第19章二次根式单元提升测试卷2025-2026学年人教版数学八年级下册

第19章二次根式单元提升测试卷 一.单选题(每题3分,共计30分) 1．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．若，则中的数是（   ） A．2 B． C． D． 4．下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 5．长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 6．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 7．若取，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 9．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 10．下列等式：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 12．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 13．比较大小：_____，______． 14．______． 15．已知，则=__________ 16．已知，那么的值等于________ 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 18．计算： (1) (2) (3) 19．计算： (1)； (2)． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 22．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 23．我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 24．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章二次根式单元提升测试卷 一.单选题(每题3分,共计30分) 1．给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 3．若，则中的数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 直接根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． 4．下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项为最简二次根式，根据其被开方数是否与的被开方数相同即可解答． 【详解】解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意； D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意． 5．长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式乘法法则． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 6．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 7．若取，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． 将表达式中的同类二次根式合并后计算系数，再代入近似值求解即可． 【详解】解：， . 故选：C． 8．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】把代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键． 9．观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 10．下列等式：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的定义及性质，需逐个验证每个等式是否符合算术平方根的计算规则，统计正确等式的个数来确定答案. 【详解】∵，∴①错误； ∵（算术平方根为非负数），∴②错误； ∵，∴③正确； ∵，∴④错误； 综上，正确的等式只有1个， 故选：A. 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式． 【详解】解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式； ②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式； ③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式； ④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式； ⑤的被开方数为质数，是最简二次根式． 故答案为：②⑤． 12．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，二次根式性质，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，即 不能是平方数或含有平方因子，尝试最小的正整数，从开始验证． 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2． 故答案为：2． 13．比较大小：_____，______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到答案；求出，，再由即可得到答案． 【详解】解：； ∵，，且， ∴， 故答案为：；． 14．______． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，把原式化为，再进一步求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．已知，则=__________ 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的代数式进行变形是解题的关键． 将原式通过配方法转化为完全平方式的形式，然后利用已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴原式． 故答案为：9． 16．已知，那么的值等于________ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【详解】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）把转化为，再利用二次根式的性质解答即可； （）利用二次根式的性质解答即可； （）利用二次根式的性质解答即可； （）利用负整数指数幂把被开方数转化为，再利用二次根式的性质解答即可； 本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 18．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式加法即可； （2）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算二次根式加法即可； （3）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）（2）（3）（4）根据二次根式的乘除法法则计算，再进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 22．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 23．我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，二次根式的乘法； 根据题意先求出，再代入海伦公式计算即可． 【详解】解：由题意知：， 则三角形的面积 ． 24．阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $