微专题04 图形的变换重难点与典型题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

微专题04 图形的变换重难点与典型题型 题型一 平移性质与线段、角度计算题 1. 牢记平移核心性质：平移前后图形形状、大小不变，对应线段平行且相等；2. 找对应边、对应角是解题关键，利用相等关系直接代入计算长度、角度； 3. 平移距离即对应点连线的长度，借助线段和差求解即可 1． （2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出的度数，据此求出的度数即可． （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度即可解决问题． 【详解】（1）解：因为由沿方向平移得到， 所以． 又因为， 所以； （2）解：由平移可知，， 所以， 即． 又因为， 所以， 所以． 2．如图所示，在直角三角形中，，，，将沿方向向右平移得到，若，． (1)求向右平移的距离的长； (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，进而根据，即可求解； （2）根据平移的性质可得，，进而根据四边形的周长公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵将沿方向向右平移得到， ∴， ∵，． ∴ （2）∵将沿方向向右平移得到， ∴， ∴四边形的周长为． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离； (3)在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的不变性是解题的关键． （1）根据平移的性质结合平行线的性质即可求解； （2）由平移的性质结合得到； （3）由平移的性质可得，四边形的周长，即可化为，即可求解． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴； （2）解：由平移的性质可得， 又∵， ∴， ∴平移的距离为5； （3）解：由平移的性质可得， ∴四边形的周长． 4．如图，将中的边沿着方向平移到，交于点，连接，． (1)若，，求的大小；； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边上（不与点，点重合），求与周长的和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形的外角的性质求解； （2）利用平移的性质，证明与周长的和． 【详解】（1）解：边沿着方向平移到， ， ， ， ； （2）由平移可得，， 与周长的和 ． 5．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)________，________； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，点经过相同平移后的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质；能熟练利用平移的性质进行求解是解题的关键． （1）由平移的性质得，，由平行线的性质即可求解； （2）由平移的性质得，由即可求解； （3）由平移的性质得，，，，即可求解； 【详解】（1）解：由平移得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：由平移得， ； （3）解：由平移得 ，， ，， ， ， ， ， 解得：， ． 6．如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用： 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 【详解】解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型二 平移作图题 1. 找准图形的关键点（顶点、端点等）； 2. 按照指定平移方向和平移距离，画出每个关键点的对应点； 3. 按原图顺序顺次连接对应点，标注对应字母，规范作图. 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点恰好均在小正方形的顶点上． (1)作交的延长线于点D； (2)将先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到．请在图中作出平移后的． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据垂线段的定义画出图形即可． （2）分别作出，，的对应点，，然后顺次连接各点即可． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：作图如下， 2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点分别是的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形的面积为__________； (3)连接，直接写出与的位置关系：_________； (4)线段扫过的图形的面积为__________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)平行； (4)． 【分析】（）根据点和，先找出点的对应点，顺次连接即可； （）利用割补法求三角形的面积即可； （）根据平移的性质进行判断即可； （）利用割补法求面积即可； 本题考查作图—平移变换及性质，网格中求面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）找出点的对应点，顺次连接， 如图，三角形即为所求， （2）三角形的面积为， 故答案为：； （3）由平移得，与的位置关系是平行， 故答案为：平行； （4）线段扫过的图形的面积为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)过点作直线． (2)画出将三角形先向下平移3格，再向右平移5格后得到的三角形（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格作图，图形的平移，熟练掌握平移性质是解题的关键， （1）由题得到点到点的平移规律，将点按照点到点的平移规律得到点，作直线，即可得到答案； （2）将三角形中的点、、根据题中给的平移规律，得到、、，依次连接、、，即可得到三角形， 【详解】（1）解：从点到点，向右平移1个单位，再向下平移2个单位， ∴将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到点，作直线， ∴． 如图： （2）解：将三角形中的点、、先向下平移3格，再向右平移5格后得到、、，依次连接、、，即可得到三角形，如图所示． 4．如图，在边长为1的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将向左平移1格，再向上平移4格，得到． (1)请在图中画出平移后的； (2)连接、，则它们的数量关系是 ； (3)求线段直接平移至扫过的面积． 【答案】(1)见解析； (2)相等 (3) 【分析】本题考查平移作图和平移的性质，根据相关知识点解题是关键． （1）将点、点、点，分别向左平移1格，再向上平移4格，得到、、，连接即可， （2）根据平移的性质，即可得到答案， （3）根据线段直接平移至扫过的图形是平行四边形即可求解． 【详解】（1）见下图； （2）如下图： 根据平移的性质知：、的数量关系是相等． （3）线段直接平移至扫过的面积 5．（2025七年级下·全国·专题练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点的位置如下图所示．现将平移，使点A的对应点为D，点B，C的对应点分别是E，F． (1)请画出平移后的； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是______； (3)指出平移的方向和平移的距离． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)先向下平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度（或先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度） 【分析】本题考查作图—平移变换，平移的性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由点A和点D的位置可确定平移方式为“向右平移6个格，向下平移2个格”，即可确定B，C点平移后的对应点E，F，最后顺次连接D，E，F三点即可； （2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行（或共线）且相等可得答案； （3）根据点A和点D的位置可确定平移方式． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，根据平移性质，这两条线段之间的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）解：由图可知，先向下平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度（或先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度）． 6．（23-24七年级下·江苏常州·月考）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全； (2)请在边上找一点，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (3)连接的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查作图平移变换、三角形的中线，熟练掌握平移的性质、三角形的中线是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）取格点，连接即可． （3）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解： 如图， 的面积为． 故答案为：9． 题型三 利用平移性质解决实际问题 1. 核心思路：将实际问题转化为平移几何模型，提炼图形中的平移关系； 2. 关键步骤：确定平移的方向、距离，利用平移前后对应边相等、对应角相等的性质，转化实际场景中的长度、距离等问题； 3. 常见场景（如最短路径、图形拼接、测量距离）：通过平移转化线段位置，简化计算，贴合实际场景梳理数量关系. 1．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑宽均为米的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，则草坪的面积为（　　）平方米．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移，长方形的面积，把路平移到边上，可得长是米，宽是米的长方形，根据长方形的面积计算公式计算即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：把路平移到边上，可得长是米，宽是米的长方形， ∴长方形的面积是（平方米）， 故选：． 2．如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（    ）    A．80 B．89 C．98 D．99 【答案】C 【分析】首先把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，根据平移的性质可得这个垫片的周长等于正方形的周长加． 【详解】解：把平移到的位置，把平移到的位置，把平移到的位置，    这个垫片的周长：． 答：这个垫片的周长为． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移，关键是利用平移的方法表示出垫片的周长等于正方形的周长加． 3．如图所示，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条笔直的小路和一条弯曲的小路，笔直的小路宽度为，弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移，可知弯曲的小路面积与长为宽为1的长方形的面积相等，根据长方形的面积，可得答案． 【详解】解：根据弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线， 可知路的宽度是1米，面积与长为宽为1的长方形的面积相等， 则这块草地的绿地面积为 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 4．某会场的台阶的截面图如图所示，要在上面铺上红地毯，则至少需要（    ）米地毯才能铺好整个台阶． A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】C 【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此可得出答案． 【详解】解：楼梯的长为米，高为米，则红地毯至少要米． 故选：C． 【点睛】本题是一道实际问题，难度不大，关键是利用平移的性质得出地毯长的表示形式． 5．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示． (1)问地毯至少需要多少米？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？ 【答案】(1)地毯至少需要11.6米 (2)买地毯需要1044元 【分析】本题考查了平移的性质及有理数四则运算的实际应用． （1）利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米， 即可求解； （2）用地毯的长度乘以宽度3米，得到面积，再用面积乘以30，即可求解． 【详解】（1）解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米， ∴地毯的长度为（米）， 答：地毯至少需要11.6米； （2）解：地毯的面积为（平方米）， ∴买地毯至少需要（元）， 答：买地毯需要1044元． 6．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 题型四 轴对称性质的应用 1. 牢记轴对称核心性质：对称轴垂直平分对应点的连线，轴对称前后图形形状、大小不变，对应边、对应角相等； 2. 解题关键：找准对称轴和对应点、对应边，利用性质转化线段长度、角度关系； 3. 常见应用：求线段长度、角度，判断线段位置关系，结合生活场景（如折叠、对称图形设计）梳理数量关系. 1．如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的特征，由题意得：，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，所在直线是 的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：关于直线对称， 、关于直线对称， ∴ 和关于直线对称， ， 的面积是：， 图中阴影部分的面积是． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点M、N分别在射线上，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为．当点P在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 【答案】7 【分析】先根据轴对称的性质可得，据此可得，再利用两个三角形的周长的差可得BC的长，进而得出CE的长． 本题考查了轴对称的性质，掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E， ， ， ∵的周长为18，的周长为32， ∴， ， 5．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 题型五 轴对称作图题 1. 过关键点作对称轴的垂线，并延长至等长，得到对应点； 2. 顺次连接所有对应点，保证对应点连线被对称轴垂直平分； 3. 作图痕迹清晰，标注对应点 1．（23-24八年级上·江苏连云港·月考）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可． 【详解】如图： 共3个， 故选：C ． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题利用格点图作轴对称性图形．根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可． 【详解】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 故选：D． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸中，的顶点都在格点上． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：点A与，点B与，点C与相对应） (2)在第（1）题的基础上，连接，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】此题主要考查了作轴对称变换，求四边形面积， （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由图得四边形是等腰梯形，，高是4，然后利用梯形的面积 求解即可． 【详解】（1）如图，是关于直线l的对称图形． （2）由图得四边形是等腰梯形，，高是4． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，与的顶点都在格上． (1)将先向右平移 个单位，再向上平移 个单位可得到； (2)已知与关于直线成轴对称，请画出．则四边形的面积为 ； 【答案】(1)4；3 (2)见解析；12 【分析】（1）根据图形判断平移方式即可； （2）画出，得到四边形，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由图形可知，将先向右平移4个单位，再向上平移3个单位可得到； （2）解：如图所示，即为所求作的三角形； 四边形是长为6，宽为2的长方形， ∴四边形的面积为：； 【点睛】本题考查了平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移、轴对称是解题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏常州·期中）在如图的网格中按要求画图： (1)把向右平移5格，再向下平移2格，画出所得； (2)画，使得它与关于直线对称； (3)画出与的对称直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接，，作线段，的垂直平分线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，直线即为所求． 6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称； （2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小； （3）△ABC的面积为　 　 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5 【分析】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接AC1，与直线l的交点即为所求； （3）利用割补法求解可得． 【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）连接AC1，则AC1与l的交点P即为所求的点． （3）△ABC的面积=3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5， 故答案为：5． 【点睛】此题主要作图−轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质，割补法求三角形的面积． 题型六 折叠（轴对称）综合题 1. 折叠本质是轴对称变换，折叠前后对应边、对应角完全相等； 2. 标注折叠前后相等的线段和角，转化为三角形内角和、线段和差问题； 3. 结合平角、直角等特殊角，分步推导计算，避免漏解. 1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，解方程可得到的度数，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， ∵四边形形沿折叠形成四边形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， 即的度数为． 故选：B． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在长方形纸片中，，将和对折，使边，均落在上，得到折痕，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，可得，，再根据，可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵将和对折，使边，均落在上，得到折痕，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 【答案】112 【分析】根据折叠性质得到，根据求出，进而得到﹒根据求出，即可求出﹒ 【详解】解：由折叠可得﹒ ∵， ∴， ∴﹒ ∵， ∴， ∴﹒ 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠，使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H． (1)判断与是否平行，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】此题考查了折叠问题及平行线的判定与性质，三角形内角和定理，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得，根据角平分线定义及垂直的定义得，最后由平行的判定可得结论； （2）先由三角形内角和定理得到，再根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵长方形沿折叠， ∴， ∵平分交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∵， ∴． 5．（2026七年级下·江苏·专题练习）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 【答案】(1)28 (2)①；②；③ 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，然后求出，进而即可求出； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解，即可解题． 熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 【详解】（1）解：， 由折叠知，； （2）解：①由折叠知，， ∴当点在上时， ； ②由条件可知， 由折叠知，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ，， ∴， ∴由折叠得， ． 题型七 旋转三要素与性质判断题 1. 明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度，缺一不可； 2. 核心性质：对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等，旋转前后图形全等；3. 判断时紧扣要素和性质，区分顺时针、逆时针旋转. 1．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，由两个正方形组合成一个长方形，若将正方形绕旋某一点旋转一定角度与正方形重合，则这样的旋转点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，根据正方形的性质，旋转的性质，可得C，D以及的中点，可以作为旋转中心，据此即可求解． 【详解】解：把正方形绕点C顺时针旋转90度可使得正方形与正方形重合， 把正方形绕点D逆时针旋转90度可使得正方形与正方形重合， 把正方形绕的中点逆时针旋转180度可使得正方形与正方形重合， ∴一共有3个旋转点， 故选：C． 2．如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：． 3．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的旋转，牢记图形旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）是解题的关键．旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点，等于旋转角． 【详解】解：∵点的对应点为点，点的对应点为点，且对应点到旋转中心的距离相等， ∴旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点． 如图，作线段和线段的垂直平分线，其交点为旋转中心．    连接，． 根据旋转的性质，得 ． 故选：C． 4．如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转角的定义解答即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后与重合，C与N是对应点， ∴下列角一定等于的是． 故选A． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，如果经过旋转后能与重合，那么（   ） A．点是旋转中心，按逆时针方向旋转 B．点是旋转中心，按顺时针方向旋转 C．点是旋转中心，按逆时针方向旋转 D．点是旋转中心，按顺时针方向旋转 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，正确确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关键． 根据图形可得到以点为旋转中心，按逆时针方向旋转与重合，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 以点为旋转中心，按逆时针方向旋转即可与重合， 故选：A． 6．如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 【详解】解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 题型八 轴对称与中心对称图形识别题 1. 轴对称图形：沿一条直线对折，直线两侧部分能完全重合，找准对称轴判断；2. 中心对称图形：绕某点旋转180°，能与原图形完全重合，找对称中心判断；3. 熟记常见图形（线段、圆、平行四边形等）的对称特征，快速区分 1．（2026·河南安阳·一模）博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； 2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、既是轴对称图形又是中心对称图形，该选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 故选：． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一进行判断即可．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选A 5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）全球亚马逊云科技中国峰会于月日在上海世博中心召开，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 题型九 旋转作图 1. 作图：定旋转中心→找关键点→按旋转方向和角度画对应点→顺次连接对应点，规范标注； 2. 中心对称作图（特殊旋转，旋转180°）：定对称中心→找关键点，过关键点与对称中心作连线并延长至等长，得到对应点→顺次连接对应点； 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）作图：在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)画出向下平移个单位后的． (2)画出关于点的中心对称图形． (3)画出与的对称中心（黑点标记）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题考查作图—平移作图、画中心对称图形， （1）根据平移的性质确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可； （2）根据中心对称图形的定义确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可； （3）连接、，交于点即可； 掌握平移的性质，中心对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，即为所作； （3）如图，点即为所作． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)平移到，其中点对应点为点，请画出； (2)以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出． (3)已知与关于某点成中心对称，则该点为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】考查了作图—平移变换、旋转变换，中心对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）连接、、，交点即为所求． 【详解】（1）解：∵平移到，其中点对应点为点， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 如图：即为所求， （2）解：如图：即为所求， （3）解：如图：连接、、，交点为， 即与关于某点成中心对称，则该点为． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使是绕点逆时针旋转得到； (3)画出，使与关于点成中心对称． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3)图形见解析 【分析】（1）由轴对称的性质作图，即可求解； （2）按要求旋转作图，即可求解； （3）按中心对称的性质作图，即可求解． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：即为所求． （3）解：即为所求． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图： (1)画出将 向右平移8个单位长度后的 ； (2)画出将 以点O为旋转中心、顺时针旋转后的 ； (3)请利用格点用无刻度直尺画出与的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，成轴对称，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）将点A，B，C分别向右平移8个单位得到点，，，再顺次连接即可； （2）将点A，B，C分别以点O为旋转中心、顺时针旋转得到点，，，再顺次连接即可； （3）取格点O，D，过点O，D即可作出直线l，根据成轴对称的性质即可得到过点O，D的直线l即为所求． 【详解】（1）解∶ 如图所示，即为所作图形： ； （2）解∶如上图所示，即为所作图形； （3）解∶如上图所示，即为所作对称轴． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线对称； (2)画出，使与关于点对称； (3)画出将绕点按逆时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形以及图形的旋转，熟练掌握轴对称图形，中心对称图形以及图形的旋转的概念是解决本题的关键． （1）根据轴对称图形的概念，即可画出使与关于直线对称的图形； （2）根据中心对称图形的概念，即可画出使与关于直线对称的图形； （3）根据图形的旋转的概念，即可画出将绕点按逆时针方向旋转后的图形． 【详解】（1）解：使与关于直线对称，如图， （2）解：使与关于点对称，如图， （3）解：将绕点按逆时针方向旋转后的图形，如图， 题型十 旋转综合题 1. 利用旋转性质推出线段相等、角相等关系； 2. 找准旋转角（对应点与旋转中心连线的夹角），结合三角形内角和、平角等基础知识推导角度； 3. 梳理线段、角的数量关系，规范书写证明步骤，紧扣旋转性质解题. 1．如图，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转． (1)如图，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①若旋转到图的位置，的度数为多少？用含的代数式表示 ②在旋转过程中，若，求此时的值． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，能够灵活运用数形结合，分类思想是解题的关键． 根据，以及角的和差计算即可； 先求，再利用得出结论； 分两种情况讨论：当旋转到左侧时；当旋转到右侧时，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：；； （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； 当旋转到左侧时，如图所示： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当旋转到右侧时，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，解得 ∴， ∴； 综上分析可知，的值为或． 2．如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时， ，当时， ； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 【答案】(1)90 (2)20，12 (3)t的值为10或或． 【分析】（1）利用折叠性质得，，再利用邻补角即可求解； （2）利用折叠性质得求出、、、的度数，即可得解； （3）根据角平分线的不同，分是的角平分线、是的角平分线、是的角平分线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将、分别沿、翻折，得到、， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：当时， ，， ∴， 当时，如下图，，， ∴， 故答案为：20，12； （3）解：当是的角平分线时，则，如图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 综上，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，邻补角的性质，折叠的性质，一元一次方程的应用，根据题意正确分类讨论是解题的关键． 3．如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，② (2)①，②的度数不发生变化， 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算． （1）①根据如图可得，则，将代入求出； ②根据题意，列出方程，解方程求出的值，即可； （2）①当时，分别求出，，结合角平分线的定义求出，，即可得出结果； ②分别用含的代数式表示出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出，得出结论． 【详解】（1）解：∵三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转， 设三角板运动时间为秒， 则， ∴， ①当时，， 故答案为：． ②若， 即 解得：， 即当时，． （2）解：①当时，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 则． 故答案为：， ②的度数不发生变化，， 理由如下：根据题意可得， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ 则， 即在三角板的旋转过程中，的度数不发生变化，． 4．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】(1)8；2 (2)9秒 (3)6秒或10秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； （2）解：设旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 5．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 【答案】(1)或 (2)的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用垂直和旋转的性质求解即可； （2）由旋转性质依次分析不同情况，作出图形，由平行线的性质求出旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，令与的交点为， ， ， ， ； ②如图，延长交于点， ， ， ； 综上可知，的度数为或； （2）解：三角板绕点依顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转一周停止． 当三角板的一边与平行时，分下列情况讨论： ①，如图， ， ，即旋转角为， 秒； ②，如图，令与的交点为， ， ， ，即旋转角为， 秒； ③，如图， ，即旋转角为， 秒； ④（第二次平行），如图， ， 旋转角为， 秒； ⑤（第二次平行），如图， 同（1）②理可得：， 旋转角为， 秒； ⑥（第二次平行），如图所示： ， 旋转角为， 秒． 综上， 的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 图形的变换重难点与典型题型 题型一 平移性质与线段、角度计算题 1. 牢记平移核心性质：平移前后图形形状、大小不变，对应线段平行且相等；2. 找对应边、对应角是解题关键，利用相等关系直接代入计算长度、角度； 3. 平移距离即对应点连线的长度，借助线段和差求解即可 1． （2025七年级下·全国·专题练习）如图，将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 2．如图所示，在直角三角形中，，，，将沿方向向右平移得到，若，． (1)求向右平移的距离的长； (2)求四边形的周长． 3．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形，点的对应点分别是点． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离； (3)在（2）的条件下，若三角形的周长为25，求四边形的周长． 4．如图，将中的边沿着方向平移到，交于点，连接，． (1)若，，求的大小；； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边上（不与点，点重合），求与周长的和． 5．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)________，________； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形的内部，点经过相同平移后的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 6．如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 题型二 平移作图题 1. 找准图形的关键点（顶点、端点等）； 2. 按照指定平移方向和平移距离，画出每个关键点的对应点； 3. 按原图顺序顺次连接对应点，标注对应字母，规范作图. 1．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点恰好均在小正方形的顶点上． (1)作交的延长线于点D； (2)将先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到．请在图中作出平移后的． 2．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点分别是的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形的面积为__________； (3)连接，直接写出与的位置关系：_________； (4)线段扫过的图形的面积为__________． 3．（24-25七年级下·江西南昌·月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)过点作直线． (2)画出将三角形先向下平移3格，再向右平移5格后得到的三角形（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为）． 4．如图，在边长为1的小正方形方格纸中，的顶点都在方格纸格点上，将向左平移1格，再向上平移4格，得到． (1)请在图中画出平移后的； (2)连接、，则它们的数量关系是 ； (3)求线段直接平移至扫过的面积． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点的位置如下图所示．现将平移，使点A的对应点为D，点B，C的对应点分别是E，F． (1)请画出平移后的； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是______； (3)指出平移的方向和平移的距离． 6．（23-24七年级下·江苏常州·月考）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全； (2)请在边上找一点，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (3)连接的面积为_________． 题型三 利用平移性质解决实际问题 1. 核心思路：将实际问题转化为平移几何模型，提炼图形中的平移关系； 2. 关键步骤：确定平移的方向、距离，利用平移前后对应边相等、对应角相等的性质，转化实际场景中的长度、距离等问题； 3. 常见场景（如最短路径、图形拼接、测量距离）：通过平移转化线段位置，简化计算，贴合实际场景梳理数量关系. 1．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑宽均为米的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，则草坪的面积为（　　）平方米．    A． B． C． D． 2．如图，是一块从一个边长为的正方形材料中剪出的垫片，经测得，则这个剪出的图形的周长是（    ）    A．80 B．89 C．98 D．99 3．如图所示，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条笔直的小路和一条弯曲的小路，笔直的小路宽度为，弯曲的小路的左边线向右平移就是它的右边线，则这块草地的绿地面积为（    ）    A． B． C． D． 4．某会场的台阶的截面图如图所示，要在上面铺上红地毯，则至少需要（    ）米地毯才能铺好整个台阶． A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 5．某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示． (1)问地毯至少需要多少米？ (2)若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？ 6．图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为 ，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3) 实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 题型四 轴对称性质的应用 1. 牢记轴对称核心性质：对称轴垂直平分对应点的连线，轴对称前后图形形状、大小不变，对应边、对应角相等； 2. 解题关键：找准对称轴和对应点、对应边，利用性质转化线段长度、角度关系； 3. 常见应用：求线段长度、角度，判断线段位置关系，结合生活场景（如折叠、对称图形设计）梳理数量关系. 1．如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，所在直线是 的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3. （24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，，点M、N分别在射线上，的面积为12，点P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为．当点P在直线上运动时，的面积最小值为（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，点B与点C关于直线对称，直线分别与边相交于点D，E，连接若的周长为18，的周长为32，求的长． 5．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 题型五 轴对称作图题 1. 过关键点作对称轴的垂线，并延长至等长，得到对应点； 2. 顺次连接所有对应点，保证对应点连线被对称轴垂直平分； 3. 作图痕迹清晰，标注对应点 1．（23-24八年级上·江苏连云港·月考）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在方格纸中，的顶点都在格点上． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：点A与，点B与，点C与相对应） (2)在第（1）题的基础上，连接，求四边形的面积． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，与的顶点都在格上． (1)将先向右平移 个单位，再向上平移 个单位可得到； (2)已知与关于直线成轴对称，请画出．则四边形的面积为 ； 5．（23-24八年级上·江苏常州·期中）在如图的网格中按要求画图： (1)把向右平移5格，再向下平移2格，画出所得； (2)画，使得它与关于直线对称； (3)画出与的对称直线． 6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中画出△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l对称； （2）在直线l上找一点P，使得PA+PC最小； （3）△ABC的面积为　 　 ． 题型六 折叠（轴对称）综合题 1. 折叠本质是轴对称变换，折叠前后对应边、对应角完全相等； 2. 标注折叠前后相等的线段和角，转化为三角形内角和、线段和差问题； 3. 结合平角、直角等特殊角，分步推导计算，避免漏解. 1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在长方形纸片中，，将和对折，使边，均落在上，得到折痕，，则的度数为_________． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠，使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H． (1)判断与是否平行，并说明理由． (2)若，求的度数． 5．（2026七年级下·江苏·专题练习）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 题型七 旋转三要素与性质判断题 1. 明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度，缺一不可； 2. 核心性质：对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等，旋转前后图形全等；3. 判断时紧扣要素和性质，区分顺时针、逆时针旋转. 1．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，由两个正方形组合成一个长方形，若将正方形绕旋某一点旋转一定角度与正方形重合，则这样的旋转点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 4．如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，则下列角一定等于的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，如果经过旋转后能与重合，那么（   ） A．点是旋转中心，按逆时针方向旋转 B．点是旋转中心，按顺时针方向旋转 C．点是旋转中心，按逆时针方向旋转 D．点是旋转中心，按顺时针方向旋转 6．如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 题型八 轴对称与中心对称图形识别题 1. 轴对称图形：沿一条直线对折，直线两侧部分能完全重合，找准对称轴判断；2. 中心对称图形：绕某点旋转180°，能与原图形完全重合，找对称中心判断；3. 熟记常见图形（线段、圆、平行四边形等）的对称特征，快速区分 1．（2026·河南安阳·一模）博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）全球亚马逊云科技中国峰会于月日在上海世博中心召开，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型九 旋转作图 1. 作图：定旋转中心→找关键点→按旋转方向和角度画对应点→顺次连接对应点，规范标注； 2. 中心对称作图（特殊旋转，旋转180°）：定对称中心→找关键点，过关键点与对称中心作连线并延长至等长，得到对应点→顺次连接对应点； 1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）作图：在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)画出向下平移个单位后的． (2)画出关于点的中心对称图形． (3)画出与的对称中心（黑点标记）． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)平移到，其中点对应点为点，请画出； (2)以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出． (3)已知与关于某点成中心对称，则该点为_______． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使是绕点逆时针旋转得到； (3)画出，使与关于点成中心对称． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图： (1)画出将 向右平移8个单位长度后的 ； (2)画出将 以点O为旋转中心、顺时针旋转后的 ； (3)请利用格点用无刻度直尺画出与的对称轴． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线对称； (2)画出，使与关于点对称； (3)画出将绕点按逆时针方向旋转后的图形． 题型十 旋转综合题 1. 利用旋转性质推出线段相等、角相等关系； 2. 找准旋转角（对应点与旋转中心连线的夹角），结合三角形内角和、平角等基础知识推导角度； 3. 梳理线段、角的数量关系，规范书写证明步骤，紧扣旋转性质解题. 1．如图，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在互相垂直的两条直线、的垂足处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转． (1)如图，若，则______，______； (2)若射线是的角平分线，且． ①若旋转到图的位置，的度数为多少？用含的代数式表示 ②在旋转过程中，若，求此时的值． 2．如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时， ，当时， ； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 3．如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 4．如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． (1)______，______； (2)若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． (3)若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 5．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $