专题6.2无理数和实数（高效培优讲义，6知识&8题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版七年级下册

专题6.2无理数和实数 教学目标 1.理解无理数的定义，明确无理数“无限不循环小数”的本质特征，能准确区分无理数与有理数，纠正“带根号的数就是无理数”“无限小数就是无理数”等常见误区。 2.掌握实数的概念，知道实数是有理数和无理数的统称，能按照定义和正负性两种方式对实数进行分类，形成清晰的实数概念网络。 3.了解实数与数轴上的点一一对应的关系，知道在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内一致，能初步进行简单的实数大小比较。 4.会用计算器估算无理数的近似值，能结合具体实例感知无理数的存在，为后续二次根式学习奠定基础。 教学重难点 教学重点 1.无理数的概念形成过程和实数的概念建构，能准确阐述无理数与实数的定义。 2.实数的分类方法，能根据定义或正负性对具体实数进行正确分类。 3.实数与数轴上点的一一对应关系，以及实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义。 教学难点 1.理解无理数“无限不循环”的本质特征，能准确辨析无理数（如区分无限循环小数与无限不循环小数、带根号的有理数与无理数）。 2.理解实数与数轴上点的一一对应关系，尤其是如何在数轴上表示无理数，突破“数轴上只有有理数”的固有认知。 3.克服概念误区，避免将π的近似值（如3.14）当作π本身，或误将所有带根号的数归为无理数。 知识点01 无理数 1. 定义：无限不循环小数叫作无理数. 判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环. 2. 三种常见形式 (1)开方开不尽的数，如，，…； (2)含有π 的一类数，如π，π，π+1，…； (3)以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.101 001 000 1…(每相邻两个1 之间依次多一个0). 3. 无理数与有理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数； (2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为 1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、是有理数，故选项不符合题意； B、是无理数，故选项符合题意； C、，是有理数，故不符合题意； D、是有理数，故选项不符合题意． 故选：B． 知识点02 实数的概念及分类 1.定义：有理数和无理数统称为实数. 特别解读：(1)在实数范围内，如果一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立. (2) 引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后我们解决问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行. 2. 分类： (1)按定义分类： (2)按性质分类： 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③；④；⑤；⑥（两个2之间的0逐次增加）；⑦． (1)整数集合：{___________…}； (2)分数集合：{___________…}； (3)有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…} 【详解】（1）解：， 整数集合：{①⑦…}； （2）解：分数集合：{②…}； （3）解：有理数集合：{①②⑦…}； （4）解：无理数集合：{③④⑤⑥…} 知识点03 实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点的关系：实数和数轴上的点一一对应 . (1)“一一对应”包含两层含义： ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点A，点B 在数轴上表示的数为，， 则AB=|－|. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、由，不符合题意； 、∵， ∴，符合题意； 故选：． 知识点04 实数的相反数、倒数、绝对值 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样 . 1.相反数： 实数 a 的相反数为－ a，若 a， b 互为相反数，则 a+b=0； 2.倒数： 非零实数 a 的倒数为，若 a， b 互为倒数，则 ab=1； 3.绝对值： 【即学即练】的相反数是_____，的绝对值是_____ 【答案】 2 【详解】解：的相反数是，的绝对值是 故答案为：；． 知识点05 实数的运算 1. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算 .有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用 . 实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 . 2. 实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：(a+b)+c=a+ (b+c)； 乘法交换律：ab=ba； 乘法结合律： (ab)c=a (bc)； 乘法分配律： (a+b)c=ac+bc. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【详解】解： ． 知识点06 实数的大小比较 1. 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 . 2. 利用法则比较实数的大小 正数大于零，负数小于零，正数大于负数 .两个正数 , 绝对值大的数较大 . 两个负数，绝对值大的数反而小 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）比较大小__________．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 题型01 估计无理数的范围 【例1-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则整数（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【例1-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列无理数中，在与之间的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、∵， ∴， ∴， ∴在与之间，该选项符合题意； 、∵， ∴不在与之间，该选项不合题意； 、∵， ∴不在与之间，该选项不合题意； 、∵， ∴， ∴不在与之间，该选项不合题意； 故选：． 【例1-3】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图，在数轴上，点表示，点表示，则，之间表示整数的点共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【详解】解：，，即 ，之间表示整数的点有和两个， 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）若，则整数a的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）估计无理数的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 即的值在1和2之间． 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若，则估计的值所在的范围是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：A． 【变式1-4】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示）了，则这个被覆盖的数是________． 【答案】 【详解】解：由， ， 则这个被覆盖的数是． 题型02 无理数整数部分的有关计算 【例2-1】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知正数的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【详解】（1）解：∵ 正数的两个不等平方根和互为相反数， ∴ ， 解得 ． ∵ 的平方根是和，， ∴ 平方根为和， ∴ ． ∵ 的立方根为， ∴ ， 解得 ． 故， ． （2）解：∵ ， ∴ ，即， ∴ ． ， 的算术平方根为 ． 故的算术平方根是 ． 【例2-2】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．由于的整数部分是1，因此我们可用来表示的小数部分． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 根据以上内容，解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：， ， 的整数部分是，小数部分是，即． 同理可得的整数部分是，即， ； （3）解：∵ ，其中是整数，且， ∴是的整数部分，是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式2-1】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ ． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【详解】（1）解：， ， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：， ， 的整数部分是11，小数部分是， ， ， ， 原式； （3）解：， ， 的整数部分是2，小数部分是； ，其中是整数，且， ， ，，即，， ， ， 的相反数是． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【详解】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 题型03 求数轴上的点对应的实数 【例3-1】（24-25七年级下·安徽六安·期中）实数，，，在数轴上的位置如图所示，则能表示的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 根据数轴可知，， 则能表示的是， 故选：C． 【例3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)如图，在数轴上表示实数的点是______． 【详解】（1）一个正数x的两个平方根分别是和， ，， 解得， 所以，a的值为3，x的值为16； （2）， ， ， ，即， ∴在数轴上表示实数的点是， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）数轴上有A、B、C、D四个点，根据图中各点的位置，判断哪一点表示的数与最接近（   ）    A．点D B．点C C．点B D．点A 【答案】C 【详解】解：依题意，， ∴ ∵， 则， ∴， 观察数轴，得， ∴点B表示的数与最接近， 故选：C 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，将面积为6的正方形放在数轴上，以表示的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 【详解】解：∵将面积为6的正方形放在数轴上，以表示的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆， ∴正方形的边长为， ∴， 由数轴得出点A表示的数为， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图1，这是由5个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． (1)在图1中，拼成的大正方形的边的长为______． (2)现将大正方形水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示的点重合．若以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E直接写出点E表示的数是______． 【详解】（1）解：∵面积不变，且由5个边长均为1的小正方形组成的图形 ∴拼成的大正方形的面积为5， ∵ 则边的长为（负值已舍去）； 故答案为： ； （2）解：依题意，边的长=边的长， 当旋转方向为顺时针时，则， ∴点表示的数， 当旋转方向为逆时针时，则， ∴点表示的数， 综上：点表示的数或 故答案为：或． 题型04 利用数轴上的点对应的实数化简代数式 【例4】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示．化简：． 【答案】 【详解】解：由数轴可得：，则，，则 ． 【变式4】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）（1）通过计算下列各式的值探究问题_______；______；______．综上，对于任意有理数_______． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应化简：化简：． 【详解】解：（1）， ∴对于任意有理数； （2）由图可知：，， ∴， ∴． 题型05 实数的运算 【例5】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算 【详解】解：原式 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算：； 【详解】解： ； 【变式5-2】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）计算：． 【详解】解： ． 【变式5-3】（23-24七年级下·安徽六安·月考）计算下列各题： (1)， (2)． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型06 实数的大小比较 【例6-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）在实数，，，中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∵， ∴， ∴， ∴最小的数是． 故选：D． 【例6-2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【例6-3】（23-24七年级下·安徽阜阳·月考）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来． 1，，，， 【详解】解：，， 由各数在数轴上的位置可得：， 【变式6-1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）比较大小：________．（用“＞”，“＜”或“＝”填空） 【答案】 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 【详解】（1）解：由得到的理论是不等式的基本性质1． （不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）； 故答案为不等式的基本性质1． （2）解：， ， ． （3）解：， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． 题型07 程序设计与实数运算 【例7】（23-24七年级下·安徽蚌埠·月考）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．6 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则不满足 ∴把代入，得 故选：B 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当输入时，由的立方根是，是有理数； 当时，由的立方根是是无理数， 所以输出y的值是． 故选：C． 【变式7-2】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）如图，这是一个数值转换器，当输入x值为256时，输出y的值是______． 【答案】 【详解】解：由题意得：，，，2的算术平方根为；所以y的值为； 故答案为． 【变式7-3】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示为一个计算程序，若输入的值为4，则输出的结果应为_____________________． 【答案】 【详解】解：输出的结果为， 故答案为：． 题型08 新定义与规律题 【例8-1】有一列数按如下规律排列：则第2017个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，符号两项负一项正循环，而，则第2017项的符号为负；分子是从2开始的连续自然数的算术平方根，即，则第2017项的分子为；分母是以2为底数的乘方，且指数从1开始，且分子的被开方数比分母指数大1，即，则第2017项的分母为，综合得第2017个数是； 故选：C． 【例8-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵记右侧最近的整数点为， ∴点的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， 表示的数为， ， 则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， 则 同理可得；； 故选：D． 【例8-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 【变式8-1】有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是_________． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，每个分式的符号规律为一负一正 分子的规律： 分母的规律：2， 4， 8， 16， 32， 64，… 即为： 第10个数是： 故答案为： 【变式8-2】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如： ，． （1）仿照以上方法计算：_______________； （2）若 ，写出满足题意的x的整数值________________． 【答案】 4 4，5，6，7，8 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）∵， ∴，即， ∴满足题意的的整数值为4，5，6，7，8． 故答案为：4，5，6，7，8． 【变式8-3】【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式________． (2)请根据上面式子的规律填空：________． (3)计算：． 【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为， ∴第7个等式为：， 故答案为：； （2）解：根据材料中给出的规律可知：， 故答案为：； （3）解：根据（2）中的规律知， ． 【变式8-4】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； (2)用含的式子表示出第个等式：___________； (3)计算：． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：由上规律可得，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各数中：，0.618，，，，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：∵，， 无理数是，，共两个， 故选：A． 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）下列关于的说法中，不正确的是（   ） A．是一个无理数 B．7的平方根为 C．可以表示面积为7的正方形的边长 D．可以用数轴上的一个点表示 【答案】B 【详解】解：A、是一个无理数，故该选项说法正确，不符合题意； B、7的平方根为，故该选项说法不正确，符合题意； C、可以表示面积为7的正方形的边长，故该选项说法正确，不符合题意； D、可以用数轴上的一个点表示，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是一个数值转换程序，当输入的x值为64时，输出的y值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：当输入的值为64时，其立方根为4， 4的算术平方根为2，是有理数； 2的算术平方根为，它是无理数，输出的值； 故选：B． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）在实数，0，，中，最大的数是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， ∴最大的数是：． 故选：C． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为， 故选：B． 6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴， 结合选项可知，只有选项D正确． 故选：D． 7．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下列说法正确的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．的立方根是无理数 C．无限小数是无理数，有限小数是有理数 D．有理数和无理数之间可以比较大小 【答案】D 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，有限小数是有理数，故原说法错误，不符合题意； B、的立方根是，是有理数，故原说法错误，不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，有限小数是有理数，故原说法错误，不符合题意； D、有理数和无理数之间可以大小比较，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 8．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）下列说法不正确的是（   ） A．实数包括有理数和无理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．的算术平方根是4 D．平方根和立方根相等的数是0 【答案】C 【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，说法正确，故不符合题意； B、实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故不符合题意； C、，4的算术平方根是2，原说法错误，故符合题意； D、平方根和立方根相等的数是0，原说法正确，故不符合题意； 故选C． 9．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）一个正方形的面积是15，估计它的周长在（   ） A．12与13之间 B．13与14之间 C．14与15之间 D．15与16之间 【答案】D 【详解】解：∵一个正方形的面积是15， ∴它的边长是，周长为， ∵， ∴． ∴估计它的周长大小在15与16之间． 故选：D． 10．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）下面是小明完成的作业，他的得分是（  ） 判断题（每小题2分，共10分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②立方根等于本身的数是和．（×） ③平方根等于本身的数是和．（√） ④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．（×） ⑤如果一个数有平方根，那么这个数也一定有立方根．（√） A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 【答案】C 【详解】解：①实数分为有理数和无理数，小明判断正确． ②立方根等于本身的数有0、1、，原题遗漏，故原题错误，小明判断正确． ③平方根等于本身的数只有0（1的平方根为，不都等于1），原题错误，但小明判断正确，故判断错误． ④负数有立方根但无平方根，原题错误，小明判断正确． ⑤有平方根的数必为非负数，而非负数均有立方根，原题正确，小明判断正确． 综上，小明答对①、②、④、⑤，共4题，得分分， 故选：C． 二、填空题 11．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）计算：_____． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）的算术平方根是_______．若，则_______． 【答案】 【详解】解：∵， 则的算术平方根为； ∴的算术平方根是； ∵， ∴； 故答案为：；． 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）比较大小：_______________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小：______． 【答案】 【详解】解：，， ， ，， ， 故答案为： 15．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）比较大小：______（填“”或“”或“”）．比较大小：______．（填写“”，“”或“”） 【答案】 【详解】解：①，， ， ②，， ， 故答案为：①，②． 三、解答题 16．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）计算：． 【详解】解：原式． 17．（24-25七年级下·安徽六安·期末）计算：． 【详解】解： ． 18．（24-25七年级下·安徽六安·月考）将下列实数分别填到相应的横线内． ，，，，，，，，，（每两个3之间依次增加一个0） (1)整数：{　　　　　　　}； (2)分数：{　　　　　　　}； (3)无理数：{　　　　　　　} 【详解】（1）解：，，， 整数有：，，0，； （2）分数有：，，； （3）无理数有：，，． 19．（23-24七年级下·安徽六安·月考）将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②1.2121121112…（两个“2”之间依次多一个“1”），③0，④，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{ ⋯}； 整数集合：{ ⋯}； 负分数集合：{ ⋯}； 无理数集合：{ ⋯}． 【答案】①②，①③，④⑤⑥，②⑦ 【详解】解：，，， 正数集合：{①②⋯}； 整数集合：{①③⋯}； 负分数集合：{④⑤⑥⋯}； 无理数集合：{②⑦⋯}； 故答案为：①②，①③，④⑤⑥，②⑦． 20.设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组： 整数部分为1：，，；，，…，． 整数部分为2：，，…；，，…． 整数部分为3：，，…；，，…． (1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？ (2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？ 【详解】（1）解：由题意可得： 的最小值64，的最大值124； （2）的最小值25，的最大值35， 可能的值有11种． 【点睛】本题主要考查了根式的计算和性质应用，难度适中． 21.现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现． (1)第个数是______ ，第个数是______ ． (2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？ 【详解】（1）， 第个数在这六个数中排在第，即， ， 第个数是这六个数中排在第，即， 故答案为：，； （2），，，，这六个数的平方加起来是， 且， 和为是由前个循环组的平方和再加上得到， 而，由个数平方相加得到， 和为，共有个数的平方相加得到． 22．（24-25七年级下·安徽六安·月考）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么　　　，　　　． (2)是的小数部分，是的整数部分，求　　　，　　　． (3)在（2）的基础上，求的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，5； （2）解：由(1)知， ∴，， ∵是的小数部分， ∴； ∵是的整数部分， ∴； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴4的平方根是， 即的平方根是． 23．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬到点B，点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)蚂蚁在数轴上还爬过D、E两点，D、E两点分别表示实数d和e，且有与互为相反数，求的平方根． 【详解】（1）解：∵点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m， ∴， 解得：； 故答案为： （2）解：，则， ； 答：的值为6． （3）解：与互为相反数， ， ，且， 解得：， ， 的平方根为． 答：的平方根为． 24．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）设 ，，， (1) ； (2)，，…， 则 ； (3)求 的值． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，，…， ∴， 故答案为：； （3）解：可得， ∴ ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2无理数和实数 教学目标 1.理解无理数的定义，明确无理数“无限不循环小数”的本质特征，能准确区分无理数与有理数，纠正“带根号的数就是无理数”“无限小数就是无理数”等常见误区。 2.掌握实数的概念，知道实数是有理数和无理数的统称，能按照定义和正负性两种方式对实数进行分类，形成清晰的实数概念网络。 3.了解实数与数轴上的点一一对应的关系，知道在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内一致，能初步进行简单的实数大小比较。 4.会用计算器估算无理数的近似值，能结合具体实例感知无理数的存在，为后续二次根式学习奠定基础。 教学重难点 教学重点 1.无理数的概念形成过程和实数的概念建构，能准确阐述无理数与实数的定义。 2.实数的分类方法，能根据定义或正负性对具体实数进行正确分类。 3.实数与数轴上点的一一对应关系，以及实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义。 教学难点 1.理解无理数“无限不循环”的本质特征，能准确辨析无理数（如区分无限循环小数与无限不循环小数、带根号的有理数与无理数）。 2.理解实数与数轴上点的一一对应关系，尤其是如何在数轴上表示无理数，突破“数轴上只有有理数”的固有认知。 3.克服概念误区，避免将π的近似值（如3.14）当作π本身，或误将所有带根号的数归为无理数。 知识点01 无理数 1. 定义：无限不循环小数叫作无理数. 判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环. 2. 三种常见形式 (1)开方开不尽的数，如，，…； (2)含有π 的一类数，如π，π，π+1，…； (3)以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.101 001 000 1…(每相邻两个1 之间依次多一个0). 3. 无理数与有理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数； (2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为 1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列实数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 知识点02 实数的概念及分类 1.定义：有理数和无理数统称为实数. 特别解读：(1)在实数范围内，如果一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立. (2) 引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后我们解决问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行. 2. 分类： (1)按定义分类： (2)按性质分类： 【即学即练】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③；④；⑤；⑥（两个2之间的0逐次增加）；⑦． (1)整数集合：{___________…}； (2)分数集合：{___________…}； (3)有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…} 知识点03 实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点的关系：实数和数轴上的点一一对应 . (1)“一一对应”包含两层含义： ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点A，点B 在数轴上表示的数为，， 则AB=|－|. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（　　） A． B． C． D． 知识点04 实数的相反数、倒数、绝对值 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样 . 1.相反数： 实数 a 的相反数为－ a，若 a， b 互为相反数，则 a+b=0； 2.倒数： 非零实数 a 的倒数为，若 a， b 互为倒数，则 ab=1； 3.绝对值： 【即学即练】的相反数是_____，的绝对值是_____ 知识点05 实数的运算 1. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算 .有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用 . 实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 . 2. 实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：(a+b)+c=a+ (b+c)； 乘法交换律：ab=ba； 乘法结合律： (ab)c=a (bc)； 乘法分配律： (a+b)c=ac+bc. 【即学即练】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算：． 知识点06 实数的大小比较 1. 利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 . 2. 利用法则比较实数的大小 正数大于零，负数小于零，正数大于负数 .两个正数 , 绝对值大的数较大 . 两个负数，绝对值大的数反而小 . 【即学即练】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）比较大小__________．（填“”或“”） 题型01 估计无理数的范围 【例1-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则整数（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例1-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列无理数中，在与之间的是（  ） A． B． C． D． 【例1-3】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图，在数轴上，点表示，点表示，则，之间表示整数的点共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1-1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）若，则整数a的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）估计无理数的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【变式1-3】（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）若，则估计的值所在的范围是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-4】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示）了，则这个被覆盖的数是________． 题型02 无理数整数部分的有关计算 【例2-1】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知正数的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【例2-2】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．由于的整数部分是1，因此我们可用来表示的小数部分． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 根据以上内容，解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【变式2-1】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）阅读材料，根据材料解答下列问题． 因为，所以，所以的整数部分是2，小数部分是．因为，所以的整数部分是1，小数部分是． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【变式2-2】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 题型03 求数轴上的点对应的实数 【例3-1】（24-25七年级下·安徽六安·期中）实数，，，在数轴上的位置如图所示，则能表示的是（   ）    A． B． C． D． 【例3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)如图，在数轴上表示实数的点是______． 【变式3-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）数轴上有A、B、C、D四个点，根据图中各点的位置，判断哪一点表示的数与最接近（   ）    A．点D B．点C C．点B D．点A 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，将面积为6的正方形放在数轴上，以表示的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A，B两点，则点A表示的数为________． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）如图1，这是由5个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线，将它剪开后，重新拼成一个大正方形． (1)在图1中，拼成的大正方形的边的长为______． (2)现将大正方形水平放置在如图2所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示的点重合．若以点B为圆心，边的长为半径画圆，与数轴交于点E直接写出点E表示的数是______． 题型04 利用数轴上的点对应的实数化简代数式 【例4】（24-25七年级下·安徽黄山·期中）已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示．化简：． 【变式4】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期中）（1）通过计算下列各式的值探究问题_______；______；______．综上，对于任意有理数_______． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应化简：化简：． 题型05 实数的运算 【例5】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算 【变式5-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）计算：； 【变式5-2】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）计算：． 【变式5-3】（23-24七年级下·安徽六安·月考）计算下列各题： (1)， (2)． 题型06 实数的大小比较 【例6-1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）在实数，，，中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【例6-3】（23-24七年级下·安徽阜阳·月考）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来． 1，，，， 【变式6-1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）比较大小：________．（用“＞”，“＜”或“＝”填空） 【变式6-3】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）小明在比较与的大小时，采用一种不同的方法，写出如下的解题过程： 因为，所以，所以． (1)这种比较大小的方法通常称作作差法，过程中由得到，即由得到的理论是______； (2)利用上述方法比较与的大小； (3)利用上述方法比较与的大小． 题型07 程序设计与实数运算 【例7】（23-24七年级下·安徽蚌埠·月考）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．6 C．0 D． 【变式7-1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24七年级下·安徽滁州·月考）如图，这是一个数值转换器，当输入x值为256时，输出y的值是______． 【变式7-3】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）如图所示为一个计算程序，若输入的值为4，则输出的结果应为_____________________． 题型08 新定义与规律题 【例8-1】有一列数按如下规律排列：则第2017个数是（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例8-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【变式8-1】有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第10个数是_________． 【变式8-2】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如： ，． （1）仿照以上方法计算：_______________； （2）若 ，写出满足题意的x的整数值________________． 【变式8-3】【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式________． (2)请根据上面式子的规律填空：________． (3)计算：． 【变式8-4】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ．．．．．． (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________； (2)用含的式子表示出第个等式：___________； (3)计算：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列各数中：，0.618，，，，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）下列关于的说法中，不正确的是（   ） A．是一个无理数 B．7的平方根为 C．可以表示面积为7的正方形的边长 D．可以用数轴上的一个点表示 3．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是一个数值转换程序，当输入的x值为64时，输出的y值为（    ） A． B． C． D．4 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）在实数，0，，中，最大的数是（　　） A． B．0 C． D． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下列说法正确的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．的立方根是无理数 C．无限小数是无理数，有限小数是有理数 D．有理数和无理数之间可以比较大小 8．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）下列说法不正确的是（   ） A．实数包括有理数和无理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．的算术平方根是4 D．平方根和立方根相等的数是0 9．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）一个正方形的面积是15，估计它的周长在（   ） A．12与13之间 B．13与14之间 C．14与15之间 D．15与16之间 10．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）下面是小明完成的作业，他的得分是（  ） 判断题（每小题2分，共10分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②立方根等于本身的数是和．（×） ③平方根等于本身的数是和．（√） ④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．（×） ⑤如果一个数有平方根，那么这个数也一定有立方根．（√） A．4分 B．6分 C．8分 D．10分 二、填空题 11．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）计算：_____． 12．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）的算术平方根是_______．若，则_______． 13．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）比较大小：_______________． 14．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）比较大小：______． 15．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）比较大小：______（填“”或“”或“”）．比较大小：______．（填写“”，“”或“”） 三、解答题 16．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）计算：． 17．（24-25七年级下·安徽六安·期末）计算：． 18．（24-25七年级下·安徽六安·月考）将下列实数分别填到相应的横线内． ，，，，，，，，，（每两个3之间依次增加一个0） (1)整数：{　　　　　　　}； (2)分数：{　　　　　　　}； (3)无理数：{　　　　　　　} 19．（23-24七年级下·安徽六安·月考）将下列各数对应的序号填在相应的集合里． ①，②1.2121121112…（两个“2”之间依次多一个“1”），③0，④，⑤，⑥，⑦． 正数集合：{ ⋯}； 整数集合：{ ⋯}； 负分数集合：{ ⋯}； 无理数集合：{ ⋯}． 20.设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组： 整数部分为1：，，；，，…，． 整数部分为2：，，…；，，…． 整数部分为3：，，…；，，…． (1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？ (2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？ 21.现有一组有规律的数：，，，，，，其中，，，，这六个数按此规律重复出现． (1)第个数是______ ，第个数是______ ． (2)从第个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为，那么共有多少个数的平方相加？ 22．（24-25七年级下·安徽六安·月考）在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么　　　，　　　． (2)是的小数部分，是的整数部分，求　　　，　　　． (3)在（2）的基础上，求的平方根． 23．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬到点B，点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)蚂蚁在数轴上还爬过D、E两点，D、E两点分别表示实数d和e，且有与互为相反数，求的平方根． 24．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）设 ，，， (1) ； (2)，，…， 则 ； (3)求 的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $