专题04 数列前n项和求解方法5类题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

专题04 数列前n项和求解方法5类题型归类 目录 典例详解 类型一、等差数列与等比数列的前n项和 类型二、裂项相消法求数列前n项和 类型三、错位相减法求数列前n项和 类型四、分组与并项法求数列前n项和 类型五、倒序相加法求数列前n项和 压轴专练 类型一、等差数列与等比数列的前n项和 【知识归纳】 1. 已知数列为等差数列，公差为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 2. 已知数列为等比数列，公比为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可！ 例1.已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．9 B．27 C．36 D．45 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 则. 故选：D 【变式1-1】已知数列是等比数列，若，，则（   ） A．51 B． C．-13 D．85 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，由，，得，解得， 所以. 故选：A 【变式1-2】已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 【答案】9 【详解】由，得， 又，所以，即， 所以，即等差数列前9项为负，从第10项开始为正， 所以前9项和最小。即当取得最小值时，. 故答案为：9 类型二、裂项相消法求数列前n项和 【知识归纳】 1. 裂项的基本模型 （1）等差型：，其中. （2）无理型：，其中. （3）指数型： 2. 常见的裂项公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例2.已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为等差数列的公差为2， 则，， 又因为，，成等比数列， 则，解得， 所以. （2）由（1）可得：， 所以. 【变式2-1】已知数列满足，（，）. (1)求证：是等比数列，并求； (2)设，数列的前项和，证明. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【详解】（1）因为时，，又， 所以（）， 即数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以，. （2）因为，所以, 所以 , 所以. 【变式2-2】已知各项均为正数的数列前项和为，且满足：. (1)求的通项公式； (2)令，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）令，可得，整理得，解得. 由，可得， 将两式作差，得， 即， 即， 即，由数列各项均为正数， 易知，则， 即数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 故. （2）， 则， 易知，故， 因此，得证. 【变式2-3】已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设数列的公比为，由成等差数列可得， 故，解得， 由可得，解得， 故，即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 故， 易知单调递减，故单调递增， 即为递增数列，则， 又当时，且，所以， 故. 类型三、错位相减法求数列前n项和 例3.已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）由，可得， 当时，有， 两式作差得，所以时，， 时，符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）， 所以， ， 两式相减得 ， 所以，随着正整数的增大而增大， 由，得， 时，， 时，， 所以使的最小的正整数n的值为8. 【变式3-1】已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为是公比大于0的等比数列，且， 所以是各项都为正数的等比数列，设其公比为. 由可得：， 解得或（负值舍去）， 则，； （2）由（1）知， 所以， 两式相减可得 ， 整理得. 【变式3-2】已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由，可得，即， 则，所以， 因此是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 因为， ① ② ①-②得， ， 所以. 【变式3-3】在等差数列中，已知，且公差. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在等差数列中，，且公差， 所以，解得， 所以； （2）由（1）知，则， 所以， 则， 两式相减得， ， ， ， 所以. 类型四、分组与并项法求数列前n项和 例4.已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，，则， 所以. 【变式4-1】已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 因为成等比数列，所以， 由于， 所以，化简得. 解得或，又，所以. 故数列的通项公式为； （2）由（1）得，则， 则， 所以， 则 . 【变式4-2】设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知， 则 所以数列的前项和为. 【变式4-3】已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，，解得， 当时，①，②， ①-②得：， 又，，， ∴数列是首项为8、公比为4的等比数列，， 设等差数列的公差为， ，且，，成等比数列， ， 即，解得 （2）   当为偶数时， 当为奇数时， 类型五、倒序相加法求数列前n项和 例5.已知数列是各项均为正数的等比数列，若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．1013 C．2023 D．1022 【答案】B 【详解】由韦达定理，可得， 由等比数列性质可得． 设， 所以 则， 得， 所以. 故选：B 【变式5-1】数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】D 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， 解得. 故选：D. 【变式5-2】若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【详解】由等差数列满足，则对于，，当时，， 则， 设， 则， 两式相加可得，解得. 故选：B. 【变式5-3】已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 一、单选题 1．若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因，则 ，当时，符合题意，故， 则， 故. 故选：D. 2．已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由可得，当时， ， 当时，，，也满足，所以，，， 由， 即， 解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 故选：C 3．已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 当时，， 以上各式相乘，得，又，所以， 因为满足上式，所以， 因为，所以. 故选:A. 二、多选题 4．数列满足，且对任意的都有，则（    ） A． B． C．数列的前100项和为 D．数列的前100项和为 【答案】ABD 【详解】因为，所以， 又因为，当时，所以 ， 其中也满足，故对任意的，， 所以，故A正确，B正确； 又由， 所以数列的前项和为： ，故C错误，D正确． 故选：ABD . 5．已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】AB 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D错误. 故选：AB 6．已知数列满足，则下列正确的有（    ） A．任意 B．存在 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A：由，所以，，所以. 再由，得，即， 因为，所以与同号，且，由递推关系可得 ，由，所以，故任意，所以A正确； 对于B：因为，所以， 再由得， 所以，数列单调递减，故不存在成立，所以B错误； 对于C：再由B选项的判断知数列单调递减，即， 所以，且. 因为，，两边取对数 所以，即， 进行累加求和 即，所以，. 所以 ，所以C正确； 对于D：因为，令，得， ，即，所以， ， 因为，所以，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 7．已知数列满足，数列中，，则的前2025项的和为 【答案】 【详解】由题可知， 故的前2025项的和 . 故答案为：. 8．记数列的前项和为，已知，（），则 . 【答案】 【详解】根据题意，数列中，（）， 则有①，可得②，①÷②可得. 又，得，故数列的奇数项为首项为1， 公比为2的等比数列，数列的偶数项为首项为2， 公比为2的等比数列，则 . 故答案为： 9．已知等差数列的前项和为，若，，则 ，设数列的前项和为，则 . 【答案】 【详解】因为数列为等差数列，，前项和, 所以，故，解得公差， 所以， 由，得，​ 所以， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 10．已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，， 所以， 当时，由①， 得②，          ①②得，所以， 当时，，可得，也满足，所以. （2）因为， ， 当为偶数时，， 此时被除余，为数列中的项； 当为奇数时，， 此时被整除，不为数列中的项， 所以， . 11．已知等差数列的前项和满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，则， 可得，即； 且符合上式，所以. （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 则，即，可得， 所以. 12．已知数列的前n项和为，且，数列满足，且的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时， 当时，所以， 当时也成立，所以； （2）因为的前n项和， 当时，又，，所以， 当时，， 所以， 所以， 所以，，，又， 所以， 令，则， 所以， 所以， 则，所以， 当时也成立，所以. 13．已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），， 又，数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）得：，， ， . 14．设为数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式. (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由①，得当时，②. ①－②得，则. 将代入，得到，，， ，，， 故当时，也适合， 可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，故. （2），， ，，， ， 数列的前项和为 . 15．已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式; (2)证明:对，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由可得， ∵，∴，依此类推， ∴，∴， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，即， （2），故 对1，2，3… ， ∴ .， 因为， 所以 即 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列前n项和求解方法5类题型归类 目录 典例详解 类型一、等差数列与等比数列的前n项和 类型二、裂项相消法求数列前n项和 类型三、错位相减法求数列前n项和 类型四、分组与并项法求数列前n项和 类型五、倒序相加法求数列前n项和 压轴专练 类型一、等差数列与等比数列的前n项和 【知识归纳】 1. 已知数列为等差数列，公差为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 2. 已知数列为等比数列，公比为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可！ 例1.已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．9 B．27 C．36 D．45 【变式1-1】已知数列是等比数列，若，，则（   ） A．51 B． C．-13 D．85 【变式1-2】已知等差数列的前项和为，且，则取得最小值时， . 类型二、裂项相消法求数列前n项和 【知识归纳】 1. 裂项的基本模型 （1）等差型：，其中. （2）无理型：，其中. （3）指数型： 2. 常见的裂项公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例2.已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式2-1】已知数列满足，（，）. (1)求证：是等比数列，并求； (2)设，数列的前项和，证明. 【变式2-2】已知各项均为正数的数列前项和为，且满足：. (1)求的通项公式； (2)令，数列的前项和为，求证：. 【变式2-3】已知为等比数列的前项和，若成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求的取值范围． 类型三、错位相减法求数列前n项和 例3.已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 【变式3-1】已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【变式3-2】已知数列中，. (1)证明：数列是等比数列； (2)记，求数列的前项和. 【变式3-3】在等差数列中，已知，且公差. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 类型四、分组与并项法求数列前n项和 例4.已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和. 【变式4-1】已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求． 【变式4-2】设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【变式4-3】已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. 类型五、倒序相加法求数列前n项和 例5.已知数列是各项均为正数的等比数列，若是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．1013 C．2023 D．1022 【变式5-1】数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【变式5-2】若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 【变式5-3】已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 一、单选题 1．若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 2．已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知数列满足，记的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．数列满足，且对任意的都有，则（    ） A． B． C．数列的前100项和为 D．数列的前100项和为 5．已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C． D． 6．已知数列满足，则下列正确的有（    ） A．任意 B．存在 C． D． 三、填空题 7．已知数列满足，数列中，，则的前2025项的和为 8．记数列的前项和为，已知，（），则 . 9．已知等差数列的前项和为，若，，则 ，设数列的前项和为，则 . 四、解答题 10．已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 11．已知等差数列的前项和满足：. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 12．已知数列的前n项和为，且，数列满足，且的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式. 13．已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和. 14．设为数列的前项和，已知，. (1)求的通项公式. (2)求数列的前项和. 15．已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式; (2)证明:对，. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $