第2章 导数及其应用 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　对导数的概念理解不够准确致错 1.(2025陕西西安中学期中)设f(x)为可导函数,且满足=3,则曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线的斜率是(　　) A.-9　　　　　B.-3　　　　　C.3　　　　　D.9 2.(2024上海大同中学月考)设函数f(x)=aex-2x2.若存在x0∈(0,1),使得>0成立,则实数a的取值范围是　　　　.  易错点2　混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错 3.(2025安徽阜阳两校联考)已知过点A(a,0)可以作曲线y=(x-1)ex的两条切线,则实数a的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,-3)∪(1,+∞) C.(-∞,-e)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 4.(2024广东茂名高州中学期中)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+4)x+ln x-1只有一个公共点,则实数a的取值范围是(　　) A.a≥0　　　　 　B.a≥0或a=-1 C.-1≤a≤0　　　　 　D.a≥-1 易错点3　对复合函数的求导法则理解不透彻致错 5.(2024重庆南开中学期末)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且2f(x)+f'(x)>2, f(1)=2 025,则不等式f(x)>1+的解集是(　　) A.(1,+∞)　　　　　 B.(0,1) C.(1,2 025)　　　　　D.(2 025,+∞) 6.设定义在R上的可导函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)和g'(x).若f(x)=g(2x-1)+2x, f(x+1)与g(x)均为偶函数,则g'(2 027)=　　　　.  易错点4　不能正确理解极值点与导函数的关系致错 7.(2025江西南昌外国语学校期中)已知函数f(x)=(x-1-m)ex-x2+mx的极小值点为x=0,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,0)　　　　　B.(-∞,1)　　　　　 C.(0,+∞)　　　　　D.(1,+∞) 8.(多选题)(2024山东青岛第二中学月考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是(　　) A.a+b=0 B.a+b=-7 C.f(x)一定有两个极值点 D. f(x)的单调递增区间是∪[1,+∞) 易错点5　利用导数研究函数的单调性时忽视定义域致错 9.(2024江西宜春实验中学月考)已知函数f(x)=+ln x,其中a为常数. (1)当a=-1时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为2,求a的值(e为自然对数的底数). 10.(2025安徽合肥一六八中学检测)某企业拟建造如图所示的容器(容器壁厚度不计,长度单位:米),其中容器的中间部分为圆柱体,左、右两端均为半球体,按照设计要求,容器的容积为立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关,已知圆柱体部分每平方米的建造费用为3千元,半球体部分每平方米的建造费用为4千元,设该容器的总建造费用为y千元. (1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的总建造费用最少时r的值,并求出此时的总建造费用. 易错点6　混淆极值与最值致错 11.(2025安徽合肥一中检测)已知函数f(x)=xln x+(a-1)x(a∈R). (1)当a=0时,关于x的方程f(x)=m在区间上有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围; (2)求函数f(x)在区间上的最小值. 思想方法练 一、分类讨论思想在利用导数解决函数问题中的应用 1.(2024广西十校联考)已知函数f(x)=(2-a)·ln x++2ax(a≠0,a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a<0时,讨论函数f(x)的极值. 2.(2024江西九江模拟)已知f(x)=ax-ln(ln x)+ln a. (1)当a=时,讨论f(x)的单调性; (2)若对任意x∈[e,+∞), f(x)≥0恒成立,求a的取值范围. 二、转化与化归思想在利用导数解决函数问题中的应用 3.(2024山东德州期末)设f(x)(x∈R)是奇函数,f'(x)是f(x)的导函数,f(-2)=0.当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　) A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(2,+∞) 4.(2024重庆部分学校联考)已知函数f(x)=,若不等式f(aex)≤1-f(ln a-ln x)恒成立,则a的最小值为　　　　.  5.(2025安徽安庆怀宁段测)已知函数f(x)=ln x-ax+1,f(x)的极值点为1,g(x)=sin x-bx. (1)求实数a的值; (2)若对任意x1∈(0,+∞),总存在x2∈,使得f(x1)<g(x2)成立,求实数b的取值范围; (3)证明不等式sin+sin+…+sin<(其中e是自然对数的底数). 三、数形结合思想在利用导数解决函数问题中的应用 6.(2024广东广州第六十五中学月考)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-(m2+3)f(x)+m3-m2+3m=0有且仅有四个不同的实数根,则实数m的取值范围为(　　) A.　B.　C.　D. 7.(2024湖北部分重点中学联考)若函数f(x)=的图象在x=1处的切线l与f(x)的图象有三个公共点,则a的取值范围为　　　　　.  8.(2025安徽池州期中)已知f(x)=(x-2)ex-ax2+ax+. (1)当a=-1时,求函数f(x)的极值; (2)g(x)=f(x)-,若g(x)存在3个零点,求实数a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 易混易错练 1.A 3.B 4.B 5.A 7.A 8.BC 1.A　=·=-·=3, 所以=-9,即f'(3)=-9, 所以曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线的斜率是-9. 易错警示　 利用导数的定义求函数的导数时,要注意定义的形式,Δy是函数值的差,Δx是相应自变量的差,要保证Δx,Δy中变量的对应. 2.答案　(1,+∞) 解析　由>0, 得>0, 即-1>0,即f '(x0)-1>0, 由f(x)=aex-2x2得f '(x)=aex-4x, 若存在x0∈(0,1),使得f '(x0)-1>0成立, 即存在x0∈(0,1),使得a-4x0-1>0成立, 即存在x0∈(0,1),使得a>成立, 设h(x)=,x∈(0,1),则h'(x)=, 令h'(x)==0,解得x=, 当x∈时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 当x∈时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 又h(0)=1,h(1)=,h=4, 所以h(x)∈(1,4],则a∈(1,+∞). 3.B　y'=ex+(x-1)ex=xex, 设过点A(a,0)的直线与曲线y=(x-1)ex切于点(x0,(x0-1)),则切线斜率为x0, 所以切线方程为y-(x0-1)=x0(x-x0), 将A(a,0)代入切线方程,得0-(x0-1)=x0(a-x0),整理得-(a+1)x0+1=0, 因为过点A(a,0)可以作曲线y=(x-1)ex的两条切线, 所以方程-(a+1)x0+1=0有两个不同的实数根, 则Δ=(a+1)2-4>0,解得a>1或a<-3, 即实数a的取值范围是(-∞,-3)∪(1,+∞). 4.B　由y=x+ln x得y'=1+,则y'|x=1=2, 故曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0, 切线2x-y-1=0与曲线y=ax2+(a+4)x+ln x-1只有一个公共点, 即2x-1=ax2+(a+4)x+ln x-1有且只有一个正解, 即ax2+(a+2)x+ln x=0有且只有一个正解, 令g(x)=ax2+(a+2)x+ln x,x>0, 则g'(x)=2ax+a+2+=, 由于x>0,所以2x+1>0恒成立, 若a=0,则g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增, 且g(x)=2x+ln x,x>0,由g=-2<0,g(1)=2>0知g(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,即ax2+(a+2)x+ln x=0有且只有一个正解. 若a>0,则g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增, 当x→0+时,ax2+(a+2)x→0,ln x→-∞,所以g(x)→-∞, 又g(1)=2a+2>0,故g(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,即ax2+(a+2)x+ln x=0有且只有一个正解. 若a<0,则当x∈时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 故g(x)在x=-处取得极大值,也是最大值,为g=--1+ln,要使ax2+(a+2)x+ln x=0有且只有一个正解,需--1+ln=0, 令h(x)=ln x+x-1,x>0,显然h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(1)=0, 故要使--1+ln=0,只需-=1,则a=-1. 综上,a≥0或a=-1. 易错警示　 求曲线的切线方程时,要看清是求“曲线在某点处的切线方程”,还是求“曲线过某点的切线方程”,前者所求得的切线有且只有一条,此点恰好为切点,而后者所求得的切线有一条或多条,此点可能是切点,也可能不是切点. 5.A　由f(x)>1+得e2x-2f(x)-e2x-2-2 024>0,设g(x)=e2x-2f(x)-e2x-2-2 024, 则g'(x)=2e2x-2f(x)+e2x-2f'(x)-2e2x-2=e2x-2[2f(x)+f'(x)-2],因为2f(x)+f'(x)>2,e2x-2>0,所以g'(x)>0, 所以g(x)在R上单调递增,由f(1)=2 025,得g(1)=f(1)-1-2 024=0,所以g(x)>0的解集为(1,+∞), 所以不等式f(x)>1+的解集是(1,+∞). 易错警示　 求复合函数的导数时,要注意函数是由哪些基本初等函数复合而成的,再利用复合函数的求导法则进行计算. 6.答案　-2 027 解析　由f(x)=g(2x-1)+2x得f'(x)=2g'(2x-1)+2①, 因为f(x+1)为偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),所以f(2-x)=f(x),所以f'(x)+f'(2-x)=0②, 令x=1,得f'(1)=0,则f'(1)=2g'(1)+2=0⇒g'(1)=-1, 因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),所以-g'(-x)=g'(x)③, 由①得f'(2-x)=2g'(3-2x)+2,结合②③可得-f'(x)=-2g'(2x-3)+2,即f'(x)=2g'(2x-3)-2④, 由①④得g'(2x-3)-g'(2x-1)=2, 则g'(2×2-3)-g'(2×2-1)=g'(1)-g'(3)=2,g'(2×3-3)-g'(2×3-1)=g'(3)-g'(5)=2,……, g'(2×1 014-3)-g'(2×1 014-1)=g'(2 025)-g'(2 027)=2, 累加得g'(1)-g'(2 027)=2×(1 014-1)=2 026,故g'(2 027)=-1-2 026=-2 027. 7.A　f'(x)=(x-m)ex-x+m=(x-m)(ex-1), 因为函数f(x)的极小值点为x=0,所以f'(0)=(0-m)(e0-1)=0, 若m=0,则f'(x)=x(ex-1)≥0,且不恒等于0,所以f(x)在R上单调递增,函数f(x)无极小值,不符合题意,故m≠0; 当m<0时,令f'(x)=0,可得x=m或x=0, 当m<x<0时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当x>0时, f'(x)>0, f(x)单调递增,所以x=0是函数f(x)的极小值点,符合题意; 当m>0时,令f'(x)=0,可得x=m或x=0, 当x<0时, f'(x)>0, f(x)单调递增,当0<x<m时, f'(x)<0, f(x)单调递减,所以x=0是函数f(x)的极大值点,不符合题意. 综上所述,m的取值范围是(-∞,0). 易错警示　函数在某一点处的导数为0只是函数在该点处取得极值的必要不充分条件,因此要注意检验导数为0的点左、右两侧附近的导数是否异号,若异号,则该点是极值点,若不异号,则该点不是极值点. 8.BC　由题意得f '(x)=3x2+2ax+b, ∵f(x)在x=1处取得极值10, ∴解得或 当a=4,b=-11时, f '(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1), 则当x∈∪(1,+∞)时, f '(x)>0;当x∈时, f '(x)<0, ∴f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在上单调递减, ∴x=1是f(x)的极小值点,满足题意; 当a=-3,b=3时, f '(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,且不恒为0, 则f(x)在R上单调递增,不符合题意. 综上所述,a=4,b=-11. 对于A,B,a+b=4-11=-7,A错误,B正确; 对于C,x=-和x=1分别为f(x)的极大值点和极小值点,C正确; 对于D,当a=4,b=-11时, f(x)=x3+4x2-11x+16, ∵f(-4)=-64+64+44+16=60, f(1)=1+4-11+16=10, ∴f(-4)>f(1),即f(x)不满足在∪[1,+∞)上单调递增, f(x)的单调递增区间应为和[1,+∞),D错误. 9.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞). 当a=-1时, f(x)=ln x-x, f'(x)=-1=, 令f'(x)>0,得0<x<1;令f'(x)<0,得x>1, ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)f'(x)=+=,x∈(0,e]. ①当a>0时, f'(x)>0,∴函数f(x)在(0,e]上单调递增,∴f(x)max=f(e)=+1=2,∴a=e,符合题意; ②当-e<a<0时,令f'(x)>0,得0<x<-a,令f'(x)<0,得-a<x<e,∴f(x)在(0,-a)上单调递增,在(-a,e)上单调递减, ∴f(x)max=f(-a)=-1+ln(-a)=2,∴a=-e3,不符合题意,舍去; ③当-a≥e,即a≤-e时, f'(x)>0, ∴f(x)在(0,e]上单调递增,故f(x)max=f(e)=+1=2,∴a=e,不符合题意,舍去. 综上,a的值为e. 易错警示　利用导数求函数f(x)的单调区间,要先确定函数的定义域D,再求导数f'(x),进而解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)得到解集P,再由函数的定义域与不等式解集的交集D∩P确定函数的单调递增(减)区间. 10.解析　(1)由题意可得,πr2l+r3=π(l≥2r), 解得l=-r≥2r,则0<r≤2, 所以y=2πrl×3+4πr2×4=6πr+16πr2, 故y=+8πr2,其定义域为{r|0<r≤2}. (2)由(1)得y'=-+16πr=, 令y'=0,得r=, 又r=>2, 所以当0<r≤2时,y'<0,函数y=+8πr2单调递减, 故当r=2时,y有最小值,此时ymin=112π, 因此可得当该容器的总建造费用最少时,r=2,此时的总建造费用为112π千元. 易错警示　求与实际问题有关的最值时,要注意函数的定义域必须使实际问题有意义.例如,长、宽应大于0,销售价格一般要高于进价(特价商品除外)等. 11.解析　(1)当a=0时, f(x)=xln x-x,x∈, 则f'(x)=ln x+1-1=ln x,x∈, 令f'(x)<0,得≤x<1,令f'(x)>0,得1<x≤3, 所以函数f(x)在上单调递减,在(1,3]上单调递增, 且f=-ln 2-, f(1)=-1, f(3)=3ln 3-3,-ln 2-<0<3ln 3-3, 要使关于x的方程f(x)=m在区间上有两个不相等的实数根, 则-1<m≤-ln 2-,即实数m的取值范围为. (2)由f(x)=xln x+(a-1)x,x∈, 得f'(x)=ln x+a,x∈, 由f'(x)=0得x=e-a. ①当e-a<,即a>1时, f'(x)>0, f(x)在上单调递增,则f(x)min=f=; ②当≤e-a≤e,即-1≤a≤1时,令f'(x)≤0, 得≤x≤e-a,f(x)单调递减,令f'(x)≥0,得e-a≤x≤e, f(x)单调递增, 则f(x)min=f(e-a)=-e-a; ③当e-a>e,即a<-1时, f'(x)<0, f(x)在上单调递减,则f(x)min=f(e)=ea. 综上所述, f(x)min= 易错警示　讨论极值点的实质是讨论函数的单调性,即f'(x)的正负;求函数的最大(小)值时,要将函数的各极值与端点处的函数值进行比较,最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 思想方法练 1.解析　(1)由题意得f '(x)=-+2a==(a≠0,a∈R,x>0),令f '(x)=0,得x=或x=-. (方程f '(x)=0的解含有参数,应考虑解是否在函数的定义域内,需要对解与0的大小关系进行分类讨论,还需要比较两个解的大小关系)  ①当-<0,即a>0时, 令f '(x)>0,得x>,函数f(x)单调递增, 令f '(x)<0,得0<x<,函数f(x)单调递减; ②当0<-<,即a<-2时, 令f '(x)>0,得-<x<,函数f(x)单调递增, 令f '(x)<0,得0<x<-或x>,函数f(x)单调递减; ③当->,即-2<a<0时, 令f '(x)>0,得<x<-,函数f(x)单调递增, 令f '(x)<0,得0<x<或x>-,函数f(x)单调递减; ④当-=,即a=-2时, f '(x)≤0恒成立且不恒为0,函数f(x)单调递减. 综上所述,当a>0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减; 当a<-2时,函数f(x)在上单调递增,在和上单调递减; 当-2<a<0时,函数f(x)在上单调递增,在和上单调递减; 当a=-2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. (2)若a<0,由(1)得 (根据第(1)问,利用函数的单调性讨论函数的极值) 当a<-2时,函数f(x)在上单调递增,在和上单调递减, 所以f(x)的极小值为f=(2-a)ln-a+2a=(a-2)ln(-a)-a-2, 极大值为f=(2-a)ln+2+a=(a-2)ln 2+2+a; 当-2<a<0时,函数f(x)在上单调递增,在和上单调递减, 所以f(x)的极小值为f=(a-2)ln 2+2+a, 极大值为f=(a-2)ln(-a)-a-2; 当a=-2时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值. 2.解析　(1)当a=时, f(x)=x-ln(ln x)-1,f(x)的定义域为(1,+∞), ∴f'(x)=-=,x∈(1,+∞). 设m(x)=xln x-e,x∈(1,+∞), 则m'(x)=ln x+1>0, ∴m(x)在(1,+∞)上单调递增, ∵m(e)=0, ∴当1<x<e时,m(x)<0,则f'(x)<0, 当x>e时,m(x)>0,则f'(x)>0, ∴f(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增. (2)由题意可得a>0, f'(x)=a-=. 令v(x)=axln x-1,x∈[e,+∞), 则v'(x)=a(ln x+1)>0, ∴v(x)=axln x-1在[e,+∞)上单调递增, ∴v(x)≥v(e)=ae-1. (结合a>0及ae-1的正负对a进行分类讨论) ①当a≥时,∀x∈[e,+∞),v(x)≥0恒成立, 即f'(x)≥0恒成立, 当且仅当a=且x=e时可取等号, ∴f(x)在[e,+∞)上单调递增,而f(e)=ae+ln a≥0, ∴当x≥e时, f(x)≥f(e)≥0. ∴当a≥时,对任意x∈[e,+∞), f(x)≥0恒成立. ②当0<a<时,v(e)=ae-1<0,易知v(e)=e-1>0,∴∃x0∈(e,e),使得v(x0)=0, ∵v(x)为[e,+∞)上的增函数, ∴当x∈[e,x0)时,v(x)<0,即f'(x)<0, ∴当x∈[e,x0)时, f(x)单调递减, ∴当x∈[e,x0)时, f(x)≤f(e)=ae+ln a<0, 这与对任意x∈[e,+∞), f(x)≥0恒成立矛盾, ∴0<a<不符合题意. 综上,a的取值范围是. 思想方法　分类讨论思想在本章中的应用,主要有以下几种情况: 　　(1)求曲线过某点的切线方程时,对该点是不是切点进行讨论; 　　(2)讨论含参函数的单调性; 　　(3)讨论含参函数的极值; 　　(4)讨论含参函数的最值. 3.D　令F(x)=,则F'(x)=. (构造函数进行转化,从而使新函数的导函数向已知条件“xf'(x)-f(x)>0”靠拢) 当x>0时,xf'(x)-f(x)>0, 所以F'(x)>0, 所以F(x)在(0,+∞)上单调递增, 又f(x)是奇函数且f(-2)=0, 所以f(2)=-f(-2)=0,则F(2)=0, 因为F(-x)====F(x),且F(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 所以函数F(x)为偶函数, 所以F(x)在(-∞,0)上单调递减,且F(-2)=0. (利用函数的奇偶性进行转化,得到函数F(x)在(-∞,0)上的单调性) 所以当x>0时,f(x)>0的解集为(2,+∞); 当x<0时,f(x)>0的解集为(-2,0). 综上所述,f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞). 4.答案　 解析　易知函数f(x)=在R上单调递减,且f(x)+f(-x)=+=1, 所以f(aex)≤1-f(ln a-ln x)=f(ln x-ln a)=f,x>0,a>0,则aex≥ln, 所以xex≥ln=ln,构造函数g(x)=xex(x>0),则g'(x)=(x+1)ex, 根据式子的结构特征构造函数g(x)=xex(x>0),利用导数判断其单调性,进而得到x与ln的大小关系,将问题转化为证明ln a≥ln x-x恒成立  当x>0时,g'(x)>0, 所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递增, 由xex≥ln·得g(x)≥g, 所以x≥ln=ln x-ln a, 所以ln a≥ln x-x恒成立, (通过构造函数h(x)=ln x-x(x>0),将恒成立问题转化为求最值问题)  构造函数h(x)=ln x-x(x>0), 则h'(x)=-1=, 当0<x<1时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 当x>1时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 所以当x=1时,h(x)取得极大值,也是最大值,为h(1)=ln 1-1=-1, 因此ln a≥-1, 所以a≥,即a的最小值为. 5.解析　(1)因为f(x)的极值点为1,且f'(x)=-a, 所以f'(1)=-a=0, 利用可导函数极值点处的导数为0,将f(x)的极值点为1转化为f'(1)=-a=0,从而求出a 所以a=1,经检验符合题意,因此a=1. (2)对任意x1∈(0,+∞),总存在x2∈,使得f(x1)<g(x2)成立,等价于存在x2∈,使得f(x)max<g(x2)成立, (将双变量不等式问题转化为比较两个函数的最值问题) 由(1)得f'(x)=-1=, 若x∈(0,1),则f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 若x∈(1,+∞),则f'(x)<0,函数f(x)单调递减, 所以f(x)max=f(1)=0, 所以存在x2∈,使得g(x2)>0. g(x)=sin x-bx,则g'(x)=cos x-b,当x∈时,cos x∈(0,1), ①当b≥1时,若x∈,则g'(x)<0,函数g(x)单调递减,g(x)<g(0)=0,不符合题意; ②当0<b<1时,∃x0∈,使得g'(x0)=0, 当x∈(0,x0)时,g'(x)>0,函数单调递增;当x∈时,g'(x)<0,函数单调递减, 即g(x)max=g(x0)>g(0)=0,则∃x2∈,使得g(x2)>0,符合题意; ③当b≤0时,若x∈,则g'(x)>0,函数g(x)单调递增,g(x)>g(0)=0, 则∃x2∈,使得g(x2)>0,符合题意. 综上可知,实数b的取值范围是(-∞,1). (3)证明:当b=1时,g(x)=sin x-x, 则g'(x)=cos x-1≤0,此时g(x)单调递减, 所以当x∈(0,1]时,g(x)<g(0)=0,则sin x<x, 令x=(k≤n,k,n∈N+),则∈(0,1],则有sin <, 又f(x)max=f(1)=0, f(x)≤0,即ln x≤x-1, 则ln≤-1=, (通过赋值将函数不等式转化为数列不等式) 即n·ln≤k-n,即ln≤k-n,∴≤ek-n,又e1-n>0,所以++…+≤e1-n+e2-n+…+en-n==<, 则sin+sin +…+sin<++…+<, 所以sin+sin+…+sin<. 思想方法　用导数解决问题时,常见的转化与化归的形式如下:将不等式问题转化为函数的单调性与最值问题、将方程解的问题转化为函数的零点问题或两个函数图象的交点问题等,转化的关键:一是针对问题的需要,合理构造函数,找到问题的突破口;二是通过“再构造,再求导”,实现问题的深度转化. 6.A　设g(x)=f(x)+m= 则f(x)=g(x)-m, 因为[f(x)]2-(m2+3)f(x)+m3-m2+3m=[f(x)-m][f(x)-m2+m-3]=0, 所以[g(x)-2m][g(x)-m2-3]=0,得g(x)=2m或g(x)=m2+3. 当x≤-1时,g(x)=(x+2)2-1,g(-1)=,g(-2)=-1. 当x>-1时,g(x)=,求导得g'(x)==. 当-1<x<0时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增; 当x>0时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减. 因为x>-1, 所以x+1>0,ex>0,故g(x)>0. 易得g(0)=2,当x>-1且x→-1时,g(x)→0+, 当x→+∞时,g(x)→0+. (作出函数g(x)的大致图象,将方程根的问题转化为曲线y=g(x)与直线y=m2+3、y=2m的交点的个数问题,从而求出m的取值范围,体现了数形结合思想) 作出函数g(x)的图象,如图所示: 因为m2+3≥3, 所以曲线y=g(x)与直线y=m2+3有且仅有1个交点, 所以曲线y=g(x)与直线y=2m有3个交点, 则<2m<2,即<m<1, 所以实数m的取值范围为. 7.答案　 解析　当x=1时, f(1)=0, 所以切点坐标为(1,0), 当x>时, f(x)=ln(2x-1), f'(x)=, 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率k=f'(1)=2, 所以切线l的方程为y=2x-2. f=a-,即f(x)的图象过点. 易知当切线l过点时,l与f(x)的图象有三个公共点, 将代入切线方程得a-=2×-2=-1,得a=. (画出函数f(x)的图象,寻找切线l与函数f(x)的图象有三个公共点的极限位置,进而确定a的取值范围,体现了数形结合思想) 当切线l与曲线y=f(x)=-x2-2x+a相切时,切线l与函数f(x)的图象只有两个公共点, 设切线l与曲线y=f(x)在x=x0,x0≤处相切, 由f(x)=-x2-2x+a, 得f'(x)=-2x-2, 所以k=f'(x0)=-2x0-2=2,得x0=-2, 又f(-2)=a,所以切点坐标为(-2,a). 将(-2,a)代入y=2x-2,得a=-6, 因为曲线y=f(x)在x=1处的切线与f(x)的图象有三个公共点, 所以a的取值范围为. 8.解析　(1)当a=-1时, f(x)=(x-2)ex+x2-x+, f'(x)=(x-1)ex+x-1=(x-1)(ex+1), 由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得x<1, 所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以当x=1时, f(x)取得极小值,且极小值为f(1)=-e,无极大值. (2)g(x)=(x-2)ex-ax2+ax=(x-2), 则g(x)有一个零点为x=2,要使得g(x)存在3个零点, 则需方程ex-ax=0(x≠2)有2个不相等的实根,而方程ex-ax=0(x≠2)可化为a=(x≠0,且x≠2), (将函数的零点个数转化为直线与函数图象的交点个数) 令h(x)=(x≠0,且x≠2),则函数y=h(x)的图象与直线y=a有两个交点. h'(x)==, 令h'(x)=0,得x=1, 当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况列表如下: x (-∞,0) (0,1) 1 (1,2) (2,+∞) h'(x) - - 0 + + h(x) 单调 递减 单调 递减 极小值 单调 递增 单调 递增 所以函数h(x)在x=1处取得极小值,为2e. 当x<0时,h(x)<0,又h(2)=e2,所以h(x)的大致图象如图: (作出函数h(x)的大致图象,以形助数,根据直线与曲线交点的个数确定参数的取值范围,体现了数形结合思想) 根据图象可得a∈(2e,e2)∪(e2,+∞). 故若g(x)存在3个零点,则实数a的取值范围是(2e,e2)∪(e2,+∞). 思想方法　在本章中,利用导数的几何意义解题、研究函数的单调性与极值、求函数的零点或方程的根的个数问题等,往往都会利用数形结合思想,借助相应函数的图象直观求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $