3.1图形的平移（分层作业，3基础&4提升题型+培优）数学新教材北师大版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.1图形的平移 基础达标题 题型一生活里的平移现象 一、单选题 1.【答案】B 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 二、填空趣 5.【答案】①②④ 6.【答案】(2)(6) 题型二利用平移的性质来计算线段的长度或图形的面积 一、单选题 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】C 二、填空题 7.【答案】20 8.【答案】3 9.【答案】17 10.【答案】1米 三、解答题 11.【答案】13 【详解】：四边形ABCD沿AB方向平移得到四边形A'B'C'D', :B'C'=BC=8,BC∥B'C',CD∥C'D',S梯形BcD=S稀形ABCD, 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C'D'⊥BE, ·.S阴影部分=SBECB= 8-3+8)×2=13. 12.【答案】(1)65°(2)4 【详解】(1)解：因为△DEF由ABC沿BC方向平移得到， 所以∠2=∠F=30°. 又因为∠B=85°， 所以LA=180°-30°-85°=65°； (2)解：由平移可知，EF=BC, 所以EF-EC=BC-EC, 即CF=BE 又因为BC=10,EC=6, 所以BE=BC-EC=10-6=4, 所以CF=BE=4. 即平移的距离的长为4. 题型三坐标平移的特性 一、单选题 1.【答案】A 2.【答案】A 3.【答案】D 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】B 二、填空题 7.【答案】-1 三、解答题 8.【答案】(1)-4,3)(2)m=2 【详解】(1)解：：将点P向下平移6个单位得到点Q, 点9的坐标为2m-6,m-4), :P,Q两点关于x轴对称， 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m+2+m-4=0, 解得：m=1, 点P的坐标为(-4,3)： (2)解：：点P在第二象限， 点P到y轴的距离为6-2m,到x轴的距离为m+2, :点P到x轴和y轴的距离之和为6， 6-2m+m+2=6, 解得：m=2. 9.【答案】(1)k=-1,m=4(2)1,2 【详解】(1)将x=2代入y=2x, 得m=2×2=4, 将2,4)代入y=kx+6(k≠0)， 得4=2k+6, 解得k=-1: (2)已知点B在函数y=2x图象上，设B点坐标为a,2a, 则点B平移后得到的点B坐标为a+2,2a+1), 将点B'(a+2,2a+1)代入y=-x+6, 得2a+1=-a+2)+6, 解得a=1, 所以B点坐标为1,2). 10.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3.5(4)-a,b-4 【详解】(1)解：如图所示：△AB,C,即为所求； 试卷第1页，共3页 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 3 B 2 5-4 /3-2-10 12345x B 2 -5 (2)解：如图所示：△A,B,C即为所求： 5 4 3 2 5-4 -2-1 2345 -1 B 2 C 4 (3)解：S4c=3x3-×3×1-x2x1- -×2×3=3.5 (4)解：：ABC与△AB,C关于y轴的对称， 点M(a,b)经过第一次变换后对应点M,(-a,b), :△A,B,C,沿y轴向下平移4个单位长度后得到的△A,B,C2, ∴.点M(a,b)经过两次变换后对应点M,-a,b-4), 故答案为：(-a,b-4. 题型一平移作图及其应用 一、解答趣 1.【答案】(1)见解析(2)作图见解析，<，垂线段最短(3)12 【详解】(1)解：如图：直线CD即为所求 试卷第1页，共3页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图：线段CE即为所求，连接CB, 由垂线段最短得，CE<CB, 故答案为：<，垂线段最短； (3)解：如图，连接AC: D 2*5x1 三角形ABC的面积为：5x5- 2×4x41 ×5×1=12. 2.【答案】(1)见解析(2)平行且相等(3)10 【详解】(1)解：如下图所示， 由图可知点C向右平移4，再向上平移5得到点C, 分别把点A、B向右平移4，再向上平移5得到点、B, 连接点、B、C, 得到△A'B'C', △A'B'C'即为所求； (2)解：由平移的性质可知AA‖CC且AA'=CC'; (3)解：三角形△A'B'C'的面积为：二×5×4=10. 3.【答案】见解析 【详解】解：如图，四边形A'B'CD'即为所求。 试卷第1页，共3页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 4.【答案】(1)见解析(2)103)(0,3)或-1，-5)或(0，-5) 【详解】(1)解：如图， 5 3 1 B △A'B'C'即为所求 5-4-3y-2-1O 1234567x 2 3 5 6 (2)解：由图得，。48'C'的面积为2×5×4=10. (3)解：根据ABC与△PBC全等（点P与点A不重合），作图如下： 5 3 P B 5-4-3-2-10 34567x B 3 由图知，点P的坐标为0,3)或(-1，-5)或(0，-5). 试卷第1页，共3页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.【答案】0)见解折②3号0或(30 【详解】(1)解：如图所示，△A'B'C'即为所求： 2)解：A4'BC'的面积=3x3-x1x2-x13-x2×3= 7 21 2 2 (3)解：由(1)可得A'2,2),B'(-1,0), :点M在x轴上，△AB'M与△A'B'C'的面积相等， 小wx 7 7 BM2-7 :.BM=2' 7 :B'(-1,0 题型二平移性质在坐标系中的应用 一、单选题 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】B 二、填空题 4.【答案】(-1,0) 5.【答案】2 试卷第1页，共3页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 6.【答案】(1)0，-b),02)存在，B(1,0或(-3,0) 【详解】(1)解：：将C(1,4)平移到C'(2,4-b), “平移方式为右移1个单位、下移b个单位， A坐标为0，-b)； :A-1,0)平移后落在坐标原点(0,0)上， -b=0, 即b=0, 故答案为：(0，-b),0: (2)解：设B(x,0), 三角形面积×ABx4=4, AB=2, x-(-1=2, 解得x=1或x=-3, 故B(1,0)或(-3,0) 7.【答案】(1)6(2)见解析(3)0,4)或(0，-8)(4(5,4) 【详解】(1)解：由图可得，A-2,1,B(-3,-2),C(1,-2), 则点A到BC的距离h=1--2)=3,BC=1--3)=4, 1 所以S。c=,×BC×h=,×4×3=6, 2 2 故答案为：6； (2)由题意得，ABC向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A'B'C', 如图，△A'B'C即为所求； 试卷第1页，共3页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 5 A 2 -5-4-32-1 2345x -2 B (3)设点P的坐标为(0，k), :SPBC=2S。ABc, ×k--2×4=2×6, 2 解得k=4或k=-8, ·点P的坐标为(0,4)或(0，-8)； (4)以点B为圆心，以10个单位长度为半径画圆， 3 2 A租 0 -5-4-3 2-1 2345 -2 3 -4 由图可知，到点B距离为10的格点的坐标为(5,4). 试卷第1页，共3页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型三利用平移的性质来解决实际问题 一、单选题 1.【答案】B 2.【答案】B 二、填空题 3.【答案】14 4.【答案】18m/18米 5.【答案】4.5或12.5/12.5或4.5 三、解答题 6.【答案】(1)见解析(2)ab-b;ab-b;ab-b(3)草地的面积为ab-b.理由见解析 【详解】(1)解：（答案不唯一）如图所示 (2)解：大长方形面积：都是ab; 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是1，长是b,所以阴影面积都是1×b=b; 剩余面积：大长方形面积-阴影面积=ab-b; .S1=S2=S3=ab-b. 故答案为：ab-b;ab-b；ab-b. (3)解：草地的面积为ab-b. 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移1个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为a-1),宽为b,故其面积是(a-1)b=ab-b. 7.【答案】【数学建模】PB,①，AB';【问题拓展】作图见解析 【详解】根据轴对称的性质可知，PB=PB', .PA+PB=PA+PB', 根据两点之间线段最短， 故选①， PA+PB'最小值为AB', 故答案为：PB,①，AB'; 试卷第1页，共3页 3.1 图形的平移 题型一 生活里的平移现象 一、单选题 1．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 2． 2025年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是（     ） A．B．C． D． 3．下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 4．四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的文字是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 6．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 题型二 利用平移的性质来计算线段的长度或图形的面积 一、单选题 1．如图，把向右平移得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 3．如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 4．如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 5．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，将沿BC方向平移2个单位长度得．连接AD．若四边形ABFD的周长为24，则的周长为 ． 8．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，若四边形的面积为，则平移距离为 ． 9．在高，长的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需 ． 10．如图所示，一个长方形草坪，长为6米、宽为4米，要在草坪中修一条如图所示宽度相同的小路，使剩余草坪的面积为20平方米，则所修小路的宽为 ． 三、解答题 11．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 12．如图，将三角形沿方向平移，得到三角形． (1)若，，求的度数； (2)若，，求平移的距离的长． 题型三 坐标平移的特性 一、单选题 1．如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．下列命题中是假命题的是（   ） A．点关于y轴对称的点是点 B．点向左平移3个单位后，在y轴上 C．直线不经过第二象限 D．点一定在第四象限 4．在直角坐标系中，已知点，若点A向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，恰好与点B重合，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为 ． 三、解答题 8．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若将点向下平移6个单位得到点，此时，两点关于轴对称，求点的坐标． (2)若点在第二象限，且点到轴和轴的距离之和为6，求的值． 9．如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点． (1)求k，m的值； (2)将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，．    (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； (3)求出的面积； (4)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是___________． 题型一 平移作图及其应用 一、解答题 1．如图，所有小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上． (1)过点C画线段的平行线； (2)过点C画线段的垂线段，垂足为E，此时比较大小： （填或或），并说出依据 ； (3)连接，则的值为 ． 2．如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸中将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的三角形． (2)连接，，则这两条线段之间的关系是______． (3)三角形的面积为______． 3．如图，平移四边形，使点移动到点，画出平移后的四边形． 4．如图，在平面直角坐标系中，把向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积； (3)若与全等（点与点不重合），直接写出点的全部坐标． 5．在平面直角坐标系中的位置如图所示，把向右平移个单位，向下平移个单位，得到． (1)在图中画出； (2)求的面积； (3)点在轴上，与的面积相等，则点的坐标为______． 题型二 平移性质在坐标系中的应用 一、单选题 1．的顶点坐标分别为，，，将沿平移，使点A到达点B处，则平移后点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 二、填空题 4．在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为 ． 5．如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为 ． 三、解答题 6．如图，，． (1)若将点平移到，请写出点进行相同平移后对应点的坐标 ；若平移后落在坐标原点上，则 ； (2)在轴上是否存在点，使以A、B、C三点为顶点的三角形的面积为4？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知，在平面直角坐标系中位置如图所示．    (1)的面积为________； (2)经过平移后，中任意一点的对应点为，请在平面直角坐标系中画出平移后的图形； (3)点在轴上，且，直接写出点的坐标； (4)直接写出在图中的网格中，到点距离为的格点的坐标． 题型三 利用平移的性质来解决实际问题 一、单选题 1．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 2．如图，长方形公园，长，宽．该公园中有3条宽均为1的小路（阴影部分），其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为 ． 4．如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长至少为 ． 5．已知，直角梯形的上底为厘米，下底为厘米，高为厘米．正方形的边长为厘米，起始状态如图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为秒，两个图形的重叠部分面积为平方厘米，则当时， ． 三、解答题 6．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 7．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 题型四 平移性质的综合应用 一、单选题 1．已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为 ． 5．在平面直角坐标系中，点，，若直线轴，则的值为 ． 6．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为 ． 三、解答题 7．如图，三角形中，，，是平移之后得到的图形，并且的对应点的坐标为． (1)作出平移之后的图形，若为中任意一点，则平移后对应点的坐标为_______． (2)求的面积． (3)轴上有一点，使的面积与相同，求点的坐标． 8．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1． (1)分别求的值． (2)设的立方根为，在同一个平面直角坐标系中还有一点，点，请指出点是怎样由点平移得到的？ 9．对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”． 例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”． 已知点和点． (1)将点进行“2型平移”后的对应点的坐标为 ； (2)若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，，点M是线段上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为．设，正方形与重叠部分的面积为． ①当点与点重合时，求的值； ②求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 一、解答题 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，， ． (1)求两点的坐标； (2)将平移到，点的对应点． ①若，求的值； ②若三点在同一直线上时，求点的坐标． 3．在平面直角坐标系中，点，点，且，．将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别为点C，D． (1)当，且点C正好落在原点O时，判断线段平移的方向和距离； (2)已知点，，连接，． ①点P在直线上，连接，，请用代数式表示三角形的面积； ②以B，C为顶点向下画一个正方形．已知点，，且线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部．当x取什么值时m最大，并求出m的最大值（用含代数式表示）． 4．如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 5．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶华益点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶华益点”为点，即点2的坐标为． (1)若点的坐标为，求它的“3阶华益点”的坐标； (2)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标． (3)已知、，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点，它的“阶华益点（为正整数）”使得四边形的面积为6？如果存在，请求出的值和点坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图1，已知平面直角坐标系中，点，，a、b满足． (1)求的面积； (2)将线段经过水平、竖直方向平移后得到线段，直线交x轴于点C，． ①求点C的坐标； ②如图2，线段上一点，求：之间的数量关系． 7．对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”． 例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”． 已知点和点． (1)将点进行“2型平移”后的对应点的坐标为 ； (2)若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，，点M是线段上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 8．在平面直角坐标系中，对于点与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点关于第一、三象限角平分线的对称点为，且线段中点为，则称点是图形W关于点的“关联点”． (1)如图1，若点是点关于原点的关联点，则点的坐标为 ； (2)如图2，在中，，，． ①将线段向右平移（）个单位长度，若平移后的线段上存在两个关于点的关联点，则d的取值范围是 ． ②已知点和点，若线段上存在关于点的关联点，求n的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 图形的平移 题型一 生活里的平移现象 一、单选题 1．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意； B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意； C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意； D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意； 故选：B 2． 2025年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．如图，通过平移吉祥物，可以得到的图形是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查生活中的平移现象，根据平移的定义（在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．）判断即可． 【详解】解：根据平移的定义，平移前后的图形形状、大小完全一样，仅位置不一样，那么B符合题意． 故选：B． 3．下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移和旋转的定义，掌握平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变是解题的关键． 根据平移的定义，判断每个选项的运动形式，平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变． 【详解】解：A、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意； B、压钳绕点转动，属于旋转，不符合题意； C、物体沿直线向下移动，形状和方向均未改变，属于平移，符合题意； D、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意． 故选：C． 4．四根火柴棒摆成如图所示的“口”字，平移“口”字的火柴棒后，可变成的文字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置是解题的关键． 由平移的性质，结合图形，采用排除法判断正确结果． 【详解】解：∵平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置， ∴原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下．只有C符合． 故选：C． 二、填空题 5．在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关键． 根据平移的概念逐一判断即可求解． 【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到． 故答案为：①②④． 6．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 题型二 利用平移的性质来计算线段的长度或图形的面积 一、单选题 1．如图，把向右平移得到，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：根据平移的性质说法正确，不符合题意； B：根据平移的性质说法正确，不符合题意； C：根据平移的性质说法正确，不符合题意； D：根据平移的性质说法不正确，符合题意； 故选：D． 2．如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵将沿直线平移，得到， ∴， ∵，， ∴ 故选：C． 3．如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关键． 根据平移的性质，得到与相等，与等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长． 【详解】解：∵将线段平移得到线段 ∴， ∵ ∴ ∵平移的距离为 ∴， ∴四边形的周长为： 故选：B． 4．如图，在方格中有两个涂有阴影的图形，，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图①中的图形平移后位置如图②所示，以下对图形的平移方法叙述正确的是（   ） A．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 B．先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移由平移方向和平移距离决定，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，掌握图形的平移是解题的关键． 利用平移变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图象可知由图形①变成图形②，把图先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到． 故选：B． 5．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点可能是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了平移，根据平移的性质即可求解，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，观察图形可知，点是点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，点是由点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的， ∴， ∴点可能是点， 故选：． 6．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知，因为，可知，根据梯形的面积公式可得：，由重叠可知，从而可得． 【详解】解：平移距离为， ， 由平移的性质可知， ， ， ， 两个直角三角形可以重叠在一起， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 7．如图，将沿BC方向平移2个单位长度得．连接AD．若四边形ABFD的周长为24，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到，是解题的关键． 根据平移的性质可得、，然后求出四边形的周长等于的周长与、的和，再求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴四边形的周长 ， 的周长为． 故答案为：． 8．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，若四边形的面积为，则平移距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，图形平移的性质，平行四边形的判定与面积公式，掌握平行四边形的面积公式是解题关键． 先在直角三角形中求出，再根据平移性质判断出四边形是平行四边形，最后用面积公式求出平移距离． 【详解】解：，，， ， 将沿方向向右平移得到， ，，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为， ， ． 故答案为：． 9．在高，长的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，平移性质，由题意得，，，根据勾股定理得，然后利用平移性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，， ∴， 根据平移性质可得地毯的长度至少需， 故答案为：． 10．如图所示，一个长方形草坪，长为6米、宽为4米，要在草坪中修一条如图所示宽度相同的小路，使剩余草坪的面积为20平方米，则所修小路的宽为 ． 【答案】1米 【分析】本题考查了平移的实际应用，有理数的运算，根据草地的面积=长方形草坪的面积−弯曲小路的面积求解． 【详解】解∶ 所修小路的宽为米， 故答案为∶1米． 三、解答题 11．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，关键是面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】四边形沿方向平移得到四边形， ∴，，，， ∴， ∴． 12．如图，将三角形沿方向平移，得到三角形． (1)若，，求的度数； (2)若，，求平移的距离的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可． （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【详解】（1）解：因为由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以； （2）解：由平移可知，， 所以， 即． 又因为， 所以， 所以． 即平移的距离的长为． 题型三 坐标平移的特性 一、单选题 1．如图所示的象棋棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于上，则“炮”位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标．直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标即可． 【详解】解：以“帅”位于点为基准点，则“炮”位于点，即为． 故选A． 2．在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，坐标的加减运算，掌握点的平移规律是解题关键． 根据点的平移规律：向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加，依次计算即可． 【详解】解：∵点向左平移个单位长度， ∴横坐标变为，纵坐标不变， ∴平移后点为； 再向上平移个单位长度， ∴横坐标不变，纵坐标变为， ∴点的坐标为． 故选：． 3．下列命题中是假命题的是（   ） A．点关于y轴对称的点是点 B．点向左平移3个单位后，在y轴上 C．直线不经过第二象限 D．点一定在第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，点的平移，一次函数的图象，点的坐标特征逐一判断即可． 【详解】解：A．点关于y轴对称的点是点，原命题是真命题； B．点向左平移3个单位后为，在y轴上，原命题是真命题； C．直线中，不经过第二象限，原命题是真命题； D．当时点在x轴上，不在第四象限，原命题是假命题； 故选：D． 4．在直角坐标系中，已知点，若点A向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，恰好与点B重合，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查坐标系中点的平移的坐标变化，根据坐标系中点的平移的坐标变化得到点A平移后的坐标，再根据点A平移与点B重合列方程求解k． 【详解】解：点向右平移3个单位，再向下平移k个单位后，坐标为 ∵平移后与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 5．若点在x轴上，先将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标轴上的点的特征、坐标与图形变化—平移，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 由点在x轴上，可得，则，再根据平移的性质即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∵将点A向下平移4个单位长度，再向右平移7个单位长度到点， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为． 故选：D． 6．如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 二、填空题 7．若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，熟练掌握坐标平移的特征是解题的关键． 点向上平移后纵坐标增加3，平移后的点在x轴上，纵坐标为0，据此列方程求解． 【详解】解：已知点向上平移3个单位后，． 点在x轴上， 纵坐标， 解得． 故答案为：． 三、解答题 8．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若将点向下平移6个单位得到点，此时，两点关于轴对称，求点的坐标． (2)若点在第二象限，且点到轴和轴的距离之和为6，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标的平移，关于轴对称的点的坐标特点，点到对称轴的距离，平面直角坐标系中点的坐标特征． （1）根据点的平移规律求出点的坐标，进而根据关于轴对称的点的坐标特点列方程求解即可； （2）根据点在第二象限得到点到轴和轴的距离，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将点向下平移6个单位得到点， ∴点的坐标为， ∵，两点关于轴对称， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在第二象限， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点到轴和轴的距离之和为6， ∴， 解得：． 9．如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点． (1)求k，m的值； (2)将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，点的平移． （1）将代入即可求出m的值，将A点坐标代入即可求出k的值； （2）设点坐标为，则点平移后得到的点坐标为，点代入计算求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）将代入， 得， 将代入， 得， 解得； （2）已知点在函数图象上，设点坐标为， 则点平移后得到的点坐标为， 将点代入， 得， 解得， 所以点坐标为． 10．如图，在平面直角坐标系中，．    (1)画出关于轴的对称图形； (2)画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； (3)求出的面积； (4)若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3.5 (4) 【分析】（1）作点A、B、C关于y轴的对称点、、，再顺次连接即可； （2）作点、、向下平移4个单位后有对应点、、，再顺次连接即可； （3）用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积求解即可； （4）先根据关于y轴对称点的坐标特征“横坐标互为相反数，纵坐标不变”求出点M关于关于y轴对称点，再根据平移坐标变换规律“上加下减，左减右加”求得点平移后的对应点． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；    （2）解：如图所示：即为所求；    （3）解：． （4）解：∵与关于轴的对称， ∴点经过第一次变换后对应点， ∵沿轴向下平移4个单位长度后得到的， ∴点经过两次变换后对应点， 故答案为：． 【点睛】本题考查作轴对称图形，平移作图，轴对称的坐标变换，平称的坐标变换，利用网格求三角形的面积．熟练掌握作轴对称图形和平移作图及其坐标变换规律是解题的关键． 题型一 平移作图及其应用 一、解答题 1．如图，所有小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上． (1)过点C画线段的平行线； (2)过点C画线段的垂线段，垂足为E，此时比较大小： （填或或），并说出依据 ； (3)连接，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，，垂线段最短 (3) 【分析】本题主要考查了利用格点作平行线、垂线、三角形的面积等知识点，理解相关性质成为解题的关键． （1）通过平移画出平行线即可解答； （2）根据网格的结构特点画出垂线即可，再根据垂线段最短即可解答； （3）利用割补法解答即可． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求． （2）解：如图：线段即为所求，连接， 由垂线段最短得，， 故答案为：，垂线段最短； （3）解：如图，连接： 三角形的面积为：． 2．如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸中将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的三角形． (2)连接，，则这两条线段之间的关系是______． (3)三角形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，三角形面积． (1)根据点向右平移，再向上平移得到点，分别把点、向右平移，再向上平移得到点、，连接点、、，得到即为所求； (2)根据平移前后两个图形的对应点连线平行或重合且对应点连接的线段相等，可得结果； (3)由平移可知与的面积相等，把边看作的底，高为，利用三角形的面积公式求出的面积即为的面积． 【详解】（1）解：如下图所示， 由图可知点向右平移，再向上平移得到点， 分别把点、向右平移，再向上平移得到点、， 连接点、、， 得到， 即为所求； （2）解：由平移的性质可知且；    （3）解：三角形的面积为：． 3．如图，平移四边形，使点移动到点，画出平移后的四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平移的性质与作图，掌握平移的方向和距离由对应点确定，按此平移所有顶点并连接成图是解题的关键． 确定点到的平移方向和距离，再按此方向和距离平移三点得到对应点，最后连接各对应点． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 4．如图，在平面直角坐标系中，把向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到． (1)在平面直角坐标系中画出； (2)求的面积； (3)若与全等（点与点不重合），直接写出点的全部坐标． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)或或 【分析】本题主要考查了平移作图，求图形的面积，全等三角形的判定定理，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据平移的性质确定出点对应点的位置，然后顺次连线即可； （2）根据三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据三角形全等的条件，并结合网格特点进行分析即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求． （2）解：由图得，的面积为． （3）解：根据与全等（点与点不重合），作图如下： 由图知，点的坐标为或或． 5．在平面直角坐标系中的位置如图所示，把向右平移个单位，向下平移个单位，得到． (1)在图中画出； (2)求的面积； (3)点在轴上，与的面积相等，则点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据割补法求解即可； （3）根据三角形面积公式结合（2）的结果求解即可． 本题考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：的面积； （3）解：由（1）可得， ∵点在轴上，与的面积相等， ∴ ∴， ， ∵ 或。 题型二 平移性质在坐标系中的应用 一、单选题 1．的顶点坐标分别为，，，将沿平移，使点A到达点B处，则平移后点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可得点A向左平移了3个单位，向下平移了5个单位，进行求解即可． 【详解】解：∵点平移到， ∴点A向左平移了3个单位，向下平移了5个单位， ∵点， ∴平移后点C的坐标为． 故选C． 2．如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，掌握相关知识是解决问题的关键.先利用点和它的对应点的坐标特征得到线段先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到线段，然后利用点平移的坐标规律写出点平移后的对应点的坐标． 【详解】解：由图知，线段向左平移3个单位，再向上平移1个单位即可得到线段， ∴点在上的对应点的坐标为， 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，则的值为（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可． 【详解】解：点向右平移m个单位长度，向上平移n个单位长度得到点， ， ， ． 故选：B． 二、填空题 4．在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形的平移与点的坐标变化规律，是解题的关键． 先通过点，点确定平移方式，再由平移方式确定点的对应点的坐标． 【详解】解：∵点，点，平移线段，使点落在点处， ∴可得，向左平移4个单位，向上平移1个单位， ∴点向左平移4个单位，向上平移1个单位得到， 故答案为：． 5．如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置， 又∵点，的坐标分别为， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．如图，，． (1)若将点平移到，请写出点进行相同平移后对应点的坐标 ；若平移后落在坐标原点上，则 ； (2)在轴上是否存在点，使以A、B、C三点为顶点的三角形的面积为4？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】本题考查了点的平移，三角形面积公式． （1）根据“将点平移到”得到平移方式，可知点的坐标，根据原点坐标即可求出； （2）设，根据三角形面积公式解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将平移到， ∴平移方式为右移1个单位、下移b个单位， ∴坐标为； ∵平移后落在坐标原点上， ∴， 即， 故答案为：，； （2）解：设， 三角形面积， ， ， 解得或， 故或． 7．已知，在平面直角坐标系中位置如图所示．    (1)的面积为________； (2)经过平移后，中任意一点的对应点为，请在平面直角坐标系中画出平移后的图形； (3)点在轴上，且，直接写出点的坐标； (4)直接写出在图中的网格中，到点距离为的格点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了作图——平移变换、三角形的面积以及勾股定理与网格问题，解题的关键是理解平移变换的性质． （1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据中任意一点的对应点为，可知向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，由此可画出平移后的图形； （3）设点的坐标为，根据，可得，求解关于的方程即可； （4）以点为圆心，以个单位长度为半径画圆，该圆与的网格的交点在格点的即为所求． 【详解】（1）解：由图可得，，，， 则点到的距离，， 所以， 故答案为：； （2）由题意得，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到， 如图，即为所求；    （3）设点的坐标为， ， ， 解得或， 点的坐标为或； （4）以点为圆心，以个单位长度为半径画圆，      由图可知，到点距离为的格点的坐标为． 题型三 利用平移的性质来解决实际问题 一、单选题 1．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 2．如图，长方形公园，长，宽．该公园中有3条宽均为1的小路（阴影部分），其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移，多项式乘多项式，利用平移法得出种小草部分的长和宽是解题关键．利用平移法可得该公园种小草的部分是长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列式，再利用多项式乘多项式的法则计算即可． 【详解】解：由题意可得：该公园种小草的部分是长为，宽为的矩形， 则该公园小草的面积． 故选B． 二、填空题 3．如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 把图中四个小长方形的边长进行平移，可得到图中四个小长方形的周长之和等于长方形的周长． 【详解】解：通过平移可知，图中四个小长方形的周长之和． 故答案为：． 4．如图所示的是某商场门前的台阶，现该商场经理要在台阶上铺上一块矩形红地毯，则这块红地毯的长至少为 ． 【答案】/18米 【分析】此题考查了生活中的平移现象，掌握平移现象的特点是关键． 利用平移的性质解答即可． 【详解】解：， 即这块红地毯的长至少为． 故答案为： 5．已知，直角梯形的上底为厘米，下底为厘米，高为厘米．正方形的边长为厘米，起始状态如图所示．若正方形固定不动，把直角梯形以厘米/秒的速度向右沿直线平移，设直角梯形的平移时间为秒，两个图形的重叠部分面积为平方厘米，则当时， ． 【答案】或/或 【分析】本题考查一元一次方程的几何应用，直角梯形，长方形的面积等知识，分①当线段未进入正方形内部时，②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，③当点在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，④点在线段的延长线上，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，共六种情况讨论列出方程或推导即可得解． 【详解】解：标记和作图如下，其中于，四边形是直角梯形，四边形是正方形： 依题意可知，，，， ∴， ∴，， ①当线段未进入正方形内部时，，，即， ∴， 此时重合部分是，， 此时无解； ②当线段进入正方形内部，但点还在线段上时，，，即， ∴， 则重合部分是直角梯形，， ∴， 解得； ③当点在线段的延长线上，但未进入正方形内部时，，，即，， ∴， 此时重合部分是五边形， ∴， 即此时无解； ④当点在线段的延长线上时，线段在正方形内部，且进入正方形内部时，，，即， ∴， 则重合部分是五边形， ∴， 此时无解； ⑤当线段由正方形内部转为不在内部，但还在正方形内部时，，，即， ∴， 则重合部分是长方形，， ∴， 解得； ⑥当线段由正方形内部转为不在内部时，，，即， ∴， 则此时重叠部分为线段或无重叠，无解； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 三、解答题 6．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 7．【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， ， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】作图见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、两点之间线段最短以及平移的性质．作关于直线的对称点，根据轴对称的性质可知，再将转化为，根据两点之间线段最短，得出的最小值为的长度；在问题拓展中，通过平移的方法，将桥的长度固定，把问题转化为求两点之间的最短路径问题，利用了平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置的性质即可画出此时桥的位置． 【详解】根据轴对称的性质可知，， ， 根据两点之间线段最短， 故选①， 最小值为， 故答案为：， ① ，； 桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短． 题型四 平移性质的综合应用 一、单选题 1．已知A点的坐标为，轴，且，则B点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同，根据的长度，得计算B点的纵坐标即可． 本题考查了点的坐标特征，平行坐标轴直线上两点间的距离，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：根据A点的坐标为，轴， 得到， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故B点的坐标为或， 故选：C． 2．如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的边长为4，顶点D的坐标是，则将点D向下平移4个单位长度得到点，根据轴，只需将点A向右平移4个单位长度得到点即，解答即可． 本题考查了正方形的性质，平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为4，顶点D的坐标是， 故将点D向下平移4个单位长度得到点， 又轴， 故将点A向右平移4个单位长度得到点即， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意得出四边形是长方形及求出四边形的周长是解题的关键．根据题意可求出四边形的周长，再根据移动2025个单位，即可得出移动后的动点坐标． 【详解】解：因为，，，， 所以，，，，且四边形是长方形， 则长方形的周长为：． 因为， 则， 所以移动了2025个单位后动点在点C的右边3个单位处， 则， 所以移动了2025个单位后动点的坐标为． 故选：C． 二、填空题 4．已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据平方根和绝对值的非负性求出点A的坐标，再根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，结合距离公式求解点B的坐标． 本题考查非负数的性质和坐标与图形性质． 【详解】解：由， 根据非负数的性质，得且， 解得， 所以点A的坐标为． 由于轴， 所以点B的横坐标与点A相同，且为3． 又， 当点B在点A的上方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为； 当点B在点A的下方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为． 故点B的坐标为或． 故答案为：或． 5．在平面直角坐标系中，点，，若直线轴，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行于轴的直线上点的纵坐标相等．熟练掌握平面直角坐标系中平行于轴的直线上点的特征是解题的关键． 根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：直线轴， 点和点的纵坐标相等， ， 解得， 故答案为：1． 6．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式的求解、全等三角形的判定与性质以及坐标平移的应用，先利用点的坐标求出直线的解析式，再通过全等三角形确定点的坐标，最后根据平移后点在直线上建立方程求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，过点作轴于点，过点作于点，则，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，则， 同理，证明， ∴，， ∴， ∴点的坐标为. 将正方形沿轴向下平移个单位后，点的对应点坐标为， ∵该点在直线上， ∴， 解得； 故答案为：． 三、解答题 7．如图，三角形中，，，是平移之后得到的图形，并且的对应点的坐标为． (1)作出平移之后的图形，若为中任意一点，则平移后对应点的坐标为_______． (2)求的面积． (3)轴上有一点，使的面积与相同，求点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质正确作出图形，学会利用分割法求三角形面积． （1）根据平移坐标变化规律解决问题即可． （2）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积． （3）设，构建方程求出m的值即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点的坐标为． 故答案为：； （2）解：； （3）解：设，则有， ∴， ∴点的坐标为或． 8．在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1． (1)分别求的值． (2)设的立方根为，在同一个平面直角坐标系中还有一点，点，请指出点是怎样由点平移得到的？ 【答案】(1), (2)点Q是由点P先向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到的 【分析】（1）根据题意，列出关于m，n的方程求解即可； （2）先求出t，再求出Q点坐标与P点坐标，再确定平移关系即可． 【详解】（1）解：∵点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为3和1， ∴，， 解得：，； （2）∵，， ∴， ∵设的立方根为， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵，，， ∴， ∴点Q是由点P向右平移2个单位长度，再向上平移个单位长度得到的． 【点睛】本题考查了已知点所在的象限求参数，求点到坐标轴的距离，坐标系中的平移，求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 9．对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”． 例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”． 已知点和点． (1)将点进行“2型平移”后的对应点的坐标为 ； (2)若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，，点M是线段上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移变换、点到直线的距离、线段与坐标轴的位置关系．解题思想与方法：数形结合思想，通过分析点的平移规律确定坐标，结合图像观察线段、点的位置关系来求解范围；利用方程思想，根据点在坐标轴上的坐标特征列方程求解t．解题关键：准确理解“t型平移”的定义，明确平移后点的坐标变化规律；结合图像确定线段、点的位置关系，从而得出t的取值范围．易错点：在分析线段与坐标轴的公共点时，容易遗漏线段与x轴仅在时相交的情况；在确定最小值保持不变的t范围时，易忽略结合图像分析的有效运动区间． （1）根据“t型平移”的定义，点进行“t型平移”后得到．对于点，，直接代入计算横坐标，纵坐标，即可得到对应点的坐标． （2）先求出线段进行“t型平移”后、的坐标、．然后分与y轴、x轴有公共点两种情况：与y轴有公共点时，令或的横坐标为0，列方程和，解得和，故；与x轴有公共点时，令或的纵坐标为0，列方程，解得．综合可得t的取值范围． （3）根据“t型平移”得到，结合图像，找到使最小的位置，过该点作与平行的直线．观察图像可知，当在线段上时，的最小值保持不变．分别计算在点和点时的t值，当时，；当时，，从而得出t的取值范围． 【详解】（1）解：将点进行“2型平移”后的对应点的坐标为，即， 故答案为：． （2）解：当线段进行“t型平移”后与y轴有交点时， 当的横坐标为0时，，则， 当点的横坐标为0时，，则， ∴当时，线段进行“t型平移”后与y轴有交点； 当线段进行“t型平移”后与x轴有交点时， 即点的纵坐标为0，，则， ∴当时，线段进行“t型平移”后与x轴有交点； ∴若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是或； 故答案为：或． （3）解：如图， 当点M在点C时， 结合“t型平移”的定义和方格特点可知，当时，最小， 要使的最小值保持不变，则过点作， 观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为， 当在点时，，解得， 当在点时，，解得， ． 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为．设，正方形与重叠部分的面积为． ①当点与点重合时，求的值； ②求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)①；② 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形在坐标系中的位置与平移，等腰直角三角形的性质、正方形的性质，分情况讨论确定重叠部分的面积． （1）过点作于点，根据是等腰直角三角形，得到，得到点的坐标，根据正方形的性质得到点的坐标． （2）①当点与点重合时，得到，即； ②分别讨论当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质得到对应的关于的表达式． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 是等腰直角三角形， ，， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是, 正方形的顶点， ， ， 点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：①当点与点重合时，如下图所示， ， 此时， ， ②当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图①所示， ， 由题意，得， ， 当时， 正方形与重叠部分为五边形， 如图②所示， , 由图可知：, 由（1）可知：，，， ， ， 当时， 正方形与重叠部分为等腰直角三角形， 如图③所示， ， 由题意，得， ， ， 整理得：， 综上所述，． 一、解答题 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，将三角形进行平移，平移后点A，B，C的对应点分别是点，，．点，点，点，点． (1)若，则的坐标为_____；（用含的式子表示） (2)若，求的值； (3)若点，其中．直线交轴于点，且三角形的面积为1，试探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．也考查了三角形的面积，有一定难度． （1）先通过点与点、点与点的坐标变化确定平移规律，再根据平移规律求出点平移后对应点的坐标； （2）当时，得出A、B、D、E四点的坐标，再根据平移的规律得到，即可求出m的值； （3）由平移的规律得出，变形整理得到，那么轴，根据三角形的面积，求出，．根据点与点是对应点，得出，求出． 【详解】（1）已知平移后得到，的坐标的变化为，即向右平移个单位；纵坐标的变化为，即向下平移个单位， 同理，平移后得到，从到的坐标变化为，纵坐标变化为，结合到的平移规律，可知整体平移是向右个单位，向下个单位， 点，按照上述平移规律，向右平移个单位，的坐标变为；向下平移个单位，纵坐标变为， ∴点的坐标为； （2）解：当时， 由三角形平移得到三角形， 的对应点分别为 ， 可得， 解得． ∴的值为6； （3）由三角形平移得到三角形， ，的对应点分别为 ，． 可得， 由②得③， 把③代入①，得， ∴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴轴， ∴点， ∴三角形的面积， ∵， ∴，． ∴， ∴， ∴，，． 又∵在平移中，点与点是对应点， ∴， ∴ ， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，， ． (1)求两点的坐标； (2)将平移到，点的对应点． ①若，求的值； ②若三点在同一直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性即可求解； （2）①根据图形平移的性质，点对应点，可得向下平移个单位，可得点在直线上，分类讨论的情况，当时；当时；当点共线时；当在直线右边时；根据，图形结合分析面积的关系即可求解； ②根据平移的性质，点共线可确定的位置，在确定点，图形结合分析面积，即可求解． 【详解】（1）解：已知， ∵， ∴， 解得，，， ∴； （2）解：①点，平移后对应点，可得向下平移个单位， 当时，即点在的位置，点，如图所示， ∴，不符合题意，舍去； 当时，即点在的位置，如图所示，过点分别作轴的平行线，分别交于点，得矩形， ∴，，，，，， ∴， ， 解得，，符合题意； 当时，即点在的位置，如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ， 解得，，不符合题意； 如图所示，点在的位置，即共线时，不符合题意； 当在直线右边时，即点在的位置，点在右边，如图所示，过点作轴于点，则， ∴， ， 解得，； 综上所述，当的值为或； ②∵点平移后对应点，即点在的直线上，且点三点共线，作图如下，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位，且， ∴， ∴，， ∴ 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查绝对值、平方数的非负性，坐标于图形的变换，图形平移的性质，几何图形面积与坐标的位置关系的综合，理解题意，掌握坐标的性质，坐标与图形面积的计算方法是解题的关键，尤其注意点在直线的直线上是解题的突破口． 3．在平面直角坐标系中，点，点，且，．将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别为点C，D． (1)当，且点C正好落在原点O时，判断线段平移的方向和距离； (2)已知点，，连接，． ①点P在直线上，连接，，请用代数式表示三角形的面积； ②以B，C为顶点向下画一个正方形．已知点，，且线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部．当x取什么值时m最大，并求出m的最大值（用含代数式表示）． 【答案】(1)线段向右平移2个单位长度 (2)①；②当时m最大，m的最大值为 【分析】本题考查直角坐标系中点的平移； （1）根据题意可得平移后对应点为，即可得到线段平移的方向和距离； （2）①根据平移可得平移到与平移到的左右距离和上下距离相等，据此列方程，即可解得，得到，，，，则轴，轴，，，根据平行线间距离相等可得，代入计算即可； ②由向右平移2个单位长度，再向上平移两个单位长度得到，结合图形可得当在上时m最大，得到，再根据求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别为点C，D，且点C正好落在原点O，即平移后对应点为， ∴线段向右平移2个单位长度； （2）解：①∵将线段平移得到线段，点，点的对应点分别为点，， ∴平移到与平移到的左右距离和上下距离相等； ∴， 解得， ∴，，，， ∴轴，轴，，， ∵，， ∴各点位置，大致如图： ∴， ∴； ②∵，， ∴向右平移2个单位长度，再向上平移两个单位长度得到， ∵线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部． ∴， 由图可以发现，当在上时m最大（纵坐标大）， ∴， 解得， ∴当时，最大，m的最大值为． 4．如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）设点E的坐标为由题意，得，，．根据题意得到，解答即可． （3）根据列式解答即可． 本题考查了平移的性质，图形的面积表示法，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C． ∴即，即， 故，． （2）解：设点E的坐标为由题意，得，，． ∵． ∴ ∴， 解得． ∴， 解得． ∴点E的坐标是． （3）解：∵ ∴ ∴ 则点P的坐标是或． 5．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶华益点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶华益点”为点，即点2的坐标为． (1)若点的坐标为，求它的“3阶华益点”的坐标； (2)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标． (3)已知、，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点，它的“阶华益点（为正整数）”使得四边形的面积为6？如果存在，请求出的值和点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的坐标为或 (3)存在，时，P的坐标为或，时，P的坐标为 【分析】（1）根据点是点的“阶华益点”求解即可； （2）根据点的“阶华益点”位于坐标轴上，构建方程求解； （3）的“阶华益点（为正整数）”的坐标为，根据四边形的面积为6，构建方程求解． 【详解】（1）解：由题可得：，， ∴点P的“3阶华益点”的坐标为． （2）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到， ∴， ∴， ， ∴P1的“阶华益点”P2的坐标为， 又∵位于坐标轴上， ∴或， ∴或， ∴的坐标为或． （3）：设的“m阶华益点”的坐标为，过点作，分别交轴、轴于，，    ∵， ∴， 又∵， ∴根据三角形的等积变形原理得：， ∴斜边上的高为，斜边上的高为， 设等腰直角三角形的直角边为， ∴ ∴ 解之得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，均为正整数， ∴①当，即时，， 则或， ∴， ②当，即时，， 则， ∴， 综上所述，时，P的坐标为或，时，P的坐标为． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 6．如图1，已知平面直角坐标系中，点，，a、b满足． (1)求的面积； (2)将线段经过水平、竖直方向平移后得到线段，直线交x轴于点C，． ①求点C的坐标； ②如图2，线段上一点，求：之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形面积公式求解即可；； （2）①连接，，过点作轴于点D，表示出，然后根据得到，求出； ②如图，连接、、，过点P作轴于点Q，由平移性质可知，，得到，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴； （2）①连接，，过点作轴于点D 设 由平移性质可知，， ∴点到的距离点到的距离 ∴ ∵且 ∴，解得 ∴； ②如图，连接、、，过点P作轴于点Q， 由平移性质可知， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得． 【点睛】本题考查了平移的性质，三角形面积公式，算术平方根的非负性，掌握平移的性质、三角形面积公式是解题的关键． 7．对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”． 例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”． 已知点和点． (1)将点进行“2型平移”后的对应点的坐标为 ； (2)若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，，点M是线段上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，当t的取值范围是 时，的最小值保持不变． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的平移变换、点到直线的距离、线段与坐标轴的位置关系．解题思想与方法：数形结合思想，通过分析点的平移规律确定坐标，结合图像观察线段、点的位置关系来求解范围；利用方程思想，根据点在坐标轴上的坐标特征列方程求解t．解题关键：准确理解“t型平移”的定义，明确平移后点的坐标变化规律；结合图像确定线段、点的位置关系，从而得出t的取值范围．易错点：在分析线段与坐标轴的公共点时，容易遗漏线段与x轴仅在时相交的情况；在确定最小值保持不变的t范围时，易忽略结合图像分析的有效运动区间． （1）根据“t型平移”的定义，点进行“t型平移”后得到．对于点，，直接代入计算横坐标，纵坐标，即可得到对应点的坐标． （2）先求出线段进行“t型平移”后、的坐标、．然后分与y轴、x轴有公共点两种情况：与y轴有公共点时，令或的横坐标为0，列方程和，解得和，故；与x轴有公共点时，令或的纵坐标为0，列方程，解得．综合可得t的取值范围． （3）根据“t型平移”得到，结合图像，找到使最小的位置，过该点作与平行的直线．观察图像可知，当在线段上时，的最小值保持不变．分别计算在点和点时的t值，当时，；当时，，从而得出t的取值范围． 【详解】（1）解：将点进行“2型平移”后的对应点的坐标为，即， 故答案为：． （2）解：当线段进行“t型平移”后与y轴有交点时， 当的横坐标为0时，，则， 当点的横坐标为0时，，则， ∴当时，线段进行“t型平移”后与y轴有交点； 当线段进行“t型平移”后与x轴有交点时， 即点的纵坐标为0，，则， ∴当时，线段进行“t型平移”后与x轴有交点； ∴若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，则t的取值范围是或； 故答案为：或． （3）解：如图， 当点M在点C时， 结合“t型平移”的定义和方格特点可知，当时，最小， 要使的最小值保持不变，则过点作， 观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为， 当在点时，，解得， 当在点时，，解得， ． 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，对于点与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点关于第一、三象限角平分线的对称点为，且线段中点为，则称点是图形W关于点的“关联点”． (1)如图1，若点是点关于原点的关联点，则点的坐标为 ； (2)如图2，在中，，，． ①将线段向右平移（）个单位长度，若平移后的线段上存在两个关于点的关联点，则d的取值范围是 ． ②已知点和点，若线段上存在关于点的关联点，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或． 【分析】本题考查了轴对称的性质，中心对称的性质，不等式组的求解，求一次函数的解析式等，解题的关键是用转化的思想借助参数构建不等式组． （1）根据“关联点”的定义可知点，Q关于原点对称，由此即可解决问题． （2）①作出关于对称的，由题意可得当线段向右平移时，与的边有两个交点时满足条件，利用图象法解决问题即可． ②分别求出直线与州的交点和点关于点的对称点的坐标，根据题意即可列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵点关于第一、三象限角平分线的对称点为， ∴， ∵点是点关于原点的关联点， 即点，点关于原点对称， ∴， 故答案为：． （2）解：①如图中，作关于对称的， 当线段向右平移时，与的边有两个交点，即满足条件， 观察图象可知当线段向右平移时，经过点，此时平移的距离为， 当线段向右平移时，经过点，此时平移的距离为， ∴当时，平移后的线段上存在两个关于点的“关联点”， 故答案为：． ②设直线所在的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线所在的函数解析式为， 当时，， 解得：， 即直线与轴的交点为； 则点关于点的对称点坐标为， 点关于点的对称点坐标为， ∵线段上存在关于点的关联点， 即点在线段上或点在线段上， 可得或， 解得：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $