重难点专题01 一元二次方程的根及其应用（专项训练，7大重难点）新教材沪科版八年级下册数学

重难点专题 一元二次方程的根及其应用 重难点一 判断是否是一元二次方程的根 将未知数的值代入方程左右两边进行计算，如果方程的左边=方程的右边，则该未知数的值是方程得解，反之，则不是方程旳解。 技巧口诀：未知数，全换掉，左右两边算一算， 相等就是方程根，不等直接就不要。 1．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 2．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 4．请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 重难点二 已知一元二次方程的一根求参数的值 1.先分析清楚那个未知数是参数； 2.直接将方程的一个根代入方程中进行化简，求出参数的值即可，如果二次项系数含有参数，则系数不能为0； 速记技巧：已知一根求参数，直接代入最靠谱， 算出参数别着急，二次系数不为0. 5．若关于的一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D． 6．已知关于x的方程的一个根为，则k的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．若是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．关于的方程的一个根为，则的值为___________． 9．已知关于x的方程有一个根是0，则m的值为____． 10．若关于的一元二次方程有一个根为2，则实数的值是_____． 重难点三 已知一根整体求代数式的值 1. 将根代入方程，变形得到整体式的值； 2. 再将所求代数式的往“整体式”凑； 3. 将整体式的值代入已凑好的含有整体式的代数式中进行计算，即可求解. 速记口诀：已知方程一根在，不求根来只代换， 整体凑成形相同，一 一代入算得快。 11．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（　　） A．2020 B．2027 C．2021 D．2024 12．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 13．若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（   ） A．2026 B．2025 C．2033 D．2034 14．已知是方程的一个根，则的值为______． 15．若m是一元二次方程的一个根，则多项式的值为______． 16．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 重难点四 判断一元二次方程根的情况 1. 将方程化为一般式 2. 写出a，b，c的值； 3. 计算Δ=的值，根据Δ>0，方程有两个不相等的实数根；Δ=0，方程有两个相等的实数根；Δ<0，方程没有实数根； 技巧口诀：先找abc，再算判别式， 大于0俩不等，等于0俩相等，小于0则无根. 17．一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 18．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 19．方程的根的情况是（   ） A．两实根的和为 B．两实根的积为3 C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根 20．若，则关于x的方程的实数根的个数为_____． 21．已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________． 22．已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 23．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 重难点五 利用韦达定理求代数式的值 1.先将方程化为一般式2.找出abc的值； 3.根据韦达定理算出,的值； 4.把所求代数式化为只含和、积的形式，再将,的值代入进行计算即可求解； 技巧口诀：韦达定理真好用，不求根来只算和和积， 平方和差与倒数，通通变形往里代， 符号公式别记错，代数计算稳得分。 24．已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 25．若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 26．已知实数、是关于的方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 27．方程的根是与，则________． 28．若是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．405 C． D．2025 29．若是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．－2 D．6 30．若实数m、n满足且，则的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 31．一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 32．已知，是方程的两根，则的值为（    ） A．3 B． C． D．-1 33．若，是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．2 D．4 重难点六 已知一元二次方程的一根求另一根 1. 可将方程的一个根代入方程求出参数的值，进而得出具体的方程，再解方程即可求解； 2. 可用韦达定理列出关于两根的方程，解方程即可求解。 速记口诀：已知一根求一根，韦达和积最给力， 和减已知得未知，积除已知也可以。 34．若是一元二次方程的一个根，则另一个根是（    ） A．1 B．5 C． D． 35．已知是关于的一元二次方程的一个实数解，则该方程的另一个解为（    ） A． B．2 C．3 D．4 36．若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 37．已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根是_____． 重难点七 已知一元二次方程的一根的情况求参数的取值范围 1.先将方程化为一般式 2.牢记，算出判别式的值，利用韦达定理求出两根之和或积的值，由其正负列和、积不等式； 3.联立求解，取各个部分。 速记口诀：二次系数不为0，判别式子先算清， 正根负根异号根，韦达和积列不等， 多个条件取交集，参数范围就搞定。 38．若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 39．、是关于的一元二次方程的两个实数根，且．的取值范围为______． 40．若关于的方程的两个实数根都大于，则的取值范围是__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 一元二次方程的根及其应用 重难点一 判断是否是一元二次方程的根 将未知数的值代入方程左右两边进行计算，如果方程的左边=方程的右边，则该未知数的值是方程得解，反之，则不是方程旳解。 技巧口诀：未知数，全换掉，左右两边算一算， 相等就是方程根，不等直接就不要。 1．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断． 【详解】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时， ，该选项不符合题意； B、当时， ，该选项符合题意； C、当时， ，该选项不符合题意； D、当时， ，该选项不符合题意． 故选：B． 3．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 4．请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是根据方程的解构造一元二次方程． 根据一元二次方程的解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为方程的一个解是1，所以可设方程为，展开得到． 故答案为：（答案不唯一）． 重难点二 已知一元二次方程的一根求参数的值 1.先分析清楚那个未知数是参数； 2.直接将方程的一个根代入方程中进行化简，求出参数的值即可，如果二次项系数含有参数，则系数不能为0； 速记技巧：已知一根求参数，直接代入最靠谱， 算出参数别着急，二次系数不为0. 5．若关于的一元二次方程有一个根是2，则的值为（   ） A．3 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了通过一元二次方程的解求参数，解题的关键是掌握一元二次方程解的定义． 利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：A． 6．已知关于x的方程的一个根为，则k的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，求解的值． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根为， ∴，即， ∴． 故选：B． 7．若是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程，将代入方程，直接计算的值． 【详解】是方程的根， ∴代入得：， 解得． 故选：D． 8．关于的方程的一个根为，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：． 9．已知关于x的方程有一个根是0，则m的值为____． 【答案】 1 【分析】本题考查了方程的解的定义．将代入方程，利用根的定义求解 【详解】解：将代入方程 ，得 ， 故答案为：1 10．若关于的一元二次方程有一个根为2，则实数的值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 将根代入方程，得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得． 故答案为：． 重难点三 已知一根整体求代数式的值 1. 将根代入方程，变形得到整体式的值； 2. 再将所求代数式的往“整体式”凑； 3. 将整体式的值代入已凑好的含有整体式的代数式中进行计算，即可求解. 速记口诀：已知方程一根在，不求根来只代换， 整体凑成形相同，一 一代入算得快。 11．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（　　） A．2020 B．2027 C．2021 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解与代数式求值，利用方程的解得到的值，再整体代入变形后的代数式即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴ ， 故选：D． 12．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解. 【详解】解：是方程的根， ， 即， ， ． 13．若m是一元二次方程的一个根，则代数式为（   ） A．2026 B．2025 C．2033 D．2034 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值．利用方程解的定义对代数式变形，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 14．已知是方程的一个根，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、整体代入法求代数式的值． 利用方程的根的定义得到含的等式，再将所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，根据方程的根的定义可得： ， 移项得． 将代入，得． 15．若m是一元二次方程的一个根，则多项式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根、求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义可得，则，再整体代入到多项式求值即可求解． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由一元二次方程的解可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 重难点四 判断一元二次方程根的情况 1. 将方程化为一般式 2. 写出a，b，c的值； 3. 计算Δ=的值，根据Δ>0，方程有两个不相等的实数根；Δ=0，方程有两个相等的实数根；Δ<0，方程没有实数根； 技巧口诀：先找abc，再算判别式， 大于0俩不等，等于0俩相等，小于0则无根. 17．一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式与0的大小关系，即可判断方程实数根的情况. 【详解】∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根. 18．下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程的根与的关系：时方程有两个不相等的实数根，逐项计算判别式即可求解． 【详解】解：A选项：，，，， ， 方程没有实数根，此选项不符合题意； B选项：，，，， ， 方程有两个不相等的实数根，此选项符合题意； C选项：，，，， ， 方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意； D选项：，，，， ， 方程没有实数根，此选项不符合题意； 故选：B． 19．方程的根的情况是（   ） A．两实根的和为 B．两实根的积为3 C．有两个不相等的正实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义； 利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】解：在方程中，，，． ， ∴方程没有实数根． 故选：D． 20．若，则关于x的方程的实数根的个数为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．计算根的判别式，根据k的取值范围，得到判别式的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ ， 因为， 所以， 故方程有两个不相等的实数根， 故答案为：2． 21．已知关于x的一元二次方程（a、b为常数，且），这个方程的根的情况是___________． 【答案】方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 通过计算判别式判断根的情况即可． 【详解】解：判别式 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：方程有两个不相等的实数根． 22．已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式并证明其始终非负是解题的关键． 首先通过计算判别式，再证明其始终非负从而得出方程总有实数根． 【详解】证明：∵， 又∵恒成立， ∴， ∴不论m取何值，方程都有实数根． 23．已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式得出，据此可得答案． 【详解】证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 重难点五 利用韦达定理求代数式的值 1. 先将方程化为一般式 2. 找出abc的值； 3. 根据韦达定理算出,的值； 4. 把所求代数式化为只含和、积的形式，再将,的值代入进行计算即可求解； 技巧口诀：韦达定理真好用，不求根来只算和和积， 平方和差与倒数，通通变形往里代， 符号公式别记错，代数计算稳得分。 24．已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（  ） A． B．3 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得， 此时方程化为，，符合题意； 故. 25．若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由一元二次方程根与系数的关系，，，由此可解． 【详解】由题意得，，， ． 26．已知实数、是关于的方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，再代入求解即可． 【详解】∵实数、是关于的方程的两根， ∴，， ∴， 故选：B 27．方程的根是与，则________． 【答案】 【分析】先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式的变形计算目标式子的值． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系可得： ，． 由完全平方公式的变形可知． 将，代入上式： 28．若是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．405 C． D．2025 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则 ． 【详解】解：∵是方程的两个根，其中，， ∴． 29．若是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．－2 D．6 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接利用两根之和的结论即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和， 故选：B． 30．若实数m、n满足且，则的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键，若一元二次方程的两个根分别为和，则． 利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵实数m、n满足且， 即 ∴m和n是的两个根， ∴， 则， 故选：A． 31．一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再由进行求解，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，那么将，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． 32．已知，是方程的两根，则的值为（    ） A．3 B． C． D．-1 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．先利用该关系求出与的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， 将，代入， 得， 故选：B． 33．若，是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解及求代数式的值．先根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得出，，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即，且 ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ， ∴原式， 故选：D． 重难点六 已知一元二次方程的一根求另一根 1. 可将方程的一个根代入方程求出参数的值，进而得出具体的方程，再解方程即可求解； 2. 可用韦达定理列出关于两根的方程，解方程即可求解。 速记口诀：已知一根求一根，韦达和积最给力， 和减已知得未知，积除已知也可以。 34．若是一元二次方程的一个根，则另一个根是（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和等于即可快速求出另一个根，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设方程的另一个根为， ∵是一元二次方程的一个根， ∴. 解得， ∴方程的另一个根是1， 故选：A． 35．已知是关于的一元二次方程的一个实数解，则该方程的另一个解为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义、一元二次方程的解法以及根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握代入求值法和根与系数的关系公式是解题的关键． 方法一：将已知根代入方程，求出参数的值，再解一元二次方程得到另一个根． 方法二：利用一元二次方程根与系数的关系，直接根据两根之和求出另一个根． 【详解】方法一： ∵是方程的一个实数解， ∴将代入方程得， 即， ∴ 则原方程为， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∴方程的另一个解为； 方法二： 设方程的另一个解为， ∵在一元二次方程（）中，两根之和为， 在方程中，，， ∴， ∴， 即方程的另一个解为． 故选：A． 36．若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系快速求出另一个根，也可先代入已知根求出k的值，再解方程得到结果． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵对于一元二次方程，两根之和为， 又∵方程中，，一个根为1， ∴， ∴， 即方程的另一个根为， 故选：A． 37．已知一元二次方程有一个根是2，则另一个根是_____． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之积等于是解题关键，根据两根之积等于，代入数据求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为． 在一元二次方程中，根据根与系数的关系，两根之积为． 对于方程，其中，， ∵有一个根为2． ∴，解得． 故答案为：4． 重难点七 已知一元二次方程的一根的情况求参数的取值范围 1.先将方程化为一般式 2.牢记，算出判别式的值，利用韦达定理求出两根之和或积的值，由其正负列和、积不等式； 3.联立求解，取各个部分。 速记口诀：二次系数不为0，判别式子先算清， 正根负根异号根，韦达和积列不等， 多个条件取交集，参数范围就搞定。 38．若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：设方程的两根为、，且，， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴，即， ∴，解得， 又判别式， 当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件； 综上，的取值范围是． 39．、是关于的一元二次方程的两个实数根，且．的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系代入不等式求解，同时考虑判别式确保方程有两个实数根． 【详解】解：对于一元二次方程， 由根与系数的关系，得，， 则， ∵，即， 解得 ， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 40．若关于的方程的两个实数根都大于，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．根据方程有两个实数根得出，可得或，根据两个实数根都大于列不等式组，解不等式组即可得答案． 【详解】解：设方程的两个实数根为、， ∴，，， 解得：或， ∵关于的方程的两个实数根都大于， ∴，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $