重难点专题02 一元二次方的实际应用（专项训练，8大重难点）新教材沪科版八年级下册数学

重难点专题 一元二次方程的实际应用 重难点一 增长率有关的问题 1.牢记公式； 2.找到基础量a与现有量b直接套公式， 技巧口诀：原来量，乘一加率平方， 两年后，等于目标量，百分号一定要加上. 1．近年来，随着环保理念的普及，传统高能耗家电的销量持续走低，商家接连推出降价优惠方案．某品牌的一款节能冰箱今年3月份的售价为4500元，5月份的售价降至3645元．设该款冰箱这两个月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该款冰箱这两个月售价的月均下降率是，根据题意得， ． 2．为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设周平均增长率为x，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次，从第一周到第三周经过两周增长，故列方程． 【详解】解：根据增长率问题，第一周为基础值，经过两周增长后达到第三周的值， 因此第三周人次为，等于1440， 故列方程为． 故答案为： 3．2023年昆十中高中部考上重点大学的人数为2000人，因教学质量不断提高，2025年考上重点大学的人数达到2420人． (1)求昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率； (2)按照这个增长率，预计2026年昆十中高中部考上重点大学的人数有多少？ 【答案】(1) (2)2662人 【分析】本题主要考查了平均增长率与一元二次方程的实际应用问题，解决此题的关键是读懂题意列出方程； （1）设出平均增长率，列出方程得到答案即可； （2）根据（1）中算出的增长率进行计算即可得到答案 【详解】（1）解：设昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率为x，则 ， 解得：（舍去） ∴昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率为； （2）解：由（1）可知增长率为， ∴（人）， ∴预计2026年昆十中高中部考上重点大学的人数有2662人． 4．年是中国共产党建党周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，赣州市人民政府批准兴国烈士陵园为第一批市级烈士纪念设施基地．据了解，当年3月份该基地接待参观人数万人，5月份接待参观人数增加到万人． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 【答案】(1) (2)万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，解题的关键是根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测． （1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x，根据题意列出等式解出即可； （2）利用（1）中求出的月平均增长率计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这两个月参观人数的月平均增长率为； （2）解：（万人）， 答：六月份的参观人数为万人． 重难点二 解决与面积有关的问题 1.找到图形的长与宽结合已知中的小路宽度或阴影部分的长与宽表示出整体的长与宽； 2.直接根据长方形的面积公式表示出面积，建立方程，解方程从而求解； 速记技巧：四周小路减两倍，交叉小路各减一， 一边靠墙减两倍，长度为正才合理. 5．天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设草坪带的宽度为米，则表演区的长和宽分别为和，再根据长方形面积公式建立方程． 【详解】解：设草坪带的宽度为米， 由题意得， 故选：C． 6．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为____m． 【答案】1 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 7．一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 【答案】的长是5米． 【详解】解：设的长为米，， 根据题意得， 整理得，， 解得， ∴的长是5米． 8．为庆祝六一儿童节，某书店推出了一系列优惠活动．为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图），购买此书籍则赠送如图2所示的精致矩形包书纸，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸的面积为（含阴影部分），且正好可以包好图1中的《世界经典童话》这本书，该书的长为，宽为，厚为．请求出该包书纸包这本书时折进去的宽度． 【答案】折叠进去的宽度为 【详解】解：设折叠进去的宽度为 ， 则， 整理得， 或（不合题意，舍去）， 答：折叠进去的宽度为 重难点三 与利润相关问题 1. 先根据每增长多少或下降多少，销量变化多少列出代数式； 2. 再由销量=原销量±变化量； 3. 最后根据总利润=单件利润×销量列出方程，解方程从而求解. 速记口诀：售价减进是利润，销量跟着价格走， 单件利润乘销量，总利润就列出头， 正负不合都舍去，看清定价再收手. 9．将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个．经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚8000元，则售价应定为（   ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．70元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个．根据利润公式列出利润方程并求解即可进一步得到售价． 【详解】解：设每个商品涨价x元，则售价为元，销量为个． ∵每个利润为元， ∴总利润为． 整理得：， 解得或， 则售价为元或元． 故售价应定为60元或80元． 故选：C． 10．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售24件，每件盈利50元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出3件，如果超市要保证平均每天盈利2520元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？设每件羽绒服应降价元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出每件羽绒服的盈利为元，平均每天的销量为件，再根据利润每件的盈利平均每天的销量列出方程即可得． 【详解】解：设每件羽绒服应降价元，则每件羽绒服的盈利为元，平均每天的销量为件， 则可列方程为． 故选：D． 11．某商品现在出售一件可获利10元，每天可销售20件，若每降价1元可多卖2件，则降价_____元时每天可获利182元． 【答案】3 【详解】解：设降价元，则每天可售出件， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：3． 12．锦州地处北纬，属北温带半干旱季风气候，日照充足、昼夜温差大，且土壤富含矿物质，是优质苹果的“黄金种植区”．某商贩购进一批锦州苹果销售，进价为每千克8元，若按每千克15元销售，平均每天可售出80千克．经市场调查发现，销售单价每降低1元，平均每天的销售量可增加30千克．若该商贩想要平均每天获利680元，并尽快减少库存，销售单价应定为多少元？ 【答案】12元 【详解】解：设销售单价定为元， 则平均每天可售出千克， 依题意，， 解得 ∵尽快减少库存， ∴销售单价应定为12元． 13．根据以下素材，探索完成任务． 背景 凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序作成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色． 素材 某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件． 问题解决 任务1 （1）该泥塑月销售量为___________件；（用含的代数式表示） 任务2 （2）该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 【答案】（1）；（2）该泥塑的售价上涨10元/件 【分析】题目主要考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出方程求解，然后根据题意得出结果即可． 【详解】解：（1）∵月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件， ∴该泥塑月销售量为件， 故答案为：． （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该泥塑的售价上涨10元/件． 重难点四 行程问题 1. 设原来速度为x，得出增速或减速后的速度 2. 结合时间差找出等量关系列出方程； 3. 解出方程后结合实际情况进行取舍. 技巧口诀：行程问题抓路程，速度时间来填空， 道路不同时就用时间差，速度时间都为正，不合题意就舍去. 14．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 【答案】A 【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设约用了x秒． 汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8， ∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x． ∴（20﹣4x）×x=16， 解得：x1=1，x2=4， ∵20﹣8x＞0， ∴x=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值． 15．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 16．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 17．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 18．某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21． （1）甲运动4后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】（1）甲运动4后的路程是14；（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【分析】（1）根据题目所给的函数解析式把t＝4s代入求得l的值即可； （2）根据图可知，二者第一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可． 【详解】(1)当时， （）， 答：甲运动4后的路程是14； （2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21，甲走过的路程为，乙走过的路程为4， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖．解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆． 重难点五 握手、循环问题 1.单循环、握手、通话总次数=； 2.双循环、互送贺卡、互发信息、互赠礼物总次数=n（n-1）； 3.设出未知数，分清楚是单循环还是双循环，对应套公式列出方程解方程即可求解； 技巧口诀：握手比赛单循环，人数乘人减一除二算， 贺卡送礼双循环，直接相乘不用管， 人数必须正整数，负根小数全不算。 19．2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 每支参赛球队需与其余支球队各赛一场，支球队初步计算的比赛场数为场，但此时每场比赛被两支球队各统计了一次，存在重复，因此实际总场数需除以2，再结合已知总场数为场，即可列出正确方程． 【详解】解：∵参赛球队总数为支，每支球队需与其他支球队各进行一场比赛， ∴初步统计的比赛场数为场， 又∵每两支球队的交锋仅算一场，上述统计中每场比赛被重复计算了1次， ∴实际总比赛场数为场， ∴可列出方程． 故选：C． 20．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握根据互赠礼物的数量关系建立方程是解题的关键． 设总人数为，由于每个人都要给除自己之外的其他人赠送1份礼物，所以每人赠送份礼物，总赠送份数等于人数乘以每人赠送的份数，由此建立方程，解方程并舍去不符合实际的解即可得到人数． 【详解】解：设共有人． ， ， ， 解得或（人数不能为负，舍去） 故答案为：． 21．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 22．九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】(1)正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 重难点六 与数字有关问题 1. 设十位数字为x，个位数字为y，两位数可表示为10x+y，三位数可表示为100x+10y+z； 2. 设未知数，根据题意表示出数据之间的关系，进而列出方程，解方程即可求解。 速记口诀：两位数十位乘十加个位，和差积平方找关系， 方程列好解出来，零到九整数才合格， 首位不能取零蛋，不符题意全舍去。 23．若两数的差为4，且它们的积为45，则这两个数为（    ） A．，9 B．，5 C．9，5 D．，或9，5 【答案】D 【分析】设较小的数为x，那么较大的数应该为，根据“积为45”可得出：，解方程即可求得这两个数． 【详解】解：设较小的数为x，根据题意得， 解得，． 那么这两个数就应该是5，9或，． 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 24．淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是_______． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设其中一个正数为，则另一个正数为，根据两个数的积是15，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设其中一个正数为，则另一个正数为， 由题意得， 整理得，即， 解得，， ∴较大的正数是5， 故答案为：5． 25．若两个连续奇数的积为，则这两个数的和为多少? 【答案】或 【分析】此题考查了一元二次方程的应用；要注意题目中给出的等量条件，列出方程细心求解即可．关键是用代数式表示两个连续奇数的方法，两个连续奇数的差为，故设较小的奇数为，那么另外一个奇数为 ，根据题意列出方程，利用求根公式求出的值，即可解答． 【详解】解：设较小的奇数为x，那么另外一个奇数为 x+2， 则， 即：， 在方程中，， 根据求根公式， 解得：， 当时，较大的奇数为，两数之和为； 当时，较大的奇数为，两数之和为； 综上，这两个数的和为或． 答：这两个连续奇数的和为或． 26．直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由． 【答案】存在五个连续正整数，它们分别为： 【分析】假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、，再根据题意，得出，解出然后再根据题意，得出符合题意的的值，进而即可得出第一个正整数，再通过计算即可得出这五个正整数． 【详解】解：假定存在这样的五个正整数，设其中第一个数为，则连续的其他四个数为：、、、， ∴可得：， 解得：或， ∵这五个数为正整数， ∴， ∴，，，， ∴这五个正整数为：， ∴存在五个连续正整数，它们分别为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在设出这五个正整数，再找到等量关系准确列出方程． 重难点七 传播相关问题 1.牢记两轮传播公式：总量= 2.设出未知数x，直接套公式列出方程，解方程即可求解； 速记口诀：传播问题两轮后，一加传染率平方够， 原来一人别忘掉，负根小数全不要. 27．进入年秋冬季以来，全国疫情呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势而此次疫情主要由奥密克戎变异株引起．据调查，奥密克戎变异株的主要特点是致病性减弱，但传播速度更快，传染性更强．在对该病毒的流行性病学调查中发现，在不加任何防护措施的情况下，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一轮传播，1个人会平均感染x个人，此时共有人；二轮传播，每人会平均感染x个人即，此时共有人，即． 【详解】解：设每轮感染中，1个人会平均感染x个人， 则两轮感染后的总人数为： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际问题——传播问题；理清每一轮感染后的人数是解题的关键． 28．2021年7月来，新冠病毒的变异毒株“德尔塔”病毒影响全国人民的生活，有研究表明，“德尔塔”病毒具有较强的传染性，当一个人感染了“德尔塔”病毒后，在没有防控的情况下，经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了（    ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 【答案】B 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了x（1+x）人，根据1人感染了后经过两轮传染共有25人感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了x（1+x）人， 依题意得：1+x+x（1+x）=25， 即， 解得：=4，=-6（不合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了4人． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 29．网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则的值为__________． 【答案】9 【分析】一轮轮传播后，有参与；随后第二轮，新增人收到链接．据此即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得：（舍去） 故答案为：9 【点睛】本题考查传播问题与一元二次方程．明确每轮新增的人数是解题关键． 30．有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人？ 【答案】每轮转发中平均一个人转发给11人 【分析】设每轮转发中平均一个人转发给x人，根据题意可得出第一轮转发共有人收到短信，则第二轮转发共有人收到短信，由此可列出关于x的等式，解出x即可． 【详解】解：设每轮转发中平均一个人转发给x人， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴每轮转发中平均一个人转发给11人． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 31．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染，则，即可求解； 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则一轮传染后共有人被传染，两轮传染后共有人被传染， ∴， 解得：（舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了个人； 重难点八 动点问题 1.根据路程=时间×速度，先用时间t表示出各边边长 2.；找出等量关系，利用面积公式、勾股定理等公式或结论列出方程，解方程即可求解. 速记口诀：遇到动点设时间，边长都用t来变， 面积勾股等腰边，列出方程解一遍， 边长时间都为正，不合题意全不要. 32．如图，在中，，点分别从两点同时出发，沿方向向点匀速移动，它们的速度都是．如果设后的面积为面积的一半，那么所列方程应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用含的代数式表示长度，然后结合的面积为面积的一半这一条件列方程即可。 【详解】解：后，， ，. ， ，． ， ． 故选：． 【点睛】本题涉及直角三角形的面积计算与运动型几何问题。结合几何图形的面积公式建立方程是本题的关键． 33．如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时，____________．    【答案】或18 【分析】本题考查一元二次方程在几何中的应用，根据移动时间为秒，分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况分别用表示出和的底和高，根据建立方程求解，即可解题． 【详解】解：移动时间为秒，正方形的边长为10厘米，厘米， ①当在上时， 有厘米，厘米，厘米， ， ，即， 整理得，解得（不合题意，舍去），． ②当在上时， 则厘米，厘米， ， 整理得，解得，（不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为或18． 故答案为：或18． 34．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止)． （1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？ （2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．    【答案】（1）点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm；（2）能，需运动7s，△APQ的面积能等于22cm2． 【分析】（1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题； （2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题． 【详解】（1）点P从开始到运动停止用的时间为：(12+6)÷2=9s， 点Q从开始到运动停止用的时间为：(6+12)÷1=18s． ∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止， ∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：(6+12)﹣1×9=9cm， 答：点P先到终点，此时点Q离终点的距离是9cm； （2）在运动过程中，△APQ的面积能等于22cm2， 当P从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为as．    ∵△APQ的面积能否等于22cm2， ， ∴12×622， 解得：此方程无解； 当点P从C到D的过程中，设点P运动的时间为(b+6)s．    ∵△APQ的面积能否等于22cm2， ， ∴12×622， 解得：b1=1，b2=14(舍去)， 即需运动6+1=7s，△APQ的面积能等于22cm2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意要巧设未知数，这样可以使问题简单化． 35．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 (3)7 【分析】本题主要考查了列代数式，矩形的性质，一元二次方程的应用，解答本题的关键是熟练运用矩形的性质解决问题． （1）根据路程等于速度乘以时间得到则； （2）根据矩形的性质得到，再根据直角三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）分点P在和点P在上两种情况，根据三角形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 一元二次方程的实际应用 重难点一 增长率有关的问题 1.牢记公式； 2.找到基础量a与现有量b直接套公式， 技巧口诀：原来量，乘一加率平方，两年后，等于目标量，百分号一定要加上. 1．近年来，随着环保理念的普及，传统高能耗家电的销量持续走低，商家接连推出降价优惠方案．某品牌的一款节能冰箱今年3月份的售价为4500元，5月份的售价降至3645元．设该款冰箱这两个月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 3．2023年昆十中高中部考上重点大学的人数为2000人，因教学质量不断提高，2025年考上重点大学的人数达到2420人． (1)求昆十中高中部考上重点大学人数的年平均增长率； (2)按照这个增长率，预计2026年昆十中高中部考上重点大学的人数有多少？ 4．年是中国共产党建党周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，赣州市人民政府批准兴国烈士陵园为第一批市级烈士纪念设施基地．据了解，当年3月份该基地接待参观人数万人，5月份接待参观人数增加到万人． (1)求这两个月参观人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 重难点二 解决与面积有关的问题 1.找到图形的长与宽结合已知中的小路宽度或阴影部分的长与宽表示出整体的长与宽； 2.直接根据长方形的面积公式表示出面积，建立方程，解方程从而求解； 速记技巧：四周小路减两倍，交叉小路各减一，一边靠墙减两倍，长度为正才合理. 5．天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为____m． 7．一个美丽的乡村计划新建一个现代化的猪舍，以改善农场的养殖条件．农场主希望这个猪舍是一个矩形，且面积为25平方米，其中一边将利用现有的围墙（墙长为8米），这样可以节省材料成本．为了建造这个猪舍，农场主购买了长为15米的木板来围住其余的三边．现在，农场主要计算猪舍的边的长度，以便他能够合理地利用这些木板，并确保猪舍的面积符合要求．请你帮他算一算吧． 8．为庆祝六一儿童节，某书店推出了一系列优惠活动．为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图），购买此书籍则赠送如图2所示的精致矩形包书纸，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸的面积为（含阴影部分），且正好可以包好图1中的《世界经典童话》这本书，该书的长为，宽为，厚为．请求出该包书纸包这本书时折进去的宽度． 重难点三 与利润相关问题 1. 先根据每增长多少或下降多少，销量变化多少列出代数式； 2. 再由销量=原销量±变化量； 3. 最后根据总利润=单件利润×销量列出方程，解方程从而求解. 速记口诀：售价减进是利润，销量跟着价格走，单件利润乘销量， 总利润就列出头，正负不合都舍去，看清定价再收手. 9．将进货单价为40元的商品按50元出售时，售出500个．经市场调查发现：该商品每涨价1元，其销量减少10个．为了赚8000元，则售价应定为（   ） A．60元 B．80元 C．60元或80元 D．70元 10．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售24件，每件盈利50元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出3件，如果超市要保证平均每天盈利2520元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？设每件羽绒服应降价元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 11．某商品现在出售一件可获利10元，每天可销售20件，若每降价1元可多卖2件，则降价_____元时每天可获利182元． 12．锦州地处北纬，属北温带半干旱季风气候，日照充足、昼夜温差大，且土壤富含矿物质，是优质苹果的“黄金种植区”．某商贩购进一批锦州苹果销售，进价为每千克8元，若按每千克15元销售，平均每天可售出80千克．经市场调查发现，销售单价每降低1元，平均每天的销售量可增加30千克．若该商贩想要平均每天获利680元，并尽快减少库存，销售单价应定为多少元？ 13．根据以下素材，探索完成任务． 背景 凤翔泥塑是我国一种独特的民间艺术，经过翻拼、封合、缝洗、阴干、钩勒、上彩、上光等十几道工序作成，作品简洁艳丽，夸张传神，表现出浓郁的西府特色． 素材 某种泥塑的制作成本为30元/件，泥塑店销售一段时间后发现，当该泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件泥塑的售价每上涨1元，则该泥塑月销售量将减少10件，设该泥塑的售价上涨x元/件． 问题解决 任务1 （1）该泥塑月销售量为___________件；（用含的代数式表示） 任务2 （2）该店为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价上涨多少元/件？ 重难点四 行程问题 1. 设原来速度为x，得出增速或减速后的速度 2. 结合时间差找出等量关系列出方程； 3. 解出方程后结合实际情况进行取舍. 技巧口诀：行程问题抓路程，速度时间来填空， 道路不同时就用时间差，速度时间都为正，不合题意就舍去. 14．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 15．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 16．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 17．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 18．某学校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏型．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程与时间满足关系：（），乙以4的速度匀速运动，半圆的长度为21． （1）甲运动4后的路程是多少？ （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ 重难点五 握手、循环问题 1.单循环、握手、通话总次数=； 2.双循环、互送贺卡、互发信息、互赠礼物总次数=n（n-1）； 3.设出未知数，分清楚是单循环还是双循环，对应套公式列出方程解方程即可求解； 技巧口诀：握手比赛单循环，人数乘人减一除二算， 贺卡送礼双循环，直接相乘不用管， 人数必须正整数，负根小数全不算。 19．2025-2026赛季滇超联赛（云南省城市足球联赛）第一阶段采用单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进行一场比赛．已知该阶段共进行120场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为支，则可列出关于的方程为（   ） A． B． C． D． 20．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有___________人． 21．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 22．九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 重难点六 与数字有关问题 1. 设十位数字为x，个位数字为y，两位数可表示为10x+y，三位数可表示为100x+10y+z； 2. 设未知数，根据题意表示出数据之间的关系，进而列出方程，解方程即可求解。 速记口诀：两位数十位乘十加个位，和差积平方找关系， 方程列好解出来，零到九整数才合格， 首位不能取零蛋，不符题意全舍去。 23．若两数的差为4，且它们的积为45，则这两个数为（    ） A．，9 B．，5 C．9，5 D．，或9，5 24．淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是_______． 25．若两个连续奇数的积为，则这两个数的和为多少? 26．直角三角形中“勾三股四弦五”这一特殊关系，在中国称为“商高定理”，在国外又称为“毕达哥拉斯定理”．由此发现三个连续正整数3，4，5，满足，即前两个数的平方和等于第三个数的平方．请你探究：是否存在五个连续正整数，满足前三个数的平方和等于后两个数的平方和？若存在，请求出这五个正整数；若不存在，请说明理由． 重难点七 传播相关问题 1.牢记两轮传播公式：总量= 2.设出未知数x，直接套公式列出方程，解方程即可求解； 速记口诀：传播问题两轮后，一加传染率平方够， 原来一人别忘掉，负根小数全不要. 27．进入年秋冬季以来，全国疫情呈现多点爆发，感染人数急速增长的新趋势而此次疫情主要由奥密克戎变异株引起．据调查，奥密克戎变异株的主要特点是致病性减弱，但传播速度更快，传染性更强．在对该病毒的流行性病学调查中发现，在不加任何防护措施的情况下，若1人患病，经过两轮感染后患病人数竟高达人，则每轮感染中，1个人会平均感染多少人？若设每轮感染中，1个人会平均感染x个人，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 28．2021年7月来，新冠病毒的变异毒株“德尔塔”病毒影响全国人民的生活，有研究表明，“德尔塔”病毒具有较强的传染性，当一个人感染了“德尔塔”病毒后，在没有防控的情况下，经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了（    ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 29．网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则的值为__________． 30．有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人？ 31．诺如病毒是一种高度传染性和快速传播的病毒，它通过多种途径传播，包括粪口途径、污染的水源、食物、物品和空气等，尤其是在封闭或人口密集的环境中传播更快，其常见症状为恶心、呕吐、发热、腹痛和腹泻等．如果某人是该病毒患者，经过两轮传染后共有人被传染，请问每轮传染中平均一个人传染了几个人? 重难点八 动点问题 1.根据路程=时间×速度，先用时间t表示出各边边长 2.；找出等量关系，利用面积公式、勾股定理等公式或结论列出方程，解方程即可求解. 速记口诀：遇到动点设时间，边长都用t来变， 面积勾股等腰边，列出方程解一遍， 边长时间都为正，不合题意全不要. 32．如图，在中，，点分别从两点同时出发，沿方向向点匀速移动，它们的速度都是．如果设后的面积为面积的一半，那么所列方程应该是（   ） A． B． C． D． 33．如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时，____________．    34．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点B出发沿线段BC、CD以2cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD、DA以1cm/s的速度向终点A运动(P、Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止)． （1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？ （2）在运动过程中，△APQ的面积能否等于22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由．    35．综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1)当点P在上运动时， ________， ________；（用含t的代数式表示） (2)在（1）的条件下，当时，求t的值； (3)如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $