第2章 实数（知识清单）数学新教材湘教版七年级下册

第二章 实数 1. 平方根概念：若（≥0），则是的一个平方根，也叫 二次方根 . 求非负数平方根的运算叫 开平方 ，与平方互逆，这个非负数叫作 被开方数 . 2. 平方根性质：正数有两个互为 相反数 的平方根. 0的平方根是 0 . 负数 没有 平方根. 3. 算术平方根：正数的 正平方根 叫的算术平方根，记为 ，读作“ 根号” . 正数的负平方根记为 ，读作“ 负根号”. 正数的两个平方根可以用“ ”表示，读作“ 正、负根号”. 一个正数只有一个算术平方根. 0的算术平方根是 0 . 4. 算术平方根的双重非负性：≥0且≥0 . 5. 无理数： 无限不循环小数 叫无理数，如、π、0.1010010001…. 6. 无理数的分类：无理数 7. 立方根概念：若，则b是的立方根，也叫 三次方根 ，记为，读作“ 立方根号”. 求立方根的运算叫 开立方 ，与立方互逆。 8. 立方根性质：任何实数都有 唯一 立方根. 正数的立方根为 正数 ，负数的立方根为 负数 ，0的立方根是 0 . 9.平方根与立方根中常见公式：；；；； 10. 实数概念： 有理数 和 无理数 统称为实数. 11.实数的分类：按定义分 有理数 、 无理数 ；按符号分 正实数 、 0 、 负实数 . 实数（按定义分） 实数（按符号分） 12. 实数与数轴：实数和数轴上的点 一一对应 . 13. 实数的性质：实数的相反数为， 0 的相反数是 0 . 实数的倒数为 . 实数的绝对值表示为， . 14. 实数的大小比较：数轴上右边的数总比左边 大 ； 正实数>0>负实数 . 15. 实数的运算：运算法则、运算律与有理数 一致 ；涉及无理数的运算可根据需要取近似值计算. 一、平方根 1.忽略被开方数非负性 错误：误认为被开方数是负数的也可以开平方． 例如：、（未注明）无法求解． 例题1 若有意义，则应满足 ． 【分析】根据算术平方根的被开方数是非负数即可求解 【详解】解：若有意义，则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，理解被开方数为非负数是解题的关键． 例题2 解方程：． 【分析】本题考查了利用平方根解方程，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 2.混淆平方根与算术平方根 错误：误认为正数有一个平方根，两个算术平方根． 例如：的平方根是，算术平方根是，勿写成. 例题1 的平方根是（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题考查平方根、算术平方根的定义，掌握平方根、算术平方根的定义并认真审题是解题关键，先计算的值，再根据平方根的定义求解该结果的平方根即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴9的平方根是，即的平方根是． 故选：C． 例题2 下列各数没有算术平方根的是（   ） A．0 B． C． D． 【分析】本题主要考查了算术平方根，乘方计算，分别求出对应选项中式子的结果再根据负数没有算术平方根判断即可得到答案． 【详解】解：，，     ∵只有负数没有算术平方根， ∴四个数中，只有没有算术平方根， 故选：C． 3.误认开平方与平方互为逆运算就无限制 错误：误认为负数也可以开平方，或负数不能平方． 例如：，但无意义. 例题1 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查算术平方根的定义及有理数的乘方运算，需根据相关定义和法则逐一判断选项计算的正确性． 【详解】解：∵算术平方根的定义为非负数的正的平方根，即的结果为非负， ∴对于选项A，是16的算术平方根，结果为4，而非，A错误，不符合题意； ∵，∴B错误，不符合题意； ∵表示的相反数，，∴，C错误， 不符合题意； ∵，∴D正确，符合题意． 故选：D． 例题2 下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 【分析】此题考查了平方根以及算术平方根的定义．分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项． 【详解】解：A、是25的平方根，说法正确，该选项不符合题意； B．，则的算术平方根是2，说法正确，该选项不符合题意； C、的平方根是，故原说法错误，该选项符合题意； D、，说法正确，该选项不符合题意． 故选：C． 二、立方根 1.混淆立方根与平方根的前提条件 错误：误认为立方根的被开方数也不能是负数，或实数有两个立方根． 例如：，而无意义. 例题1 的立方根是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根，由算术平方根的定义可知，由立方根的定义可知，所以的立方根是. 【详解】解：，， 的立方根是. 故选：A． 例题2 的立方根是 ，的平方根是 ． 【分析】本题考查了立方根的求解，算术平方根、平方根的求解．根据立方根，平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， 则的平方根是， 故答案为：，． 2.符号记忆错误 错误：负号运用错误． 例如：，勿写成；，则，不要遗漏负号. 例题1 计算 ． 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根，立方根的定义计算即可． 【详解】解： 故答案为：0． 例题2 计算： （1） ； （2） ． 【分析】本题考查了立方根的定义和计算，掌握立方根的计算方法，尤其是分数立方根的拆分计算是解题的关键． 计算立方根时，需找到使立方等于被开方数的数；分数立方根可分解为分子分母分别开立方；负号表示取相反数． 【详解】解：（1） ， ． 故答案为：； （2），首先计算 ， ，， ， ， 故答案为：． 3.误将立方根的性质套用到平方根 错误：误认为“负数有两个立方根”． 例如：. 例题1 下面的说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是2 C．9的算术平方根是 D．的立方根是 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义，根据相关定义逐一分析选项即可． 【详解】解：∵负数没有平方根，是负数， ∴A选项错误； ∵，4的平方根是， ∴B选项错误； ∵算术平方根为非负数，9的算术平方根是3， ∴C选项错误； ∵， ∴的立方根是，D选项正确． 故选：D． 例题2 下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 【分析】本题考查了对算术平方根，平方根，立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 根据算术平方根，平方根，立方根的定义求出每个的值，再判断即可． 【详解】解：A．9的算术平方根是3，正确； B．4的平方根是，正确； C．27的立方根是3，不是，错误； D．立方根等于1的数是1，即若，则，正确． 故选C． 三、实数的概念 1.无理数的判定错误 错误：误认为带根号的数和无限小数都是无理数，或认为分数都能化为有限小数． 例如：是有理数；是无限循环小数，属于有理数；是无限循环小数. 例题1 下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D．3.14 【分析】本题考查无理数，无理数通常包括开方开不尽的数（如非完全平方数的平方根、非完全立方数的立方根）、无限不循环小数和含有的数，据此求解即可． 【详解】解：A:，是整数，属于有理数； B:，是分数，属于有理数； D:3.14，是有限小数，属于有理数； C:，4不是完全立方数，其立方根是无理数. 故选：C． 例题2 在实数，，，，中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题考查了无理数的识别，通过判断每个数是否为无理数即可，无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 中不是完全平方数，故为无理数； 中不是完全立方数，故为无理数； 中是无理数，除以后仍为无理数； ∴无理数有、、，共个， 故选：． 2.实数与数轴的关系误区 错误：误认“无理数不能在数轴上表示”，实际上每一个实数都能在数轴上找到唯一对应点． 例如：可通过边长为1的正方形对角线作图得到. 例题1 与数轴上的点建立一一对应关系的数是（    ） A．正整数 B．有理数 C．负数 D．实数 【分析】本题主要考查实数与数轴上的点的关系，熟练掌握实数与数轴上的点一一对应，是做题的关键．根据数轴上的点与实数一一对应，即可得出答案． 【详解】解：∵ 数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数也对应数轴上的一个点， ∴ 实数与数轴上的点建立了一一对应关系，而正整数、有理数、负数都不能覆盖所有点． 故选：D． 例题2 如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】本题考查实数与数轴，估计无理数的大小，利用算术平方根估计出，再结合数轴即可得解． 【详解】解： ∵， ∴ ， ∴ 在数轴上表示实数的点可能是点B． 故选：B． 3.分类标准混乱 错误：将实数分为正实数、负实数，遗漏. 例如：5、－3、0都是实数. 例题1 将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数： ；分数： ；无理数： ． 【分析】本题考查了实数的分类，掌握相关概念是解题的关键，正整数是大于零的整数；分数包括有限小数和无限循环小数；无理数是无限不循环小数．根据实数的分类即可解答． 【详解】解：是正整数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是整数，不是正整数； 是有限小数，是分数； ，是正整数； 是分数； （每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数， 故答案为：正整数：；分数：；无理数：． 例题2 请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． 四、实数的性质与运算 1.含无理数的绝对值化简失误 错误：无理数与其他实数的大小比较错误. 例如：化简，因，结果应为，勿写成. 例题1 比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【分析】本题考查实数的大小比较，算术平方根的定义与性质，掌握转化思想是解题关键． 将转化为​，再根据“被开方数大，算术平方根大”的性质比较与的大小，进而得出与的大小关系． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 例题2 比较大小： ． 【分析】本题考查实数的大小比较．涉及两个负数的比较，需利用负数比较大小的原则． 【详解】解：∵和都是负数，，． ∴， ∴． 故答案为：． ． 2.运算法则与运算律滥用 错误：错误运用或混淆运算法则、运算律. 例如：（），勿展开平方；（），但，勿写成（当时不成立）. 例题1 计算：． 【分析】本题考查了求算术平方根、求立方根． 先计算算术平方根、立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 例题2 计算． (1) (2) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据乘方运算法则，算术平方根定义，立方根定义，进行计算即可； （2）根据立方根定义，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 重难点01 平方根与算术平方根的区别 （1）非负数有两个平方根，只有一个算术平方根. 【典例1】（26-27八年级上·陕西西安·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为 ． 【分析】根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数列式计算． 【详解】解：由题意得：， ∴． 【典例2】（25-26八年级上·江苏·期末）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是 ． 【分析】本题考查了算术平方根和平方根． 根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解． 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 故答案为：． 重难点02 根号的非负性 （1）平方根的被开方数是非负数； （2）算术平方根的双重非负性：≥0且≥0. 【典例1】（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方运算． 利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴且， 由，得，解得：， 则可化为，即，解得：， ∴． 故答案为：． 【典例2】（24-25七年级下·吉林·期末）已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 【分析】本题考查的是非负数的性质、平方根，熟记绝对值、算术平方根的非负性是解题的关键． （1）根据绝对值、算术平方根的非负性列出二元一次方程组，解方程组求出x、y； （2）把x、y的值代入，根据平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴由题意得：， 解得：； （2）解：当时，， ∵2的平方根是， ∴的平方根是． 重难点03 求负数的立方根 （1）负数有且只有一个立方根； （2）负数的立方根也是负数. 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【分析】本题考查根据平方根和立方根解方程； （1）先得到，再根据平方根的性质求解即可； （2）先得到，再根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， 开平方得：， 解得：，． （2）解：， 方程两边同除以8得：， 移项，合并同类项得： ∴． 【典例2】（25-26八年级上·江西抚州·月考）已知某正数的两个平方根分别是和，且的立方根为，求和的值． 【分析】本题考查了平方根和立方根，掌握一个正数的平方根有2个，它们互为相反数是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义求出a，b的值即可得出答案． 【详解】解：因为某正数的两个平方根分别是和， 所以， 解得， 因为的立方根为， 所以， 解得， 所以，． 重难点04 用立方根解决实际问题 【典例1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 【典例2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握长方体和正方体的体积公式是解题关键．根据题意求出长方体的体积，进而求出建造后等体积的正方体池塘的长，即可求解． 【详解】解：∵无盖长方体池塘三面墙的长度依次为、，墙的高度， ∴长方体的体积为， ∵改为建造等体积的无盖正方体池塘， ∴正方体的体积也为， ∴正方体的边长为， ∴待建的三面墙的总长度是． 重难点05 求带分数、小数的平方根、立方根 （1）求带分数、小数的平方根或立方根时可以将带分数、小数化成假分数. 【典例1】（25-26七年级上·山东威海·期末）计算： (1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （）先化简算术平方根，立方根，再计算加减法即可； （）先化简立方根，算术平方根，化简绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． 【典例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算： 【分析】利用二次根式的性质、绝对值性质和求一个数的立方根计算即可； 【详解】原式． 重难点06 实数与数轴上的点一一对应 （1）无理数也能在数轴上找到对应的点. 【典例1】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查实数与数轴上的点的关系，求出圆的周长是解题的关键．求出圆的周长，根据数轴与实数的一一对应关系解答即可． 【详解】解：∵直径为1的圆的周长为，A点在数轴上表示的数是1， A点沿数轴向左滚动一周后到达点B， ∴点B表示的数为． 故选：D． 【典例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． 【分析】（1）根据网格构造直角三角形，利用各个部分面积之间的关系进行解答即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （3）利用图的结论，作出，再以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点即可； （4）根据算术平方根的意义求出正方形面积，再由网格画出正方形即可． 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长均为， ∴， ∴阴影正方形的边长为． 故答案为：；； （2）∵，，， ∴， 即， 故答案为：；； （3）由（1）知：阴影正方形的边长为，它的相反数是， 如图，设原点为点，作长为，宽为的长方形，以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点， ∴，点所表示的数是，点所表示的数是； （4）如图，取格点、、、，再顺次连接， 由（1）知：四边形为正方形， ∵每个小正方形的边长均为， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，正方形的面积及等积变换等知识点，理解算术平方根的定义是解题的关键． 重难点07 有关无理数的估算 【典例1】（25-26八年级上·海南海口·期末）下列整数中，与的值最接近的是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题考查无理数的估算；通过估算的近似值，估算的值，并比较与各选项整数的距离． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴最接近整数5． 故选：D． 【典例2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，哪位同学的结果精确度更高，请说明理由． 【分析】本题考查了无理数的估算和完全平方公式的应用．熟练掌握无理数的估算和完全平方公式是解题的关键． （1）估算出的取值范围即可得到答案； （2）先由得到，再根据（是整数，），的形式，拆分出整数部分和小数部分； （3）①利用完全平方公式进行变形，因，可以忽略，近似求解； ②通过比较两个近似值的平方与的接近程度来判断精确度即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∵，其中是整数，且， ∴ （3）解：①∵，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴， ∴； ②小明的结果精确度更高，理由如下： 小明的结果是，小丽的结果是， ，， 又，， ∴比更接近 小明的结果精确度更高． 重难点08 实数的大小比较 （1）无理数间的大小比较有被开方数法、平方法、作差法、估值法. 【典例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，先化简各数，确定无理数的范围，进而在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在数轴上表示各数如图： 由数轴可知：． 【典例2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较． （1）根据“作差法”比较大小即可； （2）根据“作差法”比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 1. 平方根概念：若（≥0），则 是 的一个平方根，也叫 . 求非负数平方根的运算叫 ，与平方互逆，这个非负数叫作 . 2. 平方根性质：正数有两个互为 的平方根. 0的平方根是 . 负数 平方根. 3. 算术平方根：正数的 叫的算术平方根，记为 ，读作“ ” . 正数的负平方根记为 ，读作“ ”. 正数的两个平方根可以用“ ”表示，读作“ ”. 一个正数 算术平方根. 0的算术平方根是 . 4. 算术平方根的双重非负性： . 5. 无理数： 叫无理数，如、π、0.1010010001…. 6. 无理数的分类：无理数 7. 立方根概念：若，则b是的立方根，也叫 ，记为 ，读作“ ”. 求立方根的运算叫 ，与立方互逆。 8. 立方根性质：任何实数都有 立方根. 正数的立方根为 ，负数的立方根为 ，0的立方根是 . 9.平方根与立方根中常见公式：；；；； 10. 实数概念： 和 统称为实数. 11.实数的分类：按定义分 、 ；按符号分 、 、 . 实数（按定义分） 实数（按符号分） 12. 实数与数轴：实数和数轴上的点 . 13. 实数的性质：实数的相反数为 ， 0 的相反数是 . 实数的倒数为 . 实数的绝对值表示为， . 14. 实数的大小比较：数轴上右边的数总比左边 ； 正实数 0 负实数 . 15. 实数的运算：运算法则、运算律与有理数 ；涉及无理数的运算可根据需要取近似值计算. 一、平方根 1.忽略被开方数非负性 错误：误认为被开方数是负数的也可以开平方． 例如：、（未注明）无法求解． 例题1 若有意义，则应满足 ． 例题2 解方程：． 2.混淆平方根与算术平方根 错误：误认为正数有一个平方根，两个算术平方根． 例如：的平方根是，算术平方根是，勿写成. 例题1 的平方根是（    ）． A． B． C． D． 例题2 下列各数没有算术平方根的是（   ） A．0 B． C． D． 3.误认开平方与平方互为逆运算就无限制 错误：误认为负数也可以开平方，或负数不能平方． 例如：，但无意义. 例题1 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2 下列说法错误的是（   ） A．是25的平方根 B．的算术平方根是2 C．的平方根是 D． 二、立方根 1.混淆立方根与平方根的前提条件 错误：误认为立方根的被开方数也不能是负数，或实数有两个立方根． 例如：，而无意义. 例题1 的立方根是（    ） A． B． C． D． 例题2 的立方根是 ，的平方根是 ． 2.符号记忆错误 错误：负号运用错误． 例如：，勿写成；，则，不要遗漏负号. 例题1 计算 ． 例题2 计算： （1） ； （2） ． 3.误将立方根的性质套用到平方根 错误：误认为“负数有两个立方根”． 例如：. 例题1 下面的说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是2 C．9的算术平方根是 D．的立方根是 例题2 下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 三、实数的概念 1.无理数的判定错误 错误：误认为带根号的数和无限小数都是无理数，或认为分数都能化为有限小数． 例如：是有理数；是无限循环小数，属于有理数；是无限循环小数. 例题1 下列各数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D．3.14 例题2 在实数，，，，中，无理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2.实数与数轴的关系误区 错误：误认“无理数不能在数轴上表示”，实际上每一个实数都能在数轴上找到唯一对应点． 例如：可通过边长为1的正方形对角线作图得到. 例题1 与数轴上的点建立一一对应关系的数是（    ） A．正整数 B．有理数 C．负数 D．实数 例题2 如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3.分类标准混乱 错误：将实数分为正实数、负实数，遗漏. 例如：5、－3、0都是实数. 例题1 将下列各数进行分类（填序号即可）： ，，，，，，（每个“”之间依次多一个“”）． 正整数： ；分数： ；无理数： ． 例题2 请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 四、实数的性质与运算 1.含无理数的绝对值化简失误 错误：无理数与其他实数的大小比较错误. 例如：化简，因，结果应为，勿写成. 例题1 比较大小： ．（填“”、“”或“”） 例题2 比较大小： ． ． 2.运算法则与运算律滥用 错误：错误运用或混淆运算法则、运算律. 例如：（），勿展开平方；（），但，勿写成（当时不成立）. 例题1 计算：． 例题2 计算． (1) (2) 重难点01 平方根与算术平方根的区别 （1）非负数有两个平方根，只有一个算术平方根. 【典例1】（26-27八年级上·陕西西安·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为与，则m的值为 ． 【典例2】（25-26八年级上·江苏·期末）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是 ． 重难点02 根号的非负性 （1）平方根的被开方数是非负数； （2）算术平方根的双重非负性：≥0且≥0. 【典例1】（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 【典例2】（24-25七年级下·吉林·期末）已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 重难点03 求负数的立方根 （1）负数有且只有一个立方根； （2）负数的立方根也是负数. 【典例1】（25-26七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【典例2】（25-26八年级上·江西抚州·月考）已知某正数的两个平方根分别是和，且的立方根为，求和的值． 重难点04 用立方根解决实际问题 【典例1】（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【典例2】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）某农户计划利用原有的一面墙为载体，在此基础上再修三面墙，建造如图①所示的无盖长方体池塘来培育鱼苗，其中新建的三面墙的长度依次为、，墙的高度．后听从建筑师的建议改为建造等体积的无盖正方体池塘，如图②所示，则待建的三面墙的总长度是多少？（不考虑墙的厚度；原有的墙面足够高、足够长） 重难点05 求带分数、小数的平方根、立方根 （1）求带分数、小数的平方根或立方根时可以将带分数、小数化成假分数. 【典例1】（25-26七年级上·山东威海·期末）计算： (1)； (2)． 【典例2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）计算： 重难点06 实数与数轴上的点一一对应 （1）无理数也能在数轴上找到对应的点. 【典例1】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图，每个小正方形的边长均为．可以得到每个小正方形的面积为．      (1)图中阴影正方形的面积为_____，阴影正方形的边长为_____． (2)阴影正方形的边长介于两个相邻整数_____和_____之间． (3)利用图1，请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数． (4)请在图2的的方格内作出边长为的正方形． 重难点07 有关无理数的估算 【典例1】（25-26八年级上·海南海口·期末）下列整数中，与的值最接近的是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例2】（25-26八年级上·江苏盐城·月考）因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．例如是无理数，的小数部分我们不可能全部写出来，由于，所以的整数部分是1，将减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此的小数部分可用表示． 请解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)若，其中是整数，且，那么________，________； (3)小明同学利用完全平方公式求的近似值，过程如下： ，其中，，即． 比较小，将忽略不计，，即，得， ． 小丽同学认为也可以表示为，其中． ①请你帮小丽同学利用上述方法求的近似值； ②比较小明和小丽的结果，哪位同学的结果精确度更高，请说明理由． 重难点08 实数的大小比较 （1）无理数间的大小比较有被开方数法、平方法、作差法、估值法. 【典例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【典例2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $