9.2轴对称（题型专练）数学新教材苏科版七年级下册

9.2轴对称 题型一 轴对称变换作图 1．（2024·南京·期中）桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（　　） A．D B．E C．F D．G 2．（2025·江宁区·校级月考）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A．10：21 B．10：51 C．12：01 D．15：01 3．（2025·滨湖区·期中）在如图所示的正方形网格中，画出格点△DEF，使得△DEF与△ABC成轴对称，则不同位置的△DEF有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．如图，在平面直角坐标系内，已知A（3，4），B（1，2），C（5，1）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）△ABC的面积为　　． 题型二 根据轴对称的性质求角度 1．（2025·涟水县·期中）如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 2．（2025·吴江区·期中）如图，点P在∠AOB内，OP与OC关于OA对称，OP与OD关于OB对称，若CD＝OP，则∠AOB的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 3．（2025·如皋市·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知AB，BC，CQ都是直线，PQ∥RS，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCQ的平分线CM垂直于RS，若∠CQR＝33°，则∠ABP的度数为　　． 题型三 根据轴对称的性质求线段长/周长 1．（2025·雨花台区·校级月考）如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 2．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是关于OA、OB有对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为5cm，则P1P2＝　　cm． 3．（2025·盐都区·期末）如图，直线l1，l2交于点O，点P关于l1，l2的对称点分别为点P1，P2，若OP＝8，P1P2＝14，则△P1OP2的周长是　　 ． 4．（2025·江阴市·校级月考）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3cm，PN＝5cm，MN＝5.5cm，则线段QR的长为　　cm． 题型四 根据轴对称的性质求面积 1．（2025·江阴市·期中）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　） A．15 B．7.5 C．6 D．4.5 题型五 轴对称有关的辨析 1．（2024·梁溪区·校级期末）已知△ABC与△A'B'C'分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点A与点A′、点B与点B'、点C与点C′都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A．AB' B．BB' C．BC′ D．AC′ 2．（2025·大丰区·期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上 题型六 轴对称图形的辨析 1．（2025秋•沭阳县校级期末）下列各图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·宿城区·月考）下列图形中：线段；角；长方形；梯形；平行四边形；圆；等边三角形．其中，一定是轴对称图形有　　个． 题型七 轴对称图形的对称轴 1．（2025·南京·期中）正六边形有　　条对称轴． 2．（2025·宿迁·期中）下列图形中，是轴对称图形且一共有三条对称轴的是　　．（请填写序号） 3．（2025秋•鼓楼区期中）在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是　　． 题型八 设计轴对称图案 1．（2025·宿城区·校级期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方落子在A、B、C、D中的　　处，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）． 2．（2025·天宁区·校级期中）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有　　种． 3．（2025·江阴市·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有　　种． 题型一 折叠问题 1．（2025·天宁区·校级期中）如图①，已知四边形纸片ABCD．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边CD交于点E，连结AE、BE．若∠ABC＝80°，BE平分∠ABC，则∠AEB的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 2．（2025·锡山区·校级月考）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，南南在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A＝∠B＝∠C＝90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD1与A1B1重合，展开纸片后测量发现∠BFE＝60°，则∠DGH＝　　°． 3．（2025·泗洪县·期末）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠，使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于点G，过点G作HG⊥EG交AD于点H． （1）判断HG与AE是否平行，并说明理由． （2）若∠BAE＝20°，求∠DHG的度数． 题型二 轴对称的综合问题 1．（2025·江阴市·期中）如图，P是△BAC内部一点，P关于AB，AC的对称点分别是点P1，点P2，连结P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连结PM，PN，下列结论：①△P1P2A一定是等边三角形；②∠P1AP2＝2∠BAC；③△PMN的周长等于线段P1P2的长；④2∠BAC+∠MPN＝180°；其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 2．（2025·梁溪区·期末）已知，在△ABC中，∠ABC＝105°，D、E为AC边上的两个动点，点A关于直线BD的对称点为点A′、点C关于直线BE的对称点为点C′，若射线BA′和BC′恰好将∠DBE三等分，则∠DBE＝　　°． 题型三 轴对称与规律问题 1．（2025·锡山区·校级期中）如图，弹性小球从点D出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时，落脚点为I，第2次碰到矩形的边时落脚点为E1，…；第2024次落脚点为　　． 2．（2025·阜宁县·期中）如图，在长方形ABCD中，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与长方形的边碰撞次数为2025次时，则它与AB边的碰撞次数是　　． 题型四 轴对称与最值问题 1．（2025·锡山区·校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M是BC边上一点，AC＝6，AB＝8，BC＝10，若点M1和点M关于AB对称，点M2和点M关于AC对称，则点M1，M2之间的距离的最小值是　　，点M1，M2之间的距离的最大值是　　． 2．（2025·南京·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为　　． 3．（2025·秦淮区·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C、D均在格点上． （1）过点C画线段AB的垂线，垂足为F； （2）点A到线段CF的距离即线段　　的长； （3）在直线AD上找一点P，使得PB+PC的值最小． 题型一 轴对称与平行线综合应用 1．（2025·苏州·期末）如图，AB∥CD，EF分别交直线AB，CD于点E，F，且60°＜∠AEF＜90°，点P是位于直线AB，CD之间且在直线EF左侧的一点，连接EP，FP，作射线EA关于EP的对称射线EA'，作射线FC关于FP的对称射线FC'，若EA'⊥FC′，则∠EPF的度数为　　°． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2轴对称 题型一 轴对称变换作图 1．（2024·南京·期中）桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（　　） A．D B．E C．F D．G 【答案】A 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点D，可使一次反弹后击中A球， 故本题选：A． 2．（2025·江宁区·校级月考）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　） A．10：21 B．10：51 C．12：01 D．15：01 【答案】A 【详解】解：由镜面对称的性质可知：题中所显示的时刻与10：21成轴对称， ∴此时实际时刻为10：21． 故本题选：A． 3．（2025·滨湖区·期中）在如图所示的正方形网格中，画出格点△DEF，使得△DEF与△ABC成轴对称，则不同位置的△DEF有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如下所示： ∴△DEF有6种不同的位置． 故本题选：D． 4．如图，在平面直角坐标系内，已知A（3，4），B（1，2），C（5，1）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）△ABC的面积为　　． 【答案】（1）作图详见解析；（2）5． 【详解】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图即为所求； （2）△ABC的面积为：5， 故本题答案为：5． 题型二 根据轴对称的性质求角度 1．（2025·涟水县·期中）如图，△ABC与△A'B'C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C'＝50°，则∠A＝（　　） A．90° B．85° C．95° D．105° 【答案】C 【详解】解：∵△ABC与△A'B'C′关于直线l对称， ∴∠C＝∠C′＝50°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°． 故本题选：C． 2．（2025·吴江区·期中）如图，点P在∠AOB内，OP与OC关于OA对称，OP与OD关于OB对称，若CD＝OP，则∠AOB的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【详解】解：∵OP与OC关于OA对称，OP与OD关于OB对称， ∴OP＝OC，OP＝OD，∠AOP＝∠AOC，∠BOP＝∠BOD． 又∵CD＝OP， ∴CD＝OC＝OD， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝30°． 故本题选：B． 3．（2025·如皋市·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚入点Q，一共反弹两次．已知AB，BC，CQ都是直线，PQ∥RS，且∠ABC的平分线BN垂直于PQ，∠BCQ的平分线CM垂直于RS，若∠CQR＝33°，则∠ABP的度数为　　． 【答案】57° 【详解】解：由题意可知：BN∥CM∥QR，∠BCM＝∠QCM，∠ABN＝∠CBN， ∵∠CQR＝33°， ∴∠BCM＝∠QCM＝∠CQR＝33°， ∴∠ABN＝∠CBN＝∠BCM＝33°， ∵BN垂直于PQ， ∴∠ABP＝90°﹣∠ABN＝57°． 故本题答案为：57°． 题型三 根据轴对称的性质求线段长/周长 1．（2025·雨花台区·校级月考）如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（　　） A．13 B．15 C．17 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：∵点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，AB＝10，AC＝4，BC＝9， ∴AD＝DE，AC＝CE， ∴BE＝BC﹣CE＝9﹣4＝5， ∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝10+5＝15． 故本题选：B． 2．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是关于OA、OB有对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长为5cm，则P1P2＝　　cm． 【答案】5 【详解】解：∵OA和OB分别是△PMP1和△PNP2的对称轴， ∴PM＝MP1，PN＝NP2， 又∵△PMN的周长为5cm， ∴P1P2＝P1M+MN+NP2＝PM+MN+PN＝5cm． 故本题答案为：5． 3．（2025·盐都区·期末）如图，直线l1，l2交于点O，点P关于l1，l2的对称点分别为点P1，P2，若OP＝8，P1P2＝14，则△P1OP2的周长是　　 ． 【答案】30 【详解】解：∵点P关于l1的对称点为点P1， ∴OP1＝OP＝8． 同理可得：OP2＝OP＝8． 又∵OP＝8， ∴△P1OP2的周长是：8+8+14＝30． 故本题答案为：30． 4．（2025·江阴市·校级月考）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3cm，PN＝5cm，MN＝5.5cm，则线段QR的长为　　cm． 【答案】7.5 【详解】解：∵点P关于OA的对称点是Q， ∴PM＝QM＝3cm， 同理可得：PN＝RN＝5cm． ∵MN＝5.5cm， ∴QR＝RN+NQ＝RN+MN﹣QM＝5+5.5﹣3＝7.5（cm）． 故本题答案为：7.5． 题型四 根据轴对称的性质求面积 1．（2025·江阴市·期中）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　） A．15 B．7.5 C．6 D．4.5 【答案】B 【详解】解：∵△ABC关于直线AD对称， ∴B、C关于直线AD对称， ∴△CEF和△BEF关于直线AD对称， ∴S△BEF＝S△CEF， ∵△ABC的面积是：BC×AD6×5＝15， ∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝7.5． 故本题选：B． 题型五 轴对称有关的辨析 1．（2024·梁溪区·校级期末）已知△ABC与△A'B'C'分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点A与点A′、点B与点B'、点C与点C′都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A．AB' B．BB' C．BC′ D．AC′ 【答案】B 【详解】解：∵△ABC与△A'B'C'分别在直线l的两侧且关于直线l对称， ∴直线l垂直平分线段BB′，AA′，CC′． 故本题选：B． 2．（2025·大丰区·期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　） A．△AA′P是等腰三角形 B．MN垂直平分AA′、CC′ C．△ABC与△A′B′C′面积相等 D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上 【答案】D 【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点， ∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确， ∵直线AB，A′B′关于直线MN对称， ∴交点一定在MN上，故D错误． 故本题选：D． 题型六 轴对称图形的辨析 1．（2025秋•沭阳县校级期末）下列各图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不合题意； B、该图形是轴对称图形，不合题意； C、该图形不是轴对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，不合题意． 故本题选：C． 2．（2024·宿城区·月考）下列图形中：线段；角；长方形；梯形；平行四边形；圆；等边三角形．其中，一定是轴对称图形有　　个． 【答案】5 【详解】解：线段，角，长方形和圆，等边三角形一定是轴对称图形， 平行四边形和梯形不一定是轴对称图形， ∴一定是轴对称图形有5个． 故本题答案为：5． 题型七 轴对称图形的对称轴 1．（2025·南京·期中）正六边形有　　条对称轴． 【答案】6 【详解】解：如图所示： 故本题答案为：6． 2．（2025·宿迁·期中）下列图形中，是轴对称图形且一共有三条对称轴的是　　．（请填写序号） 【答案】①③ 【详解】解：由轴对称图形的定义可知：是轴对称图形且有三条对称轴的图形是①③． 故本题答案为：①③． 3．（2025秋•鼓楼区期中）在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是　　． 【答案】等边三角形 【详解】解：在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，是轴对称图形的有线段、角、等边三角形， 角都有1条对称轴，线段有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴， ∴对称轴最多的是：等边三角形． 故本题答案为：等边三角形． 题型八 设计轴对称图案 1．（2025·宿城区·校级期中）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方落子在A、B、C、D中的　　处，则所得的对弈图是轴对称图形（填写序号）． 【答案】A或C 【详解】解：当白方落子在A、B、C、D中的A处或C处时，所得的对弈图是轴对称图形． 故本题答案为：A或C． 2．（2025·天宁区·校级期中）如图，每个小三角形都是等边三角形，再将1个小三角形涂黑，使4个小三角形构成轴对称图形．不同涂法有　　种． 【答案】4 【详解】解：如图，满足题意的涂色方式有4种． 故本题答案为：4． 3．（2025·江阴市·期中）如图，这是由8个边长相等的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有　　种． 【答案】8 【详解】解：如图，涂黑的方案有：选择AB、AC、AD、AE、BC、BD、CD、DE时，均可得到轴对称图形， ∴选择的方案最多有8种． 故本题答案为：8． 题型一 折叠问题 1．（2025·天宁区·校级期中）如图①，已知四边形纸片ABCD．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边CD交于点E，连结AE、BE．若∠ABC＝80°，BE平分∠ABC，则∠AEB的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】A 【详解】解：如图④，由折叠的性质可得：DF⊥BC，DF⊥AE， ∴AE∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC＝80°，BE平分∠ABC， ∴∠BCE∠ABC＝40°， ∴∠AEB＝40°． 故本题选：A． 2．（2025·锡山区·校级月考）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，南南在课余时间拿出一张长方形纸片ABCD（∠A＝∠B＝∠C＝90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD1与A1B1重合，展开纸片后测量发现∠BFE＝60°，则∠DGH＝　　°． 【答案】15 【详解】解：由折叠可得：∠AEF＝∠A1EF，∠D＝∠D1＝90°，∠A＝∠A1＝90°，∠DGH＝∠D1GH， ∵ABCD是长方形，∠BFE＝60°， ∴AD∥BC， ∴∠AEF+∠BFE＝180°，∠GEF＝∠BFE＝60°， ∴∠AEF＝120°， ∴∠A1EF＝120°， ∴∠A1EG＝∠A1EF﹣∠GEF＝60°， ∴∠A1GE＝30°， ∵GD1与A1B1重合， ∴∠DGD1＝∠A1GE＝30°， ∴∠HGD∠DGD1＝15°． 故本题答案为：15． 3．（2025·泗洪县·期末）如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠，使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于点G，过点G作HG⊥EG交AD于点H． （1）判断HG与AE是否平行，并说明理由． （2）若∠BAE＝20°，求∠DHG的度数． 【答案】（1）证明详见解析；（2）70° 【详解】解：（1）HG与AE平行，理由如下： ∵四边形是长方形， ∴∠BAD＝90°， 设∠BAE＝α， ∠EAH＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣α， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EAH＝90°﹣α， 由折叠的性质可得：∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α， ∴∠BEF＝∠AEF+∠AEB＝180﹣2α， ∵E为边BC上一点， ∴∠BEF+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝180°﹣∠BEF＝180°﹣（180﹣2α）＝2α， ∵EG平分∠CEF交CD于点G， ∴∠FEG＝∠CEG∠CEF＝α， ∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°﹣α+α＝90°， ∵HG⊥EG交AD于点H， ∴∠HGE＝90°， ∴∠AEG+∠HGE＝90°+90°＝180°， ∴HG∥AE； （2）∵∠BAE＝20°， ∴∠EAH＝∠BAD﹣∠BAE＝70°， 由（1）的结论可得：HG∥AE， ∴∠DHG＝∠EAH＝70°． 题型二 轴对称的综合问题 1．（2025·江阴市·期中）如图，P是△BAC内部一点，P关于AB，AC的对称点分别是点P1，点P2，连结P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连结PM，PN，下列结论：①△P1P2A一定是等边三角形；②∠P1AP2＝2∠BAC；③△PMN的周长等于线段P1P2的长；④2∠BAC+∠MPN＝180°；其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：∵∠P1AP2＝2∠BAC，∠BAC的大小没有确定， ∴∠P1AP2的大小没有确定， ∴△P1P2A不一定是等边三角形，故①错误， 由轴对称性质可知：∠P1AP＝2∠PAB，∠P2AP＝2∠PAC， ∴∠P1AP2＝2∠PAB+2∠PAC＝2（∠PAB+∠PAC）＝2∠BAC，故②正确， ∵P关于AB，AC的对称点分别是点P1，点P2， ∴AB为线段PP1的垂直平分线，AC为线段PP2的垂直平分线， ∴MP＝MP1，NP＝NP2， ∴△PMN的周长＝PM+PN+MN＝MP1+MP2+MN＝P1P2，故③正确， 如图，设AB与PP1交于点E，AC与PP2交于点F， 由题意可得：∠AEP＝∠AFP＝90°， ∴∠BAC+∠EPF＝180°， ∴∠BAC+∠MPN+∠MPP1+∠NPP2＝180°， ∵MP＝MP1，NP＝NP2， ∴∠MPP1＝∠MP1P，∠NPP2＝∠NP2P， ∵∠MPP1+∠MP1P+∠NPP2+∠NP2P+∠MPN＝180°， ∵， ∴， ∴2∠BAC+∠MPN＝180°，故④正确； 综上，正确的是②③④． 故本题选：C． 2．（2025·梁溪区·期末）已知，在△ABC中，∠ABC＝105°，D、E为AC边上的两个动点，点A关于直线BD的对称点为点A′、点C关于直线BE的对称点为点C′，若射线BA′和BC′恰好将∠DBE三等分，则∠DBE＝　　°． 【答案】63或45 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①当BA'在BC'的左侧时，如图1所示： ∵射线BA'和BC'恰好将∠DBE三等分， ∴DBA'＝A'BC'＝∠C'BE， ∵点A关于直线BD的对称点为点A'、点C关于直线BE的对称点为点C'， ∴∠ABD＝∠DBA'，∠CBE＝∠C'BE， ∴∠ABD＝∠DBA'＝A'BC'＝∠C'BE＝∠CBE， ∴∠ABC＝5∠ABD，∠DBE＝3∠ABD， ∵∠ABC＝105°， ∴5∠ABD＝105°， ∴∠ABD＝21°， ∴∠DBE＝3∠ABD＝63°； ②当BA'在BC'的右侧时，如图2所示： ∵射线BA'和BC'恰好将∠DBE三等分， 设DBC'＝A'BC'＝∠A'BE＝α， ∴∠DBE＝3α， ∵点A关于直线BD的对称点为点A'、点C关于直线BE的对称点为点C'， ∴∠ABD＝∠DBA'＝2α，∠CBE＝∠C'BE＝2α， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBE+∠CBE＝7α＝105°，解得：α＝15°， ∴∠DBE＝3α＝45°； 综上，∠DBE＝63°或45°． 故本题答案为：63或45． 题型三 轴对称与规律问题 1．（2025·锡山区·校级期中）如图，弹性小球从点D出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时，落脚点为I，第2次碰到矩形的边时落脚点为E1，…；第2024次落脚点为　　． 【答案】D 【详解】解：如图， 小球第1次碰到矩形的边时，落脚点为I，第2次碰到矩形的边时落脚点为E1，第3次落脚点为Q，第4次落脚点为V，第5次落脚点为A1，第6次落脚点为M，第7次落脚点为I1，第8次落脚点为D，…， ∴每8次循环1次， ∵2024÷8＝253， ∴第2024次落脚点为D． 故本题答案为：D． 2．（2025·阜宁县·期中）如图，在长方形ABCD中，一发光电子开始置于AB边的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与长方形的边碰撞次数为2025次时，则它与AB边的碰撞次数是　　． 【答案】675 【详解】解：如图建立平面直角坐标系， 每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2025÷6＝337…3， 当点P第2025次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（6，4）， ∴碰撞次数是：337×2+1＝675（次）． 故本题答案为：675． 题型四 轴对称与最值问题 1．（2025·锡山区·校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M是BC边上一点，AC＝6，AB＝8，BC＝10，若点M1和点M关于AB对称，点M2和点M关于AC对称，则点M1，M2之间的距离的最小值是　　，点M1，M2之间的距离的最大值是　　． 【答案】9.6；16 【详解】解：如图，连接AM，AM1，AM2， ∵点M1和点M关于AB对称， ∴AM＝AM1，∠1＝∠2， ∵点M2和点M关于AC对称， ∴AM＝AM2，∠3＝∠4， ∵∠BAC＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴A，M1，M2三点共线， ∴M1M2＝AM1+AM2＝2AM， ∴当AM最小时，M1M2最小， ∵M是BC上一点， ∴AM⊥BC时，AM最小，此时， ∴6×8＝10AM，解得：AM＝4.8， ∴M1M2的最小值为2×4.8＝9.6； ∵M是BC上一点， ∴点M与点B重合时，AM最大， ∴M1M2的最大值为2×8＝16； ∴点M1，M2之间的距离最小值是9.6，点M1，M2之间的距离最大值是16． 故本题答案为：9.6；16． 2．（2025·南京·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为　　． 【答案】2.4 【详解】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，CQ′，过点C作CH⊥AB于点H． ∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称， ∴点Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，•AC•BC•AB•CH， ∴CH＝2.4， ∴CP+PQ≥2.4， ∴PC+PQ的最小值为2.4． 故本题答案为：2.4． 3．（2025·秦淮区·期末）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C、D均在格点上． （1）过点C画线段AB的垂线，垂足为F； （2）点A到线段CF的距离即线段　　的长； （3）在直线AD上找一点P，使得PB+PC的值最小． 【答案】（1）作图详见解析；（2）AF；（3）作图详见解析． 【详解】解：（1）如图，取格点G，连接CG交AB于点F，则CF即为所求： （2）由作图可知：AF⊥CF，点A到线段CF的距离即线段AF的长， 故本题答案为：AF； （3）如图，连接AD，BC交于点P，点P即为所求： 题型一 轴对称与平行线综合应用 1．（2025·苏州·期末）如图，AB∥CD，EF分别交直线AB，CD于点E，F，且60°＜∠AEF＜90°，点P是位于直线AB，CD之间且在直线EF左侧的一点，连接EP，FP，作射线EA关于EP的对称射线EA'，作射线FC关于FP的对称射线FC'，若EA'⊥FC′，则∠EPF的度数为　　°． 【答案】45或135 【详解】解：①当EA，FC在EF左侧时，如图，过PM作P∥AB， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD，∠AEF+∠CFE＝180°， 设∠AEP＝α，∠CFP＝β，由对称可知：∠AEP＝∠AEP＝α，∠CFP＝∠CFP＝β， ∵AB∥PM， ∴∠MPE＝∠AEP＝α， 同理可得：∠MPF＝∠CFP＝β， ∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝α+β， 设EA⊥FC，交CF于点G， ∴∠EGF＝90°， ∴∠FEG+∠EFG＝90°， ∴∠AEF+∠CFE＝180°，即∠AEP+∠AEP+∠FEG+∠CFP+∠CFP＝180°， ∴α+α+∠FEG+∠EFG∠β+β＝180°， ∴α+β＝45°，即∠EPF＝45°； ②当EA，FC在EF右侧时，如图，过P作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， 设∠AEP＝α，∠CFP＝β，由对称可知：∠AEP＝∠AEP＝α，∠CFP＝∠CFP＝β． ∵AB∥PM， ∴∠MPE＝∠AEP＝α， 同理可得：∠MPF＝∠CFP＝β． ∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝α+β， 设EA⊥FC，交CF于点G， ∴∠EGF＝90°， ∵∠AEP+∠EPG+∠FPG+∠CFP+∠EGF＝360°，即∠α+∠α+β+β+90°＝360°， ∴∠α+β＝135°，即∠EPF＝135°； 综上，∠EPF＝45°或135°． 故本题答案为：45或135． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.2轴对称 题型一 轴对称变换作图 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】D 4． 【答案】（1）作图详见解析；（2）5． 【详解】解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图即为所求； （2）△ABC的面积为：5， 故本题答案为：5． 题型二 根据轴对称的性质求角度 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】57° 题型三 根据轴对称的性质求线段长/周长 1．【答案】B 2．【答案】5 3．【答案】30 4．【答案】7.5 题型四 根据轴对称的性质求面积 1．【答案】B 题型五 轴对称有关的辨析 1．【答案】B 2．【答案】D 题型六 轴对称图形的辨析 1．【答案】C 2．【答案】5 题型七 轴对称图形的对称轴 1．【答案】6 2．【答案】①③ 3．【答案】等边三角形 题型八 设计轴对称图案 1．【答案】A或C 2．【答案】4 3．【答案】8 题型一 折叠问题 1．【答案】A 2．【答案】15 3． 【答案】（1）证明详见解析；（2）70° 【详解】解：（1）HG与AE平行，理由如下： ∵四边形是长方形， ∴∠BAD＝90°， 设∠BAE＝α， ∠EAH＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣α， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EAH＝90°﹣α， 由折叠的性质可得：∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α， ∴∠BEF＝∠AEF+∠AEB＝180﹣2α， ∵E为边BC上一点， ∴∠BEF+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝180°﹣∠BEF＝180°﹣（180﹣2α）＝2α， ∵EG平分∠CEF交CD于点G， ∴∠FEG＝∠CEG∠CEF＝α， ∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°﹣α+α＝90°， ∵HG⊥EG交AD于点H， ∴∠HGE＝90°， ∴∠AEG+∠HGE＝90°+90°＝180°， ∴HG∥AE； （2）∵∠BAE＝20°， ∴∠EAH＝∠BAD﹣∠BAE＝70°， 由（1）的结论可得：HG∥AE， ∴∠DHG＝∠EAH＝70°． 题型二 轴对称的综合问题 1．【答案】C 2．【答案】63或45 题型三 轴对称与规律问题 1．【答案】D 2．【答案】675 题型四 轴对称与最值问题 1．【答案】9.6；16 2．【答案】2.4 3． 【答案】（1）作图详见解析；（2）AF；（3）作图详见解析． 【详解】解：（1）如图，取格点G，连接CG交AB于点F，则CF即为所求： （2）由作图可知：AF⊥CF，点A到线段CF的距离即线段AF的长， 故本题答案为：AF； （3）如图，连接AD，BC交于点P，点P即为所求： 题型一 轴对称与平行线综合应用 1．【答案】45或135 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $