第二十三章 一次函数 单元综合能力提升卷-2025-2026学年人教版数学八年级下学期

第二十三章 一次函数 单元综合能力提升卷（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 2．若函数是一次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 4．一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．下列有关一次函数的说法：①函数图象与y轴的交点为；②当时，y的值随着x增大而增大；③当时，函数图象经过第二、三、四象限．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．已知点，在直线上，则a与b的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知一次函数的图像与的图像交点为，则关于x、y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 10．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 12．已知直线经过点，且与直线平行，则的值为_____________． 13．汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为______． 14．若一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为_______． 15．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 16．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，过点的直线平分的面积且与轴交于点，则直线对应的函数解析式为__________． 3、 解答题（每小题9分，共72分） 17．在平面直角坐标系中，将函数的图象经过平移得到函数的图象，已知平移后的图象经过点． (1)求函数的表达式； (2)当时，的值总是小于的值，求的取值范围． 18．已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B． (1)求一次函数的解析式； (2)点C是y轴上一点，若，求点C的坐标． 19．已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 20．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较与的大小． 21．李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了，便骑车追赶李华，图中分别表示了两人离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为______，爸爸骑车的速度为______； (2)求出的函数表达式并解释该表达式中一次项系数的实际含义． (3)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 22．对于老师给定的一次函数，有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息： ①函数图象与轴交于点； ②函数图象与轴交于点，且； ③的值随着值的增大而减小． 根据以上信息求： (1)填空：点的坐标是____； (2)求出这个函数的表达式，并画出这个函数的图象； (3)点在直线上，当时，求出点的坐标． 23．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 24．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 单元综合能力提升卷（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列关系中，是正比例函数关系的是（    ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义（两种相关联的量，相对应的两个数的比值为定值且不为，即形如，是不为的常数），逐一分析各选项的变量关系． 【详解】解：、已看页数与剩下页数的和为定值，比值不是定值，不符合正比例函数关系，不符合题意； 、数量单价总价（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、一边长该边上的高三角形面积（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、路程时间速度（定值且不为），符合正比例函数的形式，是正比例函数关系，符合题意． 2．若函数是一次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一次函数的定义求参数，解题关键是掌握一次函数的定义． 根据一次函数的定义，一次项系数不能为零求解． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：A． 3．下列各点中，在正比例函数的图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断点是否在正比例函数图像上，可将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的纵坐标，若与点的纵坐标相等，则该点在函数图像上，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、 ∵当时，，∴此点不在的图像上． B、∵当时，，∴此点不在的图像上． C、∵当时，，∴此点在的图像上． D、∵当时，，∴此点不在的图像上． 4．一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据给出函数图象确定参数的取值，然后根据参数取值范围确定所求函数图象即可． 【详解】解：根据函数图象得， ∵随的增大而减小， ∴； ∴在一次函数的图象中， 由，得随的增大而减小； 由，得直线与轴交于正半轴； 故选：A． 5．下列有关一次函数的说法：①函数图象与y轴的交点为；②当时，y的值随着x增大而增大；③当时，函数图象经过第二、三、四象限．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的系数与图象、增减性的关系逐一判断说法的正误． 【详解】解：①∵当时，， ∴函数图象与轴的交点为，故①正确． ②∵一次函数中，当时，的值随值的增大而增大 ∴当时，此函数随增大而增大，故②正确． ③∵当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限，故③错误． 综上，正确的是①②． 故选A． 6．已知点，在直线上，则a与b的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据，随的增大而减小，得出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 7．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 【详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 8．如图，一次函数的图象经过点，若，则x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数和一元一次不等式的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象进行求不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 故选：A． 9．已知一次函数的图像与的图像交点为，则关于x、y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，明确两个一次函数图像的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解是解题关键，先求出交点的纵坐标，再结合方程组与函数的转化关系得出方程组的解． 【详解】解：∵点在的图像上． ∴将代入得，． ∴两个一次函数图像的交点为． 又∵方程组可变形为． ∴该方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标． ∴方程组的解为． 10．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线上有一点的坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 12．已知直线经过点，且与直线平行，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用两直线平行则相等来确定的值，再将已知点代入直线解析式，通过解方程求出的值． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， 所求直线的解析式为． 又∵直线经过点， ∴，解得． 13．汽车开始行驶时，油箱中有油45升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了函数关系式，本题关键是明确油箱内余油量，原有的油量，x小时消耗的油量，三者之间的数量关系，根据数量关系可列出函数关系式． 根据油箱内余油量=原有的油量−x小时消耗的油量，可列出函数关系式． 【详解】解：依题意得，油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为：． 故答案为：． 14．若一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及正比例函数图象上点的坐标特征．根据点A的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， 将代入，得：， 解得， ∴正比例函数解析式为， 将代入中，得， 解得：． 故答案为：2． 15．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∵点P为一次函数与的图象交点， ∴方程组的解是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解． 16．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，过点的直线平分的面积且与轴交于点，则直线对应的函数解析式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形中线性质，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点、的坐标，根据中线性质得到点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则，令，则， ，． 过点的直线平分的面积， ， ． ， 设直线对应的函数解析式为． 把代入，得，解得， 直线对应的函数解析式为． 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．在平面直角坐标系中，将函数的图象经过平移得到函数的图象，已知平移后的图象经过点． (1)求函数的表达式； (2)当时，的值总是小于的值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据平移得出，再将点，代入求出即可； （2）先求出直线与直线的交点坐标为，然后结合图形得出答案即可． 【详解】（1）解：将函数的图象经过平移得到函数的图象， ，即． 平移后的图象经过点， ， 解得：， 函数的表达式为． （2）解：由题意联立方程，得， 解得：， 直线与直线的交点坐标为． 如图，当时，的值总是小于的值， 的取值范围为． 18．已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B． (1)求一次函数的解析式； (2)点C是y轴上一点，若，求点C的坐标． 【答案】(1)； (2)点C的坐标是． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得，设点C的坐标为，根据，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 解得，， ∴一次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得， ∴， 设点C的坐标为， ∵，由勾股定理可得， 解得，， ∴点C的坐标是． 19．已知函数． (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）当函数是一次函数时，x的系数，次数求解即可； （2）根据正比例函数的定义，在满足（1）中一次函数关于的条件的同时，还需满足常数项为0，即，求解的值代入即可． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴，， 解得，， ∴； （2）∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 20．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较与的大小． 【答案】(1) (2)点A在图象上 (3)时， 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，正比例函数的性质与系数的关系，熟练掌握正比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）将点A的横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A是否在这个函数图象上； （3）根据正比例函数的增减性，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴这个函数解析式为． （2）解：当时，， ∴点在这个函数图象上． （3）解：∵， ∴y随着x增大而减小， ∵图象上的两点，，且， ∴． 21．李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了，便骑车追赶李华，图中分别表示了两人离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为______，爸爸骑车的速度为______； (2)求出的函数表达式并解释该表达式中一次项系数的实际含义． (3)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 【答案】(1)60米/分，180米/分． (2)，爸爸骑车的速度为180米/分． (3)能追上 【分析】本题主要考查了函数图像、求函数解析式、一次函数的实际应用等知识点，从函数图像上获取所需信息是解题的关键． （1）根据速度等于路程除以时间并结合图像可得点A、点B表示的实际意义列式计算即可； （2）先利用待定系数法求得函数表达式，由（1）爸爸的骑车速度即可确定一次项系数的实际意义； （3）先求得的函数表达式，与函数表达式联立求得相遇时间，再求出李华的行走距离，然后与1200比较即可解答． 【详解】（1）解：李华步行的速度为米/分， 爸爸骑车的速度为米/分， 故答案为：60米/分，180米/分． （2）解：由题意设的表达式为， ∵当时，；当时，． ∴，解得：， ∴的表达式为． 由（1）可得：爸爸骑车的速度为180米/分． 所以该表达式中一次项系数的实际含义为爸爸骑车的速度为180米/分． （3）解：由题意设的表达式为， ∵当时，， ，解得：， ∴的表达式为， 当时，解得：， 把代入，得：， ， ∴能追上． 22．对于老师给定的一次函数，有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息： ①函数图象与轴交于点； ②函数图象与轴交于点，且； ③的值随着值的增大而减小． 根据以上信息求： (1)填空：点的坐标是____； (2)求出这个函数的表达式，并画出这个函数的图象； (3)点在直线上，当时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)，图象见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握待定系数法以及一次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的性质确定B点坐标即可； （2）把A、B代入解析式求解即可； （3）设点的坐标为，根据，列出方程即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为或， ∵的值随着值的增大而减小， ∴点B的坐标为； 故答案为： （2）解：把点和代入得： ，解得：， ∴这个函数的表达式为， 画出这个函数的图象，如图： （3）解：设点的坐标为，则， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 23．学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． (1)列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出一条函数的性质：______． (4)根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） (4)①2；②；③ 【分析】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． （1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论； ③根据函数图象分情况作答即可； 【详解】（1）解：将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 故答案为：，； （2）解：根据表格描点、连线，如图所示： （3）解：观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． 故答案为：函数的图象关于轴对称； （4）解：①观察图象可知， 的图象与有两个交点， 故方程有2个解； 故答案为：2； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 故答案为：； ③当时，， 即函数必过， 当时，如图，当时，与右半段平行，此时与有1个交点， 即当时，与有2个交点，此时； 当时，同理可得当时，与有2个交点，此时； 当时，，由①可知此时与有2个交点； 综上所述，当时，关于的方程有两个不相等的实数解． 24．如图，在长方形中，．点为线段的中点．动点按照的路径，以每秒的速度运动；动点按照从点到点的路径，以每秒的速度运动；两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，___________；当时，___________． (2)用含代数式表示线段． (3)以为边向上作正方形，正方形与长方形重叠部分的面积为，用含代数式表示． (4)在（3）问的条件下，当重叠部分的面积等于3时，___________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，列一次函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握长方形的面积公式． （1）根据点P、Q的运动速度，求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可； （3）分三种情况：当时，当时，当，根据的长度求出重叠部分的面积即可； （4）根据重叠部分的面积等于3列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点为线段的中点， ∴， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴； （2）解：当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 综上分析可知：． （3）解：当时，， ∵此时， ∴， ∴重叠部分面积：； 当时，， 令， 解得：， 当时，重叠部分面积为：； 当时，重叠部分面积为：； 综上分析可知：． （4）解：当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） 综上分析可知：当重叠部分的面积等于3时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $