专题02 一元二次方程的应用（暑假复习讲义）新九年级数学新教材沪科版

专题02 一元二次方程的应用 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 传播问题 题型6 销售利润问题 题型2 增长率问题 题型7 工程问题 题型3 面积问题 题型8 行程问题 题型4 动态几何问题 题型9 循环赛问题 题型5 数字问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 增长率/降低率问题 2. 利润销售问题 3. 几何面积问题 4. 数字问题 5. 传播传染问题 6. 行程/工程问题 1. 增长率题型：选择、填空常考单/双年增长，解答题结合经济、人口情境列方程，必考验根取舍。 2. 销售利润：中考高频解答，定价增减带动销量变化，易错点：舍去不符合实际的负根、超范围解。 3. 几何应用题：和勾股定理、矩形面积结合，含小路平移转化空白面积，动点压轴小综合。 4. 传染模型：选择题经典模型，区分两轮传染与多轮传染列式差异。 5. 命题趋势：纯列式计算变少，侧重生活真实情境建模，答案必须检验是否贴合现实意义（长度、价格不能为负）。 考情解码：一元二次方程的应用是沪科版八年级下册重难点，承接一元二次方程解法、判别式内容，衔接九年级二次函数实际应用，是初中代数建模思想的核心载体。 考题以解答题为主体，少量选择填空，命题素材紧贴市场经济、生活基建、几何图形、防疫传染等真实场景；高频易错点：①忽略解的实际意义，未舍去负数、超出取值范围的根；②增长率模型指数次数写错；③几何题边长设元后等量关系找错；④利润题销量随单价变化的关系式列反。 本模块是期中、期末、中考必考大题，常与几何、不等式做小型综合，侧重考查从文字信息提炼等量关系、数学建模的核心能力。 知识点一 一元二次方程实际应用常见模型 传播问题：n轮传染后总人数。 增长率问题：起始量，变化率，两次变化后：，增长取，下降取。 面积问题：利用平移法拼接图形，根据剩余面积列等式。 销售利润问题：单件利润×销售数量=总利润，结合价格变动带来的销量变化列式。 握手、单循环赛问题：总次数公式。 互赠礼物问题：总礼物数公式。 【易错提醒】 （1）要舍去不符合现实意义的负数根、超限根。 即时即练为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． (1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ (2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 题型1 传播问题 例1．冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．第1轮后个人患了流感 B．第2轮新增个人患流感 C．可列方程 D．可列方程 例2．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 【技巧总结】 （1）核心公式：，初始基数默认为1； （2）为每轮传播人数，为传播轮数，注意区分总感染人数和新增人数； （3）求出负根直接舍去，结果取正整数。 【变式训练1-1】有一种传染病传染性很强，研究发现，在某地区如果有一个人染上该病，那么经过两轮传染后，理论上就共有121人染上该病，请问该传染病在每轮传染中平均一个人会传染几个人？如果疫情不能得到有效控制，那么经过三轮传染后将会有多少人染上这种病？ 【变式训练1-2】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 题型2 增长率问题 例3．某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为450万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（   ） A． B． C． D． 例4．因新冠病毒的不断变异，市场对口罩的需求增大，某工厂引进了一条口罩生产线，开工第一天生产50万个口罩，第三天生产72万个，调查发现，1条生产线最大产能是150万个/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的最大产能将减小5万个/天． (1)若每天生产口罩增长的百分率相同，求每天增长的百分率； (2)若增加2条生产线，则每天生产口罩最多为 万个；是否能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个，若能，应增加几条？若不能，请说明理由． 【技巧总结】 （1）连续两次变化通用公式：，增长取加，降低取减； （2） 为初始量，为最终量，切勿颠倒数据； （3）单次变化不用平方，仅连续两次变化套用平方公式。 【变式训练2-1】央视春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，今年大年初一接待游客20万人次，大年初三接待游客22万人次，若设平均每天游客人数增长的百分率为，根据题意可得方程为______． 【变式训练2-2】中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 【变式训练2-3】根据以下素材，完成任务． 素材1 随着社区团购的普及，某生鲜配送站的订单处理效率持续提升．该配送站8月份完成订单250单，10月份完成订单640单． 素材2 该配送站每单的配送成本为8元，当每单配送费定为12元时，日订单量为300单；若配送费每提高1元，日订单量将减少20单． 问题解决 任务1 求该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率； 任务2 为使该配送站日利润达到1760元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 题型3 面积问题 例5．如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为，要使围成的花坛的面积为，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 例6．如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： (1)的长为___________米；（用含有的代数式表示） (2)围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【技巧总结】 （1）道路、边框题型用平移法，拼接成规则图形，简化长宽列式； （2）阴影面积=总面积−空白面积，避免重复减、漏减重叠区域； （3）所有边长、宽度结果必须为正数，舍去零和负数解。 【变式训练3-1】学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 【变式训练3-2】某景区内有一块的矩形郁金香园地（如图所示，单位：米），现在其中修建长方形和平行四边形花道（阴影部分所示），供游人散步赏花，若改造后种植郁金香的面积为平方米，求图中的值． 【变式训练3-3】蜜柚是平和县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对蜜柚种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，年蜜柚平均每株产量是千克，年达到了千克，每年的增长率基本相同． 素材二 蜜柚一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：求蜜柚平均每株产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的蜜柚，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 题型4 动态几何问题 例7．如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 例8．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． (1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ (2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【技巧总结】 （1）设运动时间为未知数，用含参数式子表示动态线段长度； （2）依托直角三角形、面积、周长公式列方程，常结合勾股定理解题； （3）解后检验动点运动范围，超出线段长度的解直接舍去。 【变式训练4-1】如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为． (1)当t为何值时，的面积是面积的？ (2)当t为何值时，的长为？ 【变式训练4-2】如图，在矩形中，，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接，，． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 题型5 数字问题 例9．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【技巧总结】 （1）连续数字、奇数、偶数设中间数或相邻数，简化列式； （2）两位数问题：十位数字×10+个位数字，表示真实数值； （3）数字为0-9的整数，超范围、非整数解全部舍去。 【变式训练5-1】如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 【变式训练5-2】请欣赏改编自苏轼《念奴矫·赤壁怀古》的诗歌：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立（三十而立）之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．最后两句大意为十位上的数比个位小3，个位上的数的平方等于他去世时的年龄．求周瑜去世时的年龄． 题型6 销售利润问题 例10．某农村居委会以16000元的成本收购了一种农产品40吨，目前就可以按600元/吨的价格全部销往外地，如果将该农产品先储藏起来，每星期的重量会损失1吨，且每星期需支付各种费用共400元，每星期每吨的价格能上涨100元，但储藏时间不超过10个星期，那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利20500元？ 例11．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元（不计其他费用），据市场调研发现，当这款工艺品的销售单价是50元/件时，每天的销售量是100件，且每件工艺品的售价每提高1元，每天的销售量将减少2件，该公司计划在售价为50元/件的基础上适当提价销售，但销售单价不得超过65元/件．该公司要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品的售价应为多少元？ 【技巧总结】 （1）核心公式：总利润=单件利润×销售数量； （2）单件利润=售价−进价，涨价减量、降价增量，对应关系不写反； （3）严格贴合题干售价、销量限制条件，筛选合规解。 【变式训练6-1】小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 【变式训练6-2】某运动品商场针对某品牌的足球推出团购优惠活动，活动方案如下： 购买足球数量（只） 足球单价（元/只） 不超过30只 每只足球180元 超过30只 购买足球的数量每增加一只，所购足球的单价降2元/只，但足球的单价不得低于120元 某足球学校花费6750元在该运动品商场购买了该品牌的足球，请你确定该足球学校购买足球的数量． 【变式训练6-3】综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每个50元时，每月可销售100把；若塑料椅的售价每降价1元，则销售量增加10把，塑料椅的进价为每把20元，假设塑料椅全部售完（进货量=销售量），设每把塑料椅降价x元，备注：利润=（售价-进价）×销售量，回答下列问题： 【问题】 (1)任务1：每把塑料椅的实际利润为________元（用含x的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含x的代数式表示）． (2)任务2：若经销商计划进货不超过200把，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时塑料椅的售价，反之，请说明理由． (3)任务3：对比试售数据，若经销商想让每月利润达到最大值，求此时塑料椅的售价． 题型7 工程问题 例12．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【技巧总结】 （1） 总工程量常设为1，工作效率=1÷单独完成天数； （2）合作工作量=各队工作量之和，根据总工程量列方程； （3） 工作时间、效率均为正数，舍去不合理负根。 【变式训练7-1】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【变式训练7-2】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 题型8 行程问题 例13．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 （1）依托公式：路程=速度×时间，找准变速、分段行驶的等量关系； （2）相遇、追及问题梳理路程差、路程和，精准列式； （3）速度、时间必须为正值，剔除不符合实际的解。 【变式训练8-1】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【变式训练8-2】是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 题型9 循环赛问题 例14．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，乐陵市某学校九年级举行了足球比赛，比赛以单循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场，设共有x个班级参加比赛，可列方程是（    ） A． B． C． D． 例15．快毕业了，九（1）班同学决定互赠一张贺卡留念，全班送出的贺卡总共2256张，如果设这个班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 （1）单循环公式：，无重复比赛； （2）双循环比赛直接去掉二分之一，为； （3）队伍数量为正整数，小数、负数解一律舍去。 【变式训练9-1】四川省城市足球联赛（简称“川超”），赛事采用主客场双循环赛制（每两个队之间进行两场比赛），其中南充丝绸源点队所在的川东赛区有队伍支，预计共比赛30场，列方程为___________． 【变式训练9-2】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 1．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．某钢铁厂计划今年第一季度1月的总产量为500吨，3月的总产量为720吨，假设平均每月的增长率相同．则第一季度平均每月的增长率为_______． 3．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 4．2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； 5．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示． (1)求矩形菜地的长和宽． (2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买、两种化肥共20千克．已知种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？ 6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 7．某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 8．2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． (1)若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ (2)在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 9． 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程的应用 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 传播问题 题型6 销售利润问题 题型2 增长率问题 题型7 工程问题 题型3 面积问题 题型8 行程问题 题型4 动态几何问题 题型9 循环赛问题 题型5 数字问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 增长率/降低率问题 2. 利润销售问题 3. 几何面积问题 4. 数字问题 5. 传播传染问题 6. 行程/工程问题 1. 增长率题型：选择、填空常考单/双年增长，解答题结合经济、人口情境列方程，必考验根取舍。 2. 销售利润：中考高频解答，定价增减带动销量变化，易错点：舍去不符合实际的负根、超范围解。 3. 几何应用题：和勾股定理、矩形面积结合，含小路平移转化空白面积，动点压轴小综合。 4. 传染模型：选择题经典模型，区分两轮传染与多轮传染列式差异。 5. 命题趋势：纯列式计算变少，侧重生活真实情境建模，答案必须检验是否贴合现实意义（长度、价格不能为负）。 考情解码：一元二次方程的应用是沪科版八年级下册重难点，承接一元二次方程解法、判别式内容，衔接九年级二次函数实际应用，是初中代数建模思想的核心载体。 考题以解答题为主体，少量选择填空，命题素材紧贴市场经济、生活基建、几何图形、防疫传染等真实场景；高频易错点：①忽略解的实际意义，未舍去负数、超出取值范围的根；②增长率模型指数次数写错；③几何题边长设元后等量关系找错；④利润题销量随单价变化的关系式列反。 本模块是期中、期末、中考必考大题，常与几何、不等式做小型综合，侧重考查从文字信息提炼等量关系、数学建模的核心能力。 知识点一 一元二次方程实际应用常见模型 传播问题：n轮传染后总人数。 增长率问题：起始量，变化率，两次变化后：，增长取，下降取。 面积问题：利用平移法拼接图形，根据剩余面积列等式。 销售利润问题：单件利润×销售数量=总利润，结合价格变动带来的销量变化列式。 握手、单循环赛问题：总次数公式。 互赠礼物问题：总礼物数公式。 【易错提醒】 （1）要舍去不符合现实意义的负数根、超限根。 即时即练为推动乡村振兴，弘扬本地农产品品牌，长沙市某大型超市在五一期间特设专柜，销售两种特色水果：大围山黄金梨和沩山李子．已知每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元．在销售过程中发现，当每千克黄金梨的利润为4元，每千克李子的利润为2元时，张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元． (1)求黄金梨和李子每千克的进价分别是多少元？ (2)在（1）的条件下，该超市平均每天可售出黄金梨100千克、李子140千克．市场调研表明：若这两种水果每千克的售价各提高1元，则它们每天的销售量均减少10千克．超市决定将这两种水果每千克的售价均提高a元（不考虑其他因素），要使每天销售这两种水果的总利润为960元，求a的值． 【答案】(1)黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元 (2)2或7 【分析】（1）根据“每千克黄金梨和每千克李子的进价之和为18元”和“张老师购买3千克黄金梨和4千克李子共花费82元”列方程组求解即可； （2）根据售价及销售量的变化，利用“每天销售这两种水果的总利润为960元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设黄金梨每千克的进价为x元，李子每千克的进价为y元，由题意，得 解得． 答：黄金梨和李子每千克的进价分别是10元和8元； （2）解：由题意，得 ， 解得，． 当或7时，两种水果的销售量均大于0，符合题意． 答：a的值为2或7． 题型1 传播问题 例1．冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．第1轮后个人患了流感 B．第2轮新增个人患流感 C．可列方程 D．可列方程 【答案】C 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程． 根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可． 【详解】解：每轮传染中平均一人传染人， 第一轮后患病人数为人，故A正确，不符合题意； 第一轮后有人，每人传染人， 第二轮新增加人，故B正确，不符合题意； 两轮后总患病人数为，且给定为49， 列方程，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意； 故选：C． 例2．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？ 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是73，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是， 根据题意，可得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 【技巧总结】 （1）核心公式：，初始基数默认为1； （2）为每轮传播人数，为传播轮数，注意区分总感染人数和新增人数； （3）求出负根直接舍去，结果取正整数。 【变式训练1-1】有一种传染病传染性很强，研究发现，在某地区如果有一个人染上该病，那么经过两轮传染后，理论上就共有121人染上该病，请问该传染病在每轮传染中平均一个人会传染几个人？如果疫情不能得到有效控制，那么经过三轮传染后将会有多少人染上这种病？ 【答案】1331人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有121人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值，再列式计算即可得出结论． 【详解】解：设该传染病在每轮传染中平均一个人会传染个人，则 ， 解得（舍），或， ∴经过三轮传染后染上这种病的人数为： （人）． 答：经过三轮传染后将会有1331人染上这种病． 【变式训练1-2】近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 题型2 增长率问题 例3．某超市1月份的营业额为200万元，3月份的营业额为450万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，如果平均每月增长率为x，根据某超市1月份的营业额为200万元，则2月份的营业额为万元，3月份的营业额为万元，即可列方程． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 例4．因新冠病毒的不断变异，市场对口罩的需求增大，某工厂引进了一条口罩生产线，开工第一天生产50万个口罩，第三天生产72万个，调查发现，1条生产线最大产能是150万个/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的最大产能将减小5万个/天． (1)若每天生产口罩增长的百分率相同，求每天增长的百分率； (2)若增加2条生产线，则每天生产口罩最多为 万个；是否能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个，若能，应增加几条？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)420，不能，理由见解析 【分析】（1）根据增长率的模型，列方程，即可求解； （2）设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（）万个/天，列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每天增长的百分率为x， 依题意得：． 解得：，（不合题意，舍去） 答：每天增长的百分率为． （2）解：若增加2条生产线，则每天生产口罩最多万个， 设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（）万个/天， 依题意，得：， 化简得：． ∵，方程无解． ∴不能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个． 【技巧总结】 （1）连续两次变化通用公式：，增长取加，降低取减； （2） 为初始量，为最终量，切勿颠倒数据； （3）单次变化不用平方，仅连续两次变化套用平方公式。 【变式训练2-1】央视春晚无锡分会场主舞台所在的清名桥历史文化街区，今年大年初一接待游客20万人次，大年初三接待游客22万人次，若设平均每天游客人数增长的百分率为，根据题意可得方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用大年初三接待游客人次数大年初一接待游客人次数年均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式训练2-2】中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)涨价5元 【分析】（1）利用“原价×(1-下降百分率)2=两次降价后的价格”列方程，注意下降百分率的取值范围是，需舍去不合题意的解． （2）根据“每盒盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择使日销售量更大的涨价金额(即较小的涨价数值)． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为， 根据题意可得：， 解得，(舍去)， 答：每次下降的百分率为． （2）解：设每盒应涨价元， 根据题意可得：， 展开化简得：， 因式分解得：， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每盒应涨价5元． 【变式训练2-3】根据以下素材，完成任务． 素材1 随着社区团购的普及，某生鲜配送站的订单处理效率持续提升．该配送站8月份完成订单250单，10月份完成订单640单． 素材2 该配送站每单的配送成本为8元，当每单配送费定为12元时，日订单量为300单；若配送费每提高1元，日订单量将减少20单． 问题解决 任务1 求该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率； 任务2 为使该配送站日利润达到1760元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 【答案】任务1：月平均增长率为；任务2：每单实际配送费应定为16元 【分析】（1）设每月平均增长率为x，则两次增长后的订单量为， （2）根据“总利润=每单利润×日订单量”，列出一元二次方程，解方程，结合“要降低用户的配送成本”确定解的取舍． 【详解】解：任务1：设该配送站8月份到10月份订单量的月平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 任务2：设配送费用上涨y元，则实际配送费为元，日订单量为单，根据题意， 得， 解得，． ∵要降低用户的配送成本， ∴每单实际配送费为（元）． 答：每单实际配送费应定为16元． 【点睛】连续两次增长率问题一般可用公式，列出方程求解．注意结合题意与实际情况，取舍方程的解． 题型3 面积问题 例5．如图，小区物业准备利用一个直角墙角建造一个矩形花坛，若花坛两边靠墙（墙足够长），剩余两边用篱笆围成，且篱笆总长度为，要使围成的花坛的面积为，设花坛较短边的长度为x，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设花坛较短边的长度为x，则较长边的长度为， 又围成的花坛的面积为， ． 例6．如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： (1)的长为___________米；（用含有的代数式表示） (2)围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，的长为20米 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）用篱笆长加上门宽，减去和的长即可； （2）由长方形面积列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：米； 故答案为：； （2）解：围成的矩形试验田的面积能为240平方米， ∴， 整理得到， 解得：，， 当时，，（不合题意舍去）， 当时，，（符合题意）， 的长为20米． 【技巧总结】 （1）道路、边框题型用平移法，拼接成规则图形，简化长宽列式； （2）阴影面积=总面积−空白面积，避免重复减、漏减重叠区域； （3）所有边长、宽度结果必须为正数，舍去零和负数解。 【变式训练3-1】学校劳动实践课上，同学们计划利用已有的一段长为的围墙，用篱笆搭建一个矩形花圃，如图所示．若要使总长为的篱笆恰好用完，矩形花圃的面积为，则的长为__________． 【答案】 【分析】设的长为，根据篱笆总长为表示出的长，利用矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并根据围墙长度限制进行检验即可． 【详解】解：设的长为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵篱笆总长为， ∴， 根据题意，得， 解得， 当时，， ∵，即长超过了围墙长度， ∴不符合题意，舍去， 当时，， ∵，符合题意， ∴的长为． 【变式训练3-2】某景区内有一块的矩形郁金香园地（如图所示，单位：米），现在其中修建长方形和平行四边形花道（阴影部分所示），供游人散步赏花，若改造后种植郁金香的面积为平方米，求图中的值． 【答案】的值是 【分析】本题考查了一元二次方程与实际问题，关键是根据等量关系列方程；根据改造后种植郁金香的面积为平方米列方程即可. 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：（舍）， 答：的值是． 【变式训练3-3】蜜柚是平和县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对蜜柚种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，年蜜柚平均每株产量是千克，年达到了千克，每年的增长率基本相同． 素材二 蜜柚一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：求蜜柚平均每株产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的蜜柚，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． （1）设蜜柚平均每株产量的年平均增长率为，根据连续年增长后每株产量增长为千克，列方程求解； （2）设裁掉的正方形的边长为，则长方体纸盒的底面长为，宽为，根据长方体纸盒底面积为，列方程求出裁掉的正方形的边长，正方形的边长即为长方体的高． 【详解】（1）解：设蜜柚平均每株产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：蜜柚平均每株产量的年平均增长率为； （2）解：设裁掉的正方形的边长为，则长方体纸盒的底面长为，宽为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：此时长方体纸盒的高为． 题型4 动态几何问题 例7．如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 例8．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发沿以的速度向终点运动，当点到达点时，点也停止运动． (1)出发几秒时，点、之间的距离是点、之间的距离的2倍？ (2)在点、的运动过程中，是否存在某个时刻，使得的面积是？若存在请求出运动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3秒 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解是解题的关键． （1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍，根据勾股定理可得，然后再代入相应数据可得方程，再解即可； （2）设秒后的面积是，利用矩形面积的面积周围三个三角形面积和列方程即可． 【详解】（1）设秒后点、的距离是点、距离的2倍， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 当时， ， 解得：，（舍去）； 答：3秒后，点、的距离是点、的距离的2倍； （2）不存在，理由如下： 设秒后的面积是16， ． ， 整理得， ∴该方程无解， 不存在时间使得的面积是16． 【技巧总结】 （1）设运动时间为未知数，用含参数式子表示动态线段长度； （2）依托直角三角形、面积、周长公式列方程，常结合勾股定理解题； （3）解后检验动点运动范围，超出线段长度的解直接舍去。 【变式训练4-1】如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为． (1)当t为何值时，的面积是面积的？ (2)当t为何值时，的长为？ 【答案】(1)1 (2)或2 【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程的意义，由题意得一元二次方程是关键． （1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴当为1时，的面积是面积的； （2）解：设秒后，的长度等于， 根据勾股定理，得，即， 整理得，， 解得，． ∴当为或2时，的长度等于． 【变式训练4-2】如图，在矩形中，，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接，，． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 【答案】(1)能为，的值为2 (2)当的值为1或2时，的面积为 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用． （1）根据点的运动速度表示出、的长度，利用勾股定理列出关于的方程，求解并检验； （2）用矩形面积减去周围三个三角形面积表示出的面积，列出方程求解． 【详解】（1）解：的长度能为， 根据题意，得，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 在中，根据勾股定理， 得， 当时，，即， 这里，，， ∴， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）． ∴的长度能为，此时的值为2． （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，． ∴ ， 当时，． 解得，． ∴当的值为1或2时，的面积为． 题型5 数字问题 例9．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为53 【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式． 设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据题意表示出两位数，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：原来的两位数为53． 【技巧总结】 （1）连续数字、奇数、偶数设中间数或相邻数，简化列式； （2）两位数问题：十位数字×10+个位数字，表示真实数值； （3）数字为0-9的整数，超范围、非整数解全部舍去。 【变式训练5-1】如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为345，则这个最小数为？ 【答案】15 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设最小数为，则最大数为，根据最小的数与最大的数的乘积为345建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 解得，， 答：这个最小数为15． 【变式训练5-2】请欣赏改编自苏轼《念奴矫·赤壁怀古》的诗歌：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立（三十而立）之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．最后两句大意为十位上的数比个位小3，个位上的数的平方等于他去世时的年龄．求周瑜去世时的年龄． 【答案】周瑜去世时年龄为36岁． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设十位上的数为，根据题中“十位上的数比个位小，个位上的数的平方等于他去世时的年龄”，列方程解答即可． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位上的数是． 由题意，得， 解得． 周瑜已过而立之年， ． 故答案为：周瑜去世时年龄为36岁． 题型6 销售利润问题 例10．某农村居委会以16000元的成本收购了一种农产品40吨，目前就可以按600元/吨的价格全部销往外地，如果将该农产品先储藏起来，每星期的重量会损失1吨，且每星期需支付各种费用共400元，每星期每吨的价格能上涨100元，但储藏时间不超过10个星期，那么储藏多少个星期出售这种农产品可获利20500元？ 【答案】储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设储藏x个星期出售这种农产品可获利20500元， 根据题意得：， 解得，，（舍去）， 答：储藏5个星期出售这种农产品可获利20500元． 例11．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元（不计其他费用），据市场调研发现，当这款工艺品的销售单价是50元/件时，每天的销售量是100件，且每件工艺品的售价每提高1元，每天的销售量将减少2件，该公司计划在售价为50元/件的基础上适当提价销售，但销售单价不得超过65元/件．该公司要使每天销售这种工艺品盈利1600元，每件工艺品的售价应为多少元？ 【答案】60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握利润问题是解题的关键． 设每件工艺品的售价应为元，则每天的销售量为件，根据利润公式列方程，求解即可． 【详解】解：设每件工艺品的售价应为元，则每天的销售量为件， 根据题意，得， 整理得， 解得或． ， ． 答：每件工艺品的售价应为60元． 【技巧总结】 （1）核心公式：总利润=单件利润×销售数量； （2）单件利润=售价−进价，涨价减量、降价增量，对应关系不写反； （3）严格贴合题干售价、销量限制条件，筛选合规解。 【变式训练6-1】小王准备投资销售一种进价为每公斤40元的坚果．通过试营销发现：当销售单价在每公斤40元到90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 【答案】(1) (2)60元或70元 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为， 把，代入中得：， 解得， 与之间的函数解析式为； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 如果小王想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤60元或70元． 【变式训练6-2】某运动品商场针对某品牌的足球推出团购优惠活动，活动方案如下： 购买足球数量（只） 足球单价（元/只） 不超过30只 每只足球180元 超过30只 购买足球的数量每增加一只，所购足球的单价降2元/只，但足球的单价不得低于120元 某足球学校花费6750元在该运动品商场购买了该品牌的足球，请你确定该足球学校购买足球的数量． 【答案】该足球学校购买足球的数量为只 【分析】先通过计算判断购买数量的范围，再根据总价等于单价乘以数量列一元二次方程求解，舍去不符合题意的解，得到最终结果． 【详解】解 若购买足球不超过30只，则最多花费（元） 该足球学校购买足球数量超过30只， 当足球单价恰好为120元时，购买数量为（只） 若购买数量超过60只，总价最少为（元） 该足球学校购买足球数量满足 设该足球学校购买足球只，则每只足球的单价为元 根据题意列方程得 解得 ， 不符合题意，舍去 答：该足球学校购买足球的数量为45只． 【变式训练6-3】综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每个50元时，每月可销售100把；若塑料椅的售价每降价1元，则销售量增加10把，塑料椅的进价为每把20元，假设塑料椅全部售完（进货量=销售量），设每把塑料椅降价x元，备注：利润=（售价-进价）×销售量，回答下列问题： 【问题】 (1)任务1：每把塑料椅的实际利润为________元（用含x的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含x的代数式表示）． (2)任务2：若经销商计划进货不超过200把，能否让每月利润达到3750元？若能，请求出此时塑料椅的售价，反之，请说明理由． (3)任务3：对比试售数据，若经销商想让每月利润达到最大值，求此时塑料椅的售价． 【答案】(1)， (2)能，售价为元 (3)元 【分析】（1）用实际售价减去进价即可表示利润；塑料椅的售价每降价1元，则销售量增加10把，则塑料椅降价x元，销售量增加把，即可得到塑料椅的销售量； （2）根据利润公式建立一元二次方程求解，并检验是否符合题意即可； （3）根据利润公式表示出利润，再利用配方法求解最值即可． 【详解】（1）解：由题意得，每把塑料椅的实际利润为元；塑料椅的销售量为把； （2）解：能让每月利润达到3750元， 由题意得， 整理得， 解得， 当时，销售量为，符合题意； 当时，销售量为，不符合题意， 则此时的售价为（元） 答：能让每月利润达到3750元，此时的售价为元； （3）解：令利润为元，由题意得， ∵， ∴， ∴， 即，当时，取得最大值， 那么此时的售价为（元） 答：经销商想让每月利润达到最大值，此时塑料椅的售价为元． 题型7 工程问题 例12．列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 【技巧总结】 （1） 总工程量常设为1，工作效率=1÷单独完成天数； （2）合作工作量=各队工作量之和，根据总工程量列方程； （3） 工作时间、效率均为正数，舍去不合理负根。 【变式训练7-1】某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 【变式训练7-2】城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 题型8 行程问题 例13．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 【技巧总结】 （1）依托公式：路程=速度×时间，找准变速、分段行驶的等量关系； （2）相遇、追及问题梳理路程差、路程和，精准列式； （3）速度、时间必须为正值，剔除不符合实际的解。 【变式训练8-1】在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 【变式训练8-2】是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 题型9 循环赛问题 例14．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，乐陵市某学校九年级举行了足球比赛，比赛以单循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场，设共有x个班级参加比赛，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出其等量关系． 单循环赛中，比赛总场次为，根据“共比赛了45场”,列出方程，即可解题． 【详解】解：∵每个班级之间均比赛一场， ∴总场次为， 又∵总场次为45， ∴， 故选：D． 例15．快毕业了，九（1）班同学决定互赠一张贺卡留念，全班送出的贺卡总共2256张，如果设这个班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．一名学生要送张贺卡，x名学生要送张贺卡，根据贺卡总共2256张列方程即可． 【详解】解：根据题意，， 故选：B． 【技巧总结】 （1）单循环公式：，无重复比赛； （2）双循环比赛直接去掉二分之一，为； （3）队伍数量为正整数，小数、负数解一律舍去。 【变式训练9-1】四川省城市足球联赛（简称“川超”），赛事采用主客场双循环赛制（每两个队之间进行两场比赛），其中南充丝绸源点队所在的川东赛区有队伍支，预计共比赛30场，列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．双循环赛制下，每两支队伍之间进行两场比赛，总比赛场数为队伍数与的乘积． 【详解】解：根据题意，总比赛场数为场， 故列方程为． 故答案为：． 【变式训练9-2】在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 【答案】(1)3；15 (2)10人 (3)不可能；理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索、一元二次方程的应用，正确归纳推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳推出一般规律，令，解一元二次方程即可得； （3）参照（2）的规律，归纳推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次）， 若参加聚会的人数为6，则共握手（次）． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （3）解：角的总数不可能是20；理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以角的总数不可能为20个． 1．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿边向点匀速运动，同时另一点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，当的面积为时，运动时间为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为，其中，则，, ， 的面积为， ， 解得：或， 即当的面积为时，运动时间为或． 2．某钢铁厂计划今年第一季度1月的总产量为500吨，3月的总产量为720吨，假设平均每月的增长率相同．则第一季度平均每月的增长率为_______． 【答案】20% 【分析】设第一季度平均每月的增长率为，结合已知1月和3月的产量，可列出关于的一元二次方程．解一元二次方程，结合增长率为正数的实际意义，筛选得到符合要求的解． 【详解】解：设第一季度平均每月的增长率为， 由题意得：， 解得：，， 增长率不能为负数， 舍去． 故答案为． 3．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 【答案】7 【分析】根据探究活动中总结的末位为 5 的两位数平方的计算规律，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：根据探究活动可知，． 因为， 所以， 移项，得， 两边同时除以100，得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 4．2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； 【答案】 这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为 【分析】设年平均增长率为，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元，列出方程求解，并取符合实际的值即可． 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意得，， 解得 或 （舍去）． 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为． 5．为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的围墙边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示． (1)求矩形菜地的长和宽． (2)现要给这块菜地施肥，该社团计划购买、两种化肥共20千克．已知种化肥每千克8元，每千克可给1平方米的菜地施肥；种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥．假设菜地的一部分施种化肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，又能使总花费最少？ 【答案】(1)矩形菜地的长为5米，宽为3米 (2)购买种化肥7.5千克，种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少 【分析】（1）根据矩形菜地的面积为15平方米，列一元二次方程进行求解． （2）设购买种化肥千克，根据“要给15平方米的菜地施肥”，可列不等式，确定的取值范围，再根据“总花费=种化肥的花费+种化肥的花费”，列出总花费与的函数关系式，最后确定购买方案． 【详解】（1）解：设矩形菜地的宽为米，则长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， （米）． 答：矩形菜地的长为5米，宽为3米． （2）解：设购买种化肥千克，则购买种化肥千克，总花费为元， 由题意，得， 解得． 由题意，得， ∵， 随的增大而增大， 当取最小值，即时，取最小值， 此时． 答：购买种化肥7.5千克，种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少． 6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患病． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)按这样的传染速度，经过三轮传染后，患流感的人数是否突破600人？ 【答案】(1)平均一个人传染了7人 (2)经过三轮传染后，患流感人数不能突破600 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有64人患病，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，列出算式求出三轮传染后的总人数，进行判断即可． 【详解】（1）解：设平均一个人传染了人， 则． 解得，（舍去）． 答：平均一个人传染了7人． （2）经过三轮传染后，患流感人数为， ． 答：经过三轮传染后，患流感人数不能突破600人． 7．某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各比赛一场），计划一共举行45场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为保证比赛正常进行，邀请方与羽毛球商两次协商后，羽毛球商由原来每桶羽毛球售价50元，降为每桶32元，求平均每次协商后降价的百分率． 【答案】(1)10人； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该邀请赛的参赛选手人数为x，根据实行单循环赛制共赛了45场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设平均每次协商后降价的百分率为a，根据两次降价列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设该邀请赛的参赛选手人数为x人． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：该邀请赛的参赛人数为10人； （2）解：设平均每次协商后降价的百分率为a． 根据题意： 解得：，（不合题意，舍去） 答：平均每次协商后降价的百分率为． 8．2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． (1)若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ (2)在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 【答案】(1)35元 (2) 【分析】（1）设售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （2）设这两周销售量的平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则单个玩偶的利润为元， 这周的销售量为个， 由题意，得， 整理得，解得，． 因为要最大程度让利消费者，所以舍去，售价应定为35元； 答：售价应定为35元． （2）解：设这两周销售量的平均增长率为． 由（1）知售价为35元时，第二周的销售量为（个）， 则， 解得，（舍去）． 答：这两周销售量的平均增长率为． 9． 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)30元 (3)能；10元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x，根据正月初一的客运收入为5万元，正月初三的客运收入达到7.2万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份，根据使平均每天的销售利润达到1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份，根据平均每天能否获利1600元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 即从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为； （2）解：设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 则， 即下调后每份套餐的售价是30元； （3）解：设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程有两个相等的实数根， 解得， 则该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $