<a5,再设b=ak+1-a,k=1,2,3, >3},解得：B={x|x<-2或x>4},所以AUB={xx>3或x 4,则B中元素由a1和有序数组(b1,b2,b3,b4)决定.b1十b2十b3 -2}.故选D. +b4=a5-a1≤19-1=18，bk年{1,3,4,5}，且(b,b2,b3,b4)中 4B由于M中x=令·180+45°=k:90°+45=(2k+1)·45°， 任意相邻几个之和也不属于{1,3,4,5}，否则会出现a;一a:∈A. 若b1,b2,b3,b4中没有2或只有1个2，则一定有b1十b2+b+b4 k 2k+1是奇数：而N中，x=·180°+45°=k·45+45°=(k+1) >18,不符合题意.若b1b2,b3,b4中有3个2或4个2，不满足 (b1,b2,b3,b4)中任意相邻几个之和也不属于{1,3,4,5}，所以 ·45°，k十1是整数，因此必有MCN.故选B. bb2,bg,b4中有2个2.考虑(b1,b2,b,b4)的排列情况和a1的 5.A由U={1,2,3,4,5},A=(2,3}可得，CuA={1,4,5},又因为 取值情况：若b,b2,bg,b由2,2,6,6组成，则B的个数为3X3 B={xx=2k,k∈Z},所以(CA)∩B={4}.故选A =9;若b1,b2bg,b4由2,2,6,7组成，则B的个数为6×2=12； 6.D若AUB=A,则B二A,又A={1,2,4,7},B={1,2,a2},所以 若b1,b2,bg,b4由2,2,6,8组成，则B的个数为6×1=6；若b1, a2=4或a2=7,解得a=士2或a=士√7，经检验均符合题意，所以1 bb3,b4由2,2,7,7组成，则B的个数为3×1=3.故符合条件 实数a的所有可能取值有4个.故选D. 的集合B的个数为9十12+6十3=30.故答案为：30. 7.C因为B二A,所以当m十1>2m-1,即m<2时，B=0,满足15.解(1)因为关于x的不等式a.x2+3x-1>0的解集 B二A,即m<2;当m十1=2m-1,即m=2时，B={3},满足B二 A,即m=2:当n十1<2n-1,即n>2时，由B二A,得n十1≥ 是{2<<1}： 一2,2-15，即2<n3;综上，n3.故进C 8.C不妨设(1,1,1,1)∈B,由a1b十a2b2+a3b3十a4b4=0,则B 故ax2+3x-1=0的两根为7,1，且a<0, 中最多包含(1,1，-1，-1)，(1，-1,1，-1)，(1，-1，-1,1)， (-1,1,1,-1),(-1,1,-1,1),(-1,-1,1,1)6个元素，又(1,1， 故X1=- →a=-2: -1,-1),(-1,-1,1,1),(1,-1,-1,1),(-1,1,1,-1),(1, -1,1,-1),(-1,1,-1,1)三组元素不正交，所以(1,1，-1，： (2)由题毫集合ACB,由于A-{宁<<1}则2m<分<1 -1),(1,-1,1,-1),(1,-1,-1,1),(-1,1,1,-1),(-1,1, 一1,1)，(-1，-1,1,1)6个元素中最多只有3个元素在集合B 中，如B={(1,1,1,1),(1,1,-1,-1),(1,-1,1,-1),(1,-1, <2-m,则m≤子，所以实数m的取值范国为（一四，] 一1,1)}，若B二A,且B中任意两个元素均正交，则B中元素个数16.解(1)因为A={xx2-5x-6≥0}=(xx≤-1或x≥6}， 最多是4.故选C 9.ACA={xx2=4}={一2,2}，因为B二A,当B={-2}时，此时 B-{。2<0}-ua<a+2 a=一子；当B=(2)时，此时a=号：当B=时，此时a=0,故 且AnB-,则{8十26解得-154. 选AC. 因此，实数a的取值范围是{a一1a4}. 10.BD对于A,因为M={x|x<0},N={x|x>0},MUN={x (2)因为5∈B,则a5a十2，解得3≤a<5,因为4年B,则a≥4 x≠0}≠Q,故A错误： 或a十24，可得a2或a≥4. 对于B,设M={x∈Qx<0},N={x∈Qx≥0}，满足戴德金分 综上所述，实数a的取值范国是{a4a<5}. 对于C若M有二个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时：17.解1)因为A∩B=(1,所以1∈A,所以将x=1代入2+ 割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确； 满足MUV=Q,M∩N=☑，故C错误： (a十1)x十a2一4=0，整理得a2十a-2=0,解得：a=1或-2，经 检验，a=1或一2都满足条件. 对于D,设M={x∈Qx√2}，N={x∈Qx≥W2},满足戴德金 (2)因为B={1,2},由AUB=B可得：A二B 分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确.故 选BD. 当A=财时，△=(a十1)2-4(a2-4)<0, 11.ABD当非空数集A是{1,2,3,4}子集中含1个元素的子集时，： 解得u<1-2,√或>1+2区 |A=1.根据“n阶完美集”的定义，(1,2,3,4}中大于等于1的数 3 有1、2、3、4共4个，所以此时A可以是{1}、{2}、{3}、《4}.当非空 当A=1}时，1是方程x2十(a十1)x十a2-4=0的两个相等 数集A是《1,2,3,4}子集中含2个元素的子集时，|A|=2. 的根， {1,2,3,4}中大于等于2的数有2、3、4共3个，所以此时A可以 是{2,3}、{2,4}，{3,4}.当非空数集A是1,2,3,4}子集中含3个 所以十1=-(a+ 11×1=a2-4 ,所以∫4=一3 1a=±5 元素的子集时，A=3.{1,2,3,4}中大于等于3的数有3、4共2 所以a无解； 个，不满足“阶完美集”的定义，所以{1,2,3,4}中3个元素的子 集不满足.同理，{1,2,3,4}中含4个元素的子集也不满足，综上， 当A={2}时，2是方程x2+(a+1)x十a2一4=0的两个相等的 4阶完美集有{1}、{2}、{3}、{4}、《2,3}、{2,4}、3,4}，所以a4 根，所以2十2=-(a+1) 7,故A正确；若将“阶完美集”A中元素全部加1，A中元素个数 {2×2-u2-4,所以0-5 {a-±2E所以a无解； 不变，但min(A)加1变大，均不违背“t十1阶完美集”的定义，所 当A=1,2}时，1,2是方程x2+(a+1)x十a2-4=0的两个不 以得到的渐集合是一个“n十1阶完美集”，故B正确；若n=4,满 足条件的集合A的个数为7，而a5=5十6十1=12，C错误：对于 相等的根，所以1十2一(a+1) 满足“1十2阶完美集”的所有A,1十2不属于所有A,可视为退化 {1X2=a2-4,所以4 {a=±6所以a无解； 为“1十1阶完美集”的情况，总个数为am+1,又因为A|>1,所以 综上a<1-2压或a>1+2国 满足条件的集合A要排除掉“十1阶完美集”中只含有1个元素 3 3 救诗务稀除”个单无表集合，周地豪维的亮合A的个18.解D由号>1的解集是A,解得：A-女一2<I当 数均为an+1一(n十1)=aa+1一n-1,D正确.故选ABD. 12.2由题意知4≠0，所以a十b=0,则6=-1，又b=1,所以a= m=1时，x2-4mx-5m2≤0可化为x2-4x-5≤0，解得B= {x|-1≤x5}.所以A∩B=《x|-1≤x<1}. -1,b=1.故a2024+b2025=(-1)2024+1225=1+1=2.故答案 (2)因为AUB=B,所以A二B, 为：2. 由(1)得：A={x-2<x1}. 173 当m>0时，由x2-4m.x-5n2≤0可解得B={x|-m≤：3.B因为c·d=(a十b)·(a-b)=|a2-b2=0,所以a=|b, x≤5m.要使ACB,只需5m≥1 但向量a,b的方向不确定，所以c·d=0推不出a=b:又根据a= 1-n-21 : b,得到c·d=a2一|b|2=0,所以a=b可以推出c·d=0,则 解得：m≥2： “c·d=0”是“a=b”的必要不充分条件.故进B. 当m=0时，由x2一4mx-5n2≤0可解得B={0}. 不符合A二B,舍去： :4.A若函数fr)=工十+e为奇函数，则f(一十f()=0,即 当m<0时，由x2一4mx一5n2≤0可解得B={x5m≤ x+ 2-x十a x≤-m,要使ACB,只需{一n≥1 十x+ 2-x-a 2x-a =0,整理得 (5n≤-2' 解得：m≤一1. 1+a·2x-a·2x-a2+1-a·2x+a·2x-a2 =0,即 所以，m一1或n≥2. (2x-a)(22-a) 所以实数n的取值范围为：（一∞，一1]U[2,十∞）. 2-2a2 =0,解得a=士1，当a=1时，函数f(x)的定义 (3)设关于x的不等式x2一4ax十3a2<0(其中a>0)的解集为1 (2-x-a)(2r-a) M,则M=(a,3a), 域为{x|r≠0}：当a=1时，函数f(x)的定义域为R,都符合题意， 不等式组-6≤0的解集为N,则N=(2,31.要使p是g 所以“a=一1”是“函数f(x)=x十1十 2为奇函数”的充分不必 2x-d 1x2+2.x-8>0 要条件，故选A 的必豪不充分条件，只秀N医M,脚{解得：1<a<2 5.B复数之=a2一a2十i为纯虚数，等价于a2一a一2=0，即a= 则实数a的取值范国(1,2]. 一1或a=2,由选项知，只有a=一1是复数之为纯虚数的充分不必 19.解(1)因为x2-11x+24≤0，解得3x8,又x∈N,所以B= 要条件，其他选项均不符合，故选B. {3,4,5,6,7,8}, 16.C由 x 1 所以S={3,4,5,6,7},T=1,2,3,4,5,6,7,8}. 2x x >x,得x2-2x>|x|,当x≥0时，x2-2x>x, (2)(1)因为C二{3,4,5,6,7}， 若C={3,4,5,6},则x1c2一x3x4min=2,不满足题意； 解得x>3:当<0时，2-2x>-x,解得x<0.所以5.1> 2x x 若C-{3,4,5,7},则x1x2-x3x4|mim=1,满足题意： |x的解集为A=(一∞，0)U(3,十o∞).由x2一4x>0,解得x>4 若C={3,4,6,7},则x1x2-x3x4mim=3,不满足题意； 或x<0,即不等式x2一4x>0的解集为B=(一o%,0)U(4,十∞).因 若C-3,5,6,7,则x1x2-x3x4mim=9,不满足题意； 若C-{4,5,6,7,则x1x2-x3x4mim=2,不满足题意； 集合B是集合A的真子集，故：.1>z”是“2一4红>0 2x x 综上，C={3,4,5,7} 的必要不充分条件，故选C (i)假设存在“2阶积差四元集”M,V,因为x1x2一x3x4mm= !7.D由题意知p:Hx∈R,a≠ex,令f(x) 2,其必要条件是存在工1工2-x3x4|=2,所以x12和x3x4一定 是同奇数或同偶数，则 =elrl= fer,r≥0 ,则f(x)≥f(0)=1, ①若M={1,3,5,7},N={2,4,6,8},则M,N均不合题意： lex,I< ②若M={2,4,m,},N={6,8,p,q},其中n,1,p,g是奇数， 作出函数f(x)=ex|的图象如图所示， 则4n-2n=士2，即2n=1士1. 若a≠ex,则直线y=a与函数f(x)=e 当n=1时，得n=1(舍)，或n=0(舍)： 的图象没有公共点，数形结合可知a<1,所 当n=3时，得m=1,或m=2(舍)，此时M={1,2,3,4}, 以a的取值范国为（一∞，1）.故选D. N={5,6,7,8}, 18.D命题p:3x∈[-2,2]，sinx≥ex的否 且MN均符合x1x2一x3x4mm=2: 定为一p:Hx∈[-2,2]，sinx<e.故选D. 当n=5时，得n=3,或m=2(舍)，此时M={2,3,4,5}, 9.ABC对于A,当x=一1时，x∈A成立，x∈B不成立，所以x∈A N={1,6,7,8},N不合题意 不是x∈B的充分条件，故A错误；对于B,因为A={一1,0,1}， 当n=7时，得m=3,或m=4(舍)，此时M={2,3,4,7}, B={1,2,3},所以A∩B={1},因为x∈A∩B,所以x=1,所以x N={1,5,6,8},N不合题意； ∈B,所以x∈A∩B是x∈B的充分条件，故B错误；对于C,因为 ③若M={2,6,m,n},N-{4,8,p,9},其中m,n,p,q是奇数，则 A={-1,0,1},B={1,2,3},所以AUB={-1,0,1,2,3},当x=2 6m一21=士2，即3n=n士1，此时m,无解； 时，x∈AUB成立，但x∈A不成立，所以x∈A不是x∈AUB的 ④若M=(2,8,m,n},N={4,6,p,g},其中m,,p,q是奇数，则 必要条件，故C错误；对于D,因为A∩B={1},x∈A∩B,所以 8n一2=士2，即4n=士1 x=1,所以x∈{1}，所以x∈A门B是x∈{1}的充分条件，由x∈{1}， 当n-1时，得m=之（含），或m=0(舍)； 可得x=1,所以x∈A门B,所以x∈A∩B是x∈(1}的必要条件 所以x∈A∩B是x∈{1}的充要条件，故D正确.故进ABC. 当n=3时，得m-1,或m=号（合)，此时M=1,2,3,8, 3 VN-{4,5,6,7},且M,N均符合x1x2-x3x4mim=2: !10.AC因为Hx∈R,2kx2+kx-8<0为真命题，所以k=0或 ∫k0 当n=5时，得n=1,或m=之（舍），此时M=1,2,5,8}, k2+3k<09-3<k≤0，所以(-3,0)是命题“Yr∈R,2kr2+ N={3,4,6,7},N不合题意： 当n=7时，得m=是（合），或m=2(舍： kx一8<0”为真命题充分不必要条件，A对：所以（一3,0]是命 3 所以此时M={1,2,3,4},N={5,6,7,8}或M={1,2,3,8}, 题“Hx∈R,2kx2+kx- <0”为真命题充要条件，B错：所以 8 N={4,5,6,7}, 同理M=(5,6,7,8},N={1,2,3,4}或M={4,5,6,7},N=1,2,3, （-3,-是合题YxER2k2+kr-合<0”为真命题充分不 8},也满足题意. 必要条件，C对：所以(-3，十∞)是命题“VxER,2kx2+虹一8 3 综上，存在M={1,2,3,4},N={5,6,7,8},或M={5,6,7,8}, N={1,2,3,4}: 0”为真命题必要不充分条件，D错，故选AC. M=1,2,3,8},N={4,5,6,7,或M=(4,5,6,7},N=1,2,3,11.AD对于A,当a⊥3时，若n∥a,则m∥3或mC3或m3相交， 8}. 若m∥3，则m∥a或nCa或n,a相交，故m∥a不是n∥3的充 专题2常用逻辑用语 分条件，也不是必要条件，故A错误；对于B,根据面面平行的性 质B正确；对于C,当m二a时，若m⊥3，由面面垂直的判定定理 1.A由x=0→sin2x=sin0=0,则“x=0”是“sin2x=0”的充分条 件：又当x=π时，sin2x=sin2π=0，可知sin2x=0户x=0,故！ 得a⊥3，若a⊥3，则m∥3或mC3或m,B相交，故C正确；对于 D,当nCa时，若n∥a,则n,n平行或异面，若n∥1，则n∥a或 “x=0”不是“sin2x=0”的必要条件，综上可知，“x=0”是“sin2x n二a,所以n∥a不是n∥n的充分条件也不是必要条件，故D错 =0”的充分不必要条件.故选A 误.故选AD. 2.B向量a,b的夹角为锐角，则a·b=3m-3>0,且向量a,b不共 线，当向量a,b共线时，m=-9,则m>1,若m>1,则m≥-9成；12.（-∞，-8]U[0,+∞)由题意得：“3x∈R,x2-ax-2a≤0” 立，反之不成立，故“m≥一9”是“向量a,b的夹角为锐角”的必要1 为真命题，所以△=a2十8a≥0，解得a≤一8或a≥0.∴.实数a的取 不充分条件，故选B. 值范围为(-∞，一8]U儿0，十∞).故答案为：（一∞，一8U[0,十∞）. 174