17.5 一元二次方程的应用 第4课时 可化为一元二次方程的分式方程 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦可化为一元二次方程的分式方程及其应用，通过“温故知新”回顾利润问题列方程，“导学”示范分式方程解法，搭建从一元二次方程到分式方程应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是以实际问题为载体，用表格梳理数量关系培养数学眼光（抽象能力），规范“审设找表列解检答”步骤强调双重检验发展数学思维（推理意识），通过春游费用、高铁速度等实例构建分式方程模型提升数学语言（模型意识）。学生能系统掌握解题方法，教师可高效落实重难点。

17.5 一元二次方程的应用 第17章 一元二次方程及其应用 沪科版 八年级下册 第4课时 可化为一元二次方程的分式方程 学习目标 1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点) 2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点) 温故知新 某商场销售一批运动休闲衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件休闲衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件,若商场销售该批休闲衫平均每天盈利2100元，每件休闲衫应降价多少元？设每件休闲衫降价x元． 根据题意，可列方程为: . (45-x)(20+4x)=2100 解：方程两边同时乘以最简公分母x（x-1）， 得 （x-2)(x-1)+2x=2x（x-1） x2-x-2=0 (x-2)(x+1)=0 解得 x1=2,x2=-1 检验：当x1=2时，x（x-1）≠0 当x2=-1时，x（x-1）≠0 所以原分式方程的解为x1=2,x2=-1 导学 解分式方程： 例 一组学生组织春游，预计共需费用 1 200 元. 后来又有 2 人参加进来，总费用不变，这样平均每人可少分摊 30 元. 原来这组学生的人数是多少? 分析：设原来这组学生有人 ，把题中信息整理成下表： 总费用/元 人数 每人费用/元 原来 现在 1 200 1 200 可利用“原来这组学生每人分摊的费用-增加人数后该组学生每人分摊的费用=30元”列方程. 知识点 可化为一元二次方程的分式方程及其应用 知识讲解 解：设原来这组学生有x人 ，那么每人分摊的费用是元，增加2人后这组学生每人分摊的费用是元. 根据题意，得 方程两边同乘以 x(x + 2)，整理，得x2 + 2x - 80 = 0. 解方程，得x1=-10，x2=8. 经检验,x1=-10,x2=8 都是原方程的根,但 x1=-10 不合题意,所以 x=8. 答：原来这组学生是 8 人. 解分式方程应用题时，所得根不仅要检验是否为增根，还要考虑它是否符合题意. 方法点拨 一组学生组织春游，预计共需费用 1200 元. 后来又有 2 人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊 30 元. 问原来这组学生的人数是多少？ 例 【教材P42 例5】 知识点 可化为一元二次方程的分式方程 推进新课 x 总费用/元 人数 每人费用/元 原来 现在 1200 1200 x x + 2 等量关系： 原来这组学生每人分摊的费用 – 增加人数后该组学生每人分摊的费用 = 30 元 解 设原来这组学生有 x 人，那么每人分摊的费用是 元，增加 2 人后这组学生每人分摊的费用是 元. 根据题意，得 方程两边同乘以 x(x + 2)，整理，得 x2 + 2x – 80 = 0 解方程，得 x1 = – 10，x2 = 8. 经检验，x1 = – 10，x2 = 8 都是原方程的根， 但 x1 = – 10 不合题意，所以 x = 8. 答：原来这组学生是 8 人. 解分式方程应用题时，所得的根，不仅要检验其是否为增根，还要考虑它是否符合题意. 4 3．某路段需要铺轨，先由甲工程队单独做2天后，再由乙工程队单独做3天，刚好完成这项任务，已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，则甲工程队单独完成这项任务需要________天． 9 4. 解方程：x＋ ＝ . 解：原方程变形，得x＋ ＝ . 去分母，得x（x－2）＋x＝2. 去括号，得x2－2x＋x＝2. 移项、合并同类项，得x2－x－2＝0. 分解因式，得（x－2）（x＋1）＝0，解得x1＝2，x2＝－1. 检验：当x＝2时，x－2＝0，则x＝2是原分式方程的增根，当 x＝－1时，x－2≠0，则x＝－1是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝－1. 知识点一：利润问题 1.在新型冠状病毒传染期间，一家药房经营一种N95口罩，这种口罩的进价为每个20元，售价为每个22元，每天可售50个。后来发现这种口罩每个每涨价1元，日销量就减少2个。规定这种口罩售价不能超过30元，药房为了获得日利润340元，问这种口罩每个应涨价多少元? 解：设每个口罩涨价x元。 由题意得 [(22+x)-20](50-2x)=340 整理得：x2-23x+120=0 解得：x1=8，x2=15 当x2=15时， 22+15>30 （不合题意，舍去） 答：这种口罩每个应涨价8元。 2（变式）某店主经营一种商品，进价为每件10元，售价为每件18元，每天可售出20件。在经营的过程中，店主发现：这种商品每件每降价2元，每天的销售量就增加10件。如果店主要想获得175的利润，并且让顾客得到更多优惠，那么这种商品每件应降价多少元? 解：设这种商品每件应降价x元， 由题意得：[(18-x)-10]（20+5x）=175 整理得：x2-4x+3=0 解得：x1=1，x2=3 因为要让顾客得到更多优惠，所以取x=1 答：这种商品每件应降价3元。 如果是为了尽快减少库存呢？应该降价多少元？ 练一练 某条高速铁路全长 720 千米，高铁列车与动车组列车在该高速铁路上运行时，高铁列车的平均速度比动车组列车每小时快 60 千米，因此全程少用 2 小时，求高铁列车全程运行的平均速度． 解：设高铁列车全程运行的平均速度为 x 千米/小时， 根据题意，得 方程两边同乘以 x(x – 60)，整理，得 x2 – 60x – 21600 = 0 方程两边同乘以 x(x – 60)，整理，得 x2 – 60x – 21600 = 0 解方程，得 x1 = – 120，x2 = 180. 经检验，x1 = – 120，x2 = 180 都是原方程的根， 答：高铁列车全程运行的平均速度为 180 千米/小时. 但 x1 = – 120 不合题意，所以 x = 180. 5. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购 进一批篮球和足球.已知每个篮球的价格比每个足球的价格多 20元，用1 500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5 个.如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程（　A　） A. － ＝5 B. － ＝5 C. － ＝5 D. － ＝5 A 6. 甲、乙两辆货车分别从A，B两地同时匀速沿高速公路向C 地运送货物.已知A，C两地相距450千米，B，C两地相距440 千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，且甲车比乙车早半小时 到达C地.求两车的速度. 解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x＋10）千 米/时. 根据题意，得 ＋ ＝ ，解得x1＝80，x2＝－110. 经检验，x1＝80，x2＝－110都是原方程的根，但x2＝－110不 合题意，舍去，∴x＝80，∴x＋10＝90. 答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时. 随堂练习 1. 将分式方程 化为整式方程是（ ） 7x – 1 = 0 7x – 3 = 0 2x2 – 3x + 1 = 0 2x2 – 3x – 1 = 0 D 2. 端午节期间，某商家将每袋粽子降价 2 元销售. 元元发现，降价后用 240 元可以比降价前多购买 10 袋. 求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是 x 元，下面所列方程正确的是（ ） C x = 8 方法指导 基本知识 基本步骤 用一元二次方程解决利润问题 基本公式 单个利润=实际售价-进价（或成本）总利润=总售价-总进价（或总成本）总利润=单个利润×销售量 看、设、找，表，列、解、检、答 基本思想 依次类推：价涨量减利多 价降量增利少 利润率=（售价-进价）➗进价 互学 解：方程两边同时乘以最简公分母x2-1 得：2+（x-1)(x+2)=0 x2+x=0 解得 x1=0,x2=-1 检验：当x=0时，（x-1)(x+1)≠0，是原分式方程的解，当x=-1时（x-1)(x+1)=0，x=-1是增根，不是原方程的解 所以原分式方程的解为x=0 解分式方程的一般步骤： (1) 去分母：方程的两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程. (2) 解这个整式方程. (3) 检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不为0的根是原方程的根，使最简公分母为0的根是原方程的增根. (4) 写出原分式方程的解. 知识点二：解可化为一元二次方程的分式方程   1.解分式方程 2.某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，购买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料一箱有多少瓶？ 解：该品牌饮料一箱有x瓶. 根据题意,得 整理得 x2+3x-130=0 解得 x1=-13,x2=10 经检验,x1=-13,x2=10都是原方程的解，但x1=-13不合题意应舍去，所以取x=10 答：该品牌饮料一箱有10瓶. 知识点三：可化为一元二次方程的分式方程的应用 双重检验:既要检验所求的解是否是原分式方程的解, 还要检验是否符合题意。 9．A，B两地间的距离为15 km，甲从A地出发步行前往B地，20 min后，乙从 B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多走10 km.乙到达A地后停留40 min，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地．求甲从A地到B地步行所用时间． 22 课堂小结 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 在列一元二次方程解应用题时，所得的根一般有两个，但一般只有一个根符合实际问题的要求，所以解方程后要检验看哪个根是符合实际问题的解。 审清题意 设未知数 列方程 解方程 作 答 验根 一元二次方程的应用 增长率 a(1 + x)2 = b，其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量 降低率 a(1 - x)2 = b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量。 注意 1 与 x 位置不可调换 平均变化率问题 几何图形 其他类型问题 常见几何图形面积是等量关系 【解】20 min＋40 min＝1 h. 设甲从A地到B地步行所用时间为x h， 由题意得＝＋10，化简得2x2－5x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－(不合题意，舍去)， 经检验，x＝3是原分式方程的解． ∴甲从A地到B地步行所用时间为3 h. $