10.1.1两角和与差的余弦（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

10.1 两角和与差的三角函数 第十章 三角恒等变换 10.1.1两角和与差的余弦 学 习 目 标 1 2 3 理解两角和与差余弦公式的推导逻辑，掌握和的公式形式. 能运用公式完成诱导公式证明、特殊角三角函数求值和简单化简，明确公式中角的任意性. 经历“提出问题一分点探究一归纳总结一应用验证”的完整过程，体会数形结合思想和化归与转化思想. 新课导入 我们之前学过向量数量积的两种表示形式，你还记得它的几何形式和坐标形式？ 几何形式： (为夹角) 坐标形式：若, 则 这个等式将和角形式的三角函数转化为单一余弦函数，那对于任意角 和能否用、的正弦、余弦值表示？ 这就是我们本节课的核心问题——两角差与和的余弦公式 新知探究 探究一：利用向量数量积推导两角差的余弦公式 在单位圆中，以为始边作角、,分别标记终边与单位圆的交点、，则. 向量与的夹角是多少？为何只需考虑的情况？ 由余弦函数的周期性和奇偶性，超出的角的余弦值与该范围内对应角的余弦值相等. 故只需考虑此范围. 新知探究 分别用几何形式和坐标形式表示,结果分别是什么？ 结合数量积的两种表示形式，能推导出的表达式吗？ 坐标形式 故几何形式 这就是两角差的余弦公式： （记为），、为任意角. 单位圆上向量模长 点击此处，动态观看推导过程 即时训练 1.证明： 【分析】将看作与的差，代入两角差的余弦公式展开，结合、化简。 证明： 左边 右边 故得证。 新知探究 探究二：差角公式到和角公式的化归 我们已经推导出了两角差的余弦公式，而可以表示为哪两个角的差的形式？能否代入差角公式进行推导？ 结合三角函数奇偶性， 这就是两角和的余弦公式 记为 代入差角公式后得到 即时训练 1.解答（1）求的值.，（2）求 的值. 【分析】①②，代入两角和的余弦公式展开计算。 （1） 解： = （2） 知识小结 两角差与和的余弦公式 ①两角差的余弦公式： 记为 ②两角和的余弦公式： 记为 典例分析 例1 利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式： (1) ， (2) . 【分析】直接运用两角差的余弦公式 ，代入特殊角 的三角函数值，化简得证。 证明： (1) 由公式 得 所以 典例分析 【分析】通过整体代换（用 替换 ），结合余弦化简规则，快速推导出正弦诱导公式。 (2) 在上式中，用 代换 ，可以得到 即 典例分析 例2 【分析】将、拆成,利用两角和(差)的余弦公式，再利用诱导公式快速求正弦值，再由化简求正切值. 解： 利用两角和(差)的余弦公式，求, 典例分析 例3 已知 ，，，， 求 的值。 【分析】 由公式 可知，欲求 的值，应先计算 和 的值. 解：由 ，得 又由 ，得 由两角和的余弦公式得 典例分析 巩固提升 题型1 两角和与差的余弦公式求值 1.已知,，则的值为________. 【分析】根据两角和与差的余弦公式展开,联立方程即可解得. 【详解】……（1）   ……（2） 由（1）+（2）得： 故答案为： 巩固提升 题型2 两角和与差的余弦逆用 2.计算（； （; （3）； 【分析】在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值. （3） 【详解】 （1） . （2）根据余弦的和角公式有 = 巩固提升 题型3 利用两角和与差的公式化简 3.化简：_______． 【分析】根据两角和与差的余弦公式可求出结果. 【详解】 . . 巩固提升 题型4 凑角求值 4.若，，且，，则值为多少？ 【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，根据，由两角和差余弦公式可求得，结合的范围可得结果. 【详解】， ； 又， 巩固提升 ； . 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! cos 两角差的余弦公式 苏教版必修二 α β α - β α 45° β 30° α - β 15° 自动演示 重置 角 α 拖动改变角度 角 β 推导步骤 1. 建立单位圆模型 在直角坐标系中作出单位圆（半径 r = 1）。 设定起始边为 x 轴正半轴。 圆上任意点 P(x, y) 满足： x = cosθ, y = sinθ 2. 作角 α 和 β 以 Ox 为始边，分别作角 α 和 β。 它们的终边分别与单位圆交于点 A 和点 B。 A(cosα, sinα) B(cosβ, sinβ) 3. 构造角 α - β 将角 β 的终边旋转到 x 轴正半轴（点 Q）。 此时角 α 的终边旋转到点 P 的位置。 P(cos(α-β), sin(α-β)) Q(1, 0) 4. 利用弦长相等 根据旋转不变性，弦 AB 的长度等于弦 PQ 的长度。 |AB| = |PQ| 即 |AB|² = |PQ|² 5. 代数推导 计算 |AB|²: (cosα-cosβ)² + (sinα-sinβ)² = 2 - 2(cosαcosβ + sinαsinβ) 计算 |PQ|²: [cos(α-β)-1]² + sin²(α-β) = 2 - 2cos(α-β) 联立等式: cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ 课堂小结 两角和与差的余弦公式 01 知识点回顾 02 易错点警示 03 解题技巧 核心公式与推导 1. 公式推导思路（向量法） 在单位圆中，设向量 OA 与 OB 的夹角为 θ。 利用向量数量积的两种计算形式： 坐标形式：OA · OB = cosαcosβ + sinαsinβ 定义形式：OA · OB = |OA||OB|cos(α - β) 2. 两角和与差的余弦公式 两角差的余弦公式 (Cα-β) cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ 记忆口诀：余余正正符号反 两角和的余弦公式 (Cα+β) cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ 推导技巧：将 β 替换为 -β 易错点警示 1. 符号混淆 余弦公式的符号是异号的。 错误示例：cos(α - β) = cosαcosβ - sinαsinβ 2. 忽视角的范围 在“给值求角”问题中，必须先根据三角函数值缩小角的范围，否则容易产生增根。 提示：若已知 cosα 求 α，需结合 sinα 的符号判断象限。 解题技巧总结 1. 变角技巧（凑角） 将未知角用已知角表示，是解决三角求值问题的关键。 单角变换： α = (α + β) - β 倍角变换： 2α = (α + β) + (α - β) 2. 逆用与变形 观察式子结构，逆向使用公式化简。 结构特征： cosαcosβ + sinαsinβ → cos(α - β) 应用场景：化简求值、证明恒等式。 $